Transcript Działania na liczbach wymiernych

„Są plusy dodatnie i plusy ujemne.”
Lech Wałęsa
Działania na liczbach wymiernych.
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb to
podstawowe umiejętności bez których nie da się poznać
głębiej matematyki. Rachunki na liczbach oparte są na
kilku prostych zasadach, które poznaje się już w szkole
podstawowej. W tej lekcji przypomnimy te zasady i
pokażemy jak je stosować w działaniach na liczbach
wymiernych – czyli wszystkich dodatnich i ujemnych,
które da się dokładnie zmierzyć i zaznaczyć na osi
liczbowej.
DEFINICJA LICZBY WYMIERNEJ.
Liczby wymierne to takie, które można przedstawić w
postaci ilorazu liczb całkowitych, innymi słowy są to
liczby, które można przedstawić w postaci ułamka
zwykłego:
gdzie m i n są liczbami całkowitymi i n ≠ 0.
PRZYKŁADY LICZB WYMIERNYCH:
KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ.
Działania na liczbach wykonujemy w następującej
kolejności:
1. Działania w nawiasach (zaczynamy od
„najmniejszych” czyli (…) ).
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie.
3. Mnożenie i dzielenie.
4. Dodawanie i odejmowanie.
W podpunkcie 3 i 4 działania wykonujemy według
kolejności występowania od lewej do prawej.
PRZYKŁAD:
2+2·2=2+4=6
najpierw mnożenie, potem dodawanie
DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB
WYMIERNYCH DODATNICH.
• Dodając lub odejmując ułamki zwykłe
sprowadzić je do wspólnego mianownika.
należy
• Wspólny mianownik powinien być najmniejszą wspólną
wielokrotnością mianowników dodawanych ułamków
(najmniejszą liczbą podzielną przez wszystkie mianowniki
dodawanych ułamków).
• Dodając liczby mieszane możemy osobno dodawać
całości i osobno ułamki.
• Przy odejmowaniu liczb mieszanych, gdy odejmowany
ułamek jest większy niż ten od którego odejmujemy,
możemy „pożyczyć” 1 z całości.
PRZYKŁADY.
1
4

2
3

3
12

8
12

11
12
Wspólny mianownik: 12. Pierwszy ułamek
rozszerzamy przez 3, a drugi przez 4.
Wspólny mianownik: 14.
Osobno dodajemy całości
i osobno ułamki.
Wspólny mianownik: 6.
„Pożyczamy” 1 z 3 i dodajemy do ułamka. 1 zapisane w
postaci ułamka o mianowniku 24 to 24
24
„EKSPRESOWY” SPOSÓB NA
WSPÓLNY MIANOWNIK.
Poniższe przykłady pokazują uniwersalny sposób na
znalezienie wspólnego mianownika.
Wystarczy „górę” i „dół” pierwszego ułamka pomnożyć
przez „dół” drugiego i na odwrót.
DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB
WYMIERNYCH DODATNICH.
• Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków
dziesiętnych możemy działania wykonywać pisemnie
pamiętając o podpisywaniu ułamków „przecinek pod
przecinkiem”.
• Kiedy w jednym wyrażeniu występują liczby
zapisane w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych
przed obliczeniem zapisujemy je w jednej postaci
(ułamków zwykłych lub dziesiętnych).
PRZYKŁADY.
346,23 + 21,487 = 357,717
Obliczenia wykonujemy pisemnie pamiętając o
zasadzie „przecinek pod przecinkiem”.
MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB
WYMIERNYCH DODATNICH.
• Mnożąc ułamki zwykłe mnożymy licznik przez licznik
i mianownik przez mianownik („góra” razy „góra”, „dół”
razy „dół”).
• Zanim pomnożymy lub podzielimy ułamki zapisane
w postaci liczb mieszanych, należy zapisać je jako
ułamki niewłaściwe.
•
Skracać ułamki można tylko przy mnożeniu.
• Dzielenie ułamków zwykłych zamieniamy na
mnożenie przez odwrotność.
PRZYKŁADY.
Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik.
Liczby
mieszane
zamieniamy na
ułamki
niewłaściwe.
Przy mnożeniu możemy skracać ułamki po przekątnej.
Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.
MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB
WYMIERNYCH DODATNICH.
• Ułamki dziesiętne możemy mnożyć pisemnie,
pamiętając, że w wyniku należy odciąć tyle miejsc po
przecinku ile miały wszystkie czynniki.
• Dzieląc ułamki dziesiętne pamiętajmy, żeby
doprowadzić je do takiej postaci, aby dzielnik nie był
ułamkiem.
• Gdy w wyrażeniu występują ułamki dziesiętne i
zwykłe, zapisujemy wszystkie w jednej postaci i dopiero
wykonujemy działania.
PRZYKŁADY.
2,25 ∙ 1,2 = 2,7
1,26 : 0,003 =
Aby dzielnik był liczbą całkowitą i dzielną i dzielnik
pomnóżmy przez 1000:
1260 : 3 = 420
PRZYKŁADY.
5,17 : 4,7
Aby dzielnik był liczbą całkowitą i dzielną i dzielnik
pomnóżmy przez 10:
51,7 : 47
DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB
WYMIERNYCH.
Dla przypomnienia kilka prostych przykładów działań na
liczbach całkowitych dodatnich i ujemnych:
2 + (-3) = -(3–2)= -1 Dodając liczby o przeciwnych znakach zakrywamy znaki
-3 + 5 = 2
-4 + (-7) = -11
następnie od większej odejmujemy mniejszą i
zapisujemy znak, który stał przy większej.
Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
-5 – (-12) = -5 + 12 = 7
(-2) · 4 = -8
(-3) · (-7) = 21
(-15) : (-3) = 5
Odejmowanie zastępujemy dodawaniem liczby
przeciwnej do odjemnika.
Mnożenie lub dzielenie liczb o przeciwnych znakach daje
liczbę ujemną.
Mnożenie lub dzielenie liczb o jednakowych znakach daje
liczbę dodatnią.
DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB
WYMIERNYCH.
Dodając lub odejmując liczby wymierne należy
postępować według następujących zasad:
Aby dodać dwie liczby o różnych znakach należy:
 od większej liczby odjąć mniejszą (działając tak,
jakby obie były dodatnie)
 zapisać znak stojący przy większej liczbie
Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
Odejmowanie liczb można zamienić na dodawanie
liczby przeciwnej do odjemnika.
PRZYKŁADY.
Dodając lub odejmując liczby wymierne należy
postępować według następujących zasad:
Suma liczb ujemnych
jest liczbą ujemną.
Dodając liczby o
przeciwnych znakach od
większej odejmujemy
mniejszą (po zakryciu
znaków) i zapisujemy
znak, który stał przy
większej.
PRZYKŁADY.
Odejmowanie liczb można zamienić na dodawanie liczby przeciwnej
do odjemnika.
MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB
WYMIERNYCH.
W przypadku mnożenia i dzielenia liczb wymiernych
określanie znaku jest bardzo proste:
 Iloczyn/iloraz dwóch liczb o tych samych znakach
jest liczbą dodatnią.
„-” ∙ „-” → „+”
„+” ∙ „+” → „+”
„-” : „-” → „+”
„+” : „+” → „+”
 Iloczyn/iloraz dwóch liczb o przeciwnych znakach
jest liczbą ujemną
„-” ∙„+” →„-”
„+” ∙ „-” →„-”
„-” : „+” →„-”
„+” : „-” →„-”
PRZYKŁADY.
„+” ∙ „-” →„-”
„-” ∙ „-” → „+”
„-” : „-” → „+”
2,5 : (-0,25) = -(250 : 25) = -10
„+” : „-” →„-”