Transcript Atvērt mācību materiālu

Kvadrātvienādojumi
un vienādojumi, kurus reducē uz
kvadrātvienādojumiem
M.Bērente
Nepilnais kvadrātvienādoums ax2+c=0
pārnes
ar pretējo zīmi
3x  27  0
2
dala
x  27 : 3
2
3x  27
2
x 9
2
Izvelk kvadrātsakni, ja tas iespējams
x 9
Atbilde:
M.Bērente
x1  3
x 2  3
x 7
2
x  36
2
x 7
x   36
x  6
x1   7
x2   7
M.Bērente
5 2
x 1
9
Uzdevums:
5
9
x  1 :  1
9
5
2
Dalīšana:
Pārveidošana:
9
3
3 5
x


5
5
5 5
Atbilde:
x1;2
3 5

5
M.Bērente
Izmantošana
x  1
2
4
x 1   4
x  1  2 x  1  2
x1  3
x 2  1
M.Bērente
Kvadrātvienādojums ax2+bx=0
2x2-3x=0
12x2-18x=0
x(2x-3)=0
x1=0
6x(2x-3)=0
2x-3=0
6x=0
x1=0
2x=3 /:2
x2=1,5
M.Bērente
2x-3=0
2x=3 /:2
x2=1,5
Kvadrātvienādojums- sakņu formula
D  b 2  4ac
2x2 – 3x -2 = 0
a = 2; b = -3; c = -2
x 1, 2 
D = (-3)2 – 4 · 2 ·(-2) =9+16= 25
x1, 2
Atrisinājums:
 ( 3)  25 3  5


2 2
4
35 8
x1 
 2
4
4
35 2
1
x2 


4
4
2
M.Bērente
b D
2a
Kvadrātvienādojuma atrisināšanu sāk ar diskriminantu,
jo tas dod iespēju noteikt atrisinājuma eksistenci,
sakņu skaitu.
D>0  vienādojumam ir divas dažādas, reālas saknes
D=0  vienādojumam ir viena reāla sakne (saknes ir
vienādas)
D<0  vienādojumam nav reālu sakņu (saknes ir
imagināras)
M.Bērente
Vjeta teorēma:
c

x

x

 1 2 a

x  x   b
2
 1
a
2x2 – 3x + 1 = 0
a=2; b=-3; c=1
3

x

x


 1,5
2
 1
2

 x  x  1  0,5
 1 2 2
Ja sakņu summa un reizinājums ir veseli skaitļi, saknes var uzminēt. Arī
dotajā piemērā to var izdarīt.
x1 = 0,5
x2=1
M.Bērente
Protot risināt kvadrātvienādojumus, nākamais solis ir:
bikvadrātvienādojumi
x4 - 10x2 + 9=0
(1) Pakāpes pazemināšanai apzīmē x2=t, tad vienādojums
kļūst par kvadrātvienādojumu attiecībā pret mainīgo t (jo x4=t2).
t2 – 10t + 9=0
(2)Izrēķina iegūtā kvadrātvienādojuma saknes (ar sakņu formulu vai pēc Vjeta):
t1=9
t2=1
(3)Ievēro apzīmējumu x2 = t, aprēķina sākotnējā vienādojuma saknes:
x2  1
x2  9
x 1
x 9
x1  3
x 2  3
x3  1
M.Bērente
x 4  1
Arī citi algebriski vienādojumi ir pārveidojami par kvadrātvienādojumiem:
+10== 0
(2x2+3x)22 -- 7
7(2x2+3x) +10
t=2x2+3x
Apzīmē
t
t
Šā vienādojuma saknes ir
t1=5
t2=2
Tālāk, ievērojot apzīmējumus, jārisina divi kvadrātvienādojumi
2x2 + 3x = 5
2x2 + 3x - 5 = 0
2x2 + 3x = 2
2x2 + 3x – 2 = 0
Iegūst četras saknes:
x1=1
x2=-2,5
x3=0,5
M.Bērente
x4=-2
Logaritmiski vienādojumi – reducēšana uz
algebrisku
t 2 -6 t + 9 = 0
kvadrātvienādojums
t 2 -6 t + 9 = 0
(t -3 )2 = 0
t -3 = 0
t =3
log32x-6log3x+9 = 0
jauns
mainīgais
log3x =3
x=33
x=27
t=log3x
x>0
Vienādojuma atrisināšanai izmantota saīsinātās reizināšanas formula (a-b)2 = a2-2ab+b2
M.Bērente
Eksponentvienādojumi, kurus reducē uz algebriskajiem
72x - 6· 7x - 7 = 0
Uzdevums
Substitūcija
Kvadrātvienādojums
Saknes
t2 - 6t - 7 = 0
t1 = 7
t2 = -1
D=36- (-28)=64
Ievieto substitūcijā
t= 7x
7x = 7
x=1
M.Bērente
7x = -1
Ø
Trigonometrisks vienādojums- reducēšana uz
algebrisku
Uzdevums
sin2x- 6· sinx - 7 = 0
Substitūcija
Kvadrātvienādojums
D=36- (-28)=64
t= sinx
t2 - 6t - 7 = 0
t1 = 7
t2 = -1
sinx = 7
atrisinājuma nav, jo
|sinx|  1
Saknes
Ievieto substitūcijā
sinx = -1
x=270°+360°k
kZ
M.Bērente