Transcript pps

ESTATÍSTICA
Medidas de Tendências Centrais
&
Mediadas de Dispersão
Professor: Dionísio Sá
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média Aritmética
 Média Aritmética Ponderada
 Mediana
 Moda

MÉDIA ARITMÉTICA (Xm):.

É o quociente de dois ou mais valores
pela quantidade de valores observados
Exemplo:

Os jogadores titulares de vôlei do Brasil
tem as seguintes alturas: 1,92m, 1,96m,
1,99m, 2,01m 2,03m e 2,04m. Calcule a
altura média da seleção.
Xm 
1,92  1,96  1,99  2 , 01  2 , 02  2 , 04
X
6
m

11 , 94
6
 1, 99 m
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (XM):

É o quociente da soma dos produtos
obtidos entre cada fator de ponderação e
o valor correspondente observado pelo
total dos fatores de ponderação.
Exemplo:

Na minha turma há 14 alunos com 15
anos, 16 com 16, 5 com 17, 2 com 18 e 3
com 19. Determine a media de idade
desta turma.
XM 
XM 
14  15  16  16  5  17  2  18  3  19
14  16  5  2  3
210  256  85  36  57
40

644
40
 16 ,1  16 anos
MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS:

Quando a variável estudada apresenta
seus dados agrupados em uma
distribuição de freqüência com intervalos,
devemos encontrar, primeiro, o valor
médio (ponto médio) para cada intervalo.
Exemplo:

Numa
empresa os
salários dos
funcionários
estão
distribuídos
conforme a
tabela
seguinte:
Tempo
350 —|450

3
450 —| 550
2
550 —| 650
7
650 —| 750
6
750 —| 850
4
850 —| 950
2
Valor médio
350  450
 400
2
450  550
2
550  650
 500
 600
2
650  750
2
750  850
 700
 800
2
850  950
2
 900
XM 
3  400  2  500  7  600  6  700  4  800  2  900
XM 
3 276 4 2
1200  1000  4200  4200  3200  1800
XM 
24
15600
24
 650 reais
MEDIANA

MEDIANA de um grupo de valores
ordenados de modo crescente ou
decrescente é o valor que divide o grupo
observado em duas partes com a mesma
quantidade de termos (é o termo central
ou a média aritmética dos dois termos
centrais).
Exemplo 01:

Considere as estaturas, em centímetros,
de cinco amigos: 177, 185, 174, 187 e
176.
177
185
174
187
176
Exemplo 02:

Vamos, agora analisar a idade de outros
seis amigos: 18, 15, 25, 23, 19, 17 anos.
18  25
19
37 19
18
15
23
17
Xm 

 18 , 5
2
2
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADO
SEM INTERVALOS:

Exemplo 01: A tabela
abaixo representa a
distribuição de
freqüência acumulada
das notas obtidas por
25 alunos, numa
avaliação de Biologia.
Nota

A
4,0
1
1
5,5
5
6
6,0
3
9
8,5
8
17
9,0
5
22
10,0
3
25

MEDIANA PARA DADOS
AGRUPADO SEM
INTERVALOS
Nota

A
4,0
1
1
5,5
5
6
6,0
3
9
8,5
8
17
9,0
5
22
10,0
3
25
Como temos 25
alunos, o termo
central é o 13º
n
2
Exemplo 02: Consideremos, agora, a tabela de
distribuição de freqüência e a freqüência acumulada dos
salários mensais de 20 funcionários.
Salário
(em real)
 A
550
6 6
850
4 10
950
8 18
1500
2 20
Quando a quantidade
de termos (n) for par,
obtemos a posição dos
termos centrais,
n
fazendo:
e n 1
2
2
n
Assim temos:

20
2
e,
n
2

20
 10 ª
posição
2
 1  11 ª posição após determinarmos quais
2
são esses termos, devemos fazer a média aritmética deles, o valor
encontrado será a mediana
.
Salário (em real)

A
550
6
6
850
850
950
950
44
88
10
10
18
18
1500
2
20
Após determinarmos quais são esses
termos, devemos fazer a média aritmética
deles, o valor encontrado será a mediana.
Xm 
850  950
2

1800
2
 900 reais
MODA:

É o termo ou termos que se destacam por
apresentarem a maior freqüência no grupo
pesquisado.
Obs: Caso cada elemento aparece o
mesmo número de vezes, o conjunto de
dados não possui moda
Exemplo 01:

A tabela abaixo
representa a distribuição
de freqüência das notas
obtidas por 25 alunos,
numa avaliação de
Biologia.
Como a maior freqüência
(8) corresponde a nota
8,5, podemos afirmar que
a moda desse grupo é
8,5
Nota
4,0
5,5
6,0
8,5
9,0
10,0

1
5
3
8
5
3
Exemplo 02:

Consideremos, agora, a
tabela de distribuição de
freqüência e a freqüência
acumulada dos salários
mensais de 25
funcionários.
Como a maior freqüência
(6) apareceu duas
vezes, temos duas
modas: 550 reais e 1500
reais
Salário
(em real)
550
850
950
1500
1800

6
4
4
6
5
MEDIDAS DE DISPERSÃO

DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA OU
DESVIO: É a diferença entre cada valor e a
média do grupo.

VARIÂNCIA (V): É a média aritmética dos
quadrados dos desvios.

DESVIO PADRÃO (Dp): É a raiz quadrada da
variância. Quanto menor for o desvio padrão,
significa que o grupo de estudo é mais
homogêneo, isto é, apresenta-se menos
disperso.
Exemplo:

Para uma campanha de erradicação da dengue,
aplicou-se uma avaliação com a finalidade de
selecionar as pessoas que iriam auxiliar nos
trabalhos. Para isso, apresentaram-se 10 testes
de conhecimentos gerais para 2 grupos de 9
voluntários cada. O número de acertos em cada
um dos grupos foi registrado na tabela a seguir.
A
B
4
1
5
2
5
3
5
3
7
7
7
9
7
9
7 7
9 10
Observe que a média aritmética de todos os grupos é a
mesma:
X mA 
X mB 
455577777

54
9
9
1  2  3  3  7  9  9  10  10
54
9

9
6
6
A
B
4
1
5
2
5
3
5
3
7
7
7
7
7
9
7
9
7 7
9 10
Observe também, que a mediana
de todos os grupos é 7.
 se
comparássemos apenas essas
duas medidas (média aritmética e
mediana) teríamos de concluir que o
desempenho dos dois grupos seria
exatamente o mesmo, contudo isto
não é real. Por esse motivo será
necessário trabalharmos com as
medidas de dispersão para, com isso,
termos uma melhor avaliação dos
grupos.
Agora vamos calcular as variâncias
dos dois grupos:
Grupo A
Valores Xi
Média Xm
Desvio Xi – Xm
Quadrados dos desvios
4
6
–2
4
5
6
–1
1
5
6
–1
1
5
6
–1
1
7
6
1
1
7
6
1
1
7
6
1
1
7
6
1
1
7
6
1
1
Soma dos quadrados dos desvios = 12
Grupo A
Valores Xi
Média Xm
Desvio Xi – Xm
4
5
5
6
6
6
–2
–1
–1
5
7
7
6
6
6
–1
1
1
7
7
6
6
1
1
7
6
Soma dos desvios = 0
1
Grupo B
Valores Xi
Média Xm
Desvio Xi – Xm
1
6
–5
2
3
3
7
6
6
6
6
–4
–3
–3
1
7
9
9
6
6
6
1
3
3
10
6
Soma dos desvios = 0
4
Grupo B
Valores Xi
Média Xm
Desvio Xi – Xm
Quadrados dos desvios
1
6
–5
25
2
6
–4
16
3
6
–3
9
3
6
–3
9
7
6
1
1
9
6
3
9
9
6
3
9
10
6
4
16
10
6
4
16
Soma dos quadrados dos desvios = 110
Variância:

Grupo A

12
 1,33333 .....
9

Grupo B

110
9
 12 , 222222 .....
Vamos calcular agora o desvio
padrão de cada grupo

Grupo A  Dp 

Grupo B  Dp 
1, 33333 .....  1,1547
12 , 22222 .....  3 , 4960
Como o menor desvio padrão é 1,1154; podemos
concluir que o grupo que apresenta maior
homogeneidade, ou seja o grupo menos disperso
é o grupo
A.