Transcript pps

第一章 流体流动
• 学习指导
• 一、基本要求:
• 了解流体流动的基本规律，要求熟练
掌握流体静力学基本方程、连续性方程、
柏努利方程的内容及应用，并在此基础
上解决流体输送的管路计算问题。
• 二、掌握的内容
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
压强的定义、表示法及单位换算；
流体静力学基本方程、连续性方程、柏努利方程的内容及
应用；
流动型态及其判断，雷诺准数的物理意义及计算；
流动阻力产生的原因，流体在管内流动时流动阻力（直管
阻力和局部阻力）的计算；
简单管路的设计计算及输送能力的核算；
管路中流体的压力、流速及流量的测量：液柱压差计、测
速管（毕托管）、孔板流量计、转子流量计的工作原理、
基本结构及计算；
因次分析法的原理、依据、结果及应用。
3、了解的内容
牛顿型流体与非牛顿型流体；
层流内层与边界层，边界层的分离。
第一节 流体的重要性质
• 1.1.1连续介质假定
气体
流体 
液体
把流体视为由无数个流体微团（或流体
质点）所组成，这些流体微团紧密接触，
彼此没有间隙。这就是连续介质模型。
u
流体微团（或流体质点）：
宏观上足够小，以致于可以将其看成一个几何上没有维度的点；
同时微观上足够大，它里面包含着许许多多的分子，其行为已
经表现出大量分子的统计学性质。
1.1.2 流体的密度
密度——单位体积流体的质量。
m

V
1 .单组分密度
kg/m3
  f ( p, T )
液体 密度仅随温度变化（极高压力除外），其变
化关系可从手册中查得。
气体 当压力不太高、温度不太低时，可按理想
气体状态方程计算：
pM

RT
注意：手册中查得的气体密度均为一定压力与温度
下之值，若条件不同，则需进行换算。
2 . 混合物的密度
混合气体 各组分在混合前后质量不变，则有
m  11  12    nn
1 ,  2  n ——气体混合物中各组分的体积分数。
或
Mm
m 
pM m
RT
——混合气体的平均摩尔质量；
M m  M1 y1  M 2 y 2    M n yn
y1 , y 2  yn ——气体混合物中各组分的摩尔(体积)分数。
混合液体 假设各组分在混合前后体积不变，则有
1 2
n
 

 m 1  2
n
1
1 , 2 n ——液体混合物中各组分的质量分数。
比容——单位质量流体具有的体积，是密度的倒数。
V 1
v 
m 
m3/kg
比重(相对密度)：某物质的密度与4℃下的水的密
度的比值，用 d 表示。
d

 4 C水

,
 4C水  1000kg / m
3
1.1.3流体的可压缩性与不可压缩流体
• 一、液体的可压缩性
——在一定温度下，外力每增加一个单位时，

流体体积的相对缩小量。
1 d 1 d
 

 dp  dp
二、不可压缩流体
密度为常数的流体。
三、流体的流动性——流体不能承受拉力
1.1.4流体的黏性
• 一、牛顿黏性定律
流体的内摩擦力：运动着的流体内部相邻两流体层间的作
用力。又称为粘滞力或粘性摩擦力。
——流体阻力产生的依据
对许多种流体，当流动是层状流（如流动较
慢）时，力F与△u、面积A成正比，与△y成
反比，如加一比例系数μ，则可表示为：
F
u x
A
y
F 
u x
A
y
剪应力：单位面积上的内摩擦力，以τ表示。
u x
F
  
y
A
适用于u与y成直线关系
当取极限，即△y →0时，有：
du
 
dy
——牛顿粘性定律
式中：
速度梯度
：比例系数，它的值随流体的不同而不同，流
体的粘性愈大，其值愈大，称为粘性系数或动力粘度，简
称粘度。
二、流体的黏度
• 1)物理意义


du
dy
：促使流体流动产生单位速度梯度的剪应力。
粘度总是与速度梯度相联系，只有在运动时才
显现出来
2)粘度与温度、压强的关系
a) 液体的粘度随温度升高而减小，压强变化时，
液体的粘度基本不变。
b)气体的粘度随温度升高而增大，随压强增加而
增加的很少。
3）粘度的单位
2
N .S
   N / m
   
 2
(
m
/
s
)

m
 du / dy 
在SI制中：
在物理单位制中，
 Pa.S
m
2
dyn
/
cm
dyn.s
  
g
 P(泊）
   



cm
s
2
cm
 du / dy 
cm.s
cm
SI单位制和物理单位制粘度单位的换算关系为：
1Pa  s  1000CP  10P
4) 混合物的粘度
对常压气体混合物：
yi u i M i

m 
1
 yi M i 2
对于分子不缔合的液体混合物 ：
lg  m   xi lg ui
5）运动粘度

v

单位：
SI制：m2/s；
物理单位制：cm2/s，用St表示。
1St  100cSt  104 m 2 / s
1
2
三、理想流体与黏性流体
• 黏性流体（实际流体）：具有粘性的流体；
• 理想流体：完全没有黏性（μ=0）的流体。
（是假设存在的）
1.2流体静力学
•
• 本节重点：静力学基本方程式及其应用。
• 难点：U形压差计的测量。
1.2.1流体的受力
体积力
流体所受的力
表面力
如重力、离心力等，属
于非接触性的力。
法向力

切向力
体积力（质量力）：
与流体的质量成正比；
如重力：Fg  Vg
表面力（机械力）：与力作用的面积成正比。
dFt
切向应力： 1 
dA
dFn
切向应力： n 
dA
1.2.2 静止流体的压力特性
压力:流体垂直作用于单位面积上的力，称为流体的
静压强，习惯上又称为压力。
1 . 压力的单位
SI制：N/m2或Pa；
或以流体柱高度表示 ：
p  gh
其它 常 用单 位 有： atm（标 准 大气 压 ）、 工 程大 气 压
kgf/cm2、bar；流体柱高度（mmH2O，mmHg等）。
注意：用液柱高度表示压力时，必须指明流体的种类，
如600mmHg，10mH2O等。
换算关系为：
1atm  1.033kgf / cm 2  760mmHg
 10.33mH 2O  1.0133bar  1.0133 105 Pa
1工程大气压  1kgf / cm 2  735.6mmHg
 10mH 2O  0.9807bar  9.807 10 4 Pa
2 . 压力的表示方法
绝对压力:
以绝对真空为基准测得的压力。
表压或真空度:
表
以大气压为基准测得的压力。
压 = 绝对压力 － 大气压力
真空度 = 大气压力 － 绝对压力
表压= － 真空度
3）真空度： 真空表的读数
真空度=大气压强-绝对压强=-表压
绝对压强、真空度、表压强的关系为
A
表
压
强
大气压强线
真空度
绝
对
B
压
强
绝对压强
绝对零压线
当用表压或真空度来表示压强时，应分别注明。
如：4×103Pa（真空度）、200KPa（表压）。
1.2.3
流体静力学基本方程
作 x 方向力的平衡，有:
p+(p/z)dzp
z
p
p+(
p+(p/x)dx
p
g x dxdydz  pdydz
p+(p/y)dy
y
x



哈密顿算子   i
j
k
x
y
z
p
(p
dx)dydz  0
x
p
g x 
0
x
p
0
同理，有： g y 
y
p
g z 
0
z

F BM  p  0
------流体静力学微分方程式
(或称为欧拉方程)
• 欧拉方程推论：
•
由方程知p不是x，y（水平方向）的函数，仅
与垂直坐标z有关。因此，当流体不可压缩（ρ=
常数）时，欧拉方程积分可得：
p

 gz  常数
(1-11)
通常液体视为ρ=0，在静止液体内部的不同
高度处任取两平面z1和z2，设两平面的压力分
p1
别为p1和p2。
对dZ段，由于流体静止，有：
F  0
pA  ( p  dp) A ρgAdZ  0
dp
 gdZ  0
ρ
P1
p+dp
dZ
Z0
p G
Z1
对不可压缩流体，ρ=const
p
 gZ  常数
流体静力学方程
ρ
P2
Z2
A
+
对平面1-1和2-2处，则有
p1
p2
 gZ1 
 gZ 2
ρ
ρ
p2  p1 ρg (Z1  Z 2 )
假设z1取在液面上，并设对应压力为p0，则有
p=p0+ρgh
表明在重力作用下，静止液体内部压强的变化规律。
2、方程的讨论
• 1）液体内部压强P是随P0和h的改变而改
变的，即： P  f P0 , h
2）当容器液面上方压强P0一定时，静止液体
内部的压强P仅与垂直距离h有关，即： P  h
处于同一水平面上各点的压强相等。
3）当液面上方的压强改变时，液体内部的压强也随之
改变，即：液面上所受的压强能以同样大小传递到
液体内部的任一点。
4）从流体静力学的推导可以看出,它们只能用于静止的
连通着的同一种流体的内部，对于间断的并非单一
流体的内部则不满足这一关系。
P  P0
h
5）P  P 0  gh 可以改写成
g
压强差的大小可利用一定高度的液体柱来表示，这就
是液体压强计的根据，在使用液柱高度来表示压强
或压强差时，需指明何种液体。
6)方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的
气体，只适用于压强变化不大的情况。
例：图中开口的容器内盛有油和水，油层高度h1=0.7m,
密度   800kg / m3 ，水层高度h2=0.6m，密度为
1
 2  1000kg / m3
1）判断下列两关系是否成立
PA＝PA’，PB＝P’B。
2）计算玻璃管内水的高度h。
解：（1）判断题给两关系是否成立
∵A，A’在静止的连通着的同一种液体的同一水平面上
 PA  PA
'
因B，B’虽在同一水平面上，但不是连通着的同一种液
体，即截面B-B’不是等压面，故 PB  PB '不成立。
（2）计算水在玻璃管内的高度h
 PA  PA
'
PA和PA’又分别可用流体静力学方程表示
设大气压为Pa
PA  Pa   油 gh1   水 gh2
PA   水 gh  Pa
'
 PA  PA
'
 Pa   油 gh1  水 gh2  Pa  水 gh
800  0.7  1000  0.6  1000h
h  1.16m
1.2.4流体静力学方程的应用
一、压力与压力差的测量
1.U型管压差计
 Pa  Pb
根据流体静力学方程
Pa  P1   B g m  R 
Pb  P2   B g ( z  m)   A gR
 P1   B g m  R  
P2   B g ( z  m)   A gR
P1  P2   A  B gR   Agz
当管子平放时：P1  P2
  A   B gR
——两点间压差计算公式
当被测的流体为气体时， A
  B ，  B 可忽略,则
P1  P2   A gR
若U型管的一端与被测流体相连接，另一端与大气相通，
那么读数R就反映了被测流体的绝对压强与大气压之差，也
就是被测流体的表压。
当 P1-P2 值较小时，R值也较小，若希望读数R清晰，可
采取三种措施：两种指示液的密度差尽可能减小、采用倾斜
U型管压差计、 采用微差压差计。
2.倾斜U型管压差计
假设垂直方向上的
高度为Rm，读数为R1，
与水平倾斜角度α
 R1 sin  Rm
Rm
R1 
sin
2) 微差压差计
U型管的两侧管的顶端增设两个小扩大室,其内径与U型管
的内径之比＞10，装入两种密度接近且互不相溶的指示液A
和C，且指示液C与被测流体B亦不互溶,ρA＞ρC。
根据流体静力学方程可以导出：
P1  P2   A   C gR
——微差压差计两点间压差计算公式
例：用3种压差计测量气体的微小压差
P  100Pa
试问：
1）用普通压差计，以苯为指示液，其读数R为多少？
2）用倾斜U型管压差计，θ=30°，指示液为苯，其读
数R’为多少？
3）若用微差压差计，其中加入苯和水两种指示液，扩大
室截面积远远大于U型管截面积，此时读数R〃为多少？
R〃为R的多少倍？
3
已知：苯的密度  c  879kg / m 水的密度  A  998kg / m3
计算时可忽略气体密度的影响。
解：1）普通管U型管压差计
100
P
R

C g
879  9.807
 0.0116m
2）倾斜U型管压差计
100
P

R 

C g sin 30
879  9.807  0.5
'
 0.0232m
3）微差压差计
100
P

R 
 0.0857m
 A  C g 998  879 9.807
"
故：
"
R 0.0857
 7.39

R 0.0116
二、液位的测量
液位计的原理——遵循静止液体内部压强变化的规律,
是静力学基本方程的一种应用。
液柱压差计测量液位的方法：
• 由压差计指示液的读数R可以
计算出容器内液面的高度。
• 当R ＝ 0时，容器内的液面高度
将达到允许的最大高度，容器内
液面愈低，压差计读数R越大。
远距离控制液位的方法：
压缩氮气自管口
经调节阀通入，调
节气体的流量使气
流速度极小，只要
在鼓泡观察室内看
出有气泡缓慢逸出
即可。
压差计读数R的大小，反映出贮罐内液面的高度 。
例：利用远距离测量控制装置测定一分相槽内油和水的两
相界面位置，已知两吹气管出口的间距为H＝1m，压差计中
指示液为水银。煤油、水、水银的密度分别为800kg/m3、
1000kg/m3、13600kg/m3。求当压差计指示R＝67mm时，界
面距离上吹气管出口端距离h。
解：忽略吹气管出口端到U
型管两侧的气体流动阻
力造成的压强差，则：
pa  p1 ,
pb  p2
Pa   油 g H1  h    水 g H  h  （表）
Pb   油 gH 1
(表）
 p1  p2   Hg gR
 油 gh  水 g H  h    Hg gR
 水 H   Hg R
h 
 水  油
1000 1.0  13600  0.067

1000  820
 0.493m
3、液封高度的计算
液封的作用：
•
若设备内要求气体的压力不超过某种限度时，液封的作用
就是：
当气体压力超过这个限度时，气体冲破液封流出，又称
为安全性液封。
• 若设备内为负压操作，其作用是：防止外界空气进入设备内
• 液封需有一定的液位，其高度的确定就是根据流体静力学
基本方程式。
例1
例2
例1：如图所示，某厂为了控制乙炔发生炉内的压强不超过
10.7×103Pa（表压），需在炉外装有安全液封，其作用是
当炉内压强超过规定，气体就从液封管口排出，试求此炉
的安全液封管应插入槽内水面下的深度h。
解：过液封管口作基准水平面
o-o’，在其上取1，2两点。
P1  炉内压强  Pa  10.7 103
P2  Pa  gh
 P1  P2
 Pa  10.7  103  Pa  gh
h  10.9m
例2：真空蒸发器操作中产生的水蒸气，往往送入本题附
图所示的混合冷凝器中与冷水直接接触而冷凝。为了维持
操作的真空度，冷凝器的上方与真空泵相通，不时将器内
的不凝气体（空气）抽走。同时为了防止外界空气由气压
管漏入，致使设备内真空度降低，因此，气压管必须插入
液封槽中，水即在管内上升一定高度h，这种措施称为液封
若真空表读数为 80×104Pa，试求气压管内水上升的高度h
解：设气压管内水面上方的绝对压强为P，作用于液封
槽内水面的压强为大气压强Pa，根据流体静力学基本方程
式知：
Pa  P  gh
Pa  P
h 
g
真空度

g
80 103

1000  9.81
 8.15m
1.3 流体流动概述
1.3.1流动体系的分类
一、定态与非定态流动
管系中任一 随时间变化──不稳定流动──参数随时
截面上的参
间变化
不随时间变化──稳定流动──参数不随时
数u,p,ρ等
间变化，但却可
能随位置变化
二、一维与多维流动
一、绕流与封闭管道内的流动
1.3.2流量与平均流速
一、 流量与流速
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。
3
流量 qVs , m /s── q =ρ q ──如为稳定流动，
ms
Vs
qms , kg/s
qVs, qms 在系统中恒定
二、平均流速
点速度 u──在截面上有分布
平均速度u──
质量速度
1
u   udA 或u  qvs / A
A A
G=qms/A=qVsρ/A=uρ，kg/m2·s
对于圆形管道，
d
4qVS
u
A

4
d
2
u
qV S

4
d2
——管道直径的计算式
生产实际中，管道直径应如何确定？
1.3.3流动类型与雷诺数
红墨水
1.流体流动状态
层流
湍流
分层流动，总体向前，同
互不混杂 时有杂乱径向
运动(脉动)
玻璃管
判据Re=duρ/μ
(雷诺数，因次为一)
层流
过渡区
Re<2000
──层流
2000<Re<4000
──过渡区
Re>4000
──湍流
湍流
2、雷诺数Re
Re 
du

雷诺数的因次 ：

 du  m m / s . kg / m3
Re     
  
N .s / m 2
 m kg s
0
0 0
Re是一个没有单位，没有因次的纯数 。
在计算Re时，一定要注意各个物理量的单位必须统一。
雷诺准数可以判断流型 。
例：20ºC的水在内径为50mm的管内流动，流速为2m/s，试分别用
SI制和物理制计算Re数的数值。
解：1）用SI制：查得20ºC时，ρ=998.2kg/m3，μ=1.005mPa.s，
管径d=0.05m，流速u=2m/s
Re 
du

0.05  2  998.2

 99320
3
1.005 10
2）用物理单位制计算：
  998.2kg / m3  0.9982 g / cm3
3
1
.
005

10
1000
2
3

1
.
005

10
g /( cm  s)

P
  1.005 10 Pa.s
100
u  2m / s  200cm/ s d  5cm
5  200  0.9982
Re 
1.005 102
 99320
三、当量直径的概念
• 在许多情况下，流体的输送经常采用非圆形
管道，Re数中的特征尺寸可用流道的当量直
径de代替圆管直径d，当量直径的定义为：
• de=4rH
rH—水力半径
• rH=A/Lp A—流道截面积
•
Lp—流道的湿润周边长度
1.4流体流动的基本方程
1.4.1 连续性方程
对一稳态、连续流动的
任两截面间,以衡算基准
1s，则有：
qm,1
qm,2
qm1=qm2
ρ1u1A1= ρ2u2A2
如为不可压缩流体，
ρ=const，则
u1A1= u2A2
圆管
u1d12= u2d22
⑴ 不可压缩流体稳态流动，u 只随 A变化。
⑵ 流体在均匀管段内流动，u 沿程恒定，不因摩擦而减速。
例：在一直径为1.0m的圆筒形高位储罐内初始装有
2m深的某液体物料。在无料液补充的情况下，打开
底部阀门放液。已知料液流出的质量流量qm2与罐内
料液深度z的关系为：qm2  0.274 z
试求罐内液位下降至1m需要的时间。
解：储罐横截面积：
qm1
 2 
A  d  1.0 2 m 2  0.785 m
4
4
2
水的深度z1=2m，z2=1m
质量流量qm1=0，
qm2  0.274 z
M
qm2
任一时刻罐内料液质量为：
M=Azρ=0.785×1000z=785z
由质量守恒：
qm , 2  qm ,1 
dM
0
d
将已知数据代入上式，得：
上式分离变量得


0
0.274 z  785
dz
0
d
1 dz
0.274
d   
2
785
z
解得：θ=2372s=0.66h
1.4.2. 总能量衡算方程（广义Bernoulli方程）
一、流动系统的总能量衡算方程
如图，取稳态、连续流
动系统一段管路，并假设：
① 两截面与流体正交；
② 两截面间无流
体流入、流出；
③ 忽略散热损失；
④ 两截面间可有Qe、We。
1）流体本身具有的能量
①内能：物质内部能量的总和称为内能。
单位质量流体的内能以U表示，单位J/kg。
②位能：流体因处于重力场内而具有的能量。
质量流量为m流体的位能  qm gZ ( J / s)
单位质量流体的位能  gZ ( J / kg)
③动能：流体以一定的流速流动而具有的能量。
1
质量为qm，流速为u的流体所具有的动能  qmu 2 ( J / s )
2
1 2
单位质量流体所具有的动能 
2
u ( J / kg)
④静压能（流动功）：通过某截面的流
体具有的用于克服压力功的能量
流体在截面处所具有的压力
F  pA
流体通过截面所走的距离为
l V / A
V
流体通过截面的静压能  Fl  pA
A
单位质量流体所具有的静压能  p
V
qm
 pv( J / kg)
单位质量流体本身所具有的总能量为 ：
1 2
U  gz  u  pv( J / kg)
2
 pV (J )
2）系统与外界交换的能量
①热：
单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为：Qe(J/kg)；
质量为m的流体所吸的热=mQe[J]。
当流体吸热时qe为正，流体放热时Qe为负。
②功：
单位质量通过划定体积的过程中接受的功为：We(J/kg)
质量为qm的流体所接受的功= qmWe(J)
流体接受外功时，We为正，向外界做功时, We为负。
流体本身所具有能量和热、功就是流动系统的总能量。
3）总能量衡算
衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。
衡算基准：1kg流体。
设1-1’截面的流体流速为u1 ，压强为P1 ，截面积为A1 ，比
容为ν1；
截面2-2’的流体流速为u2 ，压强为P2 ，截面积为A2 ，比容
为v2。
取o-o’为基准水平面，截面1-1’和截面2-2’中心与基准水平
面的距离为Z1，Z2。
对于定态流动系统：∑输入能量=∑输出能量
Σ输入能量
u 21
 U1  gZ1 
 p1v1  Qe  We
2
Σ输出能量
u2
 U 2  gZ 2 
 p2v2
2
2
2
2
u1
u2
U1  gZ1 
 p1v1  Qe  We  U 2  gZ 2 
 p 2 v2
2
2
令U  U 2  U1
u2 u1
gZ  gZ 2  gZ1 u


2
2
2
2
2
2
 pv   p2v2  p1v1
u 2
 U  gZ 
  p   Qe  We
2
——稳定流动过程的总能量衡算式
 H  U  pv
 H  gZ 
  u 2
2
 Qe  We
——稳定流动过程的总能量衡算式
——流动系统的热力学第一定律
——注意α的不用取值，多取一。
2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程
1）流动系统的机械能衡算式
U  Q 'e   vv12 pdv
流体与环境所交换的热
'
e
Q
阻力损失
 hf
即：Qe  Qe   h f
'
U  Qe   h f   vv12 pdv
u2
代入U  gZ     pv   Qe  We中，得：
2
u
gZ 
 Pv    vv12 pdv  We   h f
2
2
  p  
 p   
2
1d
v2
v1
pdv  
p2
p1 vdp
代入上式得：
u
gZ 

2
2
p2
p1 vdp  We
  hf
——流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2）柏努利方程（Bernalli）
当流体不可压缩时，

p2
p1 vdp 
v p2  p1  
p

u 2 p
gZ 

 We   h f
2

p p2 p1
u u2
将Z  Z 2  Z1,
 

 ,
代入：
  
2
2
2
2
2
2
2
u1
2
u1
p1
u2
p2
gZ1 
  We  gZ 2 

  hf
2

2

对于理想流体，当没有外功加入时We=0
u12 p1
u 2 2 p2
gZ1 
  gZ 2 

2

2

——柏努利方程
3、柏努利方程式的讨论
1）柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动，没有
外功加入时，任意截面上单位质量流体的总机械能即动能、
位能、静压能之和为一常数，用E表示。
即：1kg理想流体在各截面上的总机械能相等，但各种
形式的机械能却不一定相等，可以相互转换。
2）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。
流体在管道流动时的压力变化规律
3）式中各项的物理意义
u 2  p
gz、 、 处于某个截面上的流体本身所具有的能量
2 
We和Σhf： 流体流动过程中所获得或消耗的能量
We：输送设备对单位质量流体所做的有效功，
Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功，即功率
N e  We  qms  We  qVs  
4）当体系无外功，且处于静止状态时 gz1 
p1

流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
 gz 2 
p2

5）柏努利方程的不同形式
a) 若以单位重量的流体为衡算基准
p1 We
u2
p2  h f
Z1 


 Z2 


2 g g g
2 g g
g
2
u1
2
We
Hf

令H e 
，H f 
g
g
u12 p1
u 2 2 p2
Z1 

 He  Z2 

 H f [m]
2 g g
2 g g
u2
Z、 、 p 、 H f
2 g g
位压头，动压头，静压头、 压头损失
He：输送设备对流体所提供的有效压头
b) 若以单位体积流体为衡算基准
gZ1 
u12
2
 p1  We   gZ 2 
u22
2
 p2    h f [pa]
静压强项P可以用绝对压强值代入，也可以用表压强值代
入
6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对
压强变化小于原来压强的20%，即：p1  p2 ＜20%时
p1
仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体
的平均密度ρm代替 。
五、柏努利方程式的应用
• 1、应用柏努利方程的注意事项
• 1）作图并确定衡算范围
• 根据题意画出流动系统的示意图，并指
明流体的流动方向，定出上下截面，以明
确流动系统的衡标范围。
• 2）截面的截取
•
两截面都应与流动方向垂直，并且两截
面的流体必须是连续的，所求得未知量应
在两截面或两截面之间，截面的有关物理
量Z、u、p等除了所求的物理量之外 ，都
必须是已知的或者可以通过其它关系式计
3）基准水平面的选取
所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平
行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个
截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水
平面通过管道中心线，ΔZ=0。
4）单位必须一致
在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致
的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，
还要求表示方法一致。
2、柏努利方程的应用
1）确定流体的流量
例：20℃的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路
中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水
银U管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插
入水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U
管压差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为
多少m3/h?
当地大气压强为101.33×103Pa。
分析：
求流量Vh
已知d
Vh  3600u 
判断能否应用？

4
求u
d
2
气体
直管
任取一截面
柏努利方程
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’
截面1-1’处压强 ：
P1   Hg gR  13600  9.81 0.025 3335Pa(表压）
截面2-2’处压强为 ：
P2   gh  1000  9.81 0.5  4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1  P2
(101330  3335)  (10330  4905)

P1
(101330  3335)
 0.079  7.9%  20%
在截面1-1’ 和2-2’ 之间列柏努利方程式。以管道中心线
作基准水平面。
由于两截面无外功加入，We=0。
能量损失可忽略不计Σhf=0。
柏努利方程式可写为：
2
1
2
2
u
P1
u
P2
gZ1    gZ 2  
2 
2 
式中： Z1=Z2=0
P1=3335Pa（表压） ，P2= - 4905Pa（表压 ）
M T0 Pm
  m 
22.4 TP0
29 273[101330  1 / 2(3335  4905)]


22.4
293 101330
 1.20kg / m
3
2
2
u1 3335 u 2
4905




2 1.20
2
1.2
化简得：
u2  u1  13733
2
2
由连续性方程有：
(a)
u1 A1  u 2 A2
2
 0.08 
 d1 

u2  u1    u1 
 0.02 
 d2 
2
u2  16u1
(b)
联立(a)、(b)两式
6u 
2
1
 u1  13733
2
u1  7.34m / s
Vh  3600 
 3600 


4
4
d12u1
 0.082  7.34
 132.8m3 / h
2）确定容器间的相对位置
例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽
送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为
9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接
管直径为φ38×2.5mm，料液在连接
管内流动时的能量损失为30J/kg(不包
括出口的能量损失)，试求高位槽内
液面应该比塔内的进料口高出多少？
分析：
高位槽、管道出口两截面
u、p已知
求△Z
柏努利方程
解：
取高位槽液面为截面1-1’，连接管出口内侧为截面2-2’,
并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利
方程式：
2
u1
p1
2
u2
p2
gZ1 
  We  gZ 2 

  hf
2

2

式中： Z2=0 ；Z1=?
P1=0(表压) ； P2=9.81×103Pa(表压）
VS
VS
5
u2 


 1.62m / s


2
A
d 2 3600   0.033
4
4
由连续性方程 u1 A1  u 2 A2 ∵A1>>A2,
∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。
We=0 ，
h
f
 30 J / kg
将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：
1.622 9.81103
z1  (

 30) / 9.81
2
850
 4.37m
3）确定输送设备的有效功率
例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来
后 流 入 下 水 道 ， 已 知 道 管 道 内 径 均 为 0.1m ， 流 量 为
84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至
喷头进入管子的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较
塔内压强高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽
略不计，泵的效率为65%，求泵所需的功率。
Ne=WeWs/η
分析：求Ne
求We
截面的选取？
柏努利方程
P2=?
整体流动非连续
塔内压强
解：取塔内水面为截面3-3’，下水道截面为截面4-4’，取
地平面为基准水平面，在3-3’和4-4’间列柏努利方程：
2
2
u3
p3
u4
p4
gz3 

 gz4 

2

2

式中：
u3  u4  0
Z3  1m，Z 4  0.2m，
P4  0(表压），P3  ?
  1000kg / m 3
将已知数据代入柏努利方程式得：
g
p3

 1.96
P3  11770Pa(表压）
计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’截
面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。
2
u1
2
p1
u2
p2
gz1 
  We  gz2 

  hf
2 ρ
2
ρ
式中 ：
Z1  1m，Z 2  6m
u1  0， u2  VS 
A
P1  0(表压），
84.82
3600 

4
 0.12
 3m / s
p2  0.02 106   11770  8230 Pa（表压）
 h f  10 J / kg， We  ?
将已知数据代入柏努利方程式
32 8230
g  We  6 g  
 10
2 1000
We  91.4 J / kg
N e  WeWs  we .VSρ
84.82
 91.4 
1000  2153W
3600
泵的功率：
2153

N
0.65

Ne
 3313W  3.3kW
4) 管道内流体的内压强及压强计的指示
例1：如图，一管路由两部分组成，一部分管内径为
40mm，另一部分管内径为80mm，流体为水。在管路
中的流量为13.57m3/h，两部分管上均有一测压点，测
压管之间连一个倒U型管
压差计，其间充以一定量
的空气。若两测压点所在
截面间的摩擦损失为
260mm水柱。求倒U型管
压差计中水柱的高度R为
多少为mm?
1、2两点间的压强差 u已知 柏努利方程式
分析：求R
解：取两测压点处分别为截面1-1’和截面2-2’，管道中心
线为基准水平面。在截面1-1’和截面2-2’间列单位重量流
体的柏努利方程。
2
2
u1
p1
u2
p2
z1 

 z2 

Hf
2 g g
2 g g
式中： z1=0， z2=0
13.57
VS
 3m / s
u1  
A1 3600    0.042
4
2
 d1 
u2    .u1  0.25u1  0.75m / s
 d2 
H f  260mm  0.26m(水柱)
代入柏努利方程式：
p2  p1

g
2
u1
 u2
Hf
2g
2
32  0.752

 0.26
2  9.8
 0.17m水柱
因倒U型管中为空气，若不
计空气质量，P3=P4=P
P1  P  水 gh
P2  P  水 g (h  R)
 P2  P1  gR
P2  P1
R
g
P2  P1
 0.17m水柱 170mm水柱
R 
g
例2：水在本题附图所示的虹
吸管内作定态流动，管路直径没有
变化，水流经管路的能量损失可以
忽略不计，计算管内截面2-2’ ,3-3’ ,
4-4’和5-5’处的压强，大气压强为
760mmHg，图中所标注的尺寸均以mm计。
分析： 求P 柏努利方程
求u
某截面的总机械能
理
想
流
体
求各截面P
解：在水槽水面1－1’及管出口内侧截面6－6’间列柏努
利方程式，并以6－6’截面为基准水平面
u6 2 p6
u12 p1
gZ1 
  gZ 6 

2

2

式中： Z1  1000mm  1m，Z 6
 0m
P1=P6=0（表压）
u1≈0
代入柏努利方程式
2
u6
9.81 1 
2
u6=4.43m/s
u2=u3=……=u6=4.43m/s
u2 p
E  gz    常数
2 
u22 u32 u42 u52 u62




2
2
2
2
2
取截面2-2’基准水平面 , z1=3m ，P1=760mmHg=101330Pa
u1  0
101330
E  9.81 3 
 130.8 J / kg
1000
对于各截面压强的计算，仍以2-2’为基准水平面，Z2=0，
Z3=3m ，Z4=3.5m，Z5=3m
（1）截面2-2’压强
u 2 2 p2
E  gZ 2 

2

u2 2
 E - gZ 2 
2
p2
u22
P2  ( E  gZ 2  )   (130.8  9.81) 1000
2
 120990Pa
（2）截面3-3’压强
u32
p3  ( E  gZ 3  ) 
2
 (130.8  9.81 3  9.81) 1000
 91560Pa
（3）截面4-4’ 压强
u42
p4  ( E   gZ 4 )   130.8 - 9.81 - 9.81 3.51000
2
 86660Pa
（4）截面5-5’ 压强
2
u5
p5  ( E - gZ 5 )   130.8 - 9.81 3 - 9.871000
2
 91560Pa
从计算结果可见：P2>P3>P4 ，而P4<P5<P6，这是由于流
体在管内流动时，位能和静压能相互转换的结果。
5）流向的判断
在φ45×3mm的管路上装一文丘里管，文丘里管
上游接一压强表，其读数为137.5kPa，管内水的流速
u1=1.3m/s，文丘里管的喉径为10mm，文丘里管喉部
一内径为15mm的玻璃管，玻璃管下端插入水池中，池
内水面到管中心线的垂直距离为3m，若将水视为理想
流体，试判断池中水能否被吸入管中？若能吸入，再求
每小时吸入的水量为多少m3/h？
分析：
判断流向
比较总势能
柏努利方程
？
求P
解：在管路上选1-1’和2-2’截
面，并取3-3’截面为基准水平面
设支管中水为静止状态。在1-1’截面和2-2’截面间列柏努利
方程：
u12 P1
u2 2 P2
gZ1 
  gZ 2 

2 
2

式中：
Z1  Z 2  3m
d1 2
39 2
u1  1.3m / s u2  u1 ( )  1.3  ( )  19.77m / s
d2
10
P1  137.5 105 Pa(表压）
P2
P1
2
2
u1 u 2
 

  2
2
137.5 103 1.32 19.77 2



1000
2
2
 57.08 J / kg
∴2-2’截面的总势能为
P2

 gZ 2  57.08  9.81 3  27.65J / kg
3-3’截面的总势能为
P0

 gZ 0  0
∴3-3’截面的总势能大于2-2’截面的总势能，水能被吸入
管路中。
求每小时从池中吸入的水量
柏努利方程
求管中流速u
在池面与玻璃管出口内侧间列柏努利方程式：
2
2
P3
u1
P2 u2
gZ 3 
  gZ 2  
2


2
式中：
Z 3  0m， Z 2  3m
u0  0
P0  0(表压）
P2

 57.08J / kg
代入柏努利方程中 ： 57.08  9.81 3  u2
u2  7.436m / s
Vh  3600  7.436 

4
 0.0152
2
2
 4.728m / h
3
6）不稳定流动系统的计算
例：附图所示的开口贮槽内液面与排液管出口间的垂直距
离hi为9m,贮槽内径D为3m，排液管的内径d0为0.04m，液体
流过该系统时的能量损失可按
2
h

40u
公式计算，式中
 f
u为流体在管内的流速，试求经4小时
后贮槽内液面下降的高度。
分析：
瞬间柏努利方程
不稳定流动系统
微分物料衡算
解：
在dθ时间内对系统作物料衡算，设F’为瞬间进料率，
D’为瞬时出料率，dA’为在dθ时间内的积累量，
F’dθ－D’dθ＝dA’
∵dθ时间内，槽内液面下降dh，液体在管内瞬间流速为
u，
F   0 D 

4
d 02u
dA 
上式变为：


4
d0 u 
2

4
D 2 dh

4
D 2 dh
2
 D  dh
d   
 d0  u
(1)
在瞬时液面1-1’与管子出口内侧截面2-2’间列柏努利方程
式，并以截面2-2’为基准水平面，得：
u12 P1
u2 2 P2
gZ1 
  gZ 2 
   hf
2 
2

式中：
Z1  hm，Z 2  0m
u1  0
P1  P2
u2  u
2
hf

40u

9.81h  40.5u 2
u  0.492 h
(2)
将（2）式代入（1）式得：
2
2
D
dh
3
dh




d   
 

 0.04  0.492 h
 d 0  0.492 h
dh
 11433
h
两边积分： 1
 0，h1  9m； 2  4  3600s，h2  hm
43600
d
0

114339h
dh
h


9
4  3600  11433  2 h2  h1
 11433  2 

h
h
9
h=5.62m
∴经四小时后贮槽内液面下降高度为：
9－5.62=3.38m
1.5动量传递现象
•
•
•
•
1.5.1 层流-分子动量传递（自学）
1.5.2湍流特性与湍流传递（自学）
一、湍流的特点与表征
二、雷诺应力与涡流传递
提炼补充：滞流与湍流的比较
1、流体内部质点的运动方式
层流流动时，流体质点沿管轴做有规则的平行运动。
湍流流动时，流体质点在沿流动方向 运动的同时，还做随
机的脉动。
管道截面上任一点的时均速度为：
ui 
1

2
 ui d
1
湍流流动是一个时均流动上叠加了一个随机的脉动量 。
例如，湍流流动中空间某一点的瞬时速度可表示为：
ux  ux  ux
u y  u y  uy
湍流的特征是出现速度的脉动。
uz  uz  uz
2、流体在圆管内的速度分布
速度分布：流体在管内流动时截面上各点速度随该点与
管中心的距离的变化关系。
1）圆管内滞流流动的速度分布
作用于流体单元左端的总压力为：
P1  r 2 p1
作用于流体单元右端的总压力为：
P2  r p2
2
作用于流体单元四周的剪应力为： F   2rl 
du
du
 
 
dy
dr
du
F   2rl 
dr
du
r p1  r p2   2rl
0
dr
2
2
du
p

rdr
dr
2l
p
du  
 r  dr
2 l
p r 2
u
c
2l 2
p 2
R
当r  R，
u  0时 c 
4l
p 2 2

u 
R r 
4l
r  0时，u  umax
p 2
R
代入上式得： umax 
4l
 r2 
u  umax 1  2 
 R 
——滞流流动时圆管内速度分布式
2）圆管内湍流流动的速度分布
 r
u  umax 1  
 R
1
n
——湍流流动时圆管内速度分布式
4×10-4<Re<1.1×105时，n=6；
1×10-5<Re<3.2×106时，n=7；
Re>3.2×106时，n=10 。
3、滞流和湍流的平均速度
通过管截面的平均速度就是体积流量与管截面积之比
1）层流时的平均速度
流体的体积流量为：
dVs  2urdr (a)
滞 流 时，管 截 面 上
速度分布为：
 r2 
u  umax 1  2 dr
 R 
 r2 
dVs  umax  2r  1  2 dr
 R 
积分此式可得
2 

r
R
Vs  2umax rr0
r  1  2   dr
 R 
R
2
4
r
r 
 2umax   2   R 2u
max / 2
2
4
R

0
Vs R 2umax / 2 umax
um 


2
A
R
2
层流时平均速度等于管中心处最大速度的一半 。
2）湍流时的平均速度
1
n
 r
u  umax 1   代入 dVs  u  2r  dr得：
 R
1
n
 r
dVs  2umax  r  1    dr
 R
2
2
n
2
积分上式得： V 
R  umax
s
n  12n  1
Vs
2n 2
 um  2 
 umax
R
n  12n  1
n  7时，
层流
1
7
 r
u  umax 1  
 R
um  0.82umax
——1/7方律
湍流
通常遇到的情况下，湍流时的平均速度大约等于管中心处
最大速度的0.82倍。
4、滞流和湍流中的剪应力
滞流流动的剪应力 ：
F

A
ma m du d mu 

 

A dt
A
Adt
剪应力：单位时间通过单位面积的动量，即动量通量。
湍流流动的剪应力：
 t     e 
du
    
dy
ε：称为涡流粘度 ，反映湍流流动的脉动特征 ，随流动
状况及离壁的距离而变化。
圆管内滞流与湍流的比较
滞流
湍流
本质区别
分层流动
质点的脉动
速度分布
 r 
u  umax 1  2 
 R 
 r
u  umax 1   (n  7)
 R
平均速度
1
um  umax
2
u m  0.82u max (n  7)
2
剪应力
   du dy
1
n
       du dy
1.5.3边界层与边界层分离现象
• 一、边界层的形成与发展
边界层： 流速降为未受影响流速的99%以内的区域 （界
线u<0.99u0）。
层流区
u0
u0
过
渡
区
湍流区
u0
湍流核心
x
边界层界线
层流底(内)层
2、边界层的发展
1）流体在平板上的流动
对于滞流边界层：
对于湍流边界层：
Rex 
u s x

x
 4.64
Rex0.5

0.376
 0.2
x
Rex

当Rex  2105时，边界层内的流动为滞流 ；
当Rex  3106时， 边界层内的流动为湍流；
在平板前缘处，x=0，则δ=0。随着流动路程的增长，边界
层逐渐增厚；随着流体的粘度减小，边界层逐渐减薄。
2）流体在圆形直管进口段内的流动
流体在圆管内流动时，边界层汇合处与管入口的距离称
作进口段长度，或稳定段长度。
一般滞流时通常取稳定段长度x0=(50-100)d，湍流时稳
定段长度约于(40-50)d。
3. 边界层分离现象
A点（驻点） ─→B点
（流道减小，流体处于
B
加速减压） ──过B点
流道渐大，流体处于减
C
A
X
速加压（有逆压梯度），在剪力及逆压梯度双重作用下，壁面
处流速迅速下降（动能消耗于转化为压力能及克服摩擦力）
─→C点，近壁面处流速降为零，称作分离点 ──之后，出现
倒流，产生旋涡，造成机械能损失 ─→边界层分离。
由此可见：
•流道扩大时必造成逆压强梯度
• 逆压强梯度容易造成边界层的分离
•边界层分离造成大量漩涡，大大增加机械能消耗
流体沿着壁面流过时的阻力称为摩擦阻力。
由于固体表面形状而造成边界层分离所引起的能量损耗称为
形体阻力。
粘性流体绕过固体表面的阻力为摩擦阻力与形体阻力之和这
两者之和又称为局部阻力。
1.5.4动量传递小结
•
由于流体具有黏性，故运动流体内存在剪切应力：
•
从分子运动论的观点，该剪切应力是流体分子在流体
层之间做随机运动从而进行动量交换所产生的内摩擦的宏
观表现，且消耗流体的机械能。在湍流情况下，除了分子
随机运动要消耗能量外，流体质点的高频脉动与宏观混合
更要产生比前者大的湍流应力，消耗更多的流体机械能。
这两者就是摩擦阻力产生的主要根源。
•
另一方面，当产生边界层分离时，由于逆压作用的结
果，流体将发生倒流形成尾涡，流体质点因强烈碰撞与混
合而消耗能量。
•
把由于局部产生倒流和尾涡以及压力分布不均所造成
的能量损失称为形体阻力或局部阻力。
1.6 流体在管中流动的阻力
1.6.1管路阻力计算的通式
一、压力降——管路阻力的表现
流体具有粘性，流动时存在内部摩擦力.——流动阻力产生的根源
固定的管壁或其他形状的固体壁面 ——流动阻力产生的条件
直管阻力 ：流体流经一定管径的直管时由
=hf
于流体的内摩擦而产生的阻力
管路中的阻力
局部阻力：流体流经管路中的管件、阀门及
=hf′
 h f  h f  hf
管截面的突然扩大及缩小等局部
地方所引起的阻力。
 h f : 单位质量流体流动时所损失的机械能，J/kg。
 hf
：单位重量流体流动时所损失的机械能 ，m。
g
  h f : 单位体积的流体流动时所损失的机械能 ，Pa 。
以 (Pf ) 表示，
(Pf )
是流动阻力引起的压强降。
注意：P 与柏努利方程式中两截面间的压强差P 的区别
f
u2
P
gZ      We   h f
2

u2
P  P2  P1  We  gZ      h f
2
注意：
1. Pf 并不是两截面间的压强差P，Pf 只是一个符号 ；
△表示的不是增量，而△P中的△表示增量；
2、一般情况下，△P与△Pf在数值上不相等；
3、只有当流体在一段既无外功加入、直径又相同的水平管
内 流动时， △P与压强降△Pf在绝对数值上才相等。
二、直管摩擦阻力与范宁公式
以下以水平圆形直管为例推导压力降▲psf与 管壁处
剪应力的关系：
u12 p1
u 2 2 p2
gZ1 
  gZ 2 

 hf
2

2

Z1  Z 2  0
u1  u2  P1  P2  h f

2

p
d
1
垂直作用于截面1-1’上的压力 ：P1  p1 A1
4
垂直作用于截面2-2’上的压力 ：P
2
 p2 A2  p2
平行作用于流体表面上的摩擦力为 ：F
 p1  p2 
d  dl
2
4
4l
p1  p2  
d
4
d2
 S  dl
P1  P2  F  0
 2
 2
p1 d  p2 d  dl  0
4
4


与
4l

比较，得： h f 
d
P1  P2  h f
4l
hf 

d
——圆形直管内能量损失与摩擦应力关系式
2、公式的变换
4l
hf 

d
8
令  2
u

4 2 l u2
hf   2   
 u d 2
l u2
hf    
d 2
l u 2
Pf  h f   
d 2
—— 圆形直管阻力所引起能量损失的通式
称为范宁公式。（ 对于滞流或湍流都适用）
λ为无因次的系数，称为摩擦因数 。
  f (Re,  / d )
1.6.2 管内层流的摩擦阻力
P 2
d
umax  2u
umax 
R R 
4l
2
2
d
 Ps f
P d 2
u
 2u 
( )
32 l
4l 2
Pf  32lu / d
2
——哈根-泊谡叶公式
l u 2
与范宁公式 Pf    
对比，得：
d 2
64
64


 64 / Re
du

du

——滞流流动时λ与Re的关系
思考：滞流流动时，当体积流量为Vs的流体通过直径不同
的管路时；△Psf与管径d的关系如何？
32 l
Psf 
Vs

4
d2
d2
128lVS

d 4
可见：
1
Ps f  4
d
例1-16（p45）
1.6.3管内湍流的摩擦阻力与量纲分析法
l u 2
Ps f    
du
d
2
8

求 △Pf
  (   )
 2
dy
u
实验研究建立经验关系式的方法

基本步骤：
1) 通过初步的实验结果和较系统的分析，找出影响过程的
主要因素，也就是找出影响过程的各种变量。
2) 利用因次分析，将过程的影响因素组合成几个无因次数
群，以期减少实验工作中需要变化的变量数目。
3) 建立过程的无因次数群，一般常采用幂函数形式，通过
大量实验，回归求取关联式中的待定系数。
一、量纲分析法
特点：通过因次分析法得到数目较少的无因次变量，按无因
次变量组织实验，从而大大减少了实验次数，使实验简
便易行。
依据：因次一致性原则和白金汉(Buckinghan)所提出的π定理
。
因次一致原则 ：
凡是根据基本的物理规律导出的物理量方程
式中各项的因次必然相同，也就是说，物理
量方程式左边的因次应与右边的因次相同。
π定理：
f (1,  2 ,... i )  0，
i=n-m
湍流摩擦系数的无因次数群：
湍流时影响阻力损失的主要因素有：
管径 d
管长 L
流体密度 ρ 粘度μ
平均速度 u
psf   (d , L, u,  ,  ,  )
用幂函数表示为：
以基本因次质量（M）、长度(L)、 时间(t) 表示各物理量：
 p  ML12 d   l   L
3
   ML 
   ML
1
代入（1）式，得：
1
ML 
2
b
ML   M 
1

1
 L L L
a
2
d e
L
u   L
1
 ML  ML
1 c
a  b  c 3 d  e
3 d

 c e
1


1 e
d  e 1
a  b  c  3d  e  1
 c  e  2
以b，e表示a，c，d，则有：
a  b  e
c  2e
d 1  e
代入（1）式，得：
ps f  d
 b e b 2 e
Lu
 
1e
e
整理，得：
p
b  du 
L
sf
 

    
d    
u 2
e
因此：
式中：L / d：管子的长径比；
du

PS f
u
2
： 雷诺数Re；
：欧拉准数，以Eu表示 。
数群（3）=变量（6）-基本因次（3）
二、管内湍流的摩擦阻力
1.管壁粗糙度对摩擦系数的影响
光滑管
玻璃管、黄铜管、塑料管
粗糙管
钢管、铸铁管
化工管路
绝对粗糙度
管壁粗糙度
壁面凸出部分的平均高度，
以ε表示 。
相对粗糙度 绝对粗糙度与管道直径的比值
即ε /d 。
在应用量纲分析法分析湍流流动，还需要将管壁面粗糙度
这一影响因素考虑进去，则对应的量纲分析结果为：取l/d
的指数b=1 。
Pf
L
  
2
u
d 
b
 du 


  
l u 2
p f  
d 2
e
 d
e
f
2. 管内湍流的摩擦系数
  2K ( Re )
-e
实验确定K，e。
光滑管在5×103<Re<1×105内
0.3164
  0.25
Re
称Blasius公式。
上两式在双对数坐
标纸上标绘，如图
层流
/d
lg
光滑管
所示，……。
lgRe
3.摩擦系数图
（1）层流区：Re≤2000，λ与Re成直线关系，λ=64/Re。
（2）过渡区：2000＜Re＜4000，管内流动随外界条件的影
响而出现不同的流型，摩擦系数也因之出现波动。
（3）湍流区：Re≥4000且在图中虚线以下处时，λ值随Re数
的增大而减小。
（4）完全湍流区： 图中虚线以上的区域，摩擦系数基本上
不随Re的变化而变化，λ值近似为常数。
根据范宁公式，若l/d一定，则阻力损失与流速的平方成
正比，称作阻力平方区 。
1.6.4 非圆形管内的摩擦阻力
对于圆形管道，流体流径的管道截面为:
流体润湿的周边长度为: πd
de=4×流道截面积/润湿周边长度
对于长宽分别为a与b的矩形管道：
2ab
4ab
de 

2(a  b)
ab
对于一外径为d1的内管和一内径为d2的外管构成的环形通道
de 
4 (

d 22


d12 )
4
4
 (d1  d 2 )
 d 2  d1
1.6.5管路上的 局部阻力
管路阻力损失
直管损失
局部损失 ──各种原因使边界层脱体，产生
大量旋涡，形成局部阻力损失
一. 阻力系数法
2
u
h 
2g
'
f
或Pf'   
u 2
2
其中： ──局部损失系数，实验测定，因次为一
u──管内流速，m/s
1.突然扩大与突然缩小
u2
u：取小管的流速
hf   
2
ξ可根据小管与大管的截面积之比查图。
2. 管出口和管入口
•
管出口相当于突然扩大 A1
A2
 0 管出口
•, 流体自容器进入管内，相当于突然缩小 A2/A1≈0，
管进口阻力系数，ξc=0.5。
3.管件与阀门
不同管件与阀门的局部阻力系数可从手册中查取。
二、 当量长度法
把局部阻力折算成一定长度（le ，m，称当量长度）直
管阻力──用直管阻力公式计算。
2
L
u
hf'   e
d 2g
 当量长度 Le 可以从手册中查出，通常以 Le /d形式给出。
1.6.6管路阻力计算小结
管路系统中总能量损失=直管阻力+局部祖力
管系总阻力：
'
h

h

h
f f f
对直径相同的管段：
法
l
u2
 hf  ( d    ) 2 g
le法
l   le u 2
 hf   d 2 g
例：用泵把25℃的甲苯液体从地面储罐送到高位槽，流
量为5×10-3m3/s。高位槽液面比储罐液面高10m。泵吸入管
路用φ89×4mm的无缝钢管，直管长为5m，管路上装有一个
底阀（可粗略的按旋启式止回阀全开时计）、一个标准弯头
；泵排出管用φ57×3.5mm的无缝钢管，直管长度为30m，
管路上装有一个全开的闸阀、一个全开的截止阀和三个标准
弯头。储罐及高位槽液面上方均为大气压。设储罐液面维持
恒定。试求泵的轴功率。设泵的效率为70%。
分析：
求泵的轴功率 柏努利方程 △Z、△u、△P已知
求∑hf
管
径
不
同
求Re、e/d
查图
摩擦因数图
范宁公式
求λ L、d已知
当量长度
阻力系数
h f 

hf 
吸入管路
排出管路
解：取储罐液面为上游截面1-1，高位槽液面为下游截面2-2，
并以截面1-1为基准水平面。在两截面间列柏努利方程式。
u12 p1
u22 p2
gZ1    We  gZ 2  
  hf
2 
2

式中：
Z1  0
Z2  10m
p1  p2  0(表）
u1  u2  0
We  9.8110   h f  98.1   h f
（1）吸入管路上的能量损失
 h ,1
f
 h ,  h , h ,
f 1
式中
f 1
f 1
 (1
L1   le ,1
d1
u12
 i )
2
d1  89  2  4  81mm  0.081m
la  15m
管件、阀门的当量长度为：
底阀(按旋转式止回阀全开时计）
6.3m
标准弯头
2.7m
  le ,1  6.3  2.7  9m
进口阻力系数
ξi=0.5
u1 

5 10 3
4
 0.081
2
 0.97m / s
20℃甲苯的密度为867kg/m3，粘度为6.75×10-4Pa·s
Re1 
d1u1 

0.081 0.97  867
5

1
.
01

10

6.75 10  4
取管壁的绝对粗糙度e=0.3mm，e/d=0.3/81=0.0037，
查得λ=0.027
59
  h f ,1  (0.027 
 0.5)  2.43J / kg
0.081
（2）排出管路上的能量损失 ∑hf,2
h
式中:
f ,2
 (2
L2   Le , 2
db
2
2
u
 o )
2
d 2  57  2  3.5  50mm  0.05m
L2  30m
管件、阀门的当量长度分别为：
全开的闸阀
0.33m
全开的截止阀
17m
三个标准弯头
1.6×3=4.8 m
  le , b  0.33  17  4.8  22.13m
ξo=1
出口阻力系数
u2 

4
0.005
 0.052  2.55m / s
0.05  2.55  867
5
Re 2 
4

1
.
64

10
6.75 10
仍取管壁的绝对粗糙度e=0.3mm，e/d=0.3/50=0.006，
查得λ=0.032
30  22.13
2.552  111.7 J / kg
 h f ,2  (0.032  0.05  1) 2
（3）管路系统的总能量损失:
We  98.1  114.1  212.2 J / kg
甲苯的质量流量为：
qms  qVs   0.005  867  4.34kg / s
泵的有效功率为：
Pe  We qms  212.2  4.34  920.9W  0.92kW
泵的轴功率为：
P  Pe /   0.92 / 0.7
1.7 流体输送管路的计算
管路的两类计算问题
1.设计型计算──
对于给定的流体输送任务（如一定
的流体的体积，流量），选用合理
且经济的管路。 关键：流速的选择
给 定：qVs，Z1，Z2，p1，p2，L， Le，e
计 算：d， he (或N) ， (hf，u ， 未知)
2.操作型计算── 管路系统已固定，要求核算在某给定
条件下的输送能力或某项技术指标
给定：d， L， Le，e ， he ， Z1，Z2，p1，p2
计算：Vs ， (u ，  ， hf未知)
三种计算：
1）已知流量和管器尺寸，管件，
计算管路系统的阻力损失
直接计算
2） 给定流量、管长、所需管件
和允许压降，计算管路直径
3）已知管道尺寸，管件和允许压
强降，求管道中流体的流速或流
量
d、u未知 试 差 法
或迭代
Re 无 法 求 法
λ无法确
定
1.7.1.简单管路
简单管路:由不同管径的管及管件串联而成的管路。
主要特点：① 对不可压缩流体。有：
q V1=qV2=……=常数
② hf= hf1 + hf2 +…...
1、串联管路的主要特点
a) 通过各管段的质量不变，对于不可压缩性流体
qVS 1  qVS 2  qVS 3      qVS  常数
b）整个管路的阻力损失等于各管段直管阻力损失之和
 hf  hf 1  hf 2   
例：一管路总长为70m，要求输水量30m3/h，输送过程的允
许压头损失为4.5m水柱，求管径。已知水的密度为1000kg/m3
，粘度为1.0×10-3Pa·s，钢管的绝对粗糙度为0.2mm。
分析：
d 
4Vs
u
求d
Hf
求u
u
u、d、λ未知
qVs
( / 4)d
l u2

d 2g
2
试差法
设初值λ
求出d、u
Re  du / 
修正λ
计  f (Re,  / d )
否
比较λ计与初值λ是否接近
是
Vs 

4
d 2u
解：
根据已知条件L=70m，Hf=4.5mH2o,qvs=30m3/h
u
Vs

4
d2
30 4
0.0106

2 
3600 d
d2
u、d、λ均未知，用试差法，λ值的变化范围较小，以λ为
试差变量
假设λ=0.025
0.0106 2
(
)
2
70
l u2
得4.5  0.025   d
由H f  
d
2g
d 2g
解得：d=0.074m，u=1.933m/s
Re 
du
0.074 1.933 1000

 143035

3

1.0 10
0.2 10 3

 0.0027
d
0.074

查图得：
与初设值不同，用此λ值重新计算
0.0106 2
(
)
2
70
4.5  0.027   d
d
2g
解得：
查图得：
与初设值相同。计算结果为：
按管道产品的规格，可以选用3英寸管，尺寸为
φ88.5×4mm内径为80.5mm。此管可满足要求，且压头
损失不会超过4.5mH2O。
1.7.2 复杂管路的计算
复杂管路：存在分流与合流的管路。
工程处理方法：① 分支与汇合点看作局部阻力（）；
② 如果该处能量变化相对系统损失很小，
则可忽略之。
1. 分支或汇合管路
如图所示，O点为分支或汇合点。
主要特征：
A
⑴ 对不可压缩流
体Vs3=Vs1+Vs2
B
1
2
3
O
C
⑵ 阻力应分段考虑
hfA-C = hfA-O + hfO-C
hfB-C = hfB-O + hfO-C
⑶ 将单位质量流体的机械能衡算方程用于系统，对图
例，可以列出以下独立方程：

pO uO2

  hfA -O
Z A  Z O 
 g 2g

pO uO2

 Z B  Z O   g  2g   hfB-O


pO uO2

 Z C   hfO-C
ZO 
 g 2g

⑷ 复杂管路为一整体，总管、支管间互相影响。
1
2. 并联管路
A
2
分支后又汇合的管路。
B
3
主要特征： ⑴ V =V +V + V
s
s1
s2
s3
hf 1 = hf 2 = hf 3
⑵ 各支管阻力相等
⑶ 流量分配──按阻力相等原则分配。
l3 u32
l1 u12
l2 u 22
1
 2
 3
d1 2
d2 2
d3 2
u
Vs
π 2
d
4
Vs1 : Vs2 : Vs3 
5
1
d
 1l1
:
d
5
2
 2l2
:
d
5
3
 3l3
实例：分支管路的计算
例：12℃的水在本题附图所示的管路系统中流动。已
知左侧支管的直径为φ70×2mm，直管长度及管件，阀门
的当量长度之和为 42m， 右侧支管的直径为 φ76×2mm
直管长度及管件，阀门的当量长度之和为84 m。连接两支
管的三通及管路出口的局部阻力可以忽略不计。a、b两槽
的水面维持恒定，且两水面间的垂直距离为2.6m，若总流
量为55m3/h，试求流往两槽的水量。
解：设a、b两槽的水
面分别为截面1-1′与22′,分 叉 处 的 截 面 为 0-
1
1
2.6m
a
2
2
0′,分别在0-0′与1-1′间
、0-0′与2-2′间列柏努
利方程式
b
o
u02 p0
u12 p1
gZ 0  
 gZ1     h f ,01
2

2 
u02 p0
u22 p2
gZ 0  
 gZ 2  
  h f ,02
2

2

表明：单位质量流体在两支管流动终了时的总机械能与能
量损失之和相等，且等于分支点处的总机械能。
若以截面2-2’为基准水平面
代入式(a)
由连续性方程，主管流量等于两支管流量之和，即：
(c)
又 h f 01   h fa
l a   l ea u a2
 a
da
2
2
u
42 a
 a
 318.2a u a2
0.066 2
 h f 02   h fb
lb   l eb u b2
 b
db
2
2
u
84 b
 b
 583.3b ub2
0.072 2
代入(b)式
2
25.5  318.2a u a

2
583.3b ub
583.3b u b2  25.5
 ua 
318.2 a
由c式得：
Vs 

4
d a2 u a
55
3600 



4
d 
d b2 ub
 0.066 2 u a  0.072 2 u b
4
u D  3.75  0.84u a
e
d、e两个方程式中，有四个未知数。必须要有λa～ua、λb
～ub的关系才能解出四个未知数，而湍流时λ～u的关系通常
又以曲线表示，故要借助试差法求解。
取管壁的绝对粗糙度为0.2mm，水的密度1000kg/m3 ，查
附录得粘度1.263mPa.s
最后试差结果为：
Va 

4
d ua 
2
ua  2.1m / s, ub  1.99m / s

4
 0.0662  2.1 3600  25.9m3 / h
Vb  55  25.9  29.1m3 / h
次数
项目
假设的ua，m/s
1
2.5
Re a  d aua  / 
133500
0.003
 /d
0.0271
由图查得的λa值
由式e算出的ub，m/s 1.65
Re  d u  /  96120
b
 /d
b b
由图查得的λb值
由式d算出的ua，m/s
结论
0.0028
0.0274
1.45
2
3
2
2.1
112100
106800
0.003
0.0275
2.07
120600
0.0028
0.0028
0.027
2.19
0.0271
2.07
0.003
0.0273
1.99
115900
假设值偏高 假设值偏低 假设值可以接受
小结：
分支管路的特点：
1）单位质量流体在两支管流动终了时的总机械能与能
量损失之和相等，且等于分支点处的总机械能。
2）主管流量等于两支管流量之和
2、并联管路
如本题附图所示的并联管路中，支管1是直径2”的普通
钢管，长度为30m，支管2是直径为3”的普通钢管，长度为
50m，总管路中水的流量为60m3/h，试求水在两支管中的
流量，各支管的长度均包括局部阻力的当量长度，且取两
支管的λ相等。
解：在A、B两截面间列柏努
利方程式，即：
u A2 p A
u B2 p B
gZ A 

 gZ B 

  h fAB
2

2

对于支管1
u A2 p A
u B2 p B
gZ A 

 gZ B 

 hf1
2

2

对于支管2
u A2 p A
u B2 p B
gZ A 

 gZ B 

 hf 2
2

2

并联管路中各支管的能量损失相等。
由连续性方程，主管中的流量等于各支管流量之和。
Vs  60 / 3600  0.0167m3 / s
对于支管1
hf1
l   l e1
 1
d1


 V 
 s1 
 2

d1 

2
l

l
u1
 e1  4

 1 1
d1
2
2
对于支管2
 hf 2
l2   le 2 u22
l 2   le 2
 2
 2
d2
2
d2
2


 V 
 s2 
  d 2 
2
4

2
2
由于1  2
l1   le1 2
l 2   le 2 2
 1
Vs1  2
Vs 2
5
5
d1
d2
由附录17查出2英寸和3英寸钢管的内径分别为0.053m
及0.0805m。
5
Vs1  Vs 2
5


l2   le 2 d1
50  0.035 
   Vs 2

  0.0454Vs 2
30  0.0805 
l1   le1  d 2 
与b式联立
小结：
并联管路的特点：
1）并联管路中各支管的能量损失相等。
2）主管中的流量等于各支管流量之和。
3）并联管路中各支管的流量关系为：
例：如本题附图所示，用泵输送密度为710kg/m3的油
品，从贮槽输送到泵出口以后，分成两支：一支送到A塔
顶部，最大流量为10800kg/h，塔内表压强为98.07×104Pa
另一支送到B塔中部，最大流量为6400kg/h，塔内表压强
为118×104Pa。贮槽C内液面维持恒定，液面上方的表压
强为49×103Pa。上述这些流量都是操作条件改变后的新
要求而管路仍用如图所示的旧管路。
现已估算出当管路上阀门全开，且流量达到规定的最大
值时，油品流经各段管路的能量损失是：由截面1-1’至22’(三通上游）为20J/kg；由截面2-2’至3-3’（管出口内侧)
为60J/kg；由截面2-2’至4-4’（管出口内侧）为50J/kg。油品
在管内流动时的动能很小，可以忽略。各截面离地面的垂直
距离见本题附图。
已知泵的效率为60%，求新情况下泵的轴功率。
分析：
求轴功率 柏努利方程 2-2’的总机械能E2?
1-1’至2-2’
分支管路的计算
解：
在截面1-1’与2-2’间列柏努利方程，并以地面为基准水平
面
u12 p1
u22 p2
gZ1    We  gZ 2  
  h f ,12
2 
2

式中：
gZ1  9.81 5  49.05J / kg
49 103

 69.01J / kg(以表压计）

710
p1
u12
0
2
 h f ,12  20 J / kg
设E为任一截面三项机械能之和，即总机械能，则2-2’截面
的总机械能为：
u22 p2
E2  gZ 2  
2

将以上数值代入柏努利方程式，并简化得：
泵1kg油品应提供的有效能量为：
We  E2  20  49.05  69.01  E2  98.06
(a)
2-2’到3-3’
求We
已知E2
选Max
2-2’到4-4’
仍以地面为基准水平面，各截面的压强均以表压计，且忽
略动能，则截面3-3’的总机械能为：
4
98
.
07

10
E3  gZ 3 
 9.81 37 
 1744 J / kg

710
截面4-4’的总机械能为：
p3
118 10 4
E4  gZ 4 
 9.81 30 
 1956 J / kg

710
p4
保证油品自截面2-2’送到截面3-3’，分支处所需的总机械能为
E2  E3   h f , 23  1744  60
保证油品自截面2-2’送到截面4-4’，分支处所需的总机械能为
E2  E4   h f , 24  1956  50
当 E2  2006 J / kg 时，才能保证两支管中的输送任务。
将E2值代入式(a)
We  2006  98.06
通过泵的质量流量为：
10800  6400
ws 
 4.78kg / s
3600
新情况下泵的有效功率为：
Ne  We ws  1908 4.78  9120W
泵的轴功率为：
N  Ne /   9.12 / 0.6
当输送设备运转正常时，油品从截面2-2’到4-4’的流量正好达
到6400kg/h的要求，但是油品从截面2-2’到3-3’的流量在阀门
全开时便大于10800kg/h的要求。所以，操作时可把左侧支管
的调节阀关小到某一程度，以提高这一支管的能量损失，到
使流量降到所要求的数值。
补充：阻力对管内流动的影响
1、简单管路内阻力对管内流动的影响
阀门由全开转为半开，试讨论各流动参数的变化
1）阀门的阻力系数增大，hf,A-B增大，由于高位槽液而
维持不变，故流道内流体的流速应减小。
2
l
u


gZ        1
 d
 2
hf 1 A
l u2
 
d 2
2）管路流速变小，截面1-1’至A处的阻力损失下降。
u2 
pA
gZ 

 h f 1 A  

2g

p0
A点的静压强上升
3）同理，由于管路流速小，导致B处到截面2-2’的阻力
损失下降，而截面2-2’处的机械能不变，
pB  u 2 u 2 p0



 h f , AB 

2
2

B点的静压强将下降。
一般性结论 ：
1）任何局部阻力的增大将使管内各处的流速下降 。
2）下游的阻力增大将导致上游的静压强的上升。
3）上游的阻力增大将使下游的静压强下降。
2、 分支管路中阻力对管内流动的影响
某一支路阀门由全开转为半开，试讨论各流动参数的变化
1）阀门A关小，阻力系数ξA增大，支管中的流速u2将出现下
降趋势，O点处的静压强将上升。
2) O点处静压强的上升将使总流速u0下降
gZ 
p0 

 h f ,10 
h f ,01  
l
2
  le u 0
d

2
3）O点处静压强的上升使另一支管流速u3出现上升趋势
p0 
l   le u32 




d3
2
p3
忽略动压头
总之，分支管路中的阀门关小，其结果是阀门所在支管的流
量减小，另一支管的流量增大，而总流量则呈现下降趋势
注意两种极端情况：
1.总管阻力可以忽略，支管阻力为主
任一支管情况的改变不致影响其他支管的流量
如：城市供水、煤气管线
2.总管阻力为主，支管阻力可以忽略
总管中的流量不因支管情况而变，支管的启闭仅改变各支管
间的流量的分配
3、 汇合管路中阻力对管内流动的影响
阀门由全开转为半开，试讨论各流动参数的变化
阀门关小
总管流量下降
O点静压强升高
u1、u2降低
1.8
流量的测量
变压头流量计 将流体的动压头的变化以静压头
的变化的形式表示出来。一般，
读数指示由压强差换算而来。
流量计
如：测速管、孔板流量计和文丘
里流量计
变截面流量计 流体通过流量计时的压力降是固定的
，流体流量变化时流道的截面积发生
变化，以保持不同流速下通过流量计
的压强降相同。
如：转子流量计
一、变压头流量计
1.8.1测速管
1、测速管（皮托管）的结构
2、测速管的工作原理
对于某水平管路，测速管的内管A点测得的是管口所在
位置的局部流体动压头与静压头之和，称为冲压头 。
u2
pA
hA 

2 g g
B点测得为静压头
pB
hB 
g
冲压头与静压头之差
p A  pB u 2
hA  hB 

g
2g
压差计的指示数R代表A，B两处的压强之差。
若所测流体的密度为ρ，U型管压差计内充有密度为ρ’
的指示液，读数为R。
u 2 R '  g

2g
g
——测速管测定管内流体的基本原理和换算公式
实际使用时
uc
2 gR(     )

c=0.98~1.00
3、使用皮托管的注意事项
1）测速管所测的速度是管路内某一点的线速度，它可以
用于测定流道截面的速度分布。
2）一般使用测速管测定管中心的速度，然后可根据截面
上速度分布规律换算平均速度。
3）测速管应放置于流体均匀流段，且其管口截面严格垂
直于流动方向，一般测量点的上，下游最好均有50倍直径长
的直管距离，至少应有8~12倍直径长的直管段。
4）测速管安装于管路中，装置头部和垂直引出部分都将
对管道内流体的流动产生影响，从而造成测量误差。因此，
除选好测点位置，尽量减少对流动的干扰外，一般应选取皮
托管的直径小于管径的1/50。
1.8.2 孔板流量计
1、孔板流量计的结构
2、孔板流量计的工作原理
流体流到孔口时，流股截面收缩，通过孔口后，流股还
继续收缩，到一定距离（约等于管径的1/3至2/3倍）达到最
小，然后才转而逐渐扩大到充满整个管截面，流股截面最小
处，速度最大，而相应的静压强最低，称为缩脉。因此，当
流体以一定的流量流经小孔时，就产生一定的压强差，流量
越大，所产生的压强差越大。因此，利用测量压强差的方法
就可测量流体流量。
在1-1’和2-2’间列柏努利方程，略去阻力损失
p1 u12 p2 u22



 2

2
A1u1  A2u2  A0u0
2

 A2 
p1  p 2
1    




2
2   A1  


2 p1  p 2 
1
 u2 
2

A2 

1 

A
1

u 22
u0  C D
 u12
u 22
2 p1  p0 
1

A0 

1 

A
1

CD ：排出系数：取决于截面比A0/A1,管内雷诺数Re1,孔口的
形状及加工精度等。
2
与
1
A
1   0 
 A1 
2
合并
A
C0  CD 1   0 
 A1 
2
用孔板前后压强的变化来计算孔板小孔流速u0的公式
U型管压差计读数为R，指示液的密度为ρA
p1  p0  gR A   
若以体积或质量表达，则
C0---孔流系数，
C0=f( A0/A1,Re1 )
当Re1超过某界限值时，C0不再随Re1而变C0=const，此时
流量就与压差计读数的平方根成正比，因此，在孔板的设
计和使用中，希望Re1大于界限值。
3、孔板流量计的优缺点
优点：构造简单，安装方便
缺点：流体通过孔板流量计的阻力损失很大
hf  
2
 C0
 Rg  '   
孔板的缩口愈小，孔口速度愈大，读数就愈大，阻力
损失愈大。所以，选择孔板流量计A0/A1 的值，往往是设
计该流量计的核心问题。
1.8.3 文丘里流量计
管道中的流量为
Cv的值一般为0.98 ~ 0.99。
优点：阻力损失小，大多数
用于低压气体输送中的测量
缺点：加工精度要求较高，
造价较高，并且在安装时流量计本身占据较长的管长位置。
二、变截面流量计
1.8.4 转子流量计
1、转子流量计的结构及工作原理
2、流量公式
假设在一定的流量条件下，转子处于
平衡状态，截面2-2’和截面1-1’的静压强
分别为p2和p1,若忽略转子旋转的切向力
 p1  p2 A f
 p1  p2  
Vs  C R AR


 Vf  f   g
Vf
Af
 f   g
2P1  P2 

CR为转子流量计的流量系数，AR为环隙面积
流量与环隙面积有关，在圆锥形筒与浮子的尺寸固定
时，AR决定于浮子在筒内的位置，因此，转子流量一般都
以转子的位置来指示流量，而将刻度标于筒壁上。
转子流量计在出厂时一般是根据 20℃的水或20℃、
0.1MPa下的空气进行实际标定的，并将流量值刻在玻璃管
上。
使用时若流体的条件与标定条件不符时，应实验标定
或进行刻度换算。
下标1代表标定流体（水或空气）的流量和密度值，下
标2代表实际操作中所用流体的流量和密度值。