Transcript Teoria_das_filasx - Sistemas Humano

Teoria das filas
Teoria das filas
Em duas horas????
ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
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Clientes
Servidores
Intervalo entre chegadas (continuo)
Duração do serviço (continuo)
• POR QUE NÃO SIMULAR????
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São fórmulas relevantes???
ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
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Clientes
Servidores
Intervalo entre chegadas
Duração do serviço
Sofisticações sobre o tema:
fila limitada,desistência,prioridades....
ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
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Clientes
Servidores
Intervalo entre chegadas
Duração do serviço
Sofisticações sobre o tema:
fila limitada,desistência,prioridades....
Ignorâncias: heterogeneidade,sistemas de
filas,...
O resultado mais aceito é simples
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Teorema de Little:
E[#clientes no sistema}= NE ,
Taxa média de chegadas=λ,
Tempo médio gasto no sistema= T,
Então qualquer que seja fila ergódica, temos
• NE = λT
• .
(e NqE =W)
.
Little´s theorem
• Nt =# médio em (0,t),
• γ(t) = # acumulado de clientes-segundos até t,
• Nt= γ(t)/t
• α(t) = # chegadas em (0,t),
• Tt = tempo de sistema/cliente até t (=α-1 .γ )
• λt = taxa média de chegada em (0,t) (=α-1/t)
• Ergodicidade → NE=λT
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morte
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morte
• Qual o vetor de estado???
• Primeiro chute: # de clientes na fila/sistema
por categoria
• Segundo:...em filas de diferentes servidores
• Terceiro: memória
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morte
(pràticamente) sem memória
• São os ditos Markovianos (M)
MODELÃO:
• Processos de nascimento e morte
Mais fácil: população eterna ou nascimento puro
Intuição tempo discreto:
P(XT+1= k)=(1-p)P(XT= k) + p P(XT= k-1) para k>1
Note p independe de k e de T ....
(se quiséssemos poderíamos ter pT pK pT,k )
Modelo de nascimento contínuo:
Nascimentos independentes (sem memória)
P (exatamente 1 nascimento entre t e t+∆/população é k) =
= λk ∆ +o(∆), onde o(.)....
o(.) e diferenciabilidade
Então: se Pk(t)=P[X(t)=k], temos (com P<0(.)=0)
Pk(t+∆)=Pk(t) [1- (λk ∆) -o(∆)] + Pk-1(t)[ λk ∆ +o(∆)]
Ou, para ∆→0, P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ]
Modelo M de nascimento contínuo:
Nascimentos independentes (sem memória)
Poisson
Taxa fixa de nascimentos
P.k(t)= Pk(t) [-λ] + Pk-1(t)[ λ] (com P<0(.)=0) .
Com Po(0) =1, temos Po(t) =e-λt,
P1(t) =λt e-λt
Pk(t) =(k!)-1 (λt)k e-λt
(note que a cada instante as probabilidades somam 1)
Modelo M contínuo de morte :
Inverso de Poisson:
Tempos exponenciais
Intervalos entre chegadas são exponenciais
se e só se
O processo de chegada é Poisson.
Se chegadas Poisson,
P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,
Exponencial é sem memória :
Tempos exponenciais
P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,
Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas,
Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??
Exponencial é sem memória :
Tempos exponenciais
P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,
Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas,
Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??
P(t1≤T+t/t1>T)= [1-P(t1≤T)]-1 {P(t1≤T+t) - P(t1≤T)}= 1- e-λt !!!!!
M/M/1 é fácil
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
Poisson de razão λ e os tempos de serviço
exponenciais de média μ .
• Quais as estatísticas do sistema e qual a
relação entre saída e entrada ???
M/M/1 é fácil
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
Poisson de razão λ e os tempos de serviço
exponenciais de média μ .
• Quais as estatísticas do sistema e qual a
relação entre saída e entrada ???
• Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas que permitam ver que o
sistema de equações diferenciais é:
• P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ]
•
= Pk(t) [- (λk+ μk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk`+1(t)[ μk ]
com λk=λ e μ= μk .
M/M/1 é fácil,mas não tanto
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
Poisson de razão λ e os tempos de serviço
exponenciais de média μ .
P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ]
= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t)
com λk=λ e μ= μk .
Transitório
Regime (se existir, ergodicidade) P.k(t)= 0
M/M/1 em regime é fácil
• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
Poisson de razão λ e os tempos de serviço
exponenciais de média μ .
P.k(t)= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t)
- (λ+ μ) pk +λ pk-1 + + μpk+1 =0
• Definido ρ=(λ/μ), e impondo ρ<1,
• pk=p0 ρk
• normalizando para soma de probabilidades =1, temos p0=1-ρ
a/(1-a)=Σak.
M/M/1: impacto do
congestionamento
• E[N]=ρ/(1-ρ)
• E[T]=λ E[N] = (1/μ)/(1-ρ)
• Var(N)= ρ/(1-ρ)2
M/M/1 em regime é fácil
• Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de
razão λ e os tempos de serviço exponenciais
de média μ (μ<λ) tem muito pouco naturalmente
saída Poisson de razão λ
• Redes de Jackson
.
Complicando a M/M/1
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M/M/1 com desencorajamento (λ cai com k/ pg 99)
M/M/∞ (μk=kμ)
M/M/m (μk= (min{k,m})μ)
M/M/1/K (λk=λ para k≤K, 0 caso contrário)
M/M/m/m (só cabem m)- bonzinho para nós
M/M/1//M :pop. Finita M (λk=[λ/(M-k)] para k≤M, 0 caso
k
contrário)
• M/M/∞//M
• M/M/m/k/M
Servidores não homogêneos
• Filas x controle estocástico:
• servidores não homogêneos:
• Filas: sob custos de expansão um mínimo de
capacidade de serviço é necessária.
• Controle: já tendo dois servidores instalados,
melhor política é a de risca no chão (limiar)
Políticas de atendimento
• FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os
momentos de ordem maior que média mas
não afetam “estabilidade”
• Redes de filas: até FCFS pode ser instável
(estações virtuais) no caso não acíclico
• Surpresa: “kan-ban” é instável: regime não é transitório.
“Complicando” filas Markovianas
• Quanto tempo entre a chegada de um “bundle” de k clientes em
chegada individual Poison??
Telefonia
•
Ou
• Quanto tempo para ser servido por k servidores de taxas kμ,
correspondente a uma taxa média μ?
• Erlang de parâmetros R(taxa) e k(forma)
• pdf: fRk(t)= [(k-1)!]-1 R (Rt)k-1 e-Rt .
• com k=1 R=λ exponencial (λ e-λt)
• com k→∞ “tende” para Dirac, mas “média” também “explode”
•
(exceto se mantiver (k/R)= média constante)
Ferramental
• Devido à presença de produtos de convolução
(pdf de “soma de tempos”, transferencia em sistemas lineares..)
transformadas de Laplace ou z .
• Saída de M/M/1:
• P(vazio). (tempo de chegada +serviço)
+
P(não vazio) (tempo de serviço)
Mas, cuidado:
paradoxo do tempo de espera
• Chegadas de ônibus no ponto dadas por
exponencial média 60 min.
• Quanto tempo devo esperar por um onibus
em média???
• Primeira vista a falta de memória da
exponencial diz 60 minutos
• Mas, se pensarmos que em média chegamos
no meios de um intervalo entre chegadas, eu
deveia esperar 30 minutos!!!
Mas, cuidado:
paradoxo do tempo de espera
- Mas, se pensarmos que em média chegamos no
meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria
esperar 30 minutos!!!
• Errado: supondo 2 choferes se alternando um
com intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60)
• Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de
chance de chofer rápido, dando interarrival time
de 75 minutos.
• Para exponencial tipico interval time é de 120
minutos, o que dá 0s 60 do memoryless