Transcript FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
José David Ojeda Marín
Funciones Trigonométricas
• Si θ es un Angulo en posición normal y
P(x,y) es cualquier punto contenido en el
lado final, deferente de O(0,0), se
cumple que
y se
definen las funciones trigonométricas
para el ángulo θ de la siguiente manera:
Funciones Trigonométricas
P(x,y)
r
y
θ
x
Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas
• Según lo anterior se obtienen
siguientes relaciones reciprocas
las
Funciones Trigonométricas
• Ejemplo: Si α es un ángulo en posición
normal cuyo lado final contiene al punto
A(4, -2) determinar los valores las
funciones seno, coseno y tangente.
Solución:
Como x = 4 & y = -2, entonces
Funciones Trigonométricas
• Dada las definiciones de las funciones
trigonométricas, tenemos:
Funciones Trigonométricas
• A partir de los valores encontrados
anteriormente, determinar el valor de
las funciones cosecante, secante y
cotangente de α.
Como:
Entonces:
Funciones Trigonométricas
Aplicamos lo mismo para las otras dos
funciones:
Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas
• Ejercicio 2: Si
y
hallar el valor de las demás funciones
trigonométricas :
Solución:
Puesto que
, entonces, x  3
r  2 . Además
y  1
, entonces
Funciones Trigonométricas
• Por lo anterior:
Signo de las funciones
trigonométricas de un
ángulo en posición normal
Funciones Trigonométricas
• Para determinar el signo de las
funciones trigonometricas se debe
analizar el comportamiento de r, x y y.
• Obsérvese que:
siempre es positivo
Por tanto x y y varían dependiendo del
cuadrante en el que se encuentren
Funciones Trigonométricas
• Por lo anterior, el signo del valor de las
funciones trigonométricas para
cualquier ángulo, depende de los signos
de x y y
• El siguiente cuadro resume los signos de
las funciones del ángulo θ en posición
normal, para los diferentes cuadrantes
en los que puede estar ubicado el lado
final del mismo
Funciones Trigonométricas
Cuadrante
I
II
III
IV
Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
-
Funciones trigonométricas
de los ángulos con su lado
final en los semiejes
Funciones Trigonométricas
• Los ángulos en posición normal cuyo lado
final coincide con uno de los semiejes
del plano cartesiano, se llaman ángulos
cuadrantales.
• Se debe considerar que sobre el lado
final de un angulo cuadrantal, se
encuentran algunos de los puntos (r, 0);
(0, r); (- r, 0); (0, - r)
Funciones Trigonométricas
• En la siguiente tabla se resumen los
valores de las funciones trigonométricas
para los ángulos entre 0° y 360°
Funciones Trigonométricas
Angulo
Sen θ
Cos θ
Tan θ
Cot θ
Sec θ
Csc θ
0
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
Ind
0
Ind
0
Ind
1
Ind
-1
Ind
1
Ind
-1
Ind
1
Ind
0
Ind
0
Ind
90
180
270
360
Razones trigonométricas
en un triangulo rectángulo
Funciones Trigonométricas
P(x,y)
Hipotenusa
r
O
Cateto
Opuesto
θ
Cateto
Adyasente
A
Funciones Trigonométricas
• En la figura anterior se observa el
ángulo θ en posición normal, cuyo lado
final se encuentra en el primer
cuadrante y un punto P ubicado sobre el,
el segmento PA es perpendicular al eje
x, por tanto el triangulo OPA es
rectángulo; para este triangulo OP es la
hipotenusa y PA y OA son los catetos.
Funciones Trigonométricas
• De acuerdo con su posición con respecto
al angulo θ, los catetos se clasifican en.
PA : Cateto opuesto al ángulo θ
OA : Cateto adyacente al ángulo θ
Funciones Trigonométricas
A partir de las definiciones de las
funciones trigonométricas para los
ángulos en posición normal, se definen
las relaciones trigonométricas en un
triangulo rectángulo así:
Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas
• Ejemplo: De acuerdo con la información
de la figura, determinar el valor de las
razones trigonométricas del ángulo θ.
5
3
θ
4
Funciones Trigonométricas
• Solución:
Funciones Trigonométricas
• Ejercicio 2: Determinar las razones
trigonométricas para el ángulo φ
φ
h
4
2
Funciones Trigonométricas
• Solución: Primero calculamos el valor de
la hipotenusa:
• Ahora calculamos los valores de las
razones trigonométricas
Funciones Trigonométricas
cateto opuesto
5
2


sen  
5
hipotenusa
2 5
cateto adyasente
2 5
4


cos  
5
hipotenusa
2 5
cateto opuesto
2 1
 
tan  
cateto adyasente 4 2
Funciones Trigonométricas
cateto adyasente 4
cot  
 2
cateto opuesto
2
hipotenusa
2 5
5
csc  


cateto adyasente
4
2
hipotenusa
2 5
sec  

 5
cateto opuesto
2
Funciones Trigonométricas
• Ejercicios:
1. Determinar las funciones
trigonométricas del ángulo en posición
normal cuyo lado final pasa por el
punto:
a.
b.
c.
d.
P(2, 5)
P(-3, 6)
P(4, -2)
P(7, -4)
f.
g.
h.
i.
P(0, -4)
P(1, 8)
P(-7, -2)
P(-2, -6)
Funciones Trigonométricas
2. Determinar el valor de las funciones
trigonométricas de cada uno de los ángulos
θ en los siguientes triángulos rectángulos
5
h
a.
7
θ
θ
θ
h
c.
3
b.
θ
6
e.
9
θ
θ
h
6
d.
h
5
h
4
θ
f.
h
4
2
h
8
5
g.
2
3