Transcript 第2章

第1章 流体及其主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体动力学基础
第4章
第5章
第6章
第7章
流动阻力和水头损失
孔口、管嘴出流及有压管流
明渠均匀流
明渠水流的两种流态及其转换
第二章
流体静力学
第一节
流体静压强及其特性
第二节
流体的平衡微分方程及其积分
第三节
重力作用下的流体平衡
第四节
流体压强的量测
第五节
第六节
作用在平面上的流体静压力
作用在曲面上的流体静压力
1
重、难点
1.静压强及其静压强的特性。
2.静力学基本方程式的理解和应用；等压面。
3.静止流体对固体壁面的作用力：平面和曲面。
平衡有两种：
一种是流体对地球无相对运动，即重力场中
的流体的绝对平衡；
一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相
对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。
第一节
流体静压强及其特性
一. 流体静压强的定义
P dP
p  lim

A0 A
dA
单位：N/m2，Pa
作用在单位面积上的力
反 证
法
二、流体静压强的特性
1.垂直性
流体静压强的方向与受压面垂直并指
向受压面，或流体静压强只能沿受压面的
内法线方向作用。
dP
dP
dA
dA
2. 各向等值性
平衡流体中任意点的静压强的大小由该点
的坐标位置决定，而与作用面的方位无关。即
在平衡流体内部任意点上各方向的流体静压强
大小相等。
p x  p y  p z  pn
压强 p 的全微分：
p
p
p
dp  dx  dy  dz
x
y
z
p x  p y  p z  pn
证明思
路
取研究对象
受力分析
导出关系式
得出结论
取研究对象
取一四面体OABC，三条边相
互垂直且与坐标重合，
受力分析
质量力
1
fx  
dxdydz
6
1
fy  
dxdydz
6
1
fz  
dxdydz
6
1
dydz
2
1
py 
dx dz
2
1
pz 
dx dy
2
px 
表面力
导出关系式
对于任一轴
F
x
 0;  Fy  0;  Fz  0
对于x轴
1
1
  f x  dxdydz 0
p x dydz  0  0   pn An cos(n, x）
2
6
1
p x  pn  f x  dx  0
3
当dx  0;
p x  pn
得出结论
pn  p x  p y  p z
第二节 流体的平衡微分方程
及其积分
平衡微分方程的推导
取研究对象
受力分析
1.表面力
p
设压强在x方向上的变化率为
x
1 p
dP左  ( p 
dx)dydz
2 x
1 p
dP右  ( p 
dx)dydz
2 x
2.质量力
在x方向上：
dFx  f x dxdydz 
导出关系式
对于任一轴
F
x
 0;  Fy  0;  Fz  0
p
f x   0
x
流体静力学平衡微分——
方程或欧拉平衡微分方程
1 p
fx 
0
 x
1 p
fy 
0
 y
1 p
fz 
0
 z
平衡微分方程的积分
前三式分乘dx，dy，dz，再相加，得
p
p
p
 ( f x dx  f y dy  f z dz )  ( dx  dy  dz )  0
x
y
z
＝dU
＝dp
U
,
令U＝U（x,y,z），且 f x 
x
U
fy 
,
y
U
fz 
z
U 称为质量力的势函数，如重力、惯性力。
由 dp  dU 积分得
p  U  C
积分常数C的确定
假定平衡流体中某点的压强为p0 、力势函数为U0，则
C  p0  U 0
p  p0   (U  U 0 )
•平衡微分方程的物理意义
1. 流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和
压差力之间的平衡。
2. 压强对流体受力的影响是通过压差来体现的.
【例】试求重力场中平衡流体的质量力势函数。
【解】该流体的单位质量分力为
z
-mg
0
y
fx＝0，fy＝0，fz＝－g
z
x
dU  f x dx  f y dy  f z dz   gdz
积分得
U＝－gz+C
取基准面z＝0处，U＝0（称为零势面），得
U＝－gz
物理意义：单位质量（m＝1）流体在基准面以
上高度为z 时所具有的位置势能。
等压面
平衡流体中压强相等的点所组成的面（平
面或曲面）称为等压面。
即

dp   ( f x dx  f y dy  f z dz )  dU  0
等压面性质：
1.等压面即是等势面：U ＝C ；
2.等压面与质量力矢量垂直；
3.两种不相混的平衡液体的分界面必然是等压面。
第三节 重力作用下的流体平衡
一、流体静力学基本方程
1.压强形式的静力学基本方程
在重力场中： f x  0 ,
1 p
fx 
0
 x
f y  0,
1 p
fy 
0
 y
f z  g
1 p
fz 
0
 z
p   gz  C 
p0
z
h
z0
z
0(y)
x
由液体自由表面上
的边界条件：
p  p0  g ( z0  z )  p0  gh
z＝z0，p＝p0 ，得
上式称为流体静力学
基本方程，或不可压缩流
体的静压强分布规律。
12
2.压强形式的方程的推论
p  p0  gh
 帕斯卡定律
平衡流体中，自由表面处压强p0的任何变化都会
等值地传递到液体中的任意一点上。
 流体静压强分布
静止液体中，任一点的压强值与其所处的深度h成
正比。因此，压强与液体深度为线性函数关系。
 气体压强的计算
由于气体的密度很小，在高差不很大时气柱产生
的压强很小，可以忽略，则p＝p0（即小范围内，气体
压强处处相等）。
 连通器原理
连通容器
连通容器
水平面是等压面的条件：
• 重力液体 • 静止液体
• 同一容器（连通）
• 同一介质
• 局部范围内
连通器被隔断
pa
p0
1 水 2
A
B
3
5
油4
6
水银
一、流体静力学基本方程
2.能量形式的静力学基本方程
p   gz  C 
p2
g
p0
2
z2
p
z
C
g
p1
g
1
z1
0
0
——不可压缩流体的
静力学基本方程
（能量形式）
对静止容器内的液体
中的1、2两点有
p1
p2
z1 
 z2 
C
g
g
z
2.静力学基本方程的物理意义
p0
 能量意义
A
单位重量流体
z --- 位置势能，简称位能
p
--- 压强势能，简称压能
g
p
z
--- 总势能
g
Z
x
y
z
p
C
g
流体静力学基本方程的能量意义是：在重力作用
下平衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势
能（包括位能和压能）是相等的，即势能守恒。
 几何意义
z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头
p
--- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度，
g
称为压强水头
p
z
--- 静压水头（或静力水头）
g
流体静力学基本方程的几何意义是：在重
力作用下同一平衡流体中各点的静力水头为一
常数，相应的静力水头线为一水平线。
 测压管水头的含义
在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，
接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。
测压管内的静止液
面上p = 0 ，其液
面高程即为测点处
pA / 
p
z

的
 ，所以
pB / 
zA
zB
叫测压管水头。
O
O

测静压只须一根测压管
如果容器内的液体是
静止的，一根测压管
测得的测压管水头也
就是容器内液体中任
何一点的测压管水
头。如接上多根测压
管，则各测压管中的
液面都将位于同一水
平面上。
pA / 
pB / 
zA
zB
O
O
敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
测压管水头和静压水头
第四节
流体压强的量测
一、压强的度量标准
是以绝对真空（或完全真空）为起点来计算
绝对压强 的压强值，以p’ 表示。
p  pa  gh
相对压强 是以当地大气压强 pa为起点来计算的压强
（表压强）值，以p 表示。 p  gh
p  p  p
a
当静止流体中某点的绝对压强 p’ 小于大气
真空压强
压强 pa时，出现真空，所小的值为真空值，
以 pv 表示。
pv  pa  p  ghv
pv  p
A
压强
A点相对
压强
相对压强基准
大气压强 pa
A点绝对
压强
B
B点真空压强
B点绝对压强
绝对压强基准
O
O
 压强分布图
pa
pa
pa+ρgh
pa+ρgh
pa
pa
pa+ρgh1
pa+ρgh1
pa+ρg(h1+h2)
pa+ρg2R
二、压强的度量单位
 应力单位
N/m2（Pa），kN/m2（kPa）
其常用于理论计算；
 液柱高单位 米水柱（mH2O），毫米汞柱（mmHg）
其常用于实验室计量；
 工程大气压单位
1个标准大气压（atm）=1.01325×105 Pa =760 mmHg
1个工程大气压（at）= 1kgf/cm2 = 98×103 Pa
 10mH 2O
 大气压与大气压强
 736mmHg
【例】 已知▽1＝9m，▽2＝8m，▽3＝7m，▽4＝10m，
大气压强为1at，求1、2、3、4各点的绝对压强、相对压
强（以液柱高表示）及M2、M4两个压强表的表
压强或真空读数。
【解】
三、测压仪器
测压仪器分三大类：
 金属式
有压强表与真空表之分
金属式测压仪安装方便、易读数、量程较大，
但精度不高，工程当中常用。
 电测式
电测式测压仪便于远距离测量及动态测量。
 液柱式
液柱式测压仪构造简单，方便可靠，测量精度高，
但量程小，一般用于低压实验场所。
如果连通的静止液体区域包括多种液体，
则须在它们的分界面处作过渡。
p A   m hm   a
 用比压计测量
即使在连通的静
止流体区域中任
何一点的压强都
不知道，也可利
用流体的平衡规
律，知道其中任
何二点的压差，
这就是比压计的
测量原理。
p A  pB   z B   m hm   ( z A  hm )
流体的平衡规律
必须在连通的静
止流体区域（如
测压管中）应
用，不能用到管
道中去，因为管
道中的流体可能
是在流动的，测
压管不只是为测
量静压用的。
(zA 
pA

)  ( zB 
pB

)h
液柱式测压仪表如下：
pA  pa  gh
• 测压管
h
ρ
pA  gh
A
空气
B
• 真空计或倒式测压管
pB  gh  pa
pvB  gh   pB
当测压管所测压强大于2mH2O时，
不便使用。
h
ρ
• U形测压管
pA  gh1  pa   p gh2
pA  pa   p gh2  gh1
ρ
h2
A
1
h1
ρp
p A  (  p h2  h1 ) g
2
pB  pa  (  p h2  h1 ) g
pvB  (  p h2  h1 ) g   pB
注意：目前的实验室常以某些密度较大的
油来代替测压管中的水银，积极推行国家
提倡的无汞实验室。
ρ
B
h1
ρp
h2
对(a)图：
• U形差压管
pA  g (h  h  H )  pB  gh
pA  pB  g (h  H )
空气
对(b)图：
h
A
H
h'
ρ
（a ）
p A   A ghA  pB   B ghB   p ghp
p A  pB   B ghB   p ghp   A ghA
B
若A、B处为同种液体，且同
高，即hA＝hB+h ，得
p A  pB  (  p   ) gh
p A  pB
若为水与水银：
 12.6h
g
B
ρA
ρ
B
A
hA
hp
1
2
ρp
（b）
hB
• 复式压力计（多管测压计）
ρ
若球形容器内是气体，U 形
管上端也充以气体，则
h1
A
h2
h3
若容器中所装为液体，U 形
管上端也充满同种液体，则
ρ
ρ
p A  pa   p gh1   p gh2
p
p A  pa   p gh1  gh2   p gh2  gh3
 pa   p g (h1  h2 )  g (h2  h3 )
当所测压强（或压差）较大时（一般大于3个工程
大气压），可采用这种多管测压计。
• 复式压力计（多管测压计）
1.确定压强已知的面
2.根据等压面应用的条件，划出等压面
3.从已知面开始，逐步推出未知面压强
• 倾斜管微压计
A2
p
L
h
0
ρ
A1
α
0
Δh
p  pa  g (h  L sin  )
由A1Δh＝A2L，得
A2
A2
p  g (h 
L)  gL(sin   )
A1
A1
A2
 0，则
若取
A1
p  gL sin 
可见：在适当的小倾斜角下，即使待测压强较小，
在倾斜测管上也有可观的读数，从而使所测值更精确。
• 双杯式微压计（测量压差）
【例】已知ρ1＝900kg/m3 ，d＝4mm，D＝40mm。p1
＝p2时，U形管中水面平齐，h＝0；若h＝100mm，求压
强差p1－p2 。
p
p
2
Δh
1
D
Δh
油
D
ρ
1
h0
h
N
N
ρ
2
水
d
微压计的放大效果为11mm→100mm，放大效果显著。
如图所示的密闭容器中，液
面压强p0＝9.8kPa，A点压强
为49kPa，则B点压强为多少 ,
在液面下的深度为多少 。
39.2kPa ; 3m
露天水池水深5m处的相对压强为：
A. 5kPa ; B. 49kPa ; C. 147kPa ; D. 205kPa
什么是等压面？等压面应用的条件是什么？
等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。只有重
力作用下的等压面应满足的条件是：静止、连通、连续
均质流体、同一水平面。
压力表和测压计上测得的压强是
绝对压强还是相对压强？
相对压强。
如图所示，若某点测压管水头
为-0.5m,压强水头为1.5m，则
测压管最小长度应该为多少？
测压管最小长度为1.5m。
第五节 作用在平面上的
流体静总压力
一、压力现象
在设计水箱、挡水闸门、油罐、水曝清砂
水池等设备时，会遇到静止流体对固体壁
面作用的总压力计算问题；
流体作用在固体壁面上的总压力，是由该壁面所接触
的流体静压强所引起的，应用流体静压强计算公式可
以计算出作用在平面上的总压力；
完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。
静止流体作用在平面上的总压力是一种比
较简单的情况，是平行力系的合成，作用
力垂直于作用面，指向自己判断。
静压强在平面域 A 上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。
P
H
H
H
P
H
3
H
P
P
H
H
L
H
H
h
h
H
L/3
e
L
h
h
H
h
H
 ( H h)
二、解析法求解
1. 总压力的大小
pa
h
hC
dP
α
A
dP  pdA  ghdA  gy sin dA
P   gy sin dA  g sin   ydA
0
A
y
x
dA
yC
C
A
___
ydA
平面AB对
A
x轴的静面矩，其
大小为 yCA
B
y
P  g sin yC A
 ghC A  pC A
hC为平面AB的形心C处的淹没深度。
2. 总压力的方向
平面上的总压力是液体静压强的总和，其作用方向重
合于该平面的内法线方向，即垂直指向受压平面。
3. 静面矩、惯性矩

A
ydA ___ 平面面积对 x轴的静
面矩，其大小为 yCA
I x   y 2 dA ——平面面积对x轴的
A
面积惯性矩
由平行移轴定理： Ix＝ICx+yC2A
合力矩定理：合力对任一轴的
力矩等于各分力对同一轴的力
矩和。
PyD   ghydA
4. 压力中心
pa
h
hC
dP
α
A
P
0
A
dA
y
D
A
y
C
B
  gy 2 sin dA
x
yC
yD
 g sin   y 2 dA
A
PyD  g sin  ( I Cx  yC2 A)
I Cx
y D  yC 
yC A
表明：yD＞yC，即压力中心D点总是低于形心C点。
结论
1.
平面上静水压强的平均值为作用面（平面图形）
形
心处的压强。总压力大小等于作用面形心 C 处的
压强 pC 乘上作用面的面积 A .
2. 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静
压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越
大，所以总压力作用点位于作用面形心以下且与受
压面倾角θ无关。
3. 当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大
小与平面倾角θ无关。
静力奇象
只要平面的面积和形心处的淹深相同，则平板
所受到的静水压力也相同。
h
【例】矩形闸门b×h＝1m×0.5m，h0＝2m，开
启闸门的锁链与水面成45°角。求开启闸门所
需拉力T为多大？
T
α
h0
A
h
B
P
由
h
b
M
h
0.5
 (2 
)m  2.25m
2
2
P  ghC A  9.8 103  2.25 1 0.5N
 11.025kN
【解】hC  h0 
压力中心D的位置为
1
3

1

0.5
I Cx
y D  yC 
 2.25m  12
m  2.26m
2.25 1 0.5
yC A
A
0
T  h cos 45  P  ( yD  h0 )
T  8.11kN
所以当T≥8.11kN时，闸门被开启。
注意点
当平板左侧液面压强p0不等于平板右
侧所受压强pa时，平板所受总压力：
P  P左  P右  p0 A   sin A  zc  pa A
 ( p0  pa ) A  hc A
上式要写成 P  hc A
则 hc ，yc 应理解为形心至相对压强
为0的自由面的水深。
三、图算法求解
当受压平面为矩形，且有一对边平行于液面时，
采用图算法便于对受压结构物进行受力分析。
h1
h2
ρgh1
h1  h2
P  ghC A  g 
 bl
2
α
P
其中 Ap  1 g (h1  h2 )l
2
ρgh2
C
e
D
b
l
——压强分布图的面积
P  Ap b
流体静压力的大小与压强分布图的体积（即以压强
分布图为底面，高度为矩形宽b的柱体体积）相等。总压力
的作用线通过该体积的重心，并垂直地指向受压面。由于
矩形为对称图形，故压力中心D必位于对称轴上。
压力中心离底边的距离为
e三角形
e梯形
1
 l
3
l (2h1  h2 )

3(h1  h2 )
【例】矩形闸门b×h＝1m×0.5m，h0＝2m，开
启闸门的锁链与水面成45°角。求开启闸门所需
拉力T为多大？
T
α
h0
A ρgh0
h
压力中心D距B点的距离为
h(3h0  h) 0.5  (3  2  0.5)
e

m  0.24m
3(2h0  h) 3  (2  2  0.5)
P
B ρg(h+h0)
M
由
1
g (2h0  h)hb
2
 11.025kN
【解】 P  Ap b 
A
0
T  h cos 45  P  (h  e)
P(h  e) 11.05  (0.5  0.24)
T

kN  8.11kN
h cos 45
2
0.5 
2
可见，解析法和图算法两种方法所得结果相同。
【例】一块矩形平板闸门可绕轴A转动，如图。已知
θ=60˚，H=6 m,h=2m,h1=1.5m,不计闸门自重以及摩
擦力，求开启单位宽度的闸门所需的提升力FT。
【解】
H  h1
平板左边挡水长度为：L 
sin 
左边的静水压强分布可分解为
均匀荷载 和 三角形荷载
其中均匀荷载所
产生的总压力为
P1  h1Lb
作用点距A点距离为
L/2
1
三角形荷载所产生的总压力为 P2   ( H  h1 ) Lb
2
作用点距A点距离为
2L / 3
【解】
平板右边挡水长度为：l 
h
sin 
1
右边所产生
Pf  hlb
的总压力为：
2
l
作用点距平板下缘距离为：
3
1
2
l
由 M A  0  FT L cos   P1 L  P2 L  Pf ( L  )
2
3
3
P1  76438 N ; P2  114657 N ; Pf  22648 N ; FT  19072 N
如图所示，浸没在水中的
三种形状的平面物体，面
积相同。问：1.哪个受到
的静水总压力最大？2. 压
心的水深位置是否相同？
1、相同；2、不相同
挡水面积为A的平面闸门，一侧挡水，若绕通过其形心C
的水平轴任转a角，其静水总压力的大小、方向和作用
点是否变化？为什么？
大小不变；方向变；作用点不变。
第六节 作用在曲面上的
流体静总压力
一、压力现象
一些弧形闸门、水管壁面、球形容器及拱坝坝面等也
会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题；
由于曲面上各点的
法向不同，对曲面
求解总压力时，必
须先分解成各分量
计算，然后再合成。
h
H
h
H
二、曲面总压力
dP   ghdA
0(y)
x
dP
A
B
α
dPx
α
z
h
dPx  dP cos    ghdA cos 
dPz
dP
α
dA
  ghdAx
dPz  dP sin    ghdA sin 
dAx
dAz
dA
  ghdAz
对整个曲面相应的投影面积积分
Px    hdAx   g  hdAx
Ax
Ax
Px  ghxC Ax
Pz    ghdAz   g  hdAz Pz  gV
A
A
z
z
• x 方向水平力的大小
Px    hdAx  hxC Ax
Ax
z
y
x
h
Px
Ax

n
A
Ax 是曲面 A
沿 x 轴向 oyz
平面的投影，
hxC 是平面图
形 Ax 的形心
浸深。
结论
静止液体作用在曲面上的总压力在 x 方向分量
的大小等于作用在曲面沿 x 轴方向的投影面上的总压力。
z
y
x
y 方向水平力大
小的算法与 x
方向相同。
h
Px
Ax

n
A
• z 方向水平力的大小
Pz    hdAz  V
A
z
y
x
Az
V
h
Px
Ax

n
Pz
A
Az 是曲面 A
沿 z 轴向 oxy
平面的投影，
V 称为压力体，
是曲面A与Az
之间的柱体体积。
结论
静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量
的大小等于压力体中装满此种液体的重量。
z
y
x
Az
Vp
h
Px
Ax

n
Pz
A
总压力垂向分
量的方向根据
情况判断。
• 压力体
Pz    hdAz  V
A
压力体 是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确
定的纯几何体，与这个体积内是否充满液体无关。
若充满流体，则称为“实压力体”，Pz 方向向下；
若不为流体充满，则称为“虚压力体”, Pz方向向
上。
有
液
体
A
a
A
无
液
体
• 压力体的确定
复杂柱面的压力体
以曲面为下底，
以自由表面或其延
伸面为上顶，
以过曲面周边的垂
线形成侧面，所组
成的几何体。
以曲线为下底，以自由表面或其延长线
为上顶，由曲线两端点向上拉铅垂线，所构
成的几何形状即为压力体的平面图形。
• 严格的压力体的概念是与液体重度 γ 联系
在一起的，这在分层流体情况时，显得尤为重
要。
B
1
V p1
2
V p 2 Pz
A
AB面所受垂向力
Pz   1Vp1   2Vp 2
• 垂直分力的方向
虚上实下
B
B
A
A
无论压力体为虚为实，Pz的作用线通过压力体的重心，
即平面图形的形心。
三、曲面总压力的大
小和作用点
0(y)
x
P  Px2  Pz2
Pz
P
A
β
Px
z
液体作用在二维曲面上的总压力
B
作用方向
Pz
  arctg
Px
对于三维曲面
P  Px2  Py2  Pz2
在一般情况下，Px、Py和Pz三个分力不一定共点，
可能构成空间力系。这时不能化为单个合力，只能化为
一个合力加上一个合力偶。
总压力的作用点
二维曲面总压力P的作用点的位置：作出Px及Pz的
作用线，得交点，过此交点以倾斜角β作总压力P的作
用线，它与曲面相交的点，即为总压力的作用点。
0(y)
x
Pz
P
A
β
Px
z
B
注意：若液面上相对压强不为零（即不是自由表
面），则压力体不能以液面为顶，因为压力体积分
表达式中ρgh 是指作用在dAz面上的压强（包括液
面上高于或低于外界大气压强的压强差值）。
h
p0  pa
g
p0 > pa
h
p0 < pa
pa  p0
g
A
B
A
B
（a）液面上压强 p0＞pa，压力体顶面应取在液面以上；
（b）液面上压强 p0＜pa，压力体顶面应取在液面以下。
【例】作出二维曲面AB上的压力体，并指明
垂直分力的方向。
【例】如图贮水容器壁
上装有三个半径R=0.5m
的半球形盖；已知：
H=2.5m , h=1.5m. 求
这三个盖子所受的静水
总压力。
e
f
H
1
b 2
h
a
c
3
【例】 求图中由水支撑的圆柱体的质量。直径D
＝0.6m，长度为1m。设圆柱体与固体壁之间无摩
擦。
【解】 圆柱体所受静水总压力的
Pz分量与其重量平衡，即
Pz
Pz  gV  G  mg
由图中压力体图得
3 D 2
D 2
V [ 
 ( ) ] l
4 4
2
3
   0.6 2  0.32  0.302m3
16
m  V  1000  0.302kg  302kg
【例】 如图扇形闸门，中心角θ=450，宽度B=1米，
可以绕铰链C旋转，用以蓄水或泻水。水深H=3米，确
定水作用在此闸门上的总压力P的大小和方向。
d
b
铰链
r
a
C
【解】 扇形直径：
d
r
H
3

 4.24 m
sin  0.707
ldb  lac  lbc  cos  1.24m
a
PZ  v  9.8[(Aacbd  Aacb )B]  11.368KN
P  Px2  Pz2  45.57 KN
Pz
  arctg
 1430
Px
铰链
r
3
Px  hc Ax  9.8   (3 1)  44.1KN
2
总压力：
b
C
如图所示圆柱形压力水罐，由上下两半圆筒用螺栓
【例】 连接而成。圆筒半径R=0.5m,l=2m.罐上压力表读数
p=29.4kPa。试求（1）两端平面盖板所受静水总压
力；（2）上下两半圆筒所受静水总压力；（3）若
螺栓材料的允许应力σ=120MPa，验证连接上下圆
筒的螺栓能否承受由水压产生的拉力。螺栓直径
d=10mm,间距e=50cm.
【解】
（1）两端盖板均为圆形平面，每个盖板所受静水总压力为：
P  hc Ax  ( p  gR)R 2  26.93kN
（2）上下两半圆筒水平分力为0；垂直分力的压力体如图：
压力表处水柱高度：
p
h
 3mH 2O
g
PZ上  V上
1 2
 9.8[( h  R)  2 R  R ]  l
2
 60.9kN
PZ下
1 2
 V下  9.8[( h  R)  2 R  R ]  l  76.3kN
2
（3）水罐上螺栓总个数为：
l
n  2(  1)  10
e
螺栓所能承受的最大拉力为：
F允  n 

4
d 2    94.2kN
两螺栓所受总拉力为：
F  Pz上  60.9kN  F允
因此连接螺栓能够承受由罐内水压产生的拉力。
为何不用Pz下？
思考题
1.圆柱体是否会在静水
压力Pz的作用下顺时针
旋转？
2.图中1，2两根测压管
中水位如何？
2
1
pa
Pz
ρ2
ρ1
本章作业
习题 2.4，
习题 2.8，
习题 2.12，
习题 2.17，
习题 2.18 (并求合力大小及方向)，
习题 2.20
第二章补充题
有一容器上部盛油h1=1m，ρ1=800kg/m3，下部
盛水h2=2m，侧壁倾角θ=60º。求容器壁上单宽静水
压力及作用位置。
油 h1
水 h2
θ
第二章习题解答
补充题：有一容器上部盛油h1=1m，ρ1=800kg/m3，下部盛水
h2=2m，侧壁倾角θ=60º。求容器壁上单宽静水压力及作用位
置。
解：F   gh A
1
1
1C
1
 800  9.8  0.5  (1/ sin 60) 1  4.52kN
油 h1
1 gh1  2 gh1'  800 1  1000  h1'
水 h2
θ
F2  2 gh2C A2
 h1'  0.8m
 1000  9.8  (0.8  1)  (2 / sin 60) 1  40.74kN
 F  F1  F2  45.26kN
0.5
(1/12) 1 (1/ sin 60 )3
 yD1 

 0.769m
sin 60 (0.5 / sin 60 ) 1 (1/ sin 60 )
yD 2
1.8
(1/12) 1 (2 / sin 60 )3


sin 60 (1.8 / sin 60 ) 1  (2 / sin 60 )
 2.292m
由力矩平衡
油 h1 F1
F
F1  yD1  F2  ( yD 2  (1  0.8) / sin 60 )
yD 
F2
F
水 h2
 2.35m
yD1
yD2
θ
yD
2.4 画出图中AB 面上的静压强分布图形。
pa
ρgh1
pa+ρgh1
ρgh2
ρgh3
pa+ρgh2
ρgh
ρgh1
ρgh
ρg(h-h2)
ρg(h-h2)
ρg(h+R)
2.8 比压计中水银面高差h=0.36m，其他液体为水。
A,B两容器位置高差为1m。试求A,B容器中心处压
差pA-pB值。
解：令A容器中心与水银高差h底部距离为h’。则
pA   gh  pB   g (h ' h  1)   p gh
p A  pB  (  p   ) gh   g 1
 12.6  9.8  0.36  9.8 1
 34.65kPa  3.536mH 2 O
2.12 矩形闸门宽度B=1.5m，上缘A处设有固定铰轴，
已知L1 =2m，L=2.5m，忽略闸门自重，求开启闸门所
需的提升力T。
hC  ( L1  0.5L)sin 60  2.815m
P   ghC A  1000  9.8  2.815 1.5  2.5  103.27kN
IC
(1/12) 1.5  (2.5)3
yD  yC 
 3.25 
 3.41m
yC A
3.25 1.5  2.5
由力矩平衡
T  L  cos 60 =P  ( yD  L1 )
解：1解析法
T  116.67m
1
2图算法 Ap   g   [ L1 sin 60  ( L1  L)sin 60 ]  L  69 103 m 2
2
P  Ap B  69 103 1.5  103.27kN
L(3L1  L)
T  L  cos 60 =P  ( L  e)
e
 1.09m
3(2 L1  L)
T  116.67m
2.17 绘出图中各个曲面上的压力体，并标示出曲
面所受的垂直分力的作用方向。
2.18 直径D=4m的圆柱，在与水平面成30°的倾斜
面上挡水，水面与B点齐平。求作用在1m长圆柱上
的静水总压力大小及其作用方向。
B
解： Px   ghxC Ax
D cos 30
 9800 
 D cos 30 1
2
30°
 58.86kN
1
1 D 2 1
V  V圆  V三角  [  ( )  D sin 30  D cos 30 ] 1  9.74m3
2
2 2
2
Pz   gV  9800  9.74  95.6kN
Pz
2
2
 =arctg  58.4
P  Px  Pz  112.3kN
Px
P指向圆柱中心
2.20 R=0.2m的弧形闸门内有比重0.8的油和水两层
液体，容器宽B=0.4m，油水层厚度均为h=0.2m，
比压计中h=0.2m，求封闭液体所需力F为多少？
解：铰链O处的压强为 pO   Hg gh   w g 2h  油 gR
 9800  (13.6  0.2  1 2  0.2  0.8 1 0.2)
 21.17kPa 折算高度为
pO
hxC  2.7  0.2 / 2  2.8m
h '=
 2.7m
油 g
Px  油 ghxC Ax  800  9.8  2.8  0.2  0.4  1756.2N
1
V  V矩  V圆  (2.90.2    0.22 / 4)  0.4  0.22m3
4
2
2
P

P

P
Pz   gV  800  9.8  0.22  1720.4N
x
z  2458.5N
Pz
 =arctg  44.26 由力矩平衡
P  R  sin   F  R
Px
 F  P sin   Px  1756.2N
2.7m