Transcript Inneh˚all

Inneh˚
all
1 Termodynamik
1.1 Termodynamik, tryck-volymarbete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Termodynamik, andra typer av arbete . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
10
2 Klassisk statistisk mekanik
13
3 Kvantstatistik
3.1 Allm¨an kvantstatistik . . .
3.2 Fermi-Dirac-statistik . . .
3.3 Bose-Einstein-statistik . .
3.3.1 Fotoner . . . . . .
3.3.2 Andra sv¨angningar
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
28
32
33
36
4 Termodynamik, l¨
osningar
38
4.1 Termodynamik, tryck-volymarbete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Termodynamik, andra typer av arbete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Klassisk statistisk mekanik, l¨
osningar
6 Kvantstatistik, l¨
osningar
6.1 Allm¨an kvantstatistik . . .
6.2 Fermi-Dirac-statistik . . .
6.3 Bose-Einstein-statistik . .
6.3.1 Fotoner . . . . . .
6.3.2 Andra sv¨angningar
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
. 84
. 89
. 99
. 103
. 108
1
Termodynamik
1.1
Termodynamik, tryck-volymarbete
1. Ber¨akna f¨or n mol ideal gas med tryck P , volym V , temperatur T och konstant
CV (v¨armekapacitet vid konstant volym)
a) Inre energi och entalpi.
b) V¨armekapacitet vid konstant tryck, CP .
c) Entropi som funktion av i) V och T , ii) P och T , och iii) V och P .
d) Ber¨akna CP fr˚
an resultaten i c).
e) Vad a¨r sambanden mellan i) V och T , ii) P och T , och iii) V och P f¨or en
reversibel adiabatisk process? Uttryck sambanden med hj¨alp av parametern
γ = CP /CV .
f) F¨or luft g¨aller CV = 2, 5nR. Vad blir CP och uttrycken i e)?
2. En ideal gas expanderar reversibelt adiabatiskt till dubbla volymen. Vad blir entropi¨andringen?
3. Vad blir entropi¨andringen d˚
a en mol av en ideal gas komprimeras isotermt till
halva ursprungsvolymen?
4. Best¨am entropi¨andringen hos 1 mol av en tv˚
aatomig ideal gas (CV = 2, 5R) d˚
a den
expanderar till dubbla volymen samtidigt som temperaturen sjunker till h¨alften.
5. F¨orsta steget i en bilmotors arbetscykel kan behandlas som en reversibel adiabatisk
kompression. Vad blir f¨orh˚
allandet mellan slut- och begynnelsetryck i detta steg
om kompressionsf¨orh˚
allandet, dvs. f¨orh˚
allandet mellan begynnelse- och slutvolym,
¨ar 10 och mediet antas vara en enatomig ideal gas?
6. En ideal enatomig gas pumpas genom en v¨armeisolerad strypning (Joule–Kelvinkylning) s˚
a att trycket s¨anks fr˚
an 2 atm till 0, 5 atm. Vad blir sluttemperaturen om
begynnelsetemperaturen var 300 K. Vid Joule–Kelvin-kylning g¨aller att entalpin
¨ar konstant.
7. Ett ¨amne har kompressibiliteten och v¨armeutvidgningskoefficienten:
1 ∂V
1 ∂V
= a/V β =
= 2bT /V
κ=−
V ∂P T
V ∂T P
d¨ar a och b ¨ar konstanter. Best¨am tryckf¨or¨andringen (uttryckt i konstanterna) d˚
a
temperaturen ¨andras fr˚
an T1 till T2 vid konstant volym.
3
8. V¨armekapaciteten vid konstant volym ¨ar 0, 312 J/K hos ett gram av en viss monoatom¨ar ideal gas. Vad ¨ar v¨armekapaciteten vid konstant tryck?
9. V¨armem¨angden Q per tidsenhet pumpas av en ideal (reversibel) v¨armepump fr˚
an
◦
◦
utomhusluft med temperaturen −10 C in i ett hus med temperaturen 20 C.
Vilken ¨ar den minsta effekt som beh¨ovs enligt andra huvudsatsen f¨or att driva
v¨armepumpen?
10. En v¨armemaskin arbetar med ¨overhettad vatten˚
anga med temperaturen 200 ◦ C.
N¨ar denna kondenserar avges v¨arme till en omgivning med temperaturen 20 ◦ C.
Vilken ¨ar den teoretiskt h¨ogsta verkningsgrad som kan uppn˚
as?
11. Ett kylsk˚
ap befinner sig i en omgivning med temperaturen +25 ◦ C. En v¨armem¨angd Q per tidsenhet l¨acker in i kylsk˚
apet. Vilken ¨ar den minsta effekt som
enligt andra huvudsatsen beh¨ovs f¨or att h˚
alla temperaturen +6 ◦ C i kylsk˚
apet?
12. Ett hus kan v¨armas antingen med direktverkande elv¨arme eller med en ideal (reversibel) v¨armepump. Hur stor energibesparing ger v¨armepumpen j¨amf¨ort med
den direktverkande elv¨armen (i procent) om den utomhusluft som v¨armepumpen
arbetar mot h˚
aller temperaturen a) −10 ◦ C och b) +10 ◦ C)? Anta hela tiden att
den inomhustemperatur man vill h˚
alla ¨ar +22 ◦ C.
13. 1 kg v¨atskeformigt vatten med temperaturen 100 ◦ C kyls i en reversibel v¨armemaskin av ett mycket stort isblock med temperaturen 0 ◦ C tills vattnet (fortfarande
v¨atskeformigt) antar temperaturen 0 ◦ C. Best¨am (i) hur mycket is som sm¨alts i
processen och (ii) det arbete som f˚
as ut fr˚
an maskinen. V¨atskeformigt vatten har
den temperaturoberoende v¨armekapaciteten 4,2 J g−1 K−1 och is har sm¨altv¨armet
334 J/g.
14. En cyklisk process arbetar i tre steg enligt:
1) Uppv¨armning vid konstant volym av en gasm¨angd fr˚
an ursprungstemperaturen T1 till temperaturen T2 .
2) Adiabatisk expansion varvid temperaturen s¨anks till T1 .
3) Kompression vid konstant temperatur, T1 , till ursprungsvolymen.
T
T2
(1)
T1
(2)
(3)
V
4
Alla steg antas vara reversibla och gasen ideal. Ber¨akna, uttryckt i T1 , T2 och den
konstanta v¨armekapaciteten CV :
a) tillf¨ort v¨arme i steg (1),
b) utf¨ort arbete i steg (2),
c) v¨arme och arbete i steg (3).
15. F¨or uppv¨armning av ett hus skulle man kunna t¨anka sig att anv¨anda f¨oljande
relativt enkla metod: Man utnyttjar en kall, frostfri v¨armereservoir nere i marken
(som h˚
aller ungef¨ar samma temperatur ˚
aret om) med temperatur T1 . Fr˚
an denna
leds n mol luft av tryck P1 in i huset d¨ar den med hj¨alp av en elektrisk motor:
1) komprimeras adiabatiskt till inomhustemperaturen T2 ,
2) komprimeras vid temperatur T2 till tryck P2 , varvid en v¨armem¨angd Q avges.
Efter detta leds luftm¨angden ut och
3) expanderar adiabatiskt till yttertemperaturen T1 ,
4) expanderar ytterligare, nu vid konstant temperatur, till begynnelsetillst˚
andet.
Processen upprepas sedan cykliskt. Gasen antas vara ideal, med v¨armekapacitet
CV = 2, 5nR. Processerna antas vara reversibla.
Ber¨akna:
a) avgivet v¨arme i fas 2 (som skall uppv¨aga v¨armef¨orluster genom l¨ackage ut˚
at),
b) det totala tillf¨orda arbetet, W , under en cykel av processen, och slutligen
c) kvoten Q/W , som s¨ager hur mycket effektivare denna process ¨ar ¨an en direkt
omvandling av den elektriska energin i v¨arme (i ett elektriskt element). S¨att
speciellt T1 = 4 ◦ C och T2 = 18 ◦C.
a h¨ar bra. Till arbetet b¨or l¨aggas pumpAnm.: Verkligheten ¨ar naturligtvis inte s˚
arbete f¨or transport av luft in och ut ur huset. En verklig maskin arbetar inte
reversibelt och har friktionsf¨orluster. Men som synes finns det mycket att ta av.
16. En kretsprocess i t. ex. en bilmotor kan beskrivas av f¨oljande steg:
1) Adiabatisk kompression fr˚
an volymen V1 till volymen V2 .
2) V¨armetillf¨orsel vid konstant volym V2 (genom f¨orbr¨anning av bensin) varvid
trycket o¨kar fr˚
an P2 till P3 .
3) Adiabatisk expansion till ursprungsvolymen V1 .
4) Utj¨amning av tryck och temperatur vid volym V1 till ursprungstillst˚
andet.
Antag att gasen ¨ar ideal, alla steg ¨ar reversibla och att gasm¨angden ¨ar konstant n
mol under processen. V¨armekapaciteten CV s¨atts lika med 2,5nR. Utf¨or f¨oljande:
a) Rita in processen i ett tryck-volym diagram och ber¨akna samtliga tryck¨andringar (uttryckt i V1 , V2 , P2 och P3 ).
5
b) Ber¨akna v¨armetillf¨orseln Q2 i steg (2), avgivet v¨arme i steg (4) och det arbete
−W som f˚
as ut under en cykel.
c) Ber¨akna verkningsgraden η = −W/Q hos processen. Uttryck denna endast i
volymerna V1 och V2 .
17. En ideal Stirling-process ¨ar en t¨ankt kretsprocess f¨or n mol av en ideal gas i fyra
steg som antas reversibla:
1) Kompression vid konstant temperatur TA fr˚
an volymen V1 till V2 .
2) Uppv¨armning av den komprimerade gasen vid konstant volym fr˚
an temperatur TA till TB .
3) Expansion vid konstant temperatur TB till ursprungsvolymen V1 .
4) Avkylning vid konstant volym V1 till ursprungstemperaturen TA .
V¨armekapaciteten CV = 2, 5nR.
Ber¨akna det till- och bortf¨orda v¨armet i de olika stegen, samt det totala arbetet
som f˚
as ut under en cykel av processen. Visa att Carnot-sambandet
TB − TA
W
=
Q3
TB
g¨aller (Q3 ¨ar tillf¨ort v¨arme under steg (3) och W ¨ar det totalt utvunna arbetet ur
processen).
18. Best¨am det maximala arbete som kan utvinnas genom att en mol ideal gas med
konstant v¨armekapacitet CV , temperatur T och tryck P f˚
as att anta omgivningens
temperatur T0 och tryck P0 .
19. Vattnet i en kraftverksdamm ¨ar 10 grader kallare vid botten ¨an vid ytan. Ber¨akna
det maximala arbete som kan utvinnas om ett kg vatten vid ytan kyls till bottentemperaturen och j¨amf¨or denna energi med den som skulle kunna utvinnas ur den
potentiella energiskillnaden genom att vattnet f˚
ar falla 100 m. V¨armekapaciteten
f¨or 1 kg vatten ¨ar 4,2 kJ/K. G¨or ber¨akningen p˚
a tre s¨att, f¨orst genom att (helt
felaktigt) bortse fr˚
an andra huvudsatsen, sedan med antagandet att kylningen hela tiden sker med temperaturskillnaden 10 grader mellan det varma och det kalla
vattnet. G¨or slutligen (mest realistiskt) ber¨akningen med antagandet att det varma vattnets temperatur successivt s¨anks till bottentemperaturen (med f¨oljden att
mindre och mindre arbete kan utvinnas ju mindre temperaturskillnaden blir).
20. En maskin drivs av lika delar varmt vatten med de olika temperaturerna T1 och T2 .
Allt vatten blandas och sprutas ut som en jetstr˚
ale med temperaturen T som driver maskinen fram˚
at. Den kinetiska energin hos vattnet i jetstr˚
alen, Ek = mv 2 /2
f˚
as ur v¨armeenergi hos vattnet. Vattnets v¨armekapacitet ¨ar C per massenhet oberoende av temperaturen och den kinetiska energin hos det inkommande vattnet
kan f¨orsummas.
a) Best¨am den hastighet som vattnet i jetstr˚
alen f˚
ar som funktion av T1 , T2 och T
ur villkoret att energin konserveras!
6
b) Vilken ¨ar den maximala hastigheten hos jetstr˚
alen som funktion av T1 och T2
som till˚
ats av andra huvudsatsen?
21. En patron inneh˚
aller 6 · 10−3 mol krut med volymen 0,2 cm3 . I f¨orbr¨annings¨ogonblicket a¨r gasernas temperatur 4000 K och volymen antas lika med volymen av det
fasta krutet. Uppskatta mynningshastigheten hos en kula som v¨ager 5 gram vid
avfyrning i ett vapen med mynningsvolymen 20 cm3 genom att ber¨akna arbetet
vid gasens expansion. Gasen betraktas som ideal och expansionen som reversibelt
adiabatisk. R = 8, 317 J/K och CP /CV = 1, 5.
22. I ett absorbtionskylsk˚
ap sker kylningen genom att tv˚
a gaser blandas vid konstant
tryck. Best¨am den maximala temperaturs¨ankning som kan f˚
as genom att blanda
lika delar av tv˚
a ideala gaser med tryck P och temperatur T till en blandning med
totaltryck P . Gasernas v¨armekapaciteter vid konstant tryck ¨ar konstant och lika
med 25 kB per molekyl .
23. Best¨am temperaturf¨ordelningen T (z) − T (0) i jordens atmosf¨ar under f¨oljande antagnaden:
1) Atmosf¨aren kan beskrivas som en ideal tv˚
aatomig gas (CP /CV = 1, 4, massan
28 g/mol).
2) Det r˚
ader mekanisk j¨amvikt dvs. dp(z) = −n(z)mgdz, d¨ar n(z) ¨ar antalst¨atheten. Tyngdkraftaccelerationen g = 9, 81 m/s2 .
3) Det sker ingen v¨armetransport i z-led.
24. En v¨atska har kompressibiliteten
1 ∂V
= K(1 + β(T − T0 ))
κ=−
V ∂P T
och den termiska expansionskoefficienten
1 ∂V
α=
= A(1 − γP ).
V ∂T P
a) Best¨am tillst˚
andsekvationen och uttryck konstanten γ i konstanterna K, β
och A!
b) Best¨am den temperatur¨andring som kr¨avs f¨or att ¨oka trycket hos en given
m¨angd v¨atska till 100 atm! Vid begynnelsetemperaturen T = 273 K ¨ar trycket
1 atm. K = 2, 52 · 10−5 atm−1 , β = 2 · 10−3 K−1 , T0 = 273 K, A = 4, 2 · 10−4
K−1 och γ = 1, 2 · 10−4 atm−1 .
25. En mol van der Waals-gas uppfyller tillst˚
andsekvationen
a P + 2 (V − b) = RT
V
och f˚
ar expandera fr˚
an volymen V1 vid temperaturen T1 till volymen 2V1 . Ber¨akna
sluttemperaturen om detta sker v¨armeisolerat och
7
a) genom fri expansion utan att systemet p˚
averkas av arbete,
b) reversibelt (varvid systemet utr¨attar arbete), och slutligen
c) genom att passera en strypning i ett r¨or.
V¨armekapaciteten vid konstant volym ¨ar konstant och lika med 2, 5R.
S¨att speciellt T1 = 300 K, V1 = 10−4 m3 , a = 0, 0247 Jm3 och b = 2, 66 · 10−5 m3 .
¨ n˚
Gasen ¨ar s˚
aledes ganska komprimerad. Ar
agon av processerna effektiv som kylprocess? Gissa med ledning av detta och v¨ardena p˚
a a, b och CV vilken gasen
¨ar.
26. En mol av en van der Waals-gas har den konstanta v¨armekapaciteten CV och expanderar fritt och isolerat fr˚
an volymen V till den dubbla volymen. Best¨am temperatur¨andringen uttryckt i V , CV och de konstanter som ing˚
ar i tillst˚
andsekvationen!
27. En mol av en van der Waals-gas expanderar vid konstant temperatur, T , fr˚
an
volymen 3b till 6b (b ¨ar den konstant med samma beteckning som ing˚
ar i tillst˚
andsekvationen). Vilket v¨arme utvecklas i processen?
28. Visa att v¨armekapaciteten vid konstant volym, CV , f¨or en van der Waals-gas ej
beror av volymen och d¨arf¨or ¨ar densamma som f¨or den ideala gas som f˚
as vid l˚
aga
t¨atheter.
29. F¨or en mol av en tv˚
aatomig icke-ideal gas g¨aller f¨oljande tillst˚
andsekvation
P = f (T /V )
d¨ar f ¨ar en given monotont v¨axande funktion. Vidare g¨aller att tillst˚
andsekvationen
ar i ideala gaslagen vid mycket stora volymer. D˚
a blir ocks˚
a v¨armekapaciteten
¨overg˚
vid konstant tryck lika med 3, 5R.
a) Visa att entalpin H blir en funktion av enbart temperaturen!
b) Visa att v¨armekapaciteten vid konstant tryck ¨ar konstant (oberoende av V ,
T och P )!
c) Best¨am det v¨arme som m˚
aste bortf¨oras f¨or att komprimera en mol av gasen
reversibelt fr˚
an volymen V till 0, 9V vid konstant tryck! Begynnelsetemperaturen ¨ar 300 K.
30. Ett material har tillst˚
andsekvationen:
P = AT 3 /V
medan den inre energin ges av:
U = BT n ln (V /V0 ) + f (T ).
A, B, n och V0 a¨r konstanter medan f (T ) a¨r en inte n¨armare specificerad funktion
av T . Best¨am heltalet n samt best¨am B som funktion av A.
8
31.
a) Visa allm¨ant utifr˚
an formler f¨or entropin att
α2
∂V
∂P
= VT
CP − CV = T
∂T V ∂T P
κ
1 ∂V
d¨ar utvidgningskoefficienten α =
V ∂T P
1 ∂V
och kompressibiliteten κ = −
.
V ∂P T
b) Best¨am CP − CV f¨or en mol av en ideal gas.
c) Visa att f¨or en mol van der Waals-gas g¨aller:
CP − CV =
R
2a(V − b)2
1−
V 3 RT
32. I en exempelsamling med m˚
anga feltryck ges f¨oljande formel f¨or Joule–Kelvinkoefficienten:
1
∂V
∂T
=
2T
−V .
µJT ≡
∂P H
CP
∂T P
F¨oresl˚
a en enkel korrigering som ger r¨att resultat f¨or den ideala gasen.
33. Best¨am den saknade termen i den termodynamiska relationen:
∂U
∂P
=T
+ ...
∂V T
∂T V
34. I ett Mollier-diagram avs¨atts entalpin H som funktion av entropin S f¨or en gas.
Visa att lutningen f¨or kurvor representerande reversibla processer vid konstant
temperatur och volym ¨ar
T−
1
α
respektive
T+
γ−1
α
d¨ar γ ¨ar f¨orh˚
allandet mellan v¨armekapaciteterna (CP /CV ) och α ¨ar volymutvidgningskoefficienten
1 ∂V
α=
.
V ∂T P
9
35. Bulkmodulen, Bx = −V (∂P/∂V )x kan m¨atas vid konstant T (BT ) eller adiabatiskt
(vid konstant entropi (BS )). H¨arled f¨oljande samband:
BS = BT +
γV2 T
ρcV
d¨ar ρ ¨ar partikelt¨atheten (N/V ), cV v¨armekapaciteten per partikel vid konstant
volym och γV den termiska tryckkoefficienten som definieras:
∂P
γV =
.
∂T V
1.2
Termodynamik, andra typer av arbete
36. Tv˚
a system, A och B har de totala konstanta v¨armekapaciteterna CA och CB
samt begynnelsetemperaturerna TA och TB . De s¨atts i kontakt med varandra s˚
a
att v¨arme kan utbytas i en l˚
angsam process utan v¨armeutbyte med omgivningen. I
sluttillst˚
andet har b¨agge systemen antagit samma temperatur. Best¨am den totala
entropi¨andringen i denna process och visa att den a¨r positiv!
37. Tv˚
a system med temperaturerna T1 och T2 best˚
ar av samma kvantitet (massan
m) av ett ¨amne med den temperaturoberoende v¨armekapaciteten per massenhet
vid konstant tryck cP . De s¨atts i kontakta med varandra s˚
a att de kan utbyta
v¨arme i en l˚
angsam process vid konstant tryck utan v¨armeutbyte med omgivningen
som slutligen leder till att temperaturen utj¨amnas och blir densamma. Best¨am
sluttemperaturen och den totala entropi¨andringen vid processen samt visa att den
senare alltid ¨ar positiv.
38. Ett system med den temperaturberoende v¨armekapaciteten aT (d¨ar a ¨ar en konstant) har begynnelsetemperaturen T0 . Ett annat system med begynnelsetemperaturen 3T0 har en temperatureoberende v¨armekapacitet 2aT0 . Systemen s¨atts i
termisk kontakt med varandra och f˚
ar utbyta v¨arme i en reversibel process tills de
antagit samma temperatur. Vad blir sluttemperaturen och den totala entropi¨andringen?
39. En v¨armemaskin arbetar mellan tv˚
a reservoirer med temperatur T1 och T2 . De har
samma totala konstanta v¨armekapacitet CV . Best¨am det maximala arbete, som
kan utvinnas ur systemet om temperaturen utj¨amnas mellan reservoirerna! Vilken
blir d˚
a sluttemperaturen?
40. Ett paramagnetiskt salt f¨oljer Curies lag. Best¨am arbetet som ˚
atg˚
ar f¨or att magnetisera saltet fr˚
an magnetiseringen noll till M vid konstant temperatur T .
41. En gummitr˚
ad antas ha f¨oljande samband mellan l¨angd L, temperatur T och
str¨ackkraft F :
F = (a + bT )(L − L0 )
10
d¨ar a, b och L0 ¨ar positiva konstanter. V¨armekapaciteten vid konstant L beror inte
av temperaturen och ¨ar lika med C f¨or L = L0 . Tr˚
aden dras ut fr˚
an L = L0 till
dubbla l¨angden L = 2L0 .
a) Detta g¨ors adiabatiskt, reversibelt. Hur a¨ndras temperaturen?
b) Om detta ist¨allet g¨ors vid konstant temperatur, men fortfarande reversibelt,
vilket arbete fordras och vad blir den avgivna v¨armen?
42. Sp¨anningen i en elastisk cylinder ges av tillst˚
andsekvationen:
L20 (T )
L
σ(L, T ) = aT
−
L0 (T )
L2
d¨ar a d¨ar en konstant, L l¨angden och L0 (T ) l¨angden vid sp¨anning noll. Best¨am det
v¨arme som tillf¨ors d˚
a cylindern str¨acks reversibelt vid konstant temperatur fr˚
an
l¨angden L0 (T ) till 2L0 (T ). Svaret f˚
ar f¨orutom a,T och L0 (T ) inneh˚
alla l¨angdutvidgningskoefficienten vid sp¨anning noll
α0 =
1 dL0 (T )
.
L0 (T ) dT
43. Ett allm¨ant system har tillst˚
andsvariablerna x, X och T , och δWrev = Xdx. Visa
att den inre energin blir en funktion som bara beror av T om och endast om
tillst˚
andsekvationen kan skrivas p˚
a formen
X(x, T ) = T g(x)
d¨ar g(x) ¨ar en (godtycklig) funktion av x.
44. Hos ett reversibelt batteri g¨aller att den elektromotoriska kraften (emk:n)
E = (3, 2 + 0, 007(T − 273 K)) V.
Det tillf¨orda arbetet ges av ¨andringen i laddning dZ och emk:n som δWrev =
EdZ. Batteriet ger ifr˚
an sig str¨ommen 200 mA under 30 sekunder. Temperaturen
¨ar konstant 300 K och andra typer av arbete ¨an det elektriska givet ovan kan
f¨orsummas. Best¨am utr¨attat arbete, ¨andring i inre energi och entropi samt avgivet
eller tillf¨ort v¨arme under processen.
45. Ett paramagnetiskt salt har magnetiserats till f¨alt H vid temperaturen T1 . Magnetf¨altet minskas sedan adiabatiskt och reversibelt till H = 0. Ber¨akna sluttemperaturen T0 . F¨oljande samband mellan magnetiseringen per volymsenhet, M, f¨altet
H och temperaturen T g¨aller:
M=
b
H
T
11
d¨ar b ¨ar en materialkonstant. Provets v¨armekapacitet ¨ar f¨or konstant H = 0 i det
aktuella temperaturomr˚
adet
CH (H = 0, T ) =
a
T2
d¨ar a ¨ar en ny konstant (a,b > 0). Provets volym ¨ar V .
46. Ett system av N spinn-1/2 partiklar magnetiseras reversibelt vid konstant temperatur T fr˚
an magnetiseringen M per volymsenhet lika med 0 till αM0 , d¨ar
0 ≤ α ≤ 1 och den maximala magnetiseringen per volymsenhet M0 = mN/V
(N/V ¨ar antalet spinn per volymsenhet och m det magnetiska momentet hos varje
spinn). F¨oljande tillst˚
andsekvation g¨aller:
µ0 mH
M = M0 tanh
.
kT
Ber¨akna det v¨arme som till- eller bortf¨ors. S¨att speciellt α = 1.
47. En plattkondensator med plattavst˚
andet d ¨ar v¨armeisolerad fr˚
an omgivningen.
Mellan plattorna finns ett dielektriskt material med dielektricitetskonstanten ǫ(T ),
v¨armekapaciteten vid konstant elektriskt f¨alt noll c0 (konstant) och volymen V .
Ber¨akna temperatur¨andringen i dielektriet d˚
a kondensatorn ansluts till ett batteri
med sp¨anningen U volt. Randeffekter, kondensatorns egen v¨armekapacitet och
tryck-volym arbete f¨orsummas. Inom det aktuella temperaturomr˚
adet g¨aller
ǫ(T ) = c1 ln
T0
T
d¨ar c1 och T0 ¨ar konstanter. Processen antas vara adiabatisk reversibel och materialet f¨oljer tillst˚
andsekvationen
P = (ǫ(T ) − 1)ǫ0 E
d¨ar P ¨ar polarisation per volymenhet g¨aller.
48. Det arbete som beh¨ovs f¨or att ¨andra ytan dA hos en m¨angd v¨atska (vid konstant volym) kan skrivas γdA, d¨ar ytsp¨anningskoefficienten γ(T ) ¨ar postiv och
endast en funktion av temperaturen T . Best¨am temperatur¨andringen d˚
a en sf¨arisk v¨atskedroppe delar sig i tv˚
a lika stora sf¨ariska v¨atskedroppar! Processen antas
ske reversibelt adiabatiskt. V¨armekapaciteten per volymsenhet hos v¨atskan ¨ar cV ,
som kan betraktas som konstant medan γ(T ) = aT + b, d¨ar a och b ¨ar konstanter.
V¨atskedroppens radie a¨r R.
12
2
Klassisk statistisk mekanik
49. Visa att variansen av energin f¨or ett allm¨ant system i kanonisk ensemble ¨ar
(E − U)2 = kB T 2 CV .
U = hEi inre energi och CV ¨ar v¨armekapacitet.
50. Ber¨akna den kanoniska tillst˚
andssumman, inre energin samt v¨armekapaciteten f¨or
en klassisk endimensionell harmonisk oscillator.
51. Ensembler av andra slag ¨an de tre som diskuteras i kursen kan av¨andas, t.ex. en
d¨ar volymen inte ¨ar fix. Sannolikheten f¨or en viss volym ¨ar d˚
a
P (V )dV =
1
ZN (V, T )e−γV dV,
Φ(γ, T )
d¨ar ZN ¨ar kanoniska tillst˚
andssumman, γ en parameter och Φ en normeringsstorhet, som spelar samma roll som ZN .
Visa, l¨ampligen genom att studera mest sannolika v¨arden och dess bidrag till Φ,
1) att γ = P/kB T , d¨ar P = trycket, som a¨r en given parameter i detta fall,
2) att kB T ln Φ = −G, d¨ar G ¨ar Gibbs fria energi,
∂(ln Φ)
samt
3) att medelv¨ardet av volymen hV i ≡ V0 = −
∂γ
4) att dess varians
h(V − V0 )2 i =
∂ 2 (ln Φ)
= kB T V0 κ,
∂γ 2
1
d¨ar den isoterma kompressibiliteten κ = −
V0
∂V0
∂P
.
T
52. Ett system (icke-ideal gas, v¨atska) best˚
aende av N atomer som beskrivs av klassisk
statistisk mekanik definieras av Hamilton-funktionen
H=
N
X
pi 2
i=1
2m
+
N
X
i=1
V (ri ) +
X
i, j
i>j
W(ri − rj ).
Visa att medelv¨ardet av kinetiska energin i en kanonisk ensemble alltid ¨ar 23 NkB T .
53. H¨arled en tillst˚
andsekvation, d.v.s. ett samband mellan P , V , N och T f¨or en ideal
gas som beskrivs med klassisk statistisk mekanik.
13
a) i en extremt relativistisk situation d¨ar E = cp ¨ar sambandet mellan energin
och r¨orelsem¨angden.
b) i en mer allm¨an situation med motsvarande samband
p
E = m2 c4 + c2 p2 .
54. F¨or en viss icke-ideal gas kan den kanoniska tillst˚
andssumman skrivas
N
N
Z(N, V, T ) = Zideal (N, V, T ) 1 − v1
V
d¨ar Zideal (N, V, T ) ¨ar den ideal gasens tillst˚
andssumma och v1 en konstant volym.
Best¨am tillst˚
andsekvationen!
55. F¨or ett system ges inre energin U som funktion av partikelantalet N, volymen V
och entropin S som:
2/7
N
e2S/7N kB
U(S, V, N) = αNkB
V
Best¨am tillst˚
andsekvationen dvs. P (N, V, T ). α ¨ar en konstant och kB ¨ar Boltzmanns konstant.
56. Energiniv˚
aerna f¨or en partikel innesluten i en kub med sidan a ¨ar,
Enx ,ny ,nz =
h2
n2x + n2y + n2z ,
2
8ma
visa att trycket f¨or ett givet tillst˚
and j blir
Pj =
2 Ej
.
3V
Visa att ideala gaslagen, P V = NkB T , g¨aller f¨or systemet!
57. Ett system har fria energin som funktion av tryck, temperatur och partikelantal:
aP
G(N, P, T ) = NkB T ln
(kB T )5/2
d¨ar a ¨ar en konstant. Best¨am v¨armekapaciteten vid konstant tryck som funktion
av tryck, temperatur och partikelantal.
58. F¨or ett system ¨ar antalet mikroskopiska tillst˚
and Ω som funktion av energin U och
partikelantalet N proportionellt mot U 4N . Vad ¨ar systemets v¨armekapacitet (som
funktion av N och T )? Volymen ¨ar konstant.
14
59. Den mikrokanoniska tillst˚
andssumman Ω(U, V ) (antalet tillst˚
and med energi U
och volym V ) f¨or ett system a¨r given:
1/2
Ω(U, V ) = Aeγ(V U )
Best¨am entropin som funktion av temperatur, volym och konstanterna A och γ!
60. Den kanoniska tillst˚
andsumman f¨or ett system ¨ar
Z(N, V, T ) = eγT
3 V 2 /N
d¨ar γ ¨ar en konstant, T temperaturen, V volymen och N partikelantalet. Best¨am
den kemiska potentialen!
61. Entropin hos ett system a¨r given som funktion av partikelantal (N), energi (U)
och volym (V ) (A och B a¨r konstanter):
S(N, U, V ) = A − B
(NV )2
U3
. Best¨am energin U som funktion av temperatur, volym och partikelantal!
62. Den kanoniska tillst˚
andssumman f¨or ett system ¨ar
Z = eaT
3V
d¨ar a ¨ar en konstant. Best¨am systemets inre energi!
63. Ett system best˚
ar av N oberoende partiklar med spinn 1/2. Varje partikel har ett
magnetiskt moment m vilket kan st¨alla in sig antingen parallellt eller antiparallellt
med ett homogent yttre magnetf¨alt B. De motsvarande energierna f¨or partiklarna
an omgivningen.
¨ar −mB respektive mB. Systemet ¨ar v¨armeisolerat fr˚
a) Best¨am sannolikhetsf¨ordelningen f¨or systemets totala magnetiska moment d˚
a
B = 0.
b) Ber¨akna totala antalet m¨ojliga tillst˚
and med total energi U.
c) Ber¨akna entropin.
d) Best¨am temperaturen som funktion av U. Invertera.
64. Systemet i exempel 63 antas nu befinna sig i v¨armekontakt med omgivningen som
har temperaturen T .
a)
b)
c)
d)
Best¨am sannolikhetsf¨ordelningen f¨or systemets totala energi.
Best¨am sannolikhetsf¨ordelningen f¨or en enstaka partikels energi.
Ber¨akna systemets totala magnetiska moment samt susceptibiliteten.
Ber¨akna fria energin, inre energin, entropin samt v¨armekapaciteten.
15
Man kan anta att
mB
kB T
≪ 1. Svag magnetisering inneb¨ar ¨aven att B ≈ µ0 H.
65. Energiniv˚
aerna hos atom¨art v¨ate En = −13, 6/n2 eV ¨ar (2n2 )-faldigt degenererade
och n = 1, 2, 3, . . .. Vilken temperatur kr¨avs f¨or att det skall finnas lika m˚
anga
atomer i det f¨orsta exciterade tillst˚
andet (n = 2) som i grundtillst˚
andet (n = 1) ?
66. B˚
ade 3 He och 4 He kan vid rumstemperatur behandlas som monoatom¨ara ideala
gaser. Vad ¨ar skillnaden i entropi mellan de tv˚
a heliumisotoperna?
67. V¨ate finns i de tre isotoperna H, D (deuterium) och T (tritium) med noll, en,
respektive tv˚
a neutroner i k¨arnan. Vid en viss temperatur har HD-molekylen v¨armekapaciteten CP = 3kB per molekyl. Har DT-molekylen samma, st¨orre eller
mindre CP vid denna temperatur?
68. De kvantmekaniska rotationsenerginiv˚
aerna hos en tv˚
aatomig molekyl ¨ar:
E(j) =
~2 j(j + 1)
2I
d¨ar tillst˚
and j ¨ar (2j +1)-faldigt degenererat. Best¨am vilket tillst˚
and (j-v¨arde) som
¨ar vanligast f¨orekommande vid temperaturen T . Det g¨aller att ~2 /2IkB T ≪ 1.
69. En tv˚
aatomig molekyl som kv¨avemonoxid (NO) f˚
ar rotationsenergier:
EJ =
~2
J(J + 1),
2A
J = 0, 1, 2, 3, ...
d¨ar A ¨ar tr¨oghetsmomentet och J kvanttalet f¨or r¨orelsem¨angdsmomentet. F¨or varje
J-v¨arde finns (2J +1) kvantmekaniska tillst˚
and med samma energi (degenerationsgraden ¨ar (2J + 1)).
a) Vad a¨r f¨orh˚
allandet mellan antalet molekyler i den l¨agsta niv˚
an (J = 0) och
den n¨ast l¨agsta (J = 1) vid temperaturen T ?
b) Vid vilken temperatur finns lika m˚
anga molekyler med J = 0 och J = 1?
c) I vilket rotationstillst˚
and (J-v¨arde) finns flest molekyler vid temperatur T ,
som ¨ar st¨orre ¨an den i b). (Derivera med avseende p˚
a J) Vad blir resultatet
f¨or ~2 /2A = 10−3 eV och T = 300 K (k = 10−4 eV/K)?
d) Skriv upp uttryck f¨or tillst˚
andsumman och entropin. Om ~2 /(2A) ≪ kT (vilket g¨aller vid rumstemperatur) kan summorna approximeras med integraler.
G¨or det och ber¨akna tillst˚
andssumman, entropin, inre energin och v¨armekapaciteten.
70. Kv¨ave har k¨arnspinn 1, vilket betyder att k¨arnspinnen i N2 molekylen s¨atter sig
samman antingen till 0 eller 2 (6 orto-tillst˚
and) eller 1 (3 para-tillst˚
and). Ortotillst˚
anden har j¨amt kvanttal f¨or r¨orelsem¨angdssmomentet (ℓ = 0, 2, 4, . . .) medan
paratillst˚
anden har udda (ℓ = 1, 3, 5, . . .). Ett tillst˚
and med kvanttal ℓ har energi
16
ℓ(ℓ + 1)A och degeneration (2ℓ + 1) g˚
anger degenerationen hos k¨arnspinntillst˚
andet. Best¨am andelen para- och ortokv¨ave i de tv˚
a gr¨ansfallen A/kB T ≪ 1 och
A/kB T ≫ 1.
71. I H2 har protonerna spinn 1/2, vilket kan adderas till ett totalt spinn p˚
a antingen 0 (parav¨ate, “singlett”-tillst˚
and med degeneration 1) eller spinn 1 (ortov¨ate,
“triplett”-tillst˚
and med degeneration 3). Antag att energiskillnaden mellan dessa
¨ar ǫ (ortov¨ate har den h¨ogre energin).
a) Ber¨akna entropin fr˚
an grunddefinitionen om N molekyler har totala energin
U (U ≤ Nǫ).
b) Vad blir temperaturen som funktion av U? Invertera.
c) Vad ¨ar entropi och inre energi om ǫ ≪ kT .
72. H2 har rotationsenergier:
EJ =
~2
J(J + 1),
2A
J = 0, 1, 2, 3, ...
som ¨ar (2J + 1)-faldigt degenererade. P˚
a grund av symmetrin mellan de likadana
v¨atek¨arnorna g¨aller att:
- Parav¨ate, som har spinn 0 (se uppgift 71), bara kan ha j¨amna J-v¨arden. (Enligt
Pauliprincipen s˚
a ¨ar den totala v˚
agfunktionen antisymmetrisk m. a. p. partikelbyten. D˚
a spinn-delen ¨ar antisymmetrisk s˚
a m˚
aste rotationsv˚
agfunktionen vara
symmetrisk.)
- Ortov¨ate, som har spinn 1 (se uppgift 71), bara kan ha udda J-v¨arden.
a) Skriv upp den fullst¨andiga tillst˚
andssumman. Vad blir den om energiskillnaden mellan para- och orto-v¨ate, ǫ, ¨ar mycket mindre ¨an kT ?
~2
b) R¨akna ut den d˚
a ǫ och
≪ kT genom att approximera summan med en
2A
integral. Vad blir entropin och inre energin under samma f¨oruts¨attningar?
73. I v¨atgas adderar sig k¨arnspinnen antingen till spinn noll (parav¨ate) som har j¨amt
kvanttal f¨or banr¨orelsem¨angdsmomentet (ℓ = 0, 2, 4, 6, . . .) eller till spinn 1 (ortov¨ate) som har udda ℓ (ℓ = 1, 3, 5, . . .). Degenerationen blir (2ℓ + 1) f¨or parav¨ate
och 3(2ℓ + 1) f¨or ortov¨ate. Rotationsenerginiv˚
aerna ¨ar ℓ(ℓ + 1)~2 /2I. Vad blir
skillnaden i medelenergi mellan en molekyl para- och ortov¨ate vid mycket h¨oga
respektive mycket l˚
aga temperaturer?
74. Vattenmolekyler har ett elektriskt dipolmoment p = 6, 23 · 10−30 Cm. I ˚
anga med
l˚
ag t¨athet kan den elektrostatiska v¨axelverkan mellan dipolerna f¨orsummas. D˚
a
blir den elektrostatiska energin i ett yttre f¨alt −E · p. Ber¨akna medelpolariseringen
|hpi| per vattenmolekyl i s˚
adan ˚
anga som funktion av f¨altet E, p och kT . Systemet
kan behandlas klassiskt. Visa vidare att |hpi| = γE om pE/kT ≪ 1 och best¨am
γ! Kommentera giltigheten av den sista approximationen!
17
75. Molekylen CHCl2 -CH2 Cl kan inta tre konformationer med f¨oljande egenskaper:
H
H
Cl
H
Cl
Cl
H
H
H
(1)
Cl
Cl
Cl
(2)
1) Tv˚
a asymmetriska tillst˚
and med energi ǫ1 (utan elektriskt f¨alt) och dipolmoment p1 . N1 molekyler finns i detta tillst˚
and.
2) Ett symmetriskt tillst˚
and med kloratomerna v¨anda ˚
at samma h˚
all. Detta har
energi ǫ2 (ǫ2 > ǫ1 ) och relativt stort elektriskt dipolmoment p2 . N2 molekyler
finns i detta tillst˚
and.
Ber¨akna kvoten N1 /N2 i ett elektriskt f¨alt E. Energin f¨or en elektrisk dipol i f¨alt
E a¨r −p · E. Dipolerna kan inta alla m¨ojliga orienteringar (ingen kvantisering) och
varje rymdvinkelelement har samma statistiska vikt bortsett fr˚
an energifaktorn.
76. V¨axelverkan mellan de tv˚
a protonerna i en v¨atemolekyl kan beskrivas av det empiriska uttrycket:
U(r) = D{e−2α(r−r0 ) − 2e−α(r−r0 ) }
d¨ar r ¨ar avst˚
andet mellan protonerna. Konstanterna ¨ar D = 7 · 10−19 J, α =
2 · 1010 m−1 och r0 = 0, 8 · 10−10 m. Uppskatta vid vilka temperaturer som rotationer och vibrationer b¨orjar ge v¨asentliga bidrag till v¨armekapaciteten hos v¨atgas!
Ledning: Uppskatta tr¨oghetsmomentet hos molekylen och sedan den temperatur
d˚
a den f¨orsta exciterade rotationsniv˚
an ligger kB T h¨ogre ¨an grundtillst˚
andet. Approximera sedan potentialen med en harmonisk oscillator d¨ar vinkelfrekvensen ω
best¨ams ur konstanterna ovan. Bortse fr˚
an dissociations- och jonisationsprocesser.
77. Betrakta ett system av N mycket svagt v¨axelverkande harmoniska oscillatorer med
icke-degenererade energiniv˚
aer:
En = ~ω(n + 1/2) , n = 0, 1, 2, 3, ...
Vinkelfrekvensen ω ¨ar en funktion av systemets volym, ω(V ) = γ/V d¨ar γ ¨ar en
konstant. Best¨am systemets tillst˚
andskekvation f¨orst allm¨ant och sedan i gr¨ansfallet d˚
a ~ω/kB T ≪ 1!
78. En tredimensionell harmonisk oscillator har energiniv˚
aerna
E(n1 , n2 , n3 ) = ~ω(1, 5 + n1 + n2 + n3 )
Vid vilken temperatur ¨ar det lika sannolikt att oscillatorn har energin 1, 5~ω och
2, 5~ω?
18
79. En modifierad harmonisk oscillator ¨ar avhuggen upptill s˚
a att energiniv˚
aerna blir
1
En = (n + )~ω
2
d¨ar n = 0, 1, 2, 3, . . . , nmax
Vidare finns en inre frihetsgrad som g¨or att alla niv˚
aerna ¨ar tv˚
afaldigt degenererade. Vad ¨ar den maximala entropin hos ett system best˚
aende av N s˚
adana
oscillatorer?
80. V¨armekapaciteten vid konstant tryck (1 atm) f¨or gasformig jod ¨ar konstant och
lika med 147 J K−1 g−1 ¨over ett stort temperaturintervall upp till ca 1020 K. I detta
temperaturomr˚
ade ¨ar s˚
av¨al translationer som rotationer och vibrationer klassiska.
Vid denna temperatur b¨orjar I2 molekylerna att falla s¨onder till en monoatom¨ar
gas. Detta leder till en ¨okning av v¨armekapaciteten som genomg˚
ar ett maximum
p˚
a 1000 J K−1 g−1 vid 1520 K. Om temperaturen ¨okas ytterligare faller v¨armekapaciteten f¨or att asymptotiskt n¨arma sig ett visst v¨arde. Vad ¨ar detta v¨arde i
J K−1 g−1 ?
81. Vad ¨ar bidragen till v¨armekapaciteten vid konstant volym f¨or f¨oljande gaser N2 ,
Cl2 och I2 (˚
anga) vid rumstemperatur 295 K fr˚
an
a) translationsr¨orelse,
b) rotationer, och
c) vibrationer?
Rotationsenergin ¨ar kvantiserad:
EJ =
~2
J(J + 1)
2A
med J = 0, 1, 2, 3, ...
F¨or vibrationerna g¨aller:
1
En = (n + )~ω
2
n = 0, 1, 2, 3, ...
Rotations- och vibrationskvanta f¨or de olika gaserna (i eV/molekyl) ¨ar:
N2
Cl2
I2
2
~
2A
~ω
5 · 10−4 3 · 10−5 5 · 10−6
0, 29
0, 069
0, 026
(Det stora vibrationskvantat hos N2 beror dels p˚
a att de ing˚
aende atomerna ¨ar
l¨attare och dels p˚
a att molekylen har en trippelbindning som binder h˚
art och
d¨armed ger stor kraftkonstant.)
Ge svaret p˚
a formen XnR d¨ar R ¨ar gaskonstanten per mol och n antalet mol gas.
J¨amf¨or bidraget fr˚
an vibrationskvanta med vad motsvarande klassiska vibrationer
skulle ge.
19
82. Ber¨akna bidraget till en molekyls v¨armekapacitet vid konstant volym fr˚
an vibrationer med grundfrekvens ω.
En molekyl kan ha flera vibrationsm¨ojligheter som vardera ger bidrag av denna typ.
Koltetraklorid CCl4 har fyra l˚
aga vibrationsfrekvenser med energier ~ω = 0, 018
eV, 0,038 eV, 0,057 eV och 0,096 eV. Ber¨akna bidraget fr˚
an var och en av dessa
vid T = 300 K. Uttryck svaret som en konstant g˚
anger gaskonstanten (R) g˚
anger
antalet mol gas.
Vilka ¨ovriga bidrag till v¨armekapaciteten kan vi f¨orv¨anta oss i detta fall? Vad blir
CV totalt?
83. En ideal gas best˚
ar av tv˚
aatomiga molekyler med rotationsenerginiv˚
aerna:
E(j) = j(j + 1)
~2
2I
j = 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Niv˚
aerna ¨ar (2j + 1)-faldigt degenererade. Vid mycket l˚
aga temperaturer ¨ar endast
translations¨orelsen exciterad och v¨armekapaciteten vid konstant volym 1,5NkB .
Best¨am v¨arme-kapacitetens temperaturberoende f¨or T ≪ ~2 /IkB .
84. Vid 300 K kan rotationen hos vattenmolekyler i vattennga behandlas helt klassiskt
medan vibrationerna i bindningar och bindningsvinkel knappast alls r exciterade.
Uppskatta v¨armekapaciteten vid konstant tryck (CP ) f¨or vatten˚
anga (som kan
betraktas som en ideal gas) vid denna temperatur.
85. Hos en atom g¨aller att den degenererade f¨orsta exciterade niv˚
an har energin ǫ h¨ogre
afaldigt degenererade grundniv˚
an. Den exciterade energiniv˚
an ¨ar 10 %
¨an den tv˚
mer populerad ¨an grundniv˚
an vid temperaturen 0,71ǫ/kB . Vid vilken temperatur
a niv˚
aerna lika populerade?
¨ar de tv˚
86. F¨oljande ¨ar en f¨orenklad men kvalitativt meningsfull modell f¨or en dubbel DNAspiral.
n-s=5
n = 13
s=8
Betrakta ett system av l˚
anga molekyler, med s¨ag vardera n enheter, hopsatta i en
l˚
ang kedja. Av dessa ¨ar ett antal, s¨ag s stycken, i en sammanh¨angande del fr˚
an
ena ¨anden starkt bundna till varandra. Energin i den delen ¨ar −sǫ, men d¨ar finns
inga r¨orelsem¨ojligheter. Resten av enheterna har energi 0 men 4 m¨ojligheter per
enhet att variera sin riktning. De har allst˚
a en avsev¨ard flexibilitet.
Ber¨akna medelantalet bundna enheter hsi i molekylerna som funktion av temperaturen. Betrakta speciellt hsi/n f¨or stora n.
Kring en viss temperatur ¨andras egenskaperna drastiskt (b˚
ada termerna i hsi blir
singul¨ara). Vilken a¨r denna temperatur?
20
Best¨am det temperaturintervall d¨ar hsi/n ¨andras fr˚
an α till 1 − α om det g¨aller
att nα ≫ 1. S¨att α till 0,01. Hur ¨andras hsi/n d˚
a n g˚
ar mot o¨andligheten?
Kommentar: F¨or DNA motsvarar den sammanh¨angande delen enheter bundna i
en dubbelspiral, medan den l¨osa delen motsvarar en uppsplittrad del. En s˚
adan
uppsplittring m˚
aste ske d˚
a cellen kopierar DNA-molekylerna. I DNA-fallet ¨ar n ≈
106 eller ¨annu mycket st¨orre.
87. F¨or en ideal paramagnet i ett svagt magnetiskt f¨alt g¨aller f¨oljande samband mellan
den inre energin, U, och entropin, S:
p
U = −a S0 − S
d¨ar S0 och a ¨ar positiva konstanter.
a) Best¨am temperaturen som funktion av U!
b) Best¨am v¨armekapaciteten (∂U/∂T ) som funktion av T !
88. Ett ferromagnetiskt system av spinn 1/2-atomer befinner sig i ett v¨armebad med
temperatur T . Inget yttre magnetf¨alt ¨ar p˚
alagt. P˚
a grund av v¨axelverkan mellan de magnetiska momenten kan man ¨and˚
a f˚
a en nettomagnetisering i vissa fall.
V¨axelverkansenergin mellan tv˚
a grannar ¨ar
Ei,i+1 = −aszi szi+1 ,
d¨ar a ¨ar en positiv konstant och szi z-komponenten av det magnetiska momentet
hos atom nummer i. Den kan bara anta v¨ardena ±m. En fullst¨andig behandling ¨ar mycket besv¨arlig, men en enkel och ofta anv¨and approximation ¨ar den
s˚
a kallade medelf¨altbeskrivningen. Den inneb¨ar att man ers¨atter szi+1 med medelmagnetiseringen per spinn, M/N = hszi i, d¨ar M ¨ar total magnetisering (studera
en volymsenhet) och N antalet spinn. Vi f˚
ar allts˚
a
n M
Ei = − a szi ,
2 N
d¨ar n a¨r antalet n¨armsta grannar. Fr˚
an detta ber¨aknas hszi i med M givet, vilket
ger en transcendent ekvation f¨or M. H¨arled denna. F¨or vilka temperaturer kan
man f˚
a en nettomagnetisering, dvs. l¨osningar till denna ekvation med M skild fr˚
an
noll?
89. Ett system best˚
ar av N stycken icke v¨axelverkande atomer som vardera kan finnas i tre energiniv˚
aer med energinerna ǫ0 (tv˚
afaldigt degenererad), ǫ1 (trefaldigt
degenererad) och ǫ2 (fyrfaldigt degenerad). Det g¨aller att ǫ0 < ǫ1 < ǫ2 . Vad blir
entropi¨andingen hos systemet n¨ar temperaturen ¨okas fr˚
an T = 0 till en s˚
a h¨og
temperatur att kB T /(ǫ2 − ǫ0 ) ≫ 1?
90. En enatomig gas (t. ex. en metall˚
anga) i en beh˚
allare ¨ar given. Atomerna kan
bindas till vissa platser p˚
a beh˚
allarens yta. Ber¨akna medelantalet bundna atomer
i j¨amvikt vid temperatur T och tryck P . Givet ¨ar atommassan m, beh˚
allarens
volym V och antalet bindningsplatser N1 . Bindningsenergin till en s˚
adan plats ¨ar
21
−E (de bundna atomerna har l¨agre energi ¨an de fria). I det bundna tillst˚
andet har
atomerna inga r¨orelsefrihetsgrader.
Ledning: Ett s¨att att l¨osa problemet a¨r att utnyttja att kemiska potentialen f¨or
fria och bundna atomer skall vara lika. Den kemiska potentialen best¨ams ur fria
entalpin.
91. En fast kropp har N magnetiska atomer med spinn 2. Vid tillr¨ackligt h¨oga temperaturer ¨ar spinnens inriktning helt oordnad. Vad ¨ar spinnens bidrag till kroppens
entropi vid s˚
adana temperaturer? Vid l¨agre temperaturer kopplas spinnen till ett
ferromagnetiskt tillst˚
and, d¨ar alla spinn pekar ˚
at samma h˚
all d˚
a T g˚
ar mot absoluta
nollpunkten. En grov approximation av spinnens bidrag till kroppens v¨armekapacitet ¨ar:
( T1
T
< T < T1 ,
C1 2 T1 − 1
2
.
C(T ) =
0
f¨or ¨ovrigt
F¨or T > T1 ¨ar spinnen helt oordnade, medan systemet f¨or T < T1 /2 ¨ar helt
ordnat. Det mellanliggande omr˚
adet svarar mot en o¨verg˚
angszon. Utnyttja sambandet mellan entropi och v¨armekapacitet f¨or att best¨amma konstanten C1 som
ger v¨armekapacitetens maximum.
92. Hos ett system med tre enpartikelenerginiv˚
aer har f¨oljande andel i de olika niv˚
aerna uppm¨atts n¨ar systemet befinner sig i j¨amvikt med en v¨armereservoir.
Energi (eV)
Degeneration Andel
0,020
?
49,8%
0,015
3
30,7%
0,005
1
19,5%
Best¨am temperaturen hos systemet samt degenerationen hos den h¨ogsta energiniv˚
an!
93. Betrakta molekyler med en entydig grundniv˚
a som har energi noll och r¨orelsem¨angdsmoment noll och fem l¨agsta exciterade tillst˚
and med samma energi ǫ och
r¨orelsem¨angdsmoment 2~ (r¨orelsem¨angdsmoment 2 har 2 · 2 + 1 = 5 degenererade
niv˚
aer). Antag att endast dessa 6 tillst˚
and har betydelse. Ber¨akna totala antalet
m¨ojligheter att f¨ordela en given energi U p˚
a N molekyler med de 6 givna niv˚
aerna
och ur detta entropin S som funktion av U. Ber¨akna ur denna den temperatur f¨or
vilken h¨alften av alla molekyler ¨ar i det l¨agsta tillst˚
andet.
94. De tv˚
a l¨agsta elektronenerginiv˚
aerna hos litium a¨r −5,4 eV och −3,6 eV. De har
tv˚
a- respektive sexfaldig degeneration. Best¨am kvoten mellan antalet atomer i det
f¨orsta exciterade tillst˚
andet och grundtillst˚
andet vid 300 K.
95. En viss kristall har N gitterpunkter som normalt ¨ar upptagna av en viss slags
atomer. Det a¨r ocks˚
a m¨ojligt f¨or atomerna att ligga i speciella mellanl¨agen, av
22
vilka det finns N1 stycken. Energin i ett s˚
adant l¨age (Frenkeldefekt) ¨ar E0 h¨ogre ¨an
i normall¨agena. Ber¨akna andelen atomer som ligger i mellanl¨agena vid temperatur
T . S¨att speciellt N1 = N/4 och E0 = 10kT .
Ledning: Ber¨akna f¨orst entropin f¨or en situation med n atomer i mellanl¨agena och
best¨am d¨arur n som funktion av temperaturen. Atomerna skall betraktas som icke
s¨arskiljbara. Man kan anta att n ≪ N och N1 .
96. En f¨orenklad bild av en polymermolekyl ¨ar f¨oljande: Molekylen ses som en sammanh¨angade kedja av N segment med l¨angd a som kan peka i tre riktningar:
positiv x-led, positiv y-led eller negativ y-led. Molekylen ¨ar allts˚
a tv˚
adimensionell,
g˚
ar bara ˚
at ett h˚
all i horisontell led men kan v¨anda hur m˚
anga g˚
anger som helst i
vertikal led. Varje riktning ger samma energi.
y
N = 20
L=8a
x
Utf¨or f¨oljande:
a) Om utstr¨ackningen i x-led ¨ar L, p˚
a hur m˚
anga s¨att kan riktningen hos kedjans segment f¨ordelas (antalet tillg¨angliga tillst˚
and)? Vad ¨ar entropin och fria
energin?
b) Ber¨akna den str¨ackkraft f som fordras f¨or att h˚
alla kedjan vid l¨angden L. Vilken l¨angd L0 ger str¨ackkraften noll? Antag att L ¨ar n¨ara L0 och approximera
f som ett linj¨art uttryck i (L − L0 ).
97. N¨ar stora biologiska molekyler binds till membran ¨andras deras fria entalpi, G,
bl. a. eftersom de f¨orlorar rotationsfrihetsgrader. (Detta kan dock kompenseras
av bindningsenergi.) Ber¨akna den skillnad i G som orsakas av den f¨orlorade rotationsr¨orelsen f¨or en mol fria och en mol bundna molekyler. Temperaturen ¨ar T
och f¨oljande f¨oruts¨attningar g¨aller:
1) Molekylerna antas vara sf¨ariskt symmetriska och har d˚
a kvantmekaniska rotationsniv˚
aer
EJ =
~2
J(J + 1)
2A
f¨or J = 0, 1, 2, 3, ...
med degenerationsgrad (2J +1)2 f¨or niv˚
a J. (Detta ¨ar kvantmekaniska uttryck
f¨or rotationen av en stel kropp, vilket inte ¨ar detsamma som f¨or elektronerna
i en atom.)
2) De bundna molekylerna sitter helt fast och har inga rotationsm¨ojligheter.
23
Vidare antas att volymst¨atheten inte ¨andras samt att ~2 /2AkT ≪ 1. S¨att speciellt
T = 300 K och ~2 /2A = 1·10−32 J. Det senare ¨ar ett realistiskt v¨arde f¨or ett sf¨ariskt
protein med molekylvikt kring 60 000 u och radie 30 ˚
A.
98. F¨oljande ¨ar en f¨orenklad modell f¨or jonisering av gasmolekyler: Dela upp ett rum
i M celler som vardera kan inneh˚
alla en elektron. Cellerna ¨ar av tv˚
a slag, de N
elektronerna ¨ar antingen bundna p˚
a atomer, dvs. i n˚
agon av N givna atomceller
eller fria, dvs. i n˚
agon av de M − N ˚
aterst˚
aende cellerna. De f¨orstn¨amnda har en
bindningsenergi som ¨ar E l¨agre ¨an de fria.
Ber¨akna antalet tillg¨angliga tillst˚
and med n bundna elektroner (totala energin a¨r
d˚
a −nE) och d¨arur entropin som funktion av n. Best¨am ett samband mellan energi
(eller antalet bundna elektroner) och temperaturen.
Antag att M ≫ N men ej n¨odv¨andigtvis N ≫ n. Elektronerna behandlas som icke
s¨arskiljbara. (D˚
a ¨ar den h¨ar metoden l¨ampligast och man kan inte direkt utnyttja
tillst˚
andssumman. Varf¨or?)
Ber¨akna de temperaturer d˚
a a) 99 procent b) 50 procent och c) 1 procent av
elektronerna ¨ar bundna om M/N s¨atts till 10 000. Svaret uttrycks som en faktor
g˚
anger E/k.
99. Molekylerna
A (cyklohexan)
CH 2
och
B (metylcyklopentan)
CH 2
CH 2
CH 2
L
CH 2
CH 2
CH 2
CH 2
CH 2
CH
CH3
L'
CH 2
kan ¨overf¨oras i varandra med l¨amplig katalysator. De kan f¨orekomma i j¨amvikt med
varandra i v¨atskeform. Ber¨akna skillnaden i fri entalpi, G, mellan en mol rent A
och en mol rent B vid temperatur T under f¨oljande f¨orenklade antaganden om
molekylerna:
1) Molekyl A har en bindningsenergi som ¨ar E l¨agre ¨an molekyl B (beror p˚
a
f¨ordelaktigare bindningsvinklar).
2) Genom att A har st¨orre symmetri blir antalet tillg¨angliga rotationstillst˚
and
f¨or hela molekylen 6 g˚
anger fler f¨or molekyl B.
3) Metylgruppen, M, antas kunna rotera fritt kring axeln LL´ i figuren. Dess
tr¨oghetsmoment kring axeln ¨ar A och de kvantmekaniska rotationsniv˚
aerna
blir
EJ =
~2 2
J
2A
d¨ar J = 1, 2, 3, . . .
I ¨ovrigt antas molekylerna ge samma bidrag till fria energin fr˚
an alla frihetsgrader
s˚
a n¨ar som dessa. Volymst¨atheten antas vara den samma varf¨or skillnaden i G ¨ar
densamma som skillnaden i F . Eftersom ~2 /2AkT ≪ 1 s˚
a kan tillst˚
andssumman
24
approximeras med en integral. S¨att E = 1, 7·10−20 J, T = 300 K och A = 5, 8·10−47
kg m2 .
100. En uttunnad ideal gas befinner sig i ett rum som delas av en v¨agg med ett litet
h˚
al i. Gasen i de b¨agge rumshalvorna h˚
alls vid de konstanta temperaturerna T1
respektive T2 av termostater. H¨arled ett uttryck f¨or hur antalet utstr¨ommande molekyler per tidsenhet beror av de termodynamiska tillst˚
andsvariablerna (konstanter
som inte beh¨ovs i den fortsatta behandlingen beh¨over ej best¨ammas). Anv¨and detta uttryck f¨or att best¨amma kvoten mellan trycken i de b¨agge rumshalvorna n¨ar
stationaritet r˚
ader dvs. d˚
a lika m˚
anga gasmolekyler per tidsenehet str¨ommar genom h˚
alet ˚
at b¨agge h˚
allen. Du f˚
ar anta att de tv˚
a molekylstr¨ommarna inte st¨or
varandra.
101. En beh˚
allare a¨r fylld med v¨atgas med temperaturen 300 K och trycket 1 mm
Hg. Gas l¨acker ut i omgivande vakuum genom ett h˚
al med diametern 0,1 mm
(denna diameter ¨ar mycket mindre ¨an molekylernas fria medlv¨agl¨angd vid denna
temperatur). Molekylstr˚
alen sk¨armas s˚
a att den f˚
ar en spridning (θ) p˚
a 1 mrad.
a) Best¨am f¨ordelningen hos hastighetskomponenten i str˚
alens riktning.
b) Best¨am den mest sannolika hastigheten (i str˚
alens riktning).
c) Best¨am antalet molekyler per tidsenhet som passerar ett tv¨arsnitt vinkler¨att
mot str˚
alen.
102. Betrakta en ideal gas i tyngdkraftpotentialen V (z) = mgz. L˚
at gasen vara kv¨avgas
(molmassa M = 28 g/mol) vid T = 290 K. Vad blir f¨orh˚
allandet mellan trycken
vid 100 m och 0 m h¨ojd?
103. En ideal enatomig gas ¨ar innesluten i en cylinder med bottenytan A och h¨ojden h.
L¨angs cylinderns axel verkar ett gravitationsf¨alt med potentialen V (z) = mgz, d¨ar
m ¨ar atommassan. Cylinderns h¨ojd ¨okas sedan till b genom en reversibel, adiabatisk
process. Ber¨akna sluttemperaturen om begynnelsetemperaturen ¨ar T0 . Det g¨aller
att mgb ≫ kT0 .
104. Betrakta en cylinder uppdelad i tv˚
a rum med radier R1 och R2 . Denna roteras
kring sin axel med en vinkelhastighet ω. En enatomig gas ¨ar fr˚
an b¨orjan innesluten
i den inre beh˚
allaren och har temperaturen T1 . Den yttre delen av cylindern har
fr˚
an b¨orjan vakuum. Det uppst˚
ar sedan ett h˚
al i skiljev¨aggen och gas str¨ommar
ut i det yttre rummet. Vad blir sluttemperaturen? Systemet kan beskrivas som en
ideal gas i ett potentialf¨alt
1
V (r) = − mω 2 r 2 .
2
Antag att rotationen ej p˚
averkas av gasutstr¨ommningen, ingen v¨armetillf¨orsel sker
och att mω 2 R2 2 ≫ kT . Ytterh¨oljet antas vara s˚
adant att det utbyter r¨orelsem¨angdsmoment men ej energi med gasen (en idealisering som g¨or problemet enkla-
25
re).
ω
R2
R1
105. G¨or en uppskattning av risken f¨or att termiska fluktuationer bryter den elektriska
str¨ommen genom en fj¨aderbelastad kontakt. Den r¨orliga kontaktniten har massan
m, och dess l¨age anges fullst¨andigt med koordinaten x (0 < x < a). P˚
a grund av
fj¨aderbelastningen (massl¨os fj¨ader) blir den potentiella energin V (x) approximativt
lika med bx (d¨ar b a¨r en positiv konstant). Kontaktniten befinner sig i termisk
j¨amvikt med omgivningen, som har temperaturen T . Best¨am sannolikheten P f¨or
att vid en observation (som tar oerh¨ort kort tid) finna kontakten bruten. Kontakten
anses bruten ifall x > δ (0 < δ ≪ a). Uppskatta P :s storleksordning f¨or fallet
m = 10−4 kg, a = 10−3 m, δ = 10−7 m, b = 10−2 N och T = 300 K.
26
3
3.1
Kvantstatistik
Allm¨
an kvantstatistik
106. Vid kvantstatistiska ber¨akningar anv¨ands oftast den storkanoniska ensemblen, men
den kan ocks˚
a anv¨andas P
f¨or klassiska system. Genomf¨or f¨oljande f¨or en klassisk
ideal gas, (som har H = i p2i /2m):
a) H¨arled storkanoniska tillst˚
andssumman.
b) Ber¨akna S, P samt hNi.
c) H¨arled tillst˚
andsekvationen, dvs P V = NkB T .
2
d) Visa att variansen av partikelantalet, σN
, ¨ar lika med partikelantalet, hNi.
Ledning: Derivera ln Ξ tv˚
a g˚
anger med avseende p˚
a µ.
107. a) Visa att fluktuationerna i medelantal partiklar i orbital nr i kan skrivas:
hn2i i − hni i2 = hni i(1 ± hni i)
f¨or en ideal Bose-Einstein (+) och en ideal Fermi-Dirac (−) gas!
b) Vad blir fluktuationerna i totalt antal partiklar?
c) Vad blir uttrycken i a) och b) i den klassiska gr¨ansen?
108. Vad ¨ar i en storkanonisk ensemble sannolikheten att det inte finns n˚
agon partikel
i viss volym V ?
Till¨ampa detta p˚
a fotoner. Vad ¨ar sannolikheten att inte ha n˚
agon foton i volymen
3
1 mm vid T = 3 K (bakgrundstr˚
alningens temperatur)?
109. I klassisk Maxwell-Boltzmann statistik kan entropin skrivas:
X
S = −kB
hni i lnhni i
i
d¨ar hni i ¨ar medelantalet partiklar i den i:te energiniv˚
an. H¨arled motsvarande formler d˚
a systemet lyder Fermi-Dirac respektive Bose-Einstein statistik! Verifiera att
dessa formler o¨verg˚
ar i ovanst˚
aende uttryck i den klassiska gr¨ansen!
110. F¨ordelningen p˚
a energiniv˚
aer f¨or en Fermi-Dirac gas kan h¨arledas p˚
a f¨oljande s¨att
f¨or en mikrokanonisk ensemble. Antag att det finns M kvantniv˚
aer f¨or de enskilda
27
partiklarna. Dela in dessa i m celler, vardera med p = M/m niv˚
aer som i varje cell
har (ungef¨ar) samma energi, i cell i energi ǫi .
nivå M
Energi
} cell m
} cell i, innehåller p nivåer
εi
F¨ordela N ( ≤ M) partiklar i cellerna s˚
a att tv˚
a partiklar aldrig ¨ar i samma niv˚
a.
Partiklarna ¨ar ej s¨arskiljbara och deras f¨ordelning beh¨over inte vara s¨arskilt gles.
Antag vidare en given total energi och best¨am den mest sannolika f¨ordelningen.
L˚
at niv˚
aernas och cellernas antal (M respektive m) v¨axa obegr¨ansat p˚
a l¨ampligt
s¨att.
111. En hypotetisk ideal gas kan ha h¨ogst p partiklar i varje tillst˚
and. H¨arled en formel
f¨or medelantalet partiklar, hns i, i ett tillst˚
and med energin ǫs ! Kontrollera att
formelsamlingens uttryck f¨or FD och BE gaserna erh˚
alles om p s¨atts lika med 1
respektive ∞!
112. En tv˚
adimensionell ideal gas ¨ar innesluten i en kvadrat med sidan a och har kvantmekaniska energiniv˚
aer:
ǫ(nx , ny ) =
h2
(n2 + n2y ),
8ma2 x
nx , ny = 1, 2, 3, 4, ....
a) Best¨am tillst˚
andst¨atheten och visa att den blir oberoende av energin!
b) Best¨am den kemiska potentialen som funktion av temperaturen, T , partikelantalet N och l˚
adans sida a f¨or de tre fallen att partiklarna f¨oljer Fermi-Dirac, BoseEinstein och Maxwell-Boltzmann statistik! Kontrollera att de tv˚
a f¨orsta formlerna
ar i den tredje i den klassiska gr¨ansen! Formlerna ska g¨alla f¨or alla tempera¨overg˚
turer!
R∞
Ledning: 0 dx/(cex ± 1) = ± ln(1 ± 1/c)
113. Visa att f¨or en gas med enbart kinetisk energi (p2 /2m, per partikel) g¨aller att
U = 32 P V oberoende partikelstatistik och temperatur.
3.2
Fermi-Dirac-statistik
114. En ideal Fermi-Dirac gas med enbart r¨orelseenergi har antalst¨atheten N/V och
har vid en viss temperatur den l¨agsta energiniv˚
an (ǫ = 0) halvbesatt. Best¨am
28
den kemiska potentialen och temperaturen utan att g¨ora n˚
agra h¨og- eller l˚
agtemperaturapproximationer.
115. Silver har vid l˚
aga temperaturer (T ) ett bidrag till v¨armekapaciteten 0, 67 T
mJ/mol K (T = temperaturen), som h¨arr¨or fr˚
an elektronerna. Antag att elektronerna ¨ar en ideal Fermi-Dirac gas. Best¨am elektront¨atheten (N/V )!
116. Ber¨akna det procentuella bidrag f˚
an de fria elektronerna i koppar (Cu) till v¨armekapaciteten vid en temperatur av 1000 K. F¨or det atom¨ara bidraget antas CV = 3R
per mol (Dulong-Petits lag) medan elektronerna behandlas som en ideal FermiDirac gas med Fermi-energin mycket st¨orre ¨an kB T . Antalet fria elektroner per
atom antas vara en. Koppar har t¨atheten 8, 89 g/cm3 och atomvikten 63, 54 u.
117. Ber¨akna medelfarten h|v|i hos ledningselektronerna i en metall. Tag med den f¨orsta
temperaturberoende termen. Antag N elektroner i volym V , beskrivna som ideal
Fermi-Dirac gas. S¨att N/V = 8, 5 · 1028 elektroner/m3 som ¨ar v¨ardet f¨or koppar.
Farten best¨ams ur sambandet E = Ekin = mv 2 /2.
118. Best¨am volymen per partikel (V /N) som funktion av temperatur och tryck f¨or ideal
Fermi-Dirac gas i en serieutveckling som g¨aller f¨or l˚
aga temperaturer. Best¨am den
konstanta och den f¨orsta temperaturberoende
Anv¨and resultatet f¨or att
termen.
1 ∂V
.
ber¨akna volymutvidgningskoefficienten
V ∂T P,N
119. Best¨am entropin f¨or en Fermi-Dirac gas med niv˚
at¨atheten ρ(α) d˚
a kB T ≪ ǫF .
120. Anv¨and resultatet i exempel 118 f¨or att uttrycka entropin som funktion av tryck,
temperatur och molekylantal f¨or en ideal Fermi-Dirac gas. Ber¨akna fr˚
an dessa tv˚
a
termer v¨armekapaciteten vid konstant tryck, CP , och CP −CV . Det finns ytterligare
en T 3 -term i entropin och CP . Varifr˚
an kommer den? Motivera (utan ber¨akningar)
varf¨or denna inte bidrar till CP − CV .
121. V¨armekapaciteten hos en degenererad tredimensionell elektrongas med enbart kinetisk energi kan skrivas CV = 12 π 2 NT /TF . Best¨am motsvarande formel f¨or en
tv˚
adimensionell elektrongas!
122. 3 He har spinn 1/2 och kan vid tillr¨ackligt l˚
aga temperaturer beskrivas som en ideal
Fermi-Dirac gas. Vid dessa temperaturer befinner sig helium i v¨atskefas och har
densiteten 83 kg m−3 .
a) Best¨am Fermitemperaturen, TF = ǫF /kB !
b) H¨arled en formel f¨or v¨armekapaciteten vid konstant volym utg˚
aende fr˚
an
formler som finns i formelsamlingen och uppskatta v¨armekapaciteten f¨or 3 He
i denna modell vid T =0, 5 K (vilket ¨ar mycket mindre ¨an Fermitemperaturen)!
29
123. Best¨am en f¨orsta ordningens kvantmekanisk korrektion till v¨armekapaciteten hos
en ideal gas av spinn 1/2 partiklar. Visa att v¨armekapaciteten vid h¨oga temperaturer kan skrivas som
γ TF
3NkB
1−a
CV =
2
T
samt best¨am a och γ!
124. Elektronerna i en t¨ankt metall har energiniv˚
aer
r
n
ǫn = ǫ1 + (ǫ2 − ǫ1 )
,
n = 0, 1, ..., N.
N
G¨or en kontinuerlig approximation och best¨am niv˚
at¨atheten ρ(ǫ). Best¨am sedan
Fermi-energin f¨or ett system med N elektroner och slutligen bidraget till v¨armekapaciteten fr˚
an dessa elektroner i l¨agsta ordningens serieutveckling i temperaturen.
Gl¨om inte elektronernas spinn!
125. I en f¨orenklad modell av en ¨overg˚
angsmetall har valenselektronerna energierna
ǫn = ǫ0 +
nD
,
N
d¨ar n = 0, 1, 2, ...N, och N ¨ar antalet valenselektroner. G¨or en kontinuerlig approximation och best¨am niv˚
at¨atheten ρ(ǫ). Best¨am Fermi-energin samt den inre
energin i en l˚
agtemperaturutveckling upp till eventuella termer av storleksordning
(kB T )2 om T ¨ar temperaturen. Gl¨om inte spinnfaktorn.
126. En hypotetisk elektrongas har spektrum
α(n1 , n2 , n3 ) = ǫ0 (n1 + n2 + n3 ) ,
n1 , n2 , n3 > 0.
Best¨am ρ(α), σ(α) och ǫF f¨or ett system best˚
aende av N elektroner. Niv˚
aerna ligger
s˚
a t¨att att man kan anv¨anda en kontinuerlig beskrivning (kB T ≫ ǫ0 ). Best¨am de
tv˚
a l¨agsta termerna i en l˚
agtemperaturutveckling av energin. Uttryck energin i ǫF ,
ej i ǫ0 .
127. I en en vit dv¨argstj¨arna med temperatur 108 K och 1037 elektroner m−3 g¨aller det
relativistiska sambandet mellan energi och r¨orelsem¨angd
p
α(p) = m2 c4 + p2 c2
Best¨am ρ(α) och σ(α), v¨armekapaciteten och trycket fr˚
an elektronerna i s˚
adan
materia.
30
128. Ber¨akna bidraget fr˚
an elektronerna till v¨armekapaciteten hos en vit dv¨argstj¨arna
under f¨oljande f¨oruts¨attningar. Stj¨arnan best˚
ar av fullst¨andigt joniserade heliumatomer, vars fria elektroner utg¨or en starkt degenererad elektrongas (kB T ≪ ǫF )
med relativistiskt energi-r¨orelsem¨angdsberoende:
E = cp .
Stj¨arnmassan M = 2, 5·1030 kg, radien R = 5·106 m och temperaturen T = 107 K.
Varje heliumatom, som ger 2 elektroner, v¨ager m = 6, 7 · 10−27 kg. Som j¨amf¨orelse
kan n¨amnas att motsvarande m¨angd heliumgas har en v¨armekapacitet 7, 8 · 1033
J/K.
129. Tillst˚
andst¨atheten


 c1
ρ(α) = 0


c2
f¨or en halvledare approximeras:
α < ǫv ,
ǫv < α < ǫl , ,
ǫl < α
d¨ar c1 och c2 ¨ar konstanter. Vid T = 0 ¨ar alla niv˚
aer upp till ǫv fyllda men inga d¨ar¨over. Best¨am den kemiska potentialen (µ) och antalet elektroner i ledningsbandet
(energin α > ǫl )! Det g¨aller att µ − ǫv ≫ kB T och ǫv − µ ≫ kB T .
130. I den vanliga behandlingen av elektroner ¨ar elektronantalet givet. Vid h¨oga energier kan dock elektron-positronpar bildas eller f¨orintas. D˚
a ¨ar i st¨allet skillnaden
mellan antalet elektroner och positroner fix. Detta kan tas in i den storkanoniska
ensemblen genom att i tillst˚
andssumman summera ¨over skillnaden i partikelantal:
X
exp −βEei − βEpj + α(Ne − Np ) ,
Ξ=
i, j, Ne −Np
d¨ar elektron- respektive positron-energierna ¨ar
X
X
ǫk n(j)
ǫl n(i)
och
Epj =
Eei =
pk
el
k
l
och motsvarande partikelantal
X
X
Ne =
n(i)
och
Np =
n(j)
el
pk .
l
k
a) Ge allm¨anna uttryck f¨or antalet elektroner, antalet positroner och deras skillnad som ¨ar fix och best¨ammer µ.
b) Antag fullst¨andig neutralitet, d.v.s. Ne = Np . Vad ¨ar d˚
a µ?
c) Ber¨akna antalet positroner och elektroner f¨or en temperatur T s˚
a att kB T ≪
mc2 . S¨att T = 5 · 108 K (som i en stj¨arna). Utnyttja ett icke-relativistiskt
energi-uttryck, som dock innefattar vilomassan m,
ǫ(p) = mc2 +
p2
2m
f¨or b˚
ade positroner och elektroner.
31
d) Antag samma grundprincip som ovan, men med motsatt gr¨ansfall (aktuellt f¨or
t.ex. en vit dv¨argstj¨arna med extremt h¨og t¨athet och mycket h¨og temperatur):
kB T ≫ mc2 och (ǫF − mc2 ) ≫ kB T .
Det relativistiskt uttrycket f¨or energin
p
ǫ(p) = m2 c4 + c2 p2
m˚
aste d˚
a anv¨andas.
3.3
Bose-Einstein-statistik
131. Ber¨am medelenergin per icke-kondenserad partikel, d.v.s. U/(N − N0 ) (d¨ar N0 ¨ar
antalet partiklar i grundtillst˚
andet) f¨or en kondenserad Bose-Einstein gas bets˚
aende av N partiklar i en volym V vid temperaturen T .
132. Hur beror trycket av volymst¨atheten (V /N) vid best¨amd temperatur f¨or en ideal,
kondenserad Bose-Einstein gas (n¨ar T < Tc )? F¨orklara resultatet.
133. Best¨am entropin f¨or en ideal, kondenserad Bose-Einstein gas som funktion av antalet icke-kondenserade molekyler (d.v.s. de molekyler som inte ¨ar i l¨agsta niv˚
an).
Eliminera temperaturen.
134. Vad inneb¨ar Bose-Einstein kondensation? Best¨am den temperatur, Tc , vid vilken
den skulle intr¨affa f¨or He4 (om ideala gas-approximationen g¨allde), som har t¨atheten 1.8 · 1028 molekyler m−3 ! Visa att man inte f˚
ar BE-kondensation f¨or en
tv˚
adimensionell ideal gas.
135. Vid h¨oga temperaturer blir den ideala Bose-Einstein gasen alltmer klassisk. Best¨am
en f¨orsta ordningens korrektion till den ideala gaslagen, dvs best¨am konstanterna
a och γ i uttrycket
γ TE
P V = NkB T 1 + a
T
TE ¨ar Einsteintemperaturen!
136. Visa att CV (T ) ¨ar kontinuerlig vid Einsteintemperaturen (TE ) f¨or en ideal BoseEinstein gas! Detta g¨ors genom att f¨orst ber¨akna v¨armekapaciteten under TE d¨ar
den kemiska potentialen ¨ar noll och sedan g¨ora motsvarande f¨or temperaturer
ovanf¨or TE och slutligen l˚
ata temperaturen g˚
a mot TE uppifr˚
an.
137. Best¨am f¨orh˚
allandet mellan v¨armekapaciteten vid konstant tryck och vid konstant
volym (CP /CV ) f¨or en degenererad ideal Bose-Einstein och Fermi-Dirac gas! Ta
med s˚
a m˚
anga termer i serieutvecklingen att du f˚
ar olika resultat i de tv˚
a fallen och
att dessa skiljer sig fr˚
an det klassiska resultatet! Kontrollera att r¨att gr¨ansv¨arde
erh˚
alls i den klassiska gr¨ansen!
32
138. En Fermi-Dirac gas (partiklar med spinn 1/2 och massa mF ) och en Bose-Einstein
gas (partiklar med spinn 0 och massa mB ) h˚
aller varandra i j¨amvikt s˚
a att trycken
a l˚
ag att Bose-Einstein gasen ¨ar kondenserad. Med
¨ar lika. Temperaturen T ¨ar s˚
antagandet att l¨agsta ordningens term f¨or Fermi-Dirac gasen (i kB T /ǫF , d.v.s.
fullst¨andig degeneration) ¨ar dominerande, ber¨akna dess t¨athet och ǫF . Hur v¨almotiverat ¨ar antagandet om Fermi-Dirac gasen?
139. Hos glaser blir v¨armekapaciteten proportionell mot temperaturen vid l˚
aga temperaturer. Detta beror p˚
a att dessa system har ett mycket stort antal tillst˚
and n¨ara grundtillst˚
andet (vars energi vi satt till noll). Betrakta tillst˚
andst¨atheten som
konstant lika med ρ(0) och best¨am v¨armkapaciteten vid l˚
aga temperaturer f¨or ett
s˚
adant system (som f¨oljer Bose-Einstein statistik) som funktion av temperaturen!
3.3.1
Fotoner
140. Ber¨akna, ur relationen U/N = hc/λ, en typisk v˚
agl¨angd f¨or elektromagnetisk str˚
alning i j¨amvikt vid temperaturen T. Vilken temperatur motsvaras av v˚
agl¨angden
f¨or synligt ljus (λ = 5000 ˚
A)?
141. En fotongas f˚
ar expandera adiabatiskt reversibelt till dubbla ursprungsvolymen.
a) Best¨am sluttemperaturen uttryckt i begynnelsetemperaturen T !
R
b) U/V = dωf (ω). Spektralt¨atheten, f (ω) har sitt maximum vid vinkelfrekvensen ω0 i urprungstillst˚
andet. Vid vilken vinkelfrekvens ligger maximat i sluttillst˚
andet?
142. En gl¨odlampa s¨ander ut str˚
alning som ¨ar i j¨amvikt med gl¨odtr˚
aden (T = 3000
K). Hur stor andel av den utstr˚
alade effekten ligger i frekvenser under synligt ljus
(v˚
agl¨angder ¨over 7000 ˚
A)?
143. En vit dv¨argstj¨arna har temperaturen 107 K, radie 7 · 106 m (1/100 av solens)
och massa 1.4 · 1030 kg (som solen). H¨arled ett uttryck f¨or den totala effekten
hos de utstr¨ommande fotonerna som funktion av stj¨arnans temperatur. Formulera
med hj¨alp av detta en ekvation f¨or stj¨arnans temperatur som funktion av tiden
och l¨os denna! Hur l˚
ang tid tar det innan temperaturen har sjunkit till 105 K ?
I b˚
ada fallen utnyttjas uttrycken f¨or enbart r¨orelseenergi. mB /mF s¨atts lika med
4/3, f¨orh˚
allandet mellan 4 He och 3 He.
Ledning: Stj¨arnans v¨armekapacitet f˚
as genom att betrakta den som best˚
aende av
4
He-k¨arnor som vid ifr˚
agavarande temperatur kan betraktas som en klassisk ideal
gas.
144. Ber¨akna energi e(ν)dν f¨or elektromagnetisk j¨amviktsstr˚
alning i frekvensintervall
(ν, ν + dν) vid temperatur T . Vid vilken frekvens ¨ar energin st¨orst? (Resultatet
¨ar Wiens f¨orskjutningslag.)
Ledning: Ekvationen ex (3 − x) = 3 har l¨osningen x ≈ 2, 82.
33
Ber¨akna denna energirikaste frekvens f¨or:
a) str˚
alning vid solytan, T = 6000 K,
b) vid jordytan, T = 290 K,
c) bakgrundsstr˚
alningen, T = 2, 8 K.
Som j¨amf¨orelse kan n¨amnas att synligt ljus har frekvenser mellan 4, 0 · 1014 och
8, 3 · 1014 Hz.
145. Ber¨akna vid vilken temperatur trycket i en fotongas i j¨amvikt ¨ar 105 Pa (≈ 1 atm).
146. Framf¨or ¨oppningen till ett h˚
alrum som innehaller elektromagnetisk str˚
alning i j¨amvikt vid temperatur T s¨atts ett filter med egenskapen att sannolikhetsfunktionen
f¨or att foton med frekvens ω kommer igenom ¨ar
(ω − ω0 )2
1
.
exp −
P (ω) = √
2σ
2πσ
Hur ser d˚
a frekvensf¨ordelningen ut f¨or de fotoner som kommer genom filtret?
(Normeringskonstanten beh¨over ej r¨aknas ut.) Specialisera till ett s˚
adant filter att
de frekvenser som kommer igenom uppfyller exp(~ω/kB T ) ≫ 1. F¨orenkla uttrycket
f¨or detta fall och ber¨akna den frekvens som ger maximum f¨or fotonf¨ordelningen.
147. Den vita dv¨argstj¨arnan i exempel 128 inneh˚
aller a¨ven fotoner i j¨amvikt vid temperaturen T . Den str˚
alning som s¨ands ut fr˚
an stj¨arnan ¨ar dess enda v¨armef¨orlust.
Ber¨akna:
a) Bidraget fr˚
an fotonerna till stj¨arnans v¨armekapacitet.
b) Utstr˚
alad effekt fr˚
an hela stj¨arnan.
c) St¨all med hj¨alp av uppgifterna fr˚
an b) och exempel 128 upp en differentialekvation f¨or temperaturens ¨andring med tiden och l¨os denna. Vad ¨ar temperaturminskningen under 1 sekund vid T = 107 K? Efter hur l˚
ang tid har
stj¨arnan n˚
att jordiska temperaturer ( ≈ 300 K)? 1 ˚
ar ≈ 3, 2 · 107 sekunder.
Om du inte har l¨ost exempel 128, kan du introducera ett allm¨ant uttryck f¨or
elektronernas v¨armekapacitet CV = γT . Denna ¨ar mycket st¨orre ¨an str˚
alningsbidraget. Givna formler i formelsamlingen kan anv¨andas direkt. (Man antar allts˚
a att
heliumjonerna inte bidrar, det ¨ar dock troligen inte en s¨arskilt bra approximation.)
Som j¨amf¨orelse: Solens (radie 7 · 108 m, temperatur 6000 K) totala utstr˚
alning ¨ar
4, 5 · 1026 W.
148. Kraften fr˚
an fotoner i solens str˚
alning kan vara betydelsefull f¨or sm˚
a partiklar i
rymden. Bland annat orsakar den utspridning av partiklarna i en kometsvans.
a) Ber¨akna kraften fr˚
an solfotonerna p˚
a en sf¨arisk partikel med radie r p˚
a avst˚
andet x fr˚
an solens medelpunkt.
b) Hur stor ska en partikel vara f¨or att fotonkraften skall vara lika stor som
gravitationskraften fr˚
an solen?
34
F¨or fotonerna anv¨ands uttryck f¨or str˚
alning fr˚
an en svart kropp vid temperatur
T (beh¨over ej h¨arledas). x antas vara s˚
a stort att fotonernas hastigheter kan anses parallella. Partiklarna antas vara totalreflekterande. Kraften mot en sf¨ar blir
samma som mot en cirkelyta med samma radie vinkelr¨att mot str˚
alningen. S¨att i
8
uppgift b) in f¨oljande v¨arden: Solens radie R = 6, 95·10 m, medelt¨athet ρS = 1420
kg/m3 , temperatur T = 6000 K. Partiklarnas t¨athet ρP = 1000 kg/m3 . Gravitationskraften mellan massorna m1 och m2 p˚
a avst˚
and x ¨ar
k
m1 m2
x2
¨
d¨ar k = 6, 67 · 10−11 m3 /kg s2 . Ovriga
konstanter tas fr˚
an formelsamlingen.
149. Solytan har fotoner i termisk j¨amvikt vid temperatur T . Str˚
alningen i viss rymdvinkel Ω kan ses som utstr¨ommad str˚
alning genom area A, varvid A/r 2 = Ω, r =
solradien. Vad ¨ar utstr¨ommad r¨orelsem¨angd per tidsenhet? Om str˚
alningen totalreflekteras mot ett f¨orem˚
al i denna rymdvinkel, vad blir kraften fr˚
an fotonerna?
R
Ω
A
r
Antag att en rymdsegelfarkost med massa M vill utnyttja denna kraft, hur stor
yta kr¨avs p˚
a avst˚
and R f¨or att f˚
a en viss acceleration a? S¨att speciellt: T = 6000
K, solradie r = 7 · 108 m, jordens avst˚
and till solen R = 1, 5 · 1011 m, M = 1000
2
kg, a = 0, 01g = 0, 098 m/s .
150. Antag att man har en gas av fotoner (elektromagnetisk str˚
alning) i termisk j¨amvikt
vid temperatur T inuti en sf¨ar med radie R. Sf¨arens radie ¨okas sedan adiabatiskt,
reversibelt.
a) Hur ¨andras temperaturen med radien?
b) Fotongasen har ett tryck mot sf¨arens yta som vid expansionen ger ett arbete.
Ber¨akna det arbetet om man startar med radien R0 och temperaturen T0 och
forts¨atter till temperaturen T1 .
Anm¨arkning: Detta kan vara en bild av expansionen av universum och bakgrundstr˚
alningens temperaturf¨orlopp.
151. Vid ett visst skede i universums utveckling dominerade energin fr˚
an elektromagnetisk str˚
alning ¨over alla andra energiformer. Ber¨akna den temperatur f¨or vilken
energin fr˚
an denna bakgrundsstr˚
alning a¨r lika stor som den energi mc2 som ligger
35
i universums massa. I genomsnitt finns i viss volym i universum 109 g˚
anger fler
fotoner ¨an k¨arnpartiklar (protoner, neutroner; universums massa ligger troligen
huvudsakligen i dessa). Denna faktor 109 ¨ar konstant n¨ar universum utvidgas.
152. En volym V inneh˚
aller elektromagnetisk str˚
alning i termodynamisk j¨amvikt vid
temperatur T . Ber¨akna bidraget till v¨armekapaciteten dividerat med antalet fotoner, CV /N. Universum inneh˚
aller elektromagnetisk str˚
alning i j¨amvikt vid 3 K.
J¨amf¨or v¨armekapaciteten hos denna bakgrundsstr˚
alning med bidraget fr˚
an k¨arnpartiklar. De senare a¨r 10−9 g˚
anger antalet fotoner och har v¨armekapaciten 23 kB
per partikel.
Anm.: V¨armekapaciteten (liksom entropin) i hela universum domineras klart av
bakgrundsstr˚
alningen.
3.3.2
Andra sv¨
angningar
153. Best¨am ett utryck f¨or entropin per partikel f¨or gittersv¨angningar (fononer) som
inneh˚
aller en derivata av en integral med avseende p˚
a ena gr¨ansen. Fononerna behandlas i Debyemodellen (tillst˚
andst¨atheten ρ(α) = Cα2 f¨or energier mindre ¨an
kB θD och noll ovanf¨or denna energi). Konstanten C skall best¨ammas ur atomantalet (N) s˚
a att det totala antalet sv¨angningsmoder blir 3N. Ber¨akna integralen
och derivatan i tv˚
a gr¨ansfall, T ≪ θD och T ≫ θD !
154. I ferromagnetiska material existerar excitationer som brukar kallas spinnv˚
agor.
Detta a¨r avvikelser fr˚
an den fullst¨andiga magnetiska ordningen som fortplantar
sig som v˚
agr¨orelser. Dessa v˚
agkvanta har energin
α(p) = c(1 − cos(ap))
H¨ar ¨ar a och c konstanter och beloppet av r¨orelsem¨angden p < π/a. Ber¨akna
den entropi som ¨ar associerad med spinnv˚
agor som funktion av temperaturen d˚
a
T ≪ c/kB !
155. Ett magnetiskt ¨amne har N/V atomer med spinn 1/2 per volymsenhet, som kan
orientera sina magnetiska moment i tv˚
a riktningar i f¨orh˚
allande till ett p˚
alagt
magnetf¨alt. Vid h¨oga temperaturer ¨ar ¨amnet paramagnetiskt. D˚
a ¨ar spinnens inriktning utan p˚
alagt magnetf¨alt helt slumpm¨assig vilket ger entropibidraget kB ln 2
per spinn. Vid l˚
aga temperaturer ¨ar ¨amnet ferromagnetiskt. Spinnens r¨orelse beskrivs d˚
a av sv¨angningskvanta med sambandet
ǫ = γp2 ,
p < pc
mellan energi och r¨orelsem¨angd (γ a¨r en konstant). Anv¨and Bose-Einstein statistik
f¨or att beskriva dessa sv¨angningskvanta (som har tre polarisationsriktningar). Vid
de relevanta temperaturerna g¨aller apc 2 ≫ kB T . Best¨am skillnaden i entropi mellan
de tv˚
a typerna av excitationer.
36
156. I fasta kroppar finns excitationer som kan ses som sv¨angningar av elektroner med
frekvensspektrum:
~ω(p) = ǫ0 + γp2 .
Behandla sv¨angningarna med Bose-Einstein statistik och ber¨akna antalet kvanta,
deras energi och bidrag till v¨armekapacatiten vid temperatur T . Det g¨aller att
ǫ0 ≫ kB T . Utnyttja detta f¨or l¨amplig approximation. Integrera l¨ampligen ¨over
r¨orelsem¨angden. S¨att speciellt T = 1000 K, ǫ0 = 1, 7 · 10−19 J, γ = 4 · 1027 kg−1
och volymen V = 1 m3 .
Ledning: I princip ¨ar spektrum begr¨ansat, men det ¨ar h¨ar helt tillfredsst¨allande
att anta att p ¨ar obegr¨ansad eftersom stora frekvenser inte bidrar till resultatet.
37
4
Termodynamik, l¨
osningar
4.1
1.
Termodynamik, tryck-volymarbete
a)
∂U
∂T V
= CV ⇒ U(T, V ) = CV T + f (V )
d¨ar f (V ) best¨ams med hj¨alp av sambandet dU = T dS − P dV som ger:
∂S
∂U
=T
−P
∂V T
∂V T
En Maxwellrelation
∂P
∂S
=
∂V T
∂T V
ger sedan med tillst˚
andsekvationen (P V = nRT ):
∂U
nRT
=
−P =0
∂V T
V
⇒ f ′ (V ) = 0; f (V )=konstant
U = CV T +konstant
H = U + P V = (CV + nR)T +konstant
= CV + nR
b) CP = ∂H
∂T P
∂S
= CV ⇒ S(T, V ) = CV ln T + g(V )
c) T ∂T
V
∂S
=
d¨ar g(V ) best¨ams ur Maxwellrelationen ∂V
T
′
⇒ g (V ) = nR/V ; g(V ) = nR ln V +konstant
i) S(T, V ) = CV ln T + nR ln V + C1
ii) S(P, T ) = (CV + nR) ln T − nR ln P + C2
iii) S(P, V ) = (CV + nR) ln V + CV ln P + C3
∂S
= CV + nR
d) CP = T ∂T
P
∂P
∂T V
e) Differentiering av tillst˚
andsekvationen P V = nRT ger
P dV + V dP = nRdT.
Det g¨aller a¨ven att
dU = CV dT,
men samtidigt
dU = δQ + δW = δW = −P dV,
ty δQ = 0 f¨or en adiabatisk process. Detta ger
P dV + V dP = nR
nRP
dU
=−
dV
CV
CV
38
⇒
CV + nR
nR
dV + V dP = P
dV + V dP = γP dV + V dP
0=P 1+
CV
CV
vilket ger
dP
dV
+γ
=0
P
V
⇒
ln P + γ ln V = konst.
⇒
P V γ = konst.
Tillst˚
andsekvationen ger motsvarande samband uttryckta i (V, T ) respektive
(P, T ).
i) V T 1/(γ−1) = C4
ii) P T −γ/(γ−1) = C5
iii) P V γ = C6
f) CP = 27 nR och CV = 52 nR
i) V T 2,5 = C4
ii) P T −3,5 = C5
iii) P V 1,4 = C6
⇒
γ=
CP
CV
= 1, 4
2. F¨or en reversibel och adiabatisk process ¨ar entropin konstant, dvs. ∆S = 0.
3. Entropin f¨or en ideal gas a¨r S = NkB ln V + f (N, T ) vilket ger: ∆S = R ln 2.
4. Entropin f¨or en ideal gas ¨ar S = NkB ln V + CV ln T vilket ger ∆S = R ln 2V +
2, 5R ln T /2 − R ln V + 2, 5R ln T = −1, 5R ln 2.
5. F¨or en reversibel adiabatisk process ¨ar entropin konstant. Entropin f¨or en ideal
monoatom¨ar gas ¨ar S = NkB ln V + 1, 5NkB ln T . Om vi eliminerar temperaturen
med hj¨alp av ideala gaslagen f˚
as S = 2, 5NkB ln V + 1, 5NkB ln P + konstant.
Konstant entropi under processen ger V 2,5 P 1,5 = konstant och f¨orh˚
allandet mellan
sluttryck och begynnelsetryck 105/3 = 46.
6. Entalpin f¨or den ideal gasen ¨ar:
5
3
H = NkB T + P V = NkB T
2
2
och beror s˚
aledes inte av trycket utan bara av temperaturen. D¨arf¨or p˚
averkas
temperaturen inte av trycks¨ankningen utan f¨orblir 300 K.
7. Om vi betraktar V som funktion av P och T har vi tv˚
a partiella differentialekvationer som best¨ammer funktionen:
∂V
= −a
∂P
ger efter integration:
V (P, T ) = −aP + f (T )
39
Derivering och ins¨attning i den andra ekvationen ger:
∂V
= f ′ (T ) = 2bT
∂T
Integration ger:
f (T ) = bT 2 + konstant
och vi f˚
ar tillst˚
andsekvationen:
V (P, T ) = −aP + bT 2 + konstant
Ur denna kan vi l¨osa ut tryck¨andringen vid konstant V :
b
∆P = P2 − P1 = (T22 − T12 )
a
8. F¨or en ideal monoatom¨ar gas g¨aller att CV = 3NkB /2 och att CP = 5NkB /2. Vi
f˚
ar allts˚
a CP = 5CV /3 = 0, 520 J K−1 g−1 .
9.
W =
293
Tinne
−1 Q=
− 1 Q = 0, 11Q.
Tute
263
10. Verkningsgraden η = 1 − T0 /T1 = 1 − 293/473 = 0, 38.
11.
W =
273 + 25
− 1 Q = 0, 068Q.
273 + 6
12. Beteckna den v¨armem¨angd som tillf¨ors huset med Qi varav Qu tillf¨ors utifr˚
an. D˚
a
kan den energi som ˚
atg˚
ar f¨or att driva v¨armepumpen skrivas: W = Qi − Qu . Med
hj¨alp av andra huvudsatsen kan Qu uttryckas i Qi , utomhustemperaturen Tu och
inomhustemperaturen Ti som Qu = Tu Qi /Ti vilket ger W = Qi (1 − Tu /Ti ). Detta
ger det s¨okta procentuella f¨orh˚
allandet som 100(Qi − W )/Qi = 100Tu /Ti vilket
vid de tv˚
a temperaturerna blir 26300/295 = 89 % och 28300/295 = 96 %.
13. Eftersom v¨armemaskinen ¨ar reversibel ¨ar dess verkningsgrad η = 1 − T1 /T2 . Den
l˚
aga temperaturen T1 ¨ar hela tiden 273 K (isens temperatur ¨andras ej), medan den
h¨oga temperaturen ¨andras fr˚
an 373 K till 273 K under processens lopp. Vattens
(1 kg) totala v¨armekapacitet ¨ar 4,2 kJ/K. Den v¨armem¨angd som tas upp av isen
¨ar:
Z 273
Q = −4, 2
(1 − (1 − 273/T ))dT = −4.2 · 273 ln (273/373) = 358 kJ/mol
373
40
M¨angden sm¨alt is blir d˚
a 358/334 = 1, 07 kg. Det nyttiga arbetet blir:
Z 273 273
273
W = 4, 2
dT = −4, 2 · 273 1 − ln
=
1−
T
373
373
= 420 − 358 = 62 kJ/mol
14. Steg (2) ¨ar adiabatiskt: Q2 = 0
Steg (1) sker vid konstant volym: W1 = 0
Eftersom inre energin bara beror av temperaturen f¨or en ideal gas g¨aller under
steg (3) (T = T1 =konstant): ∆U3 = Q3 + W3 = 0; W3 = −Q3
Men cyklisk process ⇒ ∆Utot = 0; Q1 + W2 = 0; W2 = −Q1
a) Q1 = U(T2 ) − U(T1 ) = CV (T2 − T1 )
b) −W2 = Q1 = CV (T2 − T1 )
c)
Z V2
Z V1
dV
V1
W3 = −
P dV = RT1
= RT1 ln
V
V2
V1
V2
L¨angs (2) g¨aller (adiabatisk expansion, se t.ex. uppgift 1e):
CRV
T2
T2
V
1
⇒ W3 = −Q3 = CV T1 ln
=
V T CV /R = konst. ⇒
V2
T1
T1
15.
a) L¨angs (2) a¨r T = T2 konstant och d¨armed a¨r U ocks˚
a konstant (eftersom U
bara beror av T f¨or en ideal gas). Detta ger att ∆U = Q2 + W2 = 0 och
Z VC
Q = −Q2 = W2 = −
P dV =
VB
= −nRT2
Z
VC
VB
dV
VB
PC
= nRT2 ln
= nRT2 ln
V
VC
PB
41
PC = P2 , vad ¨ar PB ? L¨angs (1) ¨ar processen adiabatisk vilket inneb¨ar att
P T −3,5 ¨ar konstant (se t ex 1f). D¨arf¨or g¨aller:
3,5
3,5
TB
T1
T2
P2
PB = PA
+ 3, 5 ln
= P1
⇒ Q = nRT2 ln
TA
T1
P1
T2
b) Processen kan ses som en Carnotprocess. F¨or en Carnotmaskin g¨aller att den
totala entropin inte ¨andras under en cykel. Det inneb¨ar att:
∆S =
Q4
Q
−
= 0,
T2
T1
som med utnyttjande av energikonserveringen:
T1
Q4 + W = Q ger W = Q 1 −
T2
c)
Q
1
1
291
=
≈ 20, 2
=
277 =
T1
W
14
1 − 291
1 − T2
16.
a) L¨angs (1) ¨ar entropin konstant. F¨or en ideal gas ¨ar CP = CV + nR. D¨armed
blir i v˚
art fall γ = 1, 4 och P V 1,4 konstant (se 1f):
42
PA = PB
VB
VA
1,4
= P2
"
PB − PA = P2 1 −
V2
V1
V2
V1
1,4
1,4 #
,
PC − PB = P3 − P2
P˚
a samma s¨att l¨angs (3):
PD = PC
VC
VD
1,4
PD − PC = −P3
= P3
V2
V1
1−
V2
V1
1,4
1,4 !
,
PA − PD = −(P3 − P2 )
b)
Q2 = ∆U = CV ∆T =
5V2
CV V2
(P3 − P2 ) =
(P3 − P2 )
nR
2
−Q4 = −∆U = −CV ∆T = −
5V1
=
2
V2
V1
1,4
CV V1
(PA − PD ) =
nR
(P3 − P2 )
Eftersom (1) och (3) ¨ar adiabatiska processer s˚
a ¨ar Q1 = Q3 = 0.
"
0,4 #
5V2
V2
⇒ −W = Q2 + Q4 =
(P3 − P2 ) 1 −
2
V1
c)
"
0,4 #
V2
W
= 1−
η=−
Q2
V1
η v¨axer allts˚
a med kompressionen V2 /V1 .
17. Steg (1): T = TA a¨r konstant. Med hj¨alp av ideala gaslagen f˚
as
Z V2
Z V2
V1
dV
= nRTA ln
P dV = −nRTA
W1 = −
V
V2
V1
V1
43
V2
V1
1,4
Eftersom gasen ¨ar ideal s˚
a beror den inre energin bara av T , och ¨ar s˚
aledes konstant:
∆U = W1 + Q1 = 0
⇒
Q1 = −W1
Steg (2): V = V2 ¨ar konstant, vilket ger att dV = 0, och s˚
aledes:
⇒
W2 = 0
⇒
Q2 = ∆U = CV ∆T = 2, 5nR(TB − TA )
Steg (3): T = TB ¨ar konstant:
W3 = nRTB ln
V2
,
V1
Q3 = −W3
Steg (4): V = V1 ¨ar konstant:
⇒
W4 = 0
⇒
Q4 = 2, 5nR(TA − TB )
Det totala utvunna arbetet blir sedan:
W =−
4
X
i=1
Wi = nR(TB − TA ) ln
V1
V2
Ur detta f˚
as verkningsgraden:
η=
W
−W1 − W3
W1
TA
=
=1+
=1−
Q3
−W3
W3
TB
18. Inf¨or beteckningarna ∆S och ∆S0 f¨or ¨andringen av gasens respektive omgivningens
entropi, ∆V och ∆V0 f¨or ¨andringen av gasens respektive omgivningens volym, samt
W ′ f¨or det utvunna arbetet.
¨
Andringen
av gasens inre energi blir
∆U = ∆W + ∆Q,
d¨ar ∆W och ∆Q ¨ar det tillf¨orda arbetet respektive v¨armet till gasen.
44
Det tillf¨orda arbetet ∆W best˚
ar av tv˚
a bidrag, en del utvunnet nyttigt arbete −W ′ , och en del ∆W (PV) som g˚
ar ˚
at som tryck-volym-arbete p˚
a omgivningen d˚
a gasen f˚
ar expandera. Det tillf¨orda tryck-volym-arbetet till omgivningen ¨ar
−P0 ∆V0 , och det motsvarande arbete som utf¨ors p˚
a gasen a¨r s˚
aledes ∆W (PV) =
+P0 ∆V0 . Detta ger ∆W = −W ′ + P0 ∆V0 .
Det tillf¨orde v¨armet till gasen, ∆Q, ¨ar lika med minus det v¨arme T0 ∆S0 som tillf¨ors
omgivningen, dvs. ∆Q = −T0 ∆S0 .
Sammantaget ger detta
∆U = −W ′ + P0 ∆V0 − T0 ∆S0 ,
vilket ger
W ′ = −∆U + P0 ∆V0 − T0 ∆S0 .
Nu g¨aller det att ∆V0 = −∆V , samt, enligt andra huvudsatsen, att den totala
¨andringen av entropin ∆S + ∆S0 ≥ 0. Detta ger
W ′ ≤ −∆U − P0 ∆V + T0 ∆S.
F¨or att slutligen uttrycka svaret i termer av k¨anda storheter anv¨ander vi f¨oljande
resultat fr˚
an uppgift 1, som g¨aller f¨or en ideal gas med konstant v¨armekapacitet
vid konstant volym:
U(P, T ) = CV T,
S(P, T ) = (CV + R) ln T − R ln P,
samt allm¨anna gaslagen P V = RT . D˚
a gasen f˚
ar expandera fr˚
an utg˚
angstillst˚
andet
(P, T ) till sluttillst˚
andet (P0 , T0 ) (d˚
a j¨amvikt med omgivningen har uppn˚
atts) ger
detta
T0
T
P0
T0
′
+ T0 (CV + R) ln
−
− T0 R ln
W ≤ −CV (T0 − T ) − P0 R
P0 P
T
P
T0
T P0
P
+ (CV + R)T0 ln
+R
− T0 .
= CV (T − T0 ) + RT0 ln
P0
T
P
Maximalt utvunnet arbete f˚
as vid likhet, dvs. f¨or en reversibel process f¨or vilken
∆S + ∆S0 = 0.
19. Den energi som kan utvinnas ur den potentiella energin blir mg∆z = 1 kJ.
Utan andra huvudsatsen skulle man kunna utvinna energin Cp ∆T = 42 kJ ur
temperaturskillnaden.
Med h¨ansyn tagen till andra huvudsatsen och temperaturskillnaden f˚
ar vi Qh /Th =
Ql /Tl . S¨att sedan Tl = 283 K och Th = 293 K s˚
a blir resultatet
283
Tl
= 42 1 −
= 1, 4 kJ
W = Qh − Ql = CP ∆T 1 −
Th
293
45
Slutligen f˚
ar vi om vi integrerar ¨over den successivt ¨andrade temperaturen hos det
varmare vattnet:
Z Th Tl
Th
W =
1−
CP dT = CP ∆T − CP Tl ln
=
T
Tl
Tl
"
#
2
∆T
1 ∆T
∆T
≈ CP ∆T − CP Tl
−
+ ... =
= CP ∆T − CP Tl ln 1 +
Tl
Tl
2 Tl
(∆T )2
= CP
= 0, 74 kJ
Tl
20. a) Energikonservering ger:
mv 2
mC
[T1 + T2 − 2T ] =
2
2
d¨ar vattnets massa m f¨orsvinner d˚
a vi r¨aknar ut hastigheten:
p
v = C(T1 + T2 − 2T )
b) Entropi¨andringen hos vattnet n¨ar temperaturen ¨andras fr˚
an T1 respektive T2
till T blir:
Z Z
m T C ′ mC T
m T ∂S
′
dT =
dT =
ln
∆Si =
2 Ti ∂T ′
2 Ti T ′
2
Ti
Nu m˚
aste den totala entropi¨andringen vara st¨orre ¨an eller lika med noll enligt
andra huvudsatsen:
mC
T
mC
T
T2
∆Stot =
ln
=
+ ln
ln
≥0
2
T1
T2
2
T1 T2
Vilket inneb¨ar:
p
T2
≥ 1 eller T ≥ T1 T2
T1 T2
och vi f˚
ar
v ≤ vmax =
q
p
C(T1 + T2 − 2 T1 T2 )
21. Tillst˚
and:
1) V1 = 0, 2 cm3 , T1 = 4000 K
2) V2 = 20 cm3 , T2 = ?
1
Adiabatisk expansion (dvs S konstant) inneb¨ar enligt exempel 1 att V T γ−1 ¨ar
konstant. γ = CP /CV ¨ar h¨ar 1, 5:
r
V1
2
= 400 K
V T = konstant ⇒ T2 = T1
V2
46
∆U = ∆Q + ∆W
H¨ar ¨ar ∆Q = 0 och av gasen utr¨attat arbete ¨ar allts˚
a −∆W = −∆U
F¨or en ideal gas ¨ar U = CV T ⇒ ∆U = CV ∆T
nR + CV
CP
=
= 1, 5 ⇒ CV = 2nR
CV
CV
r !
mv 2
V1
≈ 360 J ⇒
= 360 J
−∆W = 2nRT1 1 −
V2
2
γ=
som ger svaret v = 380 m/s.
22. F¨or en ideal gas a¨r S(P, T ) = NCP ln T − NkB ln P + C.
I utg˚
angstillst˚
andet har vi lika stora m¨angder av tv˚
a gaser med tryck P och temperatur T , vilket ger
Sf¨ore = (NCP ln T − NkB ln P + C) + (NCP ln T − NkB ln P + C)
= 2NCP ln T − 2NkB ln P + 2C.
I sluttillst˚
andet ¨ar det totala trycket P . D˚
a lika stora delar av gaserna blandas vid
samma temperatur g¨aller det att varje gas bidrar med partialtrycket P/2. Detta
ger
Sefter
P
+C +
=
NCP ln TS − NkB ln
2
P
+
NCP ln TS − NkB ln
+C
2
P
= 2NCP ln TS − 2NkB ln
+ 2C.
2
Andra huvudsatsen ger nu
∆S = Sefter − Sf¨ore = 2N ln
⇒
TS
T
CP
+ 2N ln 2kB ≥ 0
kB /CP
5kB
1
T = CP =
= 0, 76T.
TS ≥
2
2
Maximal temperaturs¨ankning ges vid reversibel adiabatisk process d˚
a Sf¨ore = Sefter .
23. J¨amviktsvillkoret kan skrivas om med hj¨alp av tillst˚
andsekvationen:
dp(z)/p = −
n(z)mgdz
mgdz
= [p(z) = n(z)kB T (z)] = −
p(z)
kB T (z)
Det tredje villkoret innb¨ar att entropin per partikel ¨ar oberoende av h¨ojden. Det
betyder att P V γ = C(en konstant) eller P = aT γ/(γ−1) d¨ar a ¨ar en konstant och
47
γ = CP /CV . Med hj¨alp av denna relation mellan P och T kan P elimineras och vi
f˚
ar f¨oljande ekvation f¨or T :
dT (z)/dz = −
γ − 1 mg
γ kB
som ger
T (z) = T0 −
γ − 1 mgz
γ kB
Vi f˚
ar allts˚
a en linj¨ar temperaturminskning (ca 1 grad per 100 m).
24.
a) Vi har tv˚
a differentialekvationer f¨or ln V (P, T ):
1 ∂V
∂ ln V
=
= −K [1 + β(T − T0 )] ,
V ∂P T
∂P
T
1 ∂V
∂ ln V
=
= A(1 − γP ),
V ∂T P
∂T
P
F¨or att relatera de ing˚
aende konstanterna till varandra anv¨ander vi att
∂ 2 (ln V )
∂ 2 (ln V )
=
∂P ∂T
∂T ∂P
⇒
γ=
βK
A
F¨or att best¨amma tillst˚
andsekvationen integrerar vi den f¨orsta ekvationen:
ln V = −K [1 + β(T − T0 )] P + f (T ),
d¨ar funktionen f (T ) best¨ams genom ins¨attning i den andra ekvationen:
∂ ln V
= −KβP + f ′ (T ) = A(1 − γP ) ⇒
∂T
P
f ′ (T ) = KβP + A(1 − γP ) = A
⇒
f (T ) = AT + C,
d¨ar C ¨ar en integrationskonstant.
Om V0 (gasens volym vid T = T0 och P = 1 atm) inf¨ors ist¨allet f¨or konstanten
C s˚
a erh˚
alles:
V
ln
= −K(P + β(T − T0 )P − 1) + A(T − T0 )
V0
b) S¨att V = V0 och P = 100 atm. Det ger:
⇒
T − T0 =
K(P − 1)
P −1
=
≈ 6K
A − KβP
β(γ −1 − P )
48
25.
a) Fri v¨armeisolerad expansion inneb¨ar δQ = δW = 0 och d¨armed ∆U = 0.
Best¨am U!
dU = T dS − P dV
∂S
∂P
∂U
=T
− P = {Maxwellrelation} = T
−P =
∂V T
∂V T
∂T V
RT
a
−P = 2
V −b
V
a
⇒ U(T, V ) = − + f (T )
V
=
⇒
⇒
f (T ) = CV T + konstant
U(T1 , V1 ) = U(T2 , V2 )
⇒
⇒
∂U
∂T
= CV = f ′ (T )
V
U =−
T2 = T1 −
a
+ CV T + konstant
V
a
≈ 294 K
2CV V1
b) Adiabatiskt reversibelt inneb¨ar att S ¨ar konstant:
∂P
R
∂S
=
=
⇒ S(T, V ) = R ln(V − b) + f (T )
∂V T
∂T V
V −b
∂S
CV = T
⇒ S(T, V ) = R ln(V − b) + CV ln T + konstant
∂T V
R/CV
V1 − b
T1
V1 − b
= 0 ⇒ T2 = T1
+ CV ln
R ln
2V1 − b
T2
2V1 − b
som blir 213 K.
c) Nu ¨ar H = U + P V konstant
H=−
2a
V RT
+ CV T +
+ C1
V
V −b
2a
V1 RT1
a
2RT2 V1
+ CV T1 +
= − + CV T2 +
V1
V1 − b
V1
2V1 − b
1
− Va1 + T1 CV + VRV
1 −b
≈ 309 K
T2 =
2RV1
CV + 2V
1 −b
−
Bara b) ¨ar effektiv som kylprocess. Inversionstemperaturen vid Joule–Kelvinkylning a¨r l¨agre a¨n rumstemperatur.
CV = 5R/2 inneb¨ar att gasen ¨ar tv˚
aatomig (tre frihetsgrader fr˚
an translation
och tv˚
a fr˚
an rotation). Konstanten b ger den typiska volymen f¨or en mol av
gasen, dvs. en molekyl upptar volymen Vm ≈ b/NA ≈ 4.4 · 10−29 m3 , vilket
motsvarar radien rm = (3Vm /4π)1/3 ≈ 2.2 · 10−10 m = 2.2 ˚
A. T¨anker vi oss
gasen som tv˚
a intilliggande sf¨ariska atomer, vardera med radien ra , s˚
a blir
˚
denna radie ra = rm /4 ≈ 0.55 A, vilket motsvarar atomradien f¨or v¨ate. Gasen
a v¨atgas.
¨ar allts˚
49
26. Vid en fri v¨armeisolerad expansion ¨ar s˚
av¨al arbete som v¨arme noll och den inre
energin U blir d¨arf¨or konstant.
∂S
∂P
∂U
=T
−P = T
− P,
dU = T dS − P dV ger
∂V T
∂V T
∂T V
efter utnyttjande av en Maxwellrelation. Sedan f¨oljer
∂U
RT
a
a
=
− P = 2 ⇒ U(T, V ) = − + f (T )
∂V T
V −b
V
V
∂U
d¨ar f (T ) best¨ams ur CV =
= f ′ (T ) till f (T ) = CV T + konstant,
∂T V
a
a
.
vilket ger U = − + CV T + konstant och ∆T = −
V
2CV V
27.
Q=
Z
T dS.
En Maxwellrelation ger
∂S
∂P
R
=
=
∂V T
∂T V
V −b
⇒
dS =
R
dV,
V −b
eftersom temperaturen ¨ar konstant under expansionen. Detta ger
Z 6b
5
6b − b
R
= RT ln .
dV = RT ln
Q=
T
V −b
3b − b
2
3b
28.
∂U
CV =
∂T V
∂CV
∂
∂U
∂
∂U
Betrakta
=
=
∂V T
∂V ∂T V T
∂T ∂V T V
dU = T dS − P dV
∂S
∂P
∂U
=T
− P = {Maxwellrelation} = T
−P
∂V T
∂T V
∂T V
2 ∂
∂U
∂P
∂P
∂ P
∂CV
=
=
−
+T
=
∂V T
∂T ∂V T V
∂T V
∂T V
∂T 2 V
2 ∂ P
=T
.
∂T 2 V
50
F¨or en van der Waalsgas g¨aller:
RT
a
P =− 2+
V
V −b
⇒
∂2P
∂T 2
= 0.
V
Allts˚
a beror CV inte av V . N¨ar volymen blir mycket stor f˚
ar gasen s˚
a l˚
ag t¨athet
att den kan betraktas som ideal. CV ¨ar d¨armed densamma f¨or van der Waalsgasen
och den ideala gasen.
29.
a) Vi vill visa att H(P, T ) a¨r oberoende av P , dvs.
∂H
= 0.
∂P T
F¨or att kunna utnyttja den givna tillst˚
andsekvationen beh¨over vi uttrycka
V.L. ovan i termer av tillst˚
andsvariablerna. Vi utg˚
ar fr˚
an uttrycket f¨or differentialen dH:
∂S
∂S
dT +
dP + V dP =
dH = T dS + V dP = T
∂T P
∂P T
∂V
= CP dT + V − T
dP,
∂T P
d¨ar vi i sista ledet har anv¨ant en Maxwellrelation. J¨amf¨or vi detta uttryck
med det allm¨anna uttrycket f¨or H(P, T ),
∂H
∂H
dT +
dP,
dH =
∂T P
∂P T
och j¨amf¨or koefficienterna framf¨or dP erh˚
aller vi resultatet
∂V
∂H
=V −T
,
∂P T
∂T P
d¨ar H.L. endast beror p˚
a tillst˚
andsvariablerna. Vi vill nu med hj¨alp av tillst˚
andsekvationen visa att H.L. ¨ar lika med noll. Vi anv¨ander identiteten
∂P
∂f (T /V )
1
T ∂V
′
0=
=
= f (T /V )
=
− 2
∂T P
∂T
V
V
∂T P
P
∂V
f ′ (T /V )
.
V −T
=
V2
∂T P
Eftersom f (T /V ) ¨ar en monotont v¨axande funktion g¨aller det att dess derivata ¨ar nollskild, och d¨armed att
f ′ (T /V )
6= 0 ⇒
V2
∂V
V −T
=0
∂T P
⇒
H(P, T ) = H(T )
51
b) Genom att j¨amf¨ora koefficienterna framf¨or dT i uttrycken f¨or dH ovan erh˚
aller
vi resultatet
∂H
= CP (T ),
CP (P, T ) =
∂T P
eftersom H = H(T ). F¨or V → ∞ (P → 0) g¨aller CP (T ) → 3, 5R
Eftersom CP varken beror av V eller P s˚
a ¨ar CP = 3, 5R f¨or alla T och s˚
aledes
temperaturoberoende.
c) Det g¨aller att
dU = δQ + δW = δQ − P dV = δQ − d(P V ) + V |{z}
dP = δQ − d(P V )
=0
⇒
δQ = d(U + P V ) = dH
Nu anv¨ander vi
∂H
= 3, 5R
∂T P
⇒
⇒
⇒
∆Q = ∆H.
H(T ) = 3, 5RT + konstant
∆H = 3, 5R∆T.
F¨or att ber¨akna ∆H beh¨over vi sluttemperaturen T . Konstant P = f (T /V )
kombinerat med det faktum att f (T /V ) ¨ar monotont v¨axande ger att T /V
¨ar konstant, dvs.
T
300 K
=
0, 9V
V
⇒
T = 270 K
Slutligen f˚
ar vi
∆Q = 3, 5R∆T ≈ 873 J.
30. Utnyttja sambandet dU = T dS − P dV vilket ger:
∂S
∂U
= −P + T
.
∂V T
∂V T
Anv¨and Maxwellrelationen 3.11 i formelsamlingen p˚
a den partiella derivatan och
vi har
∂U
∂P
= −P + T
= −P + 3AT 3 /V = 2AT 3 /V.
∂V T
∂T V
med utnyttjande av tillst˚
andsekvationen. Derivera nu det givna uttrycket f¨or U
med avseende p˚
a V vid konstant T vilket ger:
∂U
= BT n /V.
∂V T
Identifiering av de tv˚
a uttrycken ger n = 3 och B = 2A.
52
31.
a)
CP − CV = T
b)
∂S
∂T
P
−T
∂S
∂T
V
Betrakta S som en funktion av V och T . Det ger:
∂S
∂S
∂S
∂V
∂S
dV +
dT ⇒
=
+
dS =
∂V T
∂T V
∂T P
∂V T ∂T P
∂S
∂S
∂V
+
⇒ CP − CV = T
=
∂T V
∂V T ∂T P
∂V
∂P
= Maxwellrelation = T
∂T V ∂T P
∂V
∂V
dT +
dP
dV (T, P ) =
∂T P
∂P T
∂V
∂V
∂P
⇒
+
=0
∂T P
∂P T ∂T V
2
∂V
V T α2
P
=
CP − CV = −T ∂T
∂V
κ
∂P T
1
α=
V
∂V
∂T
P
CP − CV = V T
R
1
=
=
PV
T
,
1
κ=−
V
∂V
∂P
1
P =R
T2
c)
P =
RT
α
− 2
V −b V
Derivering med avseende p˚
a T d˚
a P h˚
alls konstant ger:
R
1 ∂V
= V RT
α=
V ∂T P
− 2a(V 2−b)
V −b
V
Derivering map P d˚
a T h˚
alls konstant ger:
V −b
1 ∂V
= V RT
κ=−
V ∂P T
− 2a(V 2−b)
V −b
⇒
V
V T α2
R
CP − VV =
=
2a(V
−b)2
κ
1 − V 3 RT
53
T
=
RT
1
=
2
VP
P
32. F¨or en ideal gas g¨aller att H = U + pV = f (T ). Om H h˚
alls konstant ¨andras
d¨arf¨or inte T . J–T-koefficienten skall allts˚
a vara noll f¨or en ideal gas. Formeln ger
µJT = (2T NkB /P −V )/CP = V /Cp 6= 0. Stryk tv˚
aan s˚
a blir resultatet noll f¨or den
ideala gasen. En l¨angre h¨arledning ger ocks˚
a att detta a¨r den korrekta formeln.
33. dU = T dS − pdV ger med utnyttjande av en Maxwellrelation den s¨okta formeln.
Det ¨ar allts˚
a ett −p som saknas.
34.
dH = dU + P dV + V dP = T dS + V dP
∂P
∂H
=T +V
∂S T
∂S T
utnyttja nu
dS(P, T ) =
∂S
∂T
dT +
P
som ger:
∂H
=T +
∂S T
V
∂S
∂P
T
dP ⇒
1=
∂S
∂P
= {Maxwellrelation} = T −
∂S
∂P T
T
V
∂V
∂T
Vidare har vi
∂P
∂H
=T +V
,
∂S V
∂S V
∂P
∂S
T
=T−
P
1
.
α
som kan f¨orenklas med uttnyttjande av uttrycket f¨or dS ovan som vid konstant V
kan skrivas
∂S
∂T
∂S
∂P
1=
+
∂T P ∂S V
∂P T ∂S V
Detta ger
∂H
∂S
=T +V
1−
V
∂S
∂T
∂T P ∂S V
∂S
∂P T
som med utnyttjande av en Maxwellrelation och sambandet
slutresultatet
∂H
∂S
V
=T −
∂S
∂T P
1−
1
V
1
∂S
( ∂T
1−γ
)V
.
=T−
∂V
α
∂T P
54
∂T
∂S V
=
1
∂S
( ∂T
)V
ger
35.
∂P
∂P
∂P
dP (V, T ) =
dV +
dT ,
= γV
∂V T
∂T V
∂T V
∂P
∂P
∂T
BS = −V
= −V
− γV V
∂V S
∂V T
∂V S
medan
BT = −V
∂P
∂V
T
⇒ BS = BT − V γV
∂T
∂V
S
∂S
∂S
CV
dS(V, T ) =
dV +
dT ,
=
∂T V
∂T V
T
T
T
T
∂S
∂P
∂T
=−
=−
⇒
∂V S
CV ∂V T
CV ∂T V
∂P
= γV ger slutligen:
CV = NcV och
∂T V
BS = BT +
4.2
∂S
∂V
γV 2 T
ρcV
VSV!
Termodynamik, andra typer av arbete
36. Sluttemperaturen TS best¨ams ur 1:a huvudsatsen (allts˚
a energikonservering):
(CA + CB )TS = CA TA + CB TB
TS = TA +
⇒
CB (TB − TA )
CA (TA − TB )
= TB +
CA + CB
CA + CB
δQrev = T dS = CV dT
∆SA = CA ln
TS
TA
,
Z
CV
dT
T
TS
∆SB = CB ln
TB
⇒
∆S =
55
∆Stot
CA ∆T
CB ∆T
+ CB ln 1 −
= CA ln 1 +
(CA + CB )TA
(CA + CB )TB
d¨ar ∆T = TB − TA . Detta ger
∆Stot (∆T = 0) = 0 ,
∂∆Stot
∂∆T
=
TA
CA CB ∆T
.
(CA + CB )TB TS
Detta ¨ar st¨orre ¨an noll d˚
a ∆T ¨ar st¨orre ¨an noll, och mindre ¨an noll d˚
a ∆T ¨ar
mindre ¨an noll:
⇒
∆Stot ≥ 0 ∀ ∆T
37. V¨armekapaciteten vid konstant tryck definieras:
∂S
.
CP = mcP = T
∂T P
Detta ger efter integration
S = mcP ln T + f (P ) och δQrev = mCP dT
Villkoret att de tv˚
a systemen ¨ar v¨armeisolerade fr˚
an omgivningen ger en ekvation
f¨or den ok¨anda sluttemperaturen Ts :
Z Ts
Z Ts Z
Z
dT = 0
dT +
δQ1 + δQ2 = mcP
T2
T1
som ger:
T1 − Ts + T2 − Ts = 0
med l¨osningen:
1
Ts = (T1 + T2 )
2
Detta ger entropi¨andringen:
T1 + T2
T1 + T2
− mcP ln T1 − mcP ln T2 = 2mcP ln √
2
2 T1 T2
√
som alltid ¨ar positiv (eller noll) emedan det geometriska medelv¨ardet T1 T2 alltid
¨ar mindre ¨an eller lika med det aritmetiska (T1 + T2 )/2.
∆S = 2mcP ln
38. Sluttemperaturen (Ts ) best¨ams ur ekvationen:
Z Ts
Z Ts
dT2
T1 dT1 = −2aT0
a
T0
3T0
56
vilket ger en andragradsekvation med l¨osningen:
√
Ts = T0 (± 17 − 2) ≈ 2, 123T0
d¨ar det negativa teckenalternativet m˚
aste f¨orkastas. Den totala entropi¨andringen
f˚
as sedan som:
Z Ts
Z Ts
∆Q2
∆Q1
dT1 +
dT2 =
∆S =
T1
3T0 T2
T0
!
√
√
Ts
17 − 2
17 − 2 + 2 ln
a(Ts − T0 ) + 2aT0 ln
= 1, 43aT0
= aT0
3T0
3
39. Enligt 2:a huvudsatsen ¨ar dS ≥ 0. Maximalt arbete utvinns ur systemet d˚
a dS = 0,
d˚
a
dS =
⇒
⇒
CV dT1 CV dT2
δQ1 δQ2
+
=
+
=0
T1
T2
T1
T2
ln T1 + ln T2 = konstant eller T1 T2 = konstant
p
p
Tslut = T1 T2 och W = ∆U = 2CV T1 T2 − CV T1 − CV T2
RM
40. W = µ0 V 0 HdM. Curies lag enligt FS.: M = CB/T ger med B = µ0 (M +H) H
uttryckt i M som H = A(T )M d¨ar A(T ) = (1 − µ0 C/T )/(µ0 C/T ). Med konstant
T kan integralen ovan utf¨oras och resultatet blir W = µ0 V A(T )M 2 /2.
41.
a) Processen ¨ar adiabatisk och reversibel vilket inneb¨ar att entropin ¨ar konstant.
Tillst˚
andsvariablerna ¨ar F , L, T och dessa ¨ar relaterade med tillst˚
andsekvationen F = (a + bT )(L − L0 ). En Maxwellrelation ger
∂S
∂F
=−
= −b(L − L0 )
∂L T
∂T L
b
S(L, T ) = − (L − L0 )2 + f (T )
2
∂S
= T f ′ (T ) = C1
CL (L = L0 ) = T
∂T L
⇒
, d¨ar C1 ¨ar en konstant
b
⇒ S(L, T ) = − (L − L0 )2 + C1 ln T + C2
2
S(L0 , T0 ) = S(2L0 , T1 )
⇒
57
T1 = T0 exp
bL0 2
2C1
.
b)
W =
Z
2L0
L0
= (a + bT )
F (T, L)dL = {T konstant} = (a + bT )
Z
2L0
L0
(L − L0 )dL =
L0 2
2
Avgivet v¨arme:
Z
Z
−Q = − δQrev = − T dS = {isoterm process} = −T ∆S =
= −T [S(2L0 , T ) − S(L0 , T )]
Med entropin enligt a) ges slutligen:
−Q =
bL20 T
2
42. I detta fall blir det reversibla arbetet som vid str¨ackning av en tr˚
ad i formelsamlingen, σdL. Maxwellrelationen
(∂S/∂L)T = −(∂σ/∂T )L
utnyttjas sedan:
(∂S/∂L)T = −a(L/L0 − (L0 /L)2 ) + aT (L/L0 + 2(L0 /L)2 )
1
dL0 /dT
L0
vilket ger
S(L, T ) = f (T ) − a(L2 /2L0 + L20 /L) + aT α0 (L2 /2L0 − 2L20 /L)
Det tillf¨orda v¨armet kan nu best¨ammas oberoende av f (T ) ty temperaturen ¨ar
konstant:
5
δQ = T (S(2L0 , T ) − S(L0 , T )) = −aT L0 1 − α0 T .
2
43.
δWrev = Xdx, dU = δWrev + δQrev = Xdx + T dS
∂S
∂X
∂U
=X +T
= {Maxwellrelation} = X − T
∂x T
∂x T
∂T x
Antag att den inre energin endast beror p˚
a T , dvs. ¨ar oberoende av x. D˚
a har vi
1
∂X
∂ ln X
1 ∂X
∂U
= X −T
⇒
=
=
0=
∂x T
∂T x
T
X ∂T x
∂T
x
58
⇒ X = g(x)T , d¨ar g(x) ¨ar en godtycklig funktion av x.
I motsatt riktning g¨aller att:
∂U
= X − T g(x) = X − X = 0.
⇒ X = g(x)T ⇒
∂x T
44. Det utr¨attade arbetet blir:
Z
Z
− δWrev = − EdZ = −E∆Z = EI∆t = 20, 3 J.
Entropi¨andringen f˚
as genom att integrera Maxwellrelationen
∂S
∂E
=−
= −0, 007.
∂Z T
∂T Z
Detta ger: ∆S = −0.007 · (−6) = 0, 042 J/K. Det tillf¨orda v¨armet ¨ar relaterat till
entropi¨andringen genom δQrev = T ∆S. Detta ger ett tillf¨ort v¨arme p˚
a 0, 042·300 =
12, 6 J. Slutligen kan den inre energi¨andringen best¨ammas som:
∆U = δQrev + δWrev = 12, 6 − 20, 3 = −7, 7 J.
45. Adiabatisk reversibel process
medf¨or konstant entropi.
∂M
∂S
=
µ
ger med M = bH
Maxwellrelationen ∂H
0V
∂T H
T
T
bH
∂S
= −µ0 V 2 vilket skall integreras:
∂H T
T
µ0 V bH 2
S(T, H) = −
+ f (T ) d¨ar f (T ) ges ur:
2T 2
a
a
∂S
= 2 = T f ′ (T ) ⇒ f (T ) = − 2 + konstant
CH=0 = T
∂T H=0 T
2T
µ0 V bH 2
a
−
+ konstant
2
2T
2T 2
T1
S(T1 , H) = S(T0 , 0) ⇒ T0 = q
1 + µ0 V ab H 2
S(T, H) = −
46. Tillf¨ort v¨arme:
Z αM0
Z
Q=
T dS(M, T ) = {T konstant} = T
M =0
= {Maxwellrelation} = −µ0 V T
Z
αM0
0
59
∂H
∂T
αM0
0
M
∂S
∂M
dM =
T
dM = {tillst. ekv.} =
Z
Z α
M
µ0 V kB T αM0
arctanh(
)dM = −NkB T
arctanh(x)dx =
=−
µ0 m
M0
0
0
Z
NkB T α
=−
[ln(1 + x) − ln(1 − x)]dx =
2
0
−
NkB T
[(1 + α) ln(1 + α) + (1 − α) ln(1 − α)] = {α = 1} = −NkB T ln 2
2
47. Adiabatisk reversibel process ger att entropin ¨ar konstant. Tillst˚
andsvariabler ¨ar
h¨ar P , E och T och tillst˚
andsekvationen
T0
− 1 ǫ0 E
P = (ǫ − 1)ǫ0 E = c1 ln
T
∂S
c1 V ǫ0 E
∂P
= {Maxwellrelation} = V
=−
∂E T
∂T E
T
c1 V ǫ0 E 2
S(E, T ) = −
+ f (T )
2T
∂S
= T f ′(T ) = C0
CE=0 = T
∂T E=0
⇒
f (T ) = C0 ln T + C1
, d¨ar C0 ¨ar en konstant
, d¨ar C1 ¨ar en konstant
c1 V ǫ0 E 2
+ C0 ln T + C1
S(E, T ) = −
2T
S(0, T1 ) = S Ud , T2 ger:
⇒
T2
c1 V ǫ0
ln
=
T1
2C0 T2
2
U
d
F¨or ∆T = T2 − T1 ≪ T1 f˚
as:
2
c1 V ǫ0 U
∆T =
2C0
d
48.
dU = T dS + γdA
Maxwellrelation ger
∂S
∂A T
=−
S(A, T ) = −aA + f (T ),
∂γ
∂T A
= −a
∂S
T
= V cV = T f ′(T ) = konstant
∂T V
S(A, T ) = −aA + V cV ln T + konstant
∆S = 0
⇒
−a∆A + V cV ln
T2
=0
T1
60
⇒
T2 = T1 exp
a∆A
V cV
!
23
1
1
− 1 = 2πR2 (2 3 − 2)
2
∆A = 4πR2
vilket ger
T2 = T1 exp
3a(21/3 − 2)
.
2RcV
61
5
Klassisk statistisk mekanik, l¨
osningar
49.
P
Ei e−Ei /kB T
U = iP −E /k T
e i B
i
CV =
=
∂U
∂T
V
P
P
2 
Ei2 e−Ei /kB T
Ei e−Ei /kB T
1  i

i
=
 P −Ei /kB T −  P −Ei /kB T   =
2
kB T
e
e
i
i
1
1
hE 2 i − hEi2 =
h(E − U)2 i
2
kB T
kB T 2
50. Tillst˚
andssumman:
2
Z
Z
1
p
1
1
1
−H(p,x)/kB T
2
e
dpdx =
exp
dpdx
+ kx x
Z1 =
h
h
2m 2
kB T
1/2
1/2
1 m
2πkB T
1
1/2
=
kB T
= (2πmkB T )
h
kx
~ kx
Inre energi:
U = F + TS = F − T
= kB T 2
∂ ln Z1
∂T
⇒ CV = kB
∂F
∂T
V
= −kB T ln Z1 + T
∂(kB T ln Z1 )
∂T
V
= kB T
V
Ekvipartitionsteoremet: varje term i Hamiltonianen som ¨ar kvadratisk i r¨orelsem¨angden eller i rumskoordinaten bidrar till den totala energin med kB T /2.
51. Den mest sannolika volymen f˚
as genom att maximera
ln ZN (V, T )e−γV = ln ZN (V, T ) − γV
vilket, best¨ammer γ
1
∂F
P
∂ ln ZN
=−
=
.
γ=
∂V
kB T ∂V T,N
kB T
T,N
ln Φ = ln
Z
ZN (V, T )e−γV dV ≈ ln(st¨orsta v¨ardet av integranden)
= ln ZN − γV =
−F − P V
−G
=
.
kB T
kB T
62
R
V ZN (V, T )e−γV dV
∂(ln Φ)
=
−
V0 = hV i = R
∂γ
ZN (V, T )e−γV dV
2
1 ∂2Φ
1 ∂Φ
∂ 2 (ln Φ)
h(V − V0 ) i = hV i −
=
−
=
Φ ∂γ 2
Φ ∂γ
∂γ 2
∂V0
∂V0
= kB T V0 κ.
= −kB T
= −
∂γ
∂P T
2
2
V02
52. Det viktiga ¨ar att r¨orelseenergin enbart beror av r¨orelsem¨angderna pi och att den
potentiella energin enbart beror av l¨agena ri . Vi har
H(p1 , · · · , pN , r1 , · · · , rN ) = Ek (p1 , · · · , pN ) + U(r1 , · · · , rN )
d¨ar
N
X
p2i
Ek (p1 , · · · , pN ) =
2m
i=1
Z
Z
och U(r1 , · · · , rN ) =
Ek e
3
3
Z
i=1
V (ri ) +
X
i>j
W (ri − rj )
Z
· · · e−U/kB T d3 r1 · · · d3 rN
Z
Z
Z
hEk i = Z
−Ekin /kB T 3
3
··· e
d p1 · · · d pN · · · e−U/kB T d3 r1 · · · d3 rN
Z
2
p2i e−pi /2mkB T d3 pi
N
X
3
1
Z
= NkB T.
=
2
2m i=1
2
e−pi /2mkB T d3 pi
···
−Ek /kB T
N
X
d p1 · · · d pN
53. F¨or en ideal gas f¨orsummas v¨axelverkan mellan partiklarna, och energin ¨ar d¨armed
en funktion endast av r¨orelsem¨angden. Vi f˚
ar tillst˚
andssumman f¨or en partikel:
Z 3
d p −E(p)/kB T
Z1 = V
e
= V Z˜1
h3
d¨ar Z˜1 ej beror av volymen. Vidare g¨aller det, d˚
a partiklarna antas oberoende, att
N
den totala tillst˚
andssumman Z = Z1 /N!. Vi f˚
ar
F = −NkB T ln Z = −NkB T ln Z1 + kB T ln N!
= −NkB T ln V − NkB T ln Z˜1 + kB T ln N!
och
∂F
P =−
∂V
T,N
=
NkB T
V
oberoende av hur funktionen E(p) ser ut.
63
54. Enligt formelsamlingen g¨aller: F = −kB T ln Z vilket ger
N
F = −kB T ln Zideal − NkB T ln 1 − v1
V
Trycket ber¨aknas sedan enligt formelsamlingen genom att derivera m.a.p. volymen:
N
(N
v
)2 kB T v1
NkB T
∂F
V2 1
V
= Pideal + NkB T
=
+
P =−
∂V T
V
1− N
v
1− N
v
V 1
V 1
∂U
55. dU = T dS−P dV +µdN ger trycket som P = −( ∂V
)N,S . Derivering av uttrycket f¨or
energin ger trycket som funktion av U och V : P = −2U/7V . Vidare ger derivering
av uttrycket f¨or U med avseende p˚
a U vid konstant N och V :
∂U
∂U
∂S
2
∂S
=1=
=U
(
)N,V
∂U N,V
∂S N,V ∂U N,V
7NkB ∂U
Den sista partiella derivatan ¨ar 1/T vilket ger U = 7NkB T /2 som insatt i formeln f¨or P ger P = NkB T /V . (Systemet ¨ar en ideal gas med fyra klassiska inre
harmoniska frihetsgrader t. ex. en tv˚
aatomig gas med klassiska rotationer och vibrationer.)
56. Tryck-volymarbete p˚
a l˚
adan: dEj = −Pj dV vilket ger att
∂Ej
2 Ej
2 hEi
Pj = −
=
⇒ hP i =
∂V N
3V
3 V
F¨or partiklar med enbart r¨orelseenergi blir bidraget till energin (3/2kB T ) per partikel, vilket ger P V = NkB T .
Alternativ h¨arledning av ideala gaslagen:
3 mkB T
,
F = −kB T ln Z1 = −kB T ln(V ) +
2
h2
∂F
kB T
P =−
=
.
∂V T
V
F¨or N partiklar f˚
as P V = NkB T .
57. Fr˚
an uttrycket f¨or differentialen
dG = −SdT + V dP + µdN
f˚
as att entropin
aP
∂G
5
= −NkB ln
S=−
+ NkB ,
5/2
∂T P,N
(kB T )
2
vilket ger
CP = T
∂S
∂T
P
5
= NkB .
2
64
58. Antalet mikroskopiska tillst˚
and ¨ar Ω = αU 4N d¨ar α ¨ar en konstant, allts˚
a ¨ar den
totala entropin S = kB ln Ω. D˚
a kan den statistiska temperaturen best¨ammas som:
1
∂S
4NkB
=
=
T
∂U
U
d.v.s.
U = 4NkB T
och v¨armekapaciteten vid konstant volym a¨r
∂U
= 4NkB .
CV =
∂T V
59. Entropin som funktion av inre energin U och volymen V f˚
as direkt fr˚
an antalet
tillst˚
and:
S(U, V ) = kB ln Ω(U, V ) = kB (ln A + γ(V U)1/2 )
Inre energin U kan sedan substitueras mot temperaturparametern T genom sambandet:
∂S
kB
1
=
=
γ(V /U)1/2
T
∂U
2
,
vilket ger:
γ 2 kB T V
S(T, V ) = kB ln A +
2
60. Tillst˚
andssumman ger direkt fria energin:
F = −kB T ln Z = −
kB γT 4 V 2
N
och den kemiska potentialen blir:
2
V
∂F
4
µ=
= kB γT
.
∂N T,V
N
61. Sambandet mellan energin och temperaturen f˚
as fr˚
an entropin:
∂S
(NV )2
1
=
= 3B
T
∂U
U4
d.v.s.
√
U = (3BT )1/4 NV
65
62. Den inre energin U kan best¨ammas ur U = F + T S d¨ar F ¨ar fria energin, T ¨ar
temperaturen och S ¨ar entropin. Dessa storheter ¨ar direkt kopplade till tillst˚
andssumman Z:
∂F
4
F = −kB T ln Z = −akB T V och S = −
= 4akB T 3 V
∂T V,N
vilket ger den inre energin som U = 3akB T 4 V .
63.
a) n spinn upp ger ett totalt moment:
M = nm − (N − n)m = (2n − N)m,
⇒

N
Antalet mikrotillst˚
and med n spinn upp, 
n
ger:
b)


N
1 
= 1
P (M) = N
M
2
2N ( N2 −
)
( N2 + 2m
n=
M
N
+
2
2m

 av totalt 2N mikrotillst˚
and
N!
M
)!( N2 +
2m
M
)!
2m
U = −MB = −nmB + (N − n)mB = (N − 2n)mB,
med n =
N
2
−
U
.
2mB

Ω(U) = 
N
n(U)

=
N!
( N2
−
U
)!( N2
2mB
+
U
)!
2mB
c) Med Stirlings formel ges:
S = kB ln Ω(U) ≈ −kB [(
(
U
1
U
N
−
) ln ( −
)+
2
2mB
2 2mNB
N
U
1
U
+
) ln ( +
)]
2
2mB
2 2mNB
d)
−1

1
∂S
1

 2mB
=
= ... = −

U
1
T
∂U
kB ln ( 2 + 2mNB
)
U
1
− 2mNB
2
L¨os ut U. Det ger:
U = −NmB tanh
mB
kB T
66
64.
a)
1
− U
Ω(U)e kB T
ZN
Enligt f¨oreg˚
aende exempel ¨ar:


N
=
Ω(U) = 
( N2 −
n(U)
P (U) =
+
U
)!
2mB
− kmBT N
B
mB
ZN = (Z1 )N = (e kB T + e
⇒
N!
U
)!( N2
2mB
)
− k UT
B
Ω(U)e
P (U) =
(e
mB
kB T
− kmBT N
B )
+e
b) Energin hos de tv˚
a tillst˚
anden ¨ar ±mB som d˚
a f˚
ar sannolikheterna
− ±mB
e kB T
1 − ±mB
P (±mB) =
e kB T = mB
− mB
Z1
e kB T + e kB T
c) Bidraget till det magnetiska momentet fr˚
an ett spinn ber¨aknas med sannolikheterna fr˚
an b):
M1 = mP (−mB) − mP (+mB) = m
mB
−mB
mB
kB T
−mB
kB T
e kB T − e kB T
= m tanh
+e
e
Det totala magnetiska momentet fr˚
an N spinn blir d˚
a:
mB
M = NM1 = Nm tanh
kB T
mB
kB T
Susceptibiliteten:
1 ∂M
µ0 ∂M
Nµ0 m2
χ=
=
=
=
V ∂H
V ∂B
V kB T cosh2 (mB/kB T )
mB
≪1
kB T
1
Nµ0 m2
=C
V kB T
T
(vilket ¨ar Curies lag!)
≈
d)
F = −NkB T ln Z1 = −NkB T ln (2 cosh
mB
)
kB T
mB
U = −MB = −NmB tanh
kB T
2 2
Nm B
1
∂U
=
CV =
2
2
∂T V
kB T cosh (mB/kB T )
mB
∂F
NmB
mB
S=−
= NkB ln(2 cosh
)−
tanh
∂T V
kB T
T
kB T
Alternativt ges S som (U − F )/T med samma resultat.
67
≈
65. Andelen atomer i respektive tillst˚
and ¨ar proportionell mot 2n2 e−En /kB T vilket ger
ekvationen:
2e−E1 /kB T = 8e−E2 /kB T eller (E2 − E1 )/kB T = ln 4
Med E2 = E1 /4 f˚
as: T = −0, 75E1 /(kB ln 4) ≈ 85000 K.
66. Entropin f¨or en monoatom¨ar ideal gas beror av massan genom en term 32 NkB ln m.
Detta kan h¨arledas genom att betrakta tillst˚
andssumman f¨or en ideal gas, fr˚
an vil
ken den fria energin f˚
as som F = −kB T ln Z, och vidare ¨ar entropin S = − ∂F
.
∂T V
Denna term ger allts˚
a entropiskillnaden:
3
3
S(3 He) − S(4 He) = NkB ln ≈ −0, 43NkB
2
4
67. Om CP = 3kB g¨aller s˚
a ¨ar rotationerna delvis exciterade, medan vibrationerna
inte alls ¨ar exciterade. DT-molekylen har st¨orre tr¨oghetsmoment vilket g¨or att
rotationerna blir klassiska vid en l¨agre temperatur. Allts˚
a ¨ar CP h¨ogre f¨or DT.
68. Enligt Boltzmannf¨ordelningen ¨ar andelen molekyler med olika j-kvanttal proportionell mot:
− j(j+1)~
2Ik T
(2j + 1)e
2
B
Vi kan d˚
a helt enkelt derivera med avseende p˚
a√ j f¨or att finna var detta uttryck
ger maximum och finner att detta sker f¨or j = Ik~B T − 1.
69.
a) Antalet molekyler i tillst˚
and J, nJ , ¨ar:
nJ =
E
N
− J
(2J + 1)e kB T ,
Z
Z=
∞
X
EJ
BT
−k
(2J + 1)e
J=0
1 ~2
1 − E0 −E1
n0
= e kB T = e AkB T ≈ 0, 356
n1
3
3
(E0 − E1 ¨ar litet j¨amf¨ort med kB T , s˚
a den st¨orsta delen av populationsskillnaden kommer fr˚
an de olika degenerationsgraderna)
b)
~2
n0 = n1
⇒
e AkB T = 3,
T =
~2
= 18 K
AkB ln 3
c)
∂nJ
=0
∂J
⇒
1
J =− +
2
r
Men J m˚
aste vara ett heltal:
68
AkB T
≈ 3, 37
~2
J
nJ
N
0
1
2
3
4
5
0,033 0,092 0,135 0,155 0,152 0,133
Maximum ges f¨or J = 3 !
d)
Z=
∞
X
−
(2J + 1)e
~2 J (J +1)
2AkB T
J=0
Anv¨and Eulers-Maclaurins summationsformel (integralapproximation):
Z ∞
∞
X
1
1
fJ =
f (x)dx + f (0) − f ′ (0) + ...
2
12
0
J=0
Det ger:
Z=
Z
∞
2
~
− 2Ak
(2x + 1)e
BT
x(x+1)
dx +
0
1
~2
1
− (2 −
) + ... =
2 12
2AkB T
1
~2
1
2AkB T
+
+
+
...
≈
30
+
≈ 30
~2
3 24AkB T
3
∞
E
NX
∂(ln Z)
− J
U=
EJ (2J + 1)e kB T = NkB T 2
≈ NkB T
Z J=0
∂T
∂(ln Z)
∂F
= {F = −NkB T ln Z} = NkB ln Z + NkB T
=
S=−
∂T V
∂T
2AkB T
) + NkB
≈ NkB ln(
~2
=
70. Tillst˚
andssummorna f¨or orto- och paratillst˚
anden separat blir:
X
X
Zorto =
6(2ℓ + 1)e−ℓ(ℓ+1)A/kB T Zpara =
3(2ℓ + 1)e−ℓ(ℓ+1)A/kB T
ℓ=0,2,4,..
ℓ=1,3,5,..
Vid h¨oga temperaturer (A/kB T ≪ 1) kan summorna approximeras med integraler
och vi f˚
ar
Z ∞
Zorto = 2Zpara = (3
e−Ax/kB T dx = 3kB T /A)
0
d¨ar integralen egentligen inte beh¨over ber¨aknas utan vi f˚
ar resultatet redan ur
det f¨orsta ledet Norto /(Npara + Norto ) = 2/3. I den motsatta gr¨ansen A/kB T ≫ 1
r¨acker det att beh˚
alla den l¨agsta termen:
Zorto ≈ 6 och Zpara ≈ 9e−2A/kB T
och
Norto /(Npara + Norto ) = 2/(2 + 3e−2A/kB T )
som g˚
ar mot 1 i gr¨ansen d˚
a T g˚
ar mot 0.
69
71. n ortov¨atemolekyler ger energin nǫ. Antalet s¨att att v¨alja n ortov¨atemolekyler
bland totalt N molekyler ¨ar


N


n
vilket ger det totala antalet tillst˚
and :


N
 3n
Ω(n) = 
n


N
 3n ) ≈ {Stirlings formel} ≈
⇒ S = kB ln (
n
N −n
n
+ (N − n) ln
− n ln 3)
N
N
U
U
kB
[U ln 3 − U ln
− (Nǫ − U) ln(1 −
)]
⇒ S(U) =
ǫ
ǫN
ǫN
≈ −kB (n ln
U = nǫ
1
∂S
kB
U
U
kB
Nǫ − U
=
=
[ln 3 − ln
+ ln(1 −
)] =
ln(3
)
T
∂U
ǫ
ǫN
ǫN
ǫ
U
ǫ
Nǫ − U
3Nǫ
⇒ U=
e kB T = 3
ǫ
U
3 + e kB T
b)
c)
ǫ
kB T
72.
≪1
⇒
U=
3Nǫ
4
⇒
n=
3N
4
⇒
S = NkB ln 4
a)
X
Z=
− k 1 T [ǫ+~2 J(J+1)/2A]
3(2J + 1)e
B
− k ǫT
B
≈ 1} = 3
−
(2J + 1)e
~2 J (J +1)
2AkB T
J=0,2,4...
J=1,3,5...
{e
X
+
X
−
(2J + 1)e
~2 J (J +1)
2AkB T
J=1,3,5...
X
+
−
(2J + 1)e
~2 J (J +1)
2AkB T
J=0,2,4...
b)
Z≈2
∞
X
J=0
2
J (J +1)
− ~2Ak
T
(2J + 1)e
B
≈2
Z
0
∞
2
x(x+1)
− ~2Ak
T
(2x + 1)e
B
dx =
4AkB T
~2
Faktorn 2 i approximationen i f¨orsta ledet beror p˚
a att endast h¨alften av
heltalen ing˚
ar i summorna, s.a. fr˚
an resp. summa f˚
as ett bidrag 3/2 + 1/2 =
2. Vidare:
∂ ln Z
2
= NkB T
U = NkB T
∂T
70
∂F
S=−
∂T
= NkB ln Z + NkB T
V
∂ ln Z
∂T
= NkB (1 + ln
4AkB T
)
~2
73. Vid mycket h¨oga temperaturer kan man g¨ora den klassiska integralapproximationen i b¨agge fallen och f˚
ar d˚
a samma rotationsenergi (kB T ) dvs. energiskillnaden
noll. Vid l˚
aga temperaturer blir endast det l¨agsta tillst˚
andet populerat och parav¨atet f˚
ar energin noll medan ortov¨atet f˚
ar energin ~2 /I.
74.
|hpi| =
Rπ
0
pE cos θ
p cos θe kB T sin θdθ
pE cos θ
= {x =
}=
R π pE cos θ
kB T
kB T
sin
θdθ
e
0
R kpE
BT
kB T − kpE
BT
=
pE
R
E
kB T
− kpET
xex dx
=
ex dx
pE
pE
pE
kB T
kB T
(−1 +
coth
) = p(coth
−
)
E
kB T
kB T
kB T
pE
B
pE
≪1
kB T
⇒
|hpi| =
1 p2 E
3 kB T
Vid 300 K beh¨ovs en f¨altstyrka av 7 · 108 V/m f¨or att erh˚
alla
sv˚
art att realisera ens i vakuum!
pE
kB T
= 1, vilket ¨ar
75. Kalla vinklarna mellan dipolmomenten p1 , p2 och det elektriska f¨altet E f¨or θ1
och θ2 . Energin f¨or 1-molekylen ¨ar d˚
a:
−p1 · E + ǫ1 = −p1 E cos θ1 + ǫ1
Och f¨or 2-molekylen:
−p2 · E + ǫ2 = −p2 E cos θ2 + ǫ2
ǫ −p Ecosθ
Rπ
R 2π
− 1 k1 T 1
B
2 0 sin θ1 dθ1 0 dϕ1 e
N1
= R
=
ǫ2 −p2 Ecosθ2
R
π
2π
−
N2
kB T
sin
θ
dθ
dϕ
e
2
2 0
2
0
p
E
R1
1 x
p1 E
ǫ2 −ǫ1
e kB T dx
p2 ǫk2 −ǫT1 sinh kB T
−1
B
e
=
2
= 2e kB T R
p2 E
x
1
p1
sinh kpB2 ET
e kB T dx
−1
76. Vi s¨oker de temperaturer d˚
a de f¨orsta exciterade rotations- och vibrationsenergierna ligger kB T h¨ogre ¨an grundtillst˚
andet. Allts˚
a
(1)
(0)
(1)
(0)
kB Trot = ∆Erot = Erot − Erot
kB Tvib = ∆Evib = Evib − Evib .
71
Rotationsenergierna ¨ar
~2
n(n + 1) .
2I
Tr¨oghetsmomentet, I, kan ber¨aknas ur Steiners sats (parallellaxelteoremet) f¨or en
symmetrisk tv˚
akropp,
(n)
Erot =
1
I = µr02 ,
2
d¨ar µ = mH /2 ¨ar den reducerade massan. Detta ger
Trot =
4~2
∆Erot
= 300 K .
=
kB
kB mH r02
Vibrationsenergierna ¨ar harmoniska oscillatorer,
1
(n)
Evib = ~ω n +
,
2
och vinkelfrekvensen f¨or en harmonisk oscillator ¨ar ω =
b, best¨ams fr˚
an potentialens andraderivata i j¨amvikt,
2
∂ U(r) = 2α2 D .
b=
∂r 2
p
b/µ d¨ar kraftkonstanten,
r=r0
Den s¨okta temperaturen blir
Tvib
∆Evib
~ω
2α~
=
=
=
kB
kB
kB
r
D
= 6250 K .
mH
77. Tillst˚
andssumman blir
1
Z=
N!
∞
X
e−(n+1/2)~ω/kB T
n=0
!N
.
Summering av den geometriska serien ger
−~ω/2kB T N
e
1
.
Z=
N! 1 − e−~ω/kB T
Fria energin ber¨aknas sedan till
F = −NkB T ln Z = N~ω/2kB T + NkB T ln (1 − e−~ω/kB T )+
+NkB T ln N!.
Tillst˚
andsekvationen f˚
as nu genom att best¨amma trycket P = −(∂F/∂V )T .
1
N~γ 1
+
P =
V2
2 e~ω/kB T − 1
I den klassiska gr¨ansen f˚
as efter serieutveckling:
P V = N(~γ/2V + kB T ) = NkB T (1 + ~γ/kB T V ) ≈ NkB T
72
78. Energin 2, 5~ω inneb¨ar att ett av kvanttalen ¨ar ett medan de ¨ovriga ¨ar noll. Excitationen kan tillkomma (“v¨aljas”) p˚
a tre s¨att (trefaldig degeneration), vilket ger
ekvationen:
e−1,5~ω/kB T = 3e−2,5~ω/kB T
som efter logaritmering blir:
~ω/kB T = ln 3 med l¨osningen T =
~ω
kB ln 3
79. Den maximala entropin f˚
as om oscillatorerna ¨ar oberoende, och temperaturen s˚
a
h¨og att alla tillst˚
and ¨ar lika populerade.
Smax = NkB ln (2(nmax + 1))
80. CP f¨or en tv˚
aatomig ideal gas med klassiska rotationer och vibrationer ¨ar NkB (1 +
3
+
1
+
1)
=
4, 5NkB . Detta motsvaras av v¨ardet 147 J K−1 g−1 . F¨or tillr¨ackligt
2
h¨oga temperaturer har vi en monoatom¨ar ideal gas med v¨armekapaciteten 2, 5N1kB
Men antalet I atomer (N1 ) ¨ar dubbelt s˚
a stort som antalet I2 molekyler per gram
(N1 = 2N) vilket ger CP = 5NkB . V¨armekapaciteten vid h¨oga temperaturer blir
d˚
a 147 · 5/(4, 5) = 163 J K−1 g−1 .
81.
2 2
∂ F
∂ (T ln Z)
∂S
= −T
= NkB T
=
CV = T
∂T V
∂T 2 V
∂T 2
V
2
∂ (ln Z)
∂(ln Z)
2
= NkB T
+ 2NkB T
∂T 2
∂T
V
V
Translation, rotation och vibration antas ske oberoende av varandra:
Z = Ztransl Zrot Zvib
⇒
CV = CVtransl + CVrot + CVvib
a)
Ztransl = konst1 ·
Z Z Z
3
dr
Z Z Z
2
p
− 2mk
e
BT
d3 p = konst2 · V (
∂ 2 (ln T )
∂(ln T )
3
+ NkB T
=
CVtransl = NkB T 2
2
2
∂T
∂T
3
3
3
− NkB + 3NkB = NkB = nR
2
2
2
b)
Zrot =
2AkB T
~2
,
CVrot = −NkB + 2NkB = NkB = nR
73
kB T 3
)2
m
c)
Zvib =
∞
X
− k~ωT (n+ 12 )
e
=
B
B
− k~ωT
1−e
n=0
CVvib = NkB T 2
− 2k~ωT
e
B
=
1
2 sinh 2k~ω
BT
~ω
~ω
1
∂
) + 2NkB T
=
(
~ω
2
2
∂T 2kB T tanh 2k T
2kB T tanh 2k~ωT
B
B
nR ~ω 2
1
1
~ω ~ω
(
)
=
= NkB
~ω
2
2kB 2kB T (sinh 2k T )2
4 kB T (sinh 2k~ωT )2
B
CVvib
~ω
kB T
N2 11, 43
Cl2 2, 72
I2 1, 03
B
CVrot
CVtransl
0, 0015nR nR
0, 56nR
nR
0, 92nR
nR
CV
2, 5nR
3, 1nR
3, 4nR
1, 5nR
1, 5nR
1, 5nR
En klassisk oscillator hade gett bidraget nR till CV , dvs
potentiell och kinetisk energi.
nR
2
vardera fr˚
an
82. Enligt f¨oreg˚
aende uppgift:
CVvib =
1
nR ~ω 2
(
)
4 kB T (sinh 2k~ωT )2
B
~ω
CVvib
0, 018
0, 96nR
0, 038
0, 83nR
0, 057
0, 67nR
0, 096 eV
0, 34nR
CVtransl = 1, 5nR
Rotation kring tre axlar ger:
CVrot = 1, 5nR
och
CVtot = 1, 5nR + 1, 5nR + 0, 96nR + 0, 83nR + 0, 67nR + 0, 34nR = 5, 8nR
83.
Zrot =
∞
X
(2j + 1)e−j(j+1)~
2 /2Ik
BT
j=0
≈ 1 + 3e−~
2 /Ik
BT
= 1 + 3e−x
d¨ar x = ~2 /IkB T . Med Frot = −kB T ln Zrot och Srot = −dFrot /dT och Crot =
T dSrot /dT f˚
as det s¨okta resultatet. Alternativt, kanske n˚
agot enklare blir det att
g˚
a via Urot = −d ln Z/d(1/kB T ) och Crot = dU/dT
3xe−x
−x
Srot = kB ln (1 + 3e ) +
1 + 3e−x
74
Vidare derivering ger bidraget till v¨armekapaciteten:
Crot = 3kB
x2 e−x
≈ 3kB x2 e−x
(1 + 3e−x )2
och den totala v¨armekapaciteten:
x2 e−x
≈ 3NkB
CV = 3NkB /2 + 3NkB
(1 + 3e−x )2
1
+ x2 e−x
2
84. Vattenmolekylen best˚
ar av N = 3 atomer , d.v.s. har 3N = 9 frihetsgrader. 3
st kommer fr˚
an translation och bidrar med 1/2kB per frihetsgrad (ekvipartition)
till v¨armekapaciteten. Vidare ¨ar vattenmolekylen icke-linj¨ar s˚
a att det kr¨avs 3 st
vinklar f¨or att beskriva rotationerna. Rotationsbidragen ger 1/2kB per frihetsgrad
(ekvipartition). Resterande 3N − 6 = 3 frihetsgrader kommer fr˚
an vibrationer och
dessa ger kB T per frihetsgrad till v¨armekapaciteten (klassisk harmonisk oscillator
med b˚
ade potentiell och kinetisk energi).
Summerat blir v¨armekapaciteten fr˚
an alla frihetsgrader, translationer + rotationer
+ vibrationer, Cv = 3 · (1/2)kB + 3 · (1/2)kB + 3 · kB = 6kB .
85. Ur Boltzmannf¨ordelningen f˚
as:
ne−ǫ/kB T
ne−1/0,71
N1
= −0/k T =
= 1, 10
B
N0
2e
2
H¨arur kan det exciterade tillst˚
andets degenerationsgrad n best¨ammas till
1/0,71
n = 2, 2e
9e−ǫ/kB T
= 9 vilket ger ekvationen
= 1, 00
2
som ger temperaturen T = ǫ/(ln 4, 5kB ) = 0, 665ǫ/kB .
86.
hsi =
=
ǫs
kB T
Pn
∂
s=0 se
ǫs
Pn
kB T
s=0 e
∂( kBǫ T )
[ln(4
4n−s
4n−s
=
∂
∂( kBǫ T )
[ln(
n
X
s=0
ǫ
1 kB T n+1
)
n 1 − (4e
ǫ
1 − 41 e kB T
ǫs
e kB T 4n−s )] = {geometrisk serie} =
ǫ
)] =
1
1 kB T
e
4
ǫ
− 14 e kB T
ǫ
−
(n + 1)( 41 e kB T )n+1
n+1
1
+
x − 1 1 − xn+1
B¨agge termerna a¨r singul¨ara d˚
a x = 1, dvs d˚
a T = TC =
−k ǫT
= {x = 4e
B
ǫ
1 − ( 14 e kB T )n+1
}=
1 1
1
1
hsi
=
+ (1 + )
n
nx−1
n 1 − xn+1
75
ǫ
kB ln 4
=
i) x = 1 + δ ger:
1
hsi
=
= α = 0, 01
n
nδ
⇒
δ=
1
,
nα
T = TC +
ǫ
kB nα(ln 4)2
(nα ≫ 1)
ii) x = 1 − δ ger:
1
1
1
1
hsi
= − + 1 + = 1 + (1 − ) = 1 − α
n
nδ
n
n
δ
⇒
δ=
1
1
≈
,
1 + nα
nα
T hsi =α − T hsi =1−α =
n
n
T = TC −
ǫ
kB nα(ln 4)2
(nα ≫ 1)
2ǫ
ǫ 200
=
{α
=
0,
01}
=
kB nα(ln 4)2
kB n(ln 4)2
D˚
a n v¨axer blir omvandlingen allt skarpare!
87. L¨os f¨orst ut S som funktion av U:
S = S0 −
1 2
U
a2
D¨arefter f˚
as temperaturen som funktion av U med hj¨alp formelsamlingens mikrokanoniska definition av 1/T
1
∂S
2
a2 1
=
= − 2 U som inverteras U = −
.
T
∂U
a
2 T
och v¨armekapaciteten blir:
C=
a2 1
∂U
=
∂T
2 T2
88.
naM m
−
naM m
naMm
M
me 2NkB T − me 2NkB T
= m tanh(
= hsZi i =
)
naM m
naM m
−
N
2NkB T
e 2NkB T + e 2NkB T
S¨att
naM m
2N kB T
x
= x. Det ger:
2kB T
= tanh x
nam2
L¨osning f¨or x 6= 0 ges bara d˚
a
2kB T
nam2
< 1, dvs T <
76
nam2
2kB
89. D˚
a atomerna inte v¨axelverkar beror problemet endast p˚
a tillst˚
andssumman f¨or en
enskild partikel. Den fria energin ¨ar:
F = −kB T ln Z1 = −kB T ln 2e−ǫ0 /kB T + 3e−ǫ1 /kB T + 4e−ǫ2 /kB T
Bryt ut grundenergin E0 = ǫ0 + konstant och definiera energiskillnaderna ∆E1 =
ǫ1 − ǫ0 och ∆E2 = ǫ2 − ǫ0 , s˚
a att:
3 −∆E1 /kB T
−∆E2 /kB T
F = E0 − kB T ln 1 + e
+ 2e
2
Entropin ¨ar:
S=−
∂F
∂T
V
3 −∆E1 /kB T
−∆E2 /kB T
= kB ln 1 + e
+ 2e
2
3 ∆E1 −∆E1 /kB T
2 −∆E2 /kB T
e
+ 2 ∆E
e
2 kB T
kB T
+kB
3 −∆E1 /kB T
−∆E
2 /kB T
1 + 2e
+ 2e
I gr¨ansfallet kB T ≫ ∆E2 f˚
as d˚
a entropi¨andringen:
∆S = S(T ≫ ∆E2 /kB ) − S(T = 0) = kB ln 2 − ∆E2 /T + ∆E2 /T = kB ln 2.
90. Fria energin f¨or en ideal gas ¨ar :
2πmkB T
V
3
) − NkB T ln − NkB T
Fideal = − NkB T ln(
2
2
h
N
Gideal = Fideal + P V = Fideal + NkB T
Gideal
3
2πmkB T
kB T
⇒ µideal =
= − kB T ln(
) − kB T ln(
)
2
N
2
h
P

Antalet s¨att att f¨ordela n bundna partiklar p˚
a N1 platser ¨ar Ω(n) = 
S(n) = kB ln Ω(n) = −kB (n ln
µideal
N1 − n
n
+ (N1 − n) ln
)
N1
N1
n
N1 − n
Gbundna = Fbundna = −nE + kB T (n ln
+ (N1 − n) ln
)
N1
N1
n
N1 − n
∂G
= −E + kB T (ln
− ln
)
⇒ µbundna =
∂n T1 ,N1
N1
N1
= µbundna ger:
− 23
2πmkB T
P
1
− k ET n
B
=
e
och slutresultatet
2
h
kB T
N1 1 − Nn1
n
1
=
E
3
5
−
N1
) 2 (kB T ) 2 P1
1 + e kB T ( 2πm
h2
77
N1
n


91. F¨or det oordnade systemet (T > T1 ) g¨aller med tv˚
a lika sannolika inriktningar hos
varje spinn
S = kB ln 2N = NkB ln 2
∂S
C(T ) = T
∂T
⇒
S(T ) =
Z
S(T1 ) − S(T1 /2) = NkB ln 2 =
T
0
Z
1
C(T ′ )dT ′
′
T
T1
T1
2
1 2T ′
− 1)C1 dT ′ = C1 (1 − ln 2)
(
′
T T1
Ur detta uttryck best¨ams konstanten till
C1 = NkB
ln 2
≈ 2, 26NkB
1 − ln 2
92. L˚
at Ni , ni och Ei beteckna antal partiklar, degenerationsgrad, respektive energiniv˚
a f¨or tillst˚
and i. Boltzmannf¨ordelningen ger
n2
N2
= e−(E2 −E1 )/kB T
N1
n1
eller
T =−
E2 − E1
= 180 K
N2 n 1
kB ln N1 n2
Nu kan degenerationen hos det tredje tillst˚
andet best¨ammas:
N3
n3
= e−(E3 −E1 )/kB T
N1
n1
vilket ger n3 = 7.
93. n1 exciterade molekyler och N − n1 molekyler i grundtillst˚
andet ger antalet mikrotillst˚
and:


N
 5n1
Ω(n1 ) = 
n1
⇒
N − n1
n1
− (N − n1 ) ln
]
N
N
U
Nǫ
U
kB U
[ln 5 − ln
−(
− 1) ln(1 −
)]
S(U) =
ǫ
ǫN
U
ǫN
ǫN
ln[5(
− 1)]
U
Nǫ
1
kB
ǫ
U=
⇒
=
ln 5 ⇒ T =
2
T
ǫ
kB ln 5
S(n1 ) = kB ln Ω = kB [n1 ln 5 − n1 ln
U = n1 ǫ
⇒
∂S
kB
1
=
=
T
∂U
ǫ
N
n1 = , dvs
2
78
94. Kvoterna ¨ar Boltzmannf¨ordelade:
N1
6e−E1 /kB T
−19
−23
= −E0 /k T = 3e−(E1 −E0 )/kB T = 3e−2,88·10 /(300·1,38·10 ) = 1, 8 · 10−30
B
N0
2e
d.v.s, i praktiken inga molekyler i det exciterade tillst˚
andet.

95. n atomer i mellanl¨agena ger n tomma gitterpunkter som kan v¨aljas p˚
a

s¨att. De n mellanl¨agena kan v¨aljas p˚
a

Ω(n) = 
N
n


N1
n
N
n

N1


 s¨att. Totalt antal tillst˚
and ¨ar allts˚
a
n

 , d¨ar n ¨ar fixt och svarar mot energin U = nE0 .
S(U) = kB ln Ω(U) = Stirlings formel = −
U
kB U
[ln
+
E0
NE0
NE0
U
U
N1 E0
U
− 1) ln(1 −
) + ln
+(
− 1) ln(1 −
)]
U
NE0
N1 E0
U
N1 E0
1
∂S
kB (N − n)(N1 − n)
=
=
ln
T
∂U
E0
n2
n ≪ N och N1 ger:
r
1
1
N1 − 2kE0T
kB NN1
n
=
ln 2 ,
=
e B = e−5 ≈ 0, 0034
T
E0
n
N
N
2
+(
96.
a) n segment i positiv x-led, av totalt N, ger l¨angd L = na i x-led. Tv˚
a riktningar
i y-led ger:


N
 2N −n
Ω(n) = 
n
n
N −n
− (N − n) ln
]
N
N
L
Na − L
kB T
[L ln
+ (Na − L) ln
]
F = U − T S = {U = 0} =
a
Na
2Na
S(n) = kB ln Ω(n) = kB [(N − n) ln 2 − n ln
b)
δWrev = f dL
2L
=1
Na − L
⇒
f=
⇒
f =0
∂F
∂L
79
⇒
T
=
kB T
2L
ln
a
Na − L
L = L0 =
Na
3
L = L0 + (L − L0 ) = L0 + ∆L
f=
≈
⇒
1 + ∆L
2L0 + 2∆L
kB T
kB T
L0
ln
=
ln
∆L
a
3L0 − L0 − ∆L
a
1 − 2L0
kB T ∆L ∆L
3kB T (L − L0 )
+
)=
(
a L0
2L0
2aL0
97.
Zrot =
∞
X
2
~
2 − 2AkB T J(J+1)
(2J + 1) e
J=0
≈
Z
∞
~2
≈ 10−12 ≪ 1} ≈
={
2AkB T
2
~
2 − 2AkB T x(x+1)
(2x + 1) e
0
Grot = Frot = −NkB T ln Zrot
dx ≈ 4
Z
∞
0
2 2
~ x
2 − 2AkB T
xe
AkB T 3
dx = 4( 2 ) 2
~
1
r
π
2
3
2AkB T π 3
= − NkB T ln(
) ≈ −100 kJ/mol
2
~2
98. n bundna elektroner ⇒ U = −nE. Antal s¨att att v¨alja n fyllda atomceller,
respektive N − n fyllda fria elektronceller bland totalt M − n stycken ¨ar:







N
M −N
N
M −N

, 
 ⇒ Ω(n) = 


n
N −n
n
N −n
N −n
N −n
n
+ (N − n) ln
+ (N − n) ln
+
N
N
M −N
M − 2N + n
] = {M ≫ N, M ≫ n} =
+(M − 2N + n) ln
M −N
N
n
N
N −n
n
− (N − n)]
= −kB n[ln + ( − 1) ln(1 − ) + ( − 1) ln
N
n
N
n
M
1
∂S
∂S dn
1 ∂S
kB
nM
)
=
=
=
=
(ln 2
T
∂U
∂n dU
E ∂n
E
N (1 − Nn )2
S = kB ln Ω(n) = −kB [n ln
⇒
T =
E
E
1
1
=
n
nM
kB ln (N −n)2
kB ln 104nN 2
(1− )
N
n
N
T
0, 99
0, 50
0, 01
E
E
0, 054 kB 0, 101 kB 0, 216 kEB
80
(J)
99. S¨att EA = 0, ZA = 1 och GA = 0. Det ger EB = E +
ZB = 6
∞
X
2
~
J2
− k ET − 2AkT
e
B
J=0
− k ET
≈ 6e
B
Z
∞
2 2
BT
~ x
− 2Ak
e
~2 2
J
2A
och
− k ET
dx = 6e
B
(
0
∆G = ∆F = FA − FB = −kB T ln ZB = E −
πAkB T 1/2
)
2~2
kB T 18πAkB T
ln
2
~2
≈ 10 − 8, 6 = 1, 4 kJ/mol
√
100. Antalet gasmolekyler som l¨acker ut blir proportionellt mot N T /V . Om N/V
elimineras
med hj¨alp av allm¨anna gaslagen f˚
as att detta blir proportionellt mot
√
p/ T . Detta ger villkoret f¨or stationaritet:
r
p1
T1
p2
p1
√ =√
=
eller
p2
T2
T1
T2
101. (a) I str˚
alens riktning multipliceras Maxwellf¨ordelning med v vilket efter normering ¨over alla positiva hastigheter ger:
P (v)dv =
m
2
ve−mv /2kB T dv
kB T
(b) Den mest sannolika hastigheten f˚
as genom att derivera f¨or att finna f¨ordelningens maximum:
e−mv
2 /2k
BT
− mv 2 /kB T e−mv
2 /2k
BT
=0
vilket ger:
vp =
p
kB T /m = 1120 m/s
(c) Det totala antalet utstr¨ommande molekyler per tidsenhet ¨ar:
r
r
kB T
P A kB T
N
A
= (ideal gas, P V = NkB T ) =
V
2πm
kB T 2πm
Men nu a¨r str˚
alen sk¨armad. Andelen av den totala rymdvinkeln p˚
a 2π a¨r
Z 2π
Z ∆θ
1
dϕ
sin θdθ = 1 − cos ∆θ ≈ (∆θ)2 /2
Ω/2π =
2π 0
0
Detta ger det s¨okta antalet per tidsenhet:
r
P A kB T (∆θ)2
≈ 5 · 1011 s−1
kB T 2πm 2
81
102. Energin f¨or ett enpartikeltillst˚
and ges av V (z) = mgz, d¨ar massan ber¨aknas som
m = M/NA , d¨ar NA ¨ar Avogadros konstant. Boltzmannf¨ordelningen ger
− kV (z)
T
n(z) = Ce
B
− kmgz
T
= Ce
B
.
P (z) kan best¨ammas fr˚
an differentialekvationen
dn dP
dn P
mg
dP
=
=
=−
P,
dz
dz dn
dz n
kB T
d¨ar vi vid andra likheten har anv¨ant att P ¨ar en linj¨ar funktion av n f¨or en ideal
gas. Vi f˚
ar
− kmgT z
P (z) = P (0)e
B
.
Det ger en trycks¨ankning
− mg (100 m)
≈ 760 mm Hg·0, 011 ≈ 8, 4 mm Hg.
∆P = P (100 m)−P (0) = P (0) 1 − e kB T
d¨ar vi har antagit normalt atmosf¨arstryck P (0) = 760 mm Hg.
103. Enpartikeltillst˚
andssumman blir:
ZZZ
ZZZ
Z
p2
mgz
3
3 − 2mkB T
3 − kB T
d pe
= C1 (kB T ) 2 A
Z1 =
d re
V
h
− kmgz
T
e
B
dz =
0
− kmgh
T
5
= C2 (kB T ) 2 (1 − e
B
)
Eftersom gasen ¨ar ideal blir N-partikeltillst˚
andssumman ZN = N1 ! (Z1 )N . Den fria
energin blir d˚
a F = −NkB T ln Z1 + kB T ln N! och entropin ges av:
∂ ln Z1
∂F
= NkB ln Z1 + NkB T
− kB ln N!
S=−
∂T V
∂T
V
− mgh
5
mgh e kB T
− mgh
S = NkB ln T + NkB ln (1 − e kB T ) − N
+ konstant
2
T 1 − e− kmgh
BT
Adiabatisk reversibel process medf¨or att entropin a¨r konstant:
S(T0 , h) = S(T, b)
Det ger med parametern x =
mgh
kB T0
:
− mgb
− mgb
1 − e kB T
mgb e kB T
5 T
xe−x
ln
+ ln
=
−
2 T0
1 − e−x
kB T 1 − e− kmgb
1 − e−x
BT
Givet att mgb ≫ kB T0 > kB T :
(
−x
T 5
1
− xe −x
1−e
)2
=
e
T0 1 − e−x
⇒
2
− 5(e2x
x −1)
T = T0 (1 − e−x ) 5 e
Med m = 28 g/mol, g = 9, 81 m/s2 och T0 = 273 K g¨aller att:
82
= f (x)T0
h
x
f (x)
T
10
1, 21 · 10−3
0, 046
12
100
1, 21 · 10−2
0, 115
31
1000
0, 121
0, 288
79
10000
1, 21
0, 707
193
100000
12, 1
1, 000
273
5
2
(Utan n˚
agot tyngdkraftf¨alt g¨aller V T 2 =konstant och T = T0 ( hb ) 5 , dvs sluttemperaturen beror ocks˚
a av b)
104.
ZZZ
∞
2
p
− 2mk
3
Z hZ
Z
R
2π
mω 2 r 2
dp
e 2kB T dzrdrdϕ
0
0
0
−∞
mω 2 R2
3
kB T
= C(kB T ) 2 2πh
e 2kB T − 1
mω 2
Z1 =
e
BT
Fri expansion och ingen v¨armetillf¨orsel ger att U m˚
aste vara konstant!


!
mω 2 R2
F
2
2
2k
T
∂( T )
∂ ln Z1
5
mω R e B 
U = −T 2
= NkB T 2
= NkB  T −
2 R2
−1
∂T
∂T
2
2kB e mω
2kB T
V
V
2
U(T1 , R1 ) = U(T2 , R2 )
−
e
mω 2 R2
2
2kB T2
≈0
⇒
⇒
mω 
5kB
T2 = T1 −
T2 = T1 +

R12
−
1−e
mω 2 R22 mω 2 R12
−
5kB
5kB
mω 2 R2
1
2kB T1
1
−
1−e
mω 2 R2
1
2kB T1
105.
P (x ≥ ǫ) =
=
− bx
e kB T
ǫ
R a − bx
e kB T
0
Ra
dx
dx
==
− k bǫT
e
B
− kbaT
−e
B
− kbaT
B
=
1−e
bǫ
ba
≈ 2, 4 · 1015 ,
≈ 2, 4 · 1011
kB T
kB T
83
11
−
≈ e−2,4·10 ≈ 0
R22
−
1−e
mω 2 R2
2
2kB T2


6
6.1
Kvantstatistik, l¨
osningar
Allm¨
an kvantstatistik
106. a)
Ξ=
X
−(Ei −µNi )/kB T
e
=
i
∞
X
λN ZN , d¨ar λ = eµ/kB T .
N =0
F¨or icke s¨arskiljbara partiklar g¨aller vidare att
ZN
ZN = 1
N!
∞
X
(λZ1 )N
Ξ=
= eλZ1
N!
N =0
⇒
med
Z1 = V
2πmkB T
h2
3/2
f¨or en ideal gas.
b) Stora potentialen:
µ/kB T
ΦG = −P V = −kB T ln Ξ = −kB T λZ1 = −kB T e
P = −
hNi = −
S = −
∂ΦG
∂V
∂ΦG
∂µ
∂ΦG
∂T
T,µ
V,T
V,µ
V
2πmkB T
h2
3/2
= −ΦG /V
(1)
= −ΦG /kB T = ln Ξ
(2)
5
µhNi
= hNikB +
2
T
(3)
c) (1) + (2) ger P V = NkB T .
d) Derivera ln Ξ tv˚
a g˚
anger med avseende p˚
aµ
∂ 2 ln Ξ
∂µ2
=
U,V
1
2 2
ΞkB
T
1
−
2
Ξ kB T
=
1
2 2
kB
T
X
i
X
i
Ni2 exp{−(Ei − Ni µ)/kB T }
∂Ξ
Ni exp{−(Ei − Ni µ)/kB T }
∂µ
hN 2 i − hNi
84
2
=
2
σN
2 2
kB
T
U,V
Men vi har ocks˚
a
2
1
1
∂ ln Ξ
=
ln
Ξ
=
hNi
2
2
∂µ2 U,V
kB T 2
kB T 2
2
⇒ σN
= hNi
Observera att detta resultat inneb¨ar, f¨or den relativa standardavvikelsen:
σN
1
∝√
N
N
107. Medelantalet partiklar i orbital i ges av
P
ni eni (µ−ǫi )/kB T
1
hni i = Pni ni (µ−ǫi )/k T = (ǫi −µ)/k T
B
B
e
∓1
ni e
f¨or en ideal Bose-Einstein (−) eller Fermi-Dirac (+) gas.
a) Fluktuationerna kan ber¨aknas fr˚
an sambandet
P 2 ni (µ−ǫi )/kB T
P
ni eni (µ−ǫi )/kB T
∂hni i
ni ni e
= − P n (µ−ǫ )/k T + Pni
i
i
B
ni (µ−ǫi )/kB T 2
∂(ǫi /kB T )
e
ni e
ni
X
ni (µ−ǫi )/kB T
2
×
ni e
= hni i − hn2i i,
ni
vilket ger
σi2 ≡ hn2i i − hni i2 =
e(ǫi −µ)/kB T
(e(ǫi −µ)/kB T ∓ 1)
2
= hni i(1 ± hni i).
b)
hN 2 i =
hNi2 =
*
X
ni
i
X
i
hni i
!2 +
!2
=
=
*
X
i
X
ni nj
ij
hni i2 +
+
X
i6=j
=
X
i
hn2i i +
X
i6=j
hni ihnj i,
hni ihnj i.
Fluktuationerna i det totala antalet partiklar ges s˚
aledes av
X
X
X
hni i ± hni i2 = N ±
hni i2 .
hN 2 i − hNi2 =
hn2i i − hni i2 =
i
i
i
c) I den klassiska gr¨ansen ¨ar hni i ≪ 1 vilket ger σi2 = hni i och hN 2 i−hNi2 = N.
85
108.
P (N) =
1
1
ZN eµN/kB T ⇒ P (0) =
Ξ
Ξ
d¨ar vi har anv¨ant att Z0 = 1. F¨or fotoner ¨ar
Z
−α/kB T
Ξ = Z = exp − ln 1 − e
ρ(α)dα
(
3 )
8π 5
kB T
= exp
= 1.63
⇒ P (0) = 0.61.
V
45
hc
109. Fr˚
an Gibbs-Duhems relation Ndµ = −SdT +V dP samt relationen kB T ln Ξ = P V
f¨oljer att
Ndµ = −SdT + V dP = −SdT + d(kB T ln Ξ) − P dV
vilket ger entropin som
S=
∂
∂
(kB T ln Ξ)µ,V = kB ln Ξ + kB T
(ln Ξ)µ,V .
∂T
∂T
F¨or partiklar som lyder Fermi-Dirac statistik ges den storkanoniska tillst˚
andssumman av
Y X
Y
Ξ=
eni (µ−ǫi )/kB T =
1 + e(µ−ǫi )/kB T ,
i
ni =0,1
i
och entropin blir
X
µ − ǫi e(µ−ǫi )/kB T
(µ−ǫi )/kB T
ln 1 + e
−
S = kB
kB T 1 + e(µ−ǫi )/kB T
i
X
hni i
1
− hni i ln
= kB
ln
1
−
hn
i
1 − hni i
i
i
X
= kB
[(hni i − 1) ln(1 − hni i) − hni i lnhni i] ,
i
d¨ar vi har anv¨ant att
hni i =
1
e(ǫi −µ)/kB T
+1
.
F¨or bosoner ¨ar
Ξ=
∞
YX
i
ni =0
eni (µ−ǫi )/kB T =
Y
i
1
1−
e(µ−ǫi )/kB T
,
och entropin erh˚
alles som
X
S = kB
[(hni i + 1) ln(1 + hni i) − hni i lnhni i] ,
i
86
d¨ar partikelantalet i orbital i nu ges av
hni i =
1
e(ǫi −µ)/kB T − 1
.
I den klassiska gr¨ansen ¨ar hni i ≪ 1 och termerna (hni i ± 1) ln(1 ± hni i) ¨ar f¨orsumbara i j¨amf¨orelse med hni i lnhni i,
X
S = −kB
(hni i lnhni i + O(hni i)) .
i
110. Med n0 partiklar i cell 0, . . ., ni partiklar i cell i etc, ¨ar antal f¨ordelningsm¨ojligheter
Yp
W =
ni
i
X
ni
p − ni
ln W ≈ −
ni ln + (p − ni ) ln
p
p
i
P
P
Maximera ln W under bivillkoren i ni = N, i ǫi ni = U.
"
#
X
X
∂
ln W + α
ni − β
ǫi ni = 0
∂ni
i
i
⇒
ni =
p
som ¨ar Fermi-Dirac-uttrycket
+1
Med obegr¨ansat antal niv˚
aer g˚
ar ni → 0. Detta ger dock obetydligt bidrag till det
approximativa uttrycket f¨or ln W . I ¨ovrigt finns inget som hindrar att p, N → ∞.
eα−βǫi
111.
Ξ=
p
∞ X
Y
−(ǫs −µ)/kB T ns
e
s=1 ns =0
= {geometrisk serie} =
∞
Y
1 − e−(ǫs −µ)(p+1)/kB T
s=1
1 − e−(ǫs −µ)/kB T
∞ X
∂Φ
∂ ln Ξ
(p + 1)e−(ǫs −µ)(p+1)/kB T
e−(ǫs −µ)/kB T
hNi =
=
=
−
+
−(ǫs −µ)(p+1)/kB T
∂µ
∂(µ/kB T )
1
−
e
1 − e−(ǫs −µ)/kB T
s=1
∞
X
=
s=1
hns i =
hns i
(p + 1)
1−
e(ǫs −µ)(p+1)/kB T
(ǫs −µ)/kB T
Med x = e
hns i =
+
1
e(ǫs −µ)/kB T
kan detta skrivas
p+1
1
+
1 − xp+1 x − 1
87
−1
p = 1:
p = ∞:
112.
1
1
2
+
=
2
1−x
x−1
x+1
1
hns i = (ǫs > µ, x > 1) =
x−1
hns i =
(Fermi-Dirac)
(Bose-Einstein)
a)
ǫ≤α⇔
n2x
+
n2y
8ma2
α = R2 .
≤
2
h
ny
Antalet orbitaler med energi mindre ¨an α ¨ar
σ(α) = η(s)
2πma2
πR2
= η(s)
α,
4
h2
R
d¨ar η(s) = 2s + 1 ¨ar en spinnfaktor.
Tillst˚
andst¨atheten ges nu av
ρ(α) = σ ′ (α) = η(s)
2πma2
,
h2
vilket ej beror av energin.
b) Kemiska potentialen erh˚
alles genom att invertera N = N(µ):
Z ∞
Z
X
2πma2 ∞
N=
f (ǫi ) ≈
f (α)ρ(α)dα = η(s)
f (α)dα,
2
h
0
o
i
Om vi definierar temperaturen T0 genom
kB T0 =
Nh2
,
2πma2 η(s)
kan ekvationen ovan skrivas
Z ∞
kB T0 =
f (α) dα.
0
Fermi-Dirac statistik:
Z ∞
Z ∞
dx
dα
=
k
T
kB T0 =
B
e(α−µ)/kB T + 1
e−µ/kB T ex + 1
0
0
= kB T ln(1 + eµ/kB T )
⇒
µ = kB T ln(eT0 /T − 1)
⇒
µ = kB T ln(1 − e−T0 /T )
Bose-Einstein statistik:
Z ∞
Z ∞
dα
dx
kB T0 =
= kB T
(α−µ)/k
T
−µ/k
T ex − 1
B
B
e
−1
e
0
0
= − kB T ln(1 − eµ/kB T )
88
nx
Maxwell-Boltzmann statistik:
Z ∞
Z
(µ−α)/kB T
µ/kB T
kB T0 =
e
dα = kB T e
0
∞
e−x dx
0
= kB T eµ/kB T
T0
T
Klassiska gr¨ansen d˚
a T ≫ T0 :
⇒
µ = kB T ln
T0
T0
− 1 = kB T ln ,
Fermi-Dirac: µ ≈ kB T ln 1 +
T
T
T0
T0
= kB T ln ,
Bose-Einstein: µ ≈ kB T ln 1 − 1 −
T
T
vilket st¨ammer ¨overens med Maxwell-Boltzmann-fallet.
113. F¨or en tredimensionell gas med enbart kinetisk energi ¨ar
3/2
4πV 2mα
3σ(α)
σ(α) = η(s)
,
ρ(α) = σ ′ (α) =
2
3
h
2α
Detta ger
P V = kB T ln Ξ =
Z
∞
σ(α)f (α) dα,
0
U=
Z
∞
0
6.2
3
αρ(α)f (α) dα =
2
Z
∞
0
3
σ(α)f (α) dα = P V.
2
Fermi-Dirac-statistik
114. Den kemiska potentialen erh˚
alls ur
f (0) =
1
e(0−µ)/kB T
+1
=
1
2
⇒
µ = 0.
Temperaturen best¨amms sedan ur partikelantalet
Z ∞
α1/2 dα
4πV
3/2
N =
ρ(α)f (α) dα = 3 (2m)
h
eα/kB T + 1
0
0
3/2 3/2
2mkB T
3
mkB T
3
−1/2
= 4πV
Γ
(1 − 2
) ≈ 24, 1V
ζ
h2
2
2
h2
Z
⇒
∞
h2
T = 0, 12
mkB
N
V
2/3
.
89
115. Den inre energin ges av
Z ∞
αρ(α) dα
.
U=
(α−µ)/k
BT + 1
e
0
Om kB T ≪ ǫF kan integralen serieutvecklas (se formelsamlingen):
Z ∞
Z µ
αρ(α) dα
π2
U=
≈
(kB T )2 [ρ(µ) + µρ′ (µ)].
αρ(α)
dα
+
(α−µ)/kB T + 1
e
6
0
0
Den f¨orsta integralen ¨ar dock fortfarande temperaturberoende genom µ. Eftersom
skillnaden µ − ǫF ¨ar liten kan vi approximera integralen som
Z µ
Z ǫF
Z µ
αρ(α) dα ≈
αρ(α) dα +
αρ(α) dα ≈
0
≈
0
Z
ǫF
ǫF
0
αρ(α) dα + ǫF ρ(ǫF )(µ − ǫF ).
Nu utnyttjar vi formelsamlingen igen:
µ − ǫF = −
(πkB T )2 ρ′ (ǫF )
.
6ρ(ǫF )
Slutresultatet blir d˚
a
Z ǫF
(πkB T )2 ρ′ (ǫF ) π 2
U≈
αρ(α) dα − ǫF ρ(ǫF )
+ (kB T )2 [ρ(ǫF ) + ǫF ρ′ (ǫF )] =
6ρ(ǫ
)
6
F
0
Z ǫF
π2
=
αρ(α) dα + (kB T )2 ρ(ǫF ),
6
0
d¨ar den f¨orsta termen ¨ar temperaturoberoende. V¨armekapaciteten blir sedan
∂U
π2 2
CV =
= kB ρ(ǫF )T.
∂T V
3
F¨or en icke-v¨axelverkande Fermi-Dirac gas med η(s) = 2 g¨aller att
2/3
3/2
3N
h2
8πV 2me ǫF
⇒ ǫF =
N = σ(ǫF ) =
3
h2
2me 8πV
ρ(ǫF ) =
3N
3σ(ǫF )
=
,
2ǫF
2ǫF
vilket ger
2/3
2
π 2 kB2 T
8πV
2 me kB T
CV = N
= Nπ
2ǫF
h2
3N
3/2
N
8π Nπ 2 me kB2 T
⇒
=
.
V
3
CV h2
Med CV /NT = 1, 11 · 10−27 J/K2 blir elektront¨atheten f¨or silver
N
= 5, 51 · 1028 elektroner/m3 .
V
90
116. Elektronernas (se uppgift 115) respektive fononernas bidrag till v¨armekapaciteten
¨ar
CVel = N
π 2 kB2 T
,
2ǫF
CVfonon = 3NkB
⇒
π 2 kB T
CVel
=
.
6 ǫF
CVfonon
Med ǫF = 7, 02 eV och kB T = 8, 617 · 10−2 eV f˚
ar vi CVel /CVfonon = 0, 0202 Det
procentuella bidraget fr˚
an de fria elektronerna till v¨armekapaciteten ¨ar s˚
aledes
2%.
117.
h|v|i =
*r
2ǫ
m
+
1
=
N
r
2
m
Z∞
α1/2 ρ(α) dα
.
e(α−µ)/kB T + 1
0
Vid rumstemperatur ¨ar T ≪ TF och l˚
agtemperaturapproximationerna ger
#
r "Z ǫ
2
F
2
1
π
ρ(ǫ
)
F
h|v|i ≈
α1/2 ρ(α) dα + (kB T )2 1/2
N m 0
6
2ǫF
2
8πmV 2 π
=
ǫF + (kB T )2 .
Nh3
6
Med N/V = 8, 5 · 1028 elektroner/m3 och ǫF = 1, 12 · 10−18 J blir
h|v|i = 1, 2 · 106 [1 + 2, 5 · 10−10 T 2 ] m/s
om T ges i Kelvin.
118. P V best¨ams genom serieutveckling analogt med energin i 115
Z ∞
Z ǫF
σ(α)dα
σ(ǫF )ρ′ (ǫF )
(πkB T )2
PV =
ρ(ǫF ) −
≈
σ(α)dα +
e(α−µ)/kB T + 1
6
ρ(ǫF )
0
0
#
"
2
2 π 2 kB T
.
+
= NǫF
5
6
ǫF
Med ǫF = (N/AV )2/3 d¨ar A = 8π(2m)3/2 /3h3 blir
"
#
5/3
4/3
2
2 N
V
5π
P ≈
A−2/3 1 +
A4/3 kB2 T 2
5 V
12 N
vilket ger
7/5
3/5
π2 2
2
V
−2/5
≈
A
+
A2/5 kB2 T 2 ,
N
5P
4 P
4/5 4/5
1 ∂V
π 2 16π
2m
≈
kB2 T.
V ∂T P,N
2 15P
h2
91
119. Entropin f˚
as ur S = (∂(P V )/∂T )µ , som kan h¨arledas som f¨oljer
dG = {G = Nµ} = N dµ + µ dN = −S dT + V dP + µ dN.
Subtraktion av de tv˚
a uttrycken f¨or dG ger Gibbs’-Duhems relation:
N dµ = −S dT + V dP
∂(P V )
∂P
=
.
dµ = 0 ⇒ S = V
∂T µ
∂T
µ,V
P V uttrycks nu i en serieutveckling enligt f¨orsta ledet i uppgift 118 som
Z ∞
Z ǫF
σ(α) dα
P V = kB T ln Ξ =
≈
σ(α) dα+
e(α−µ)/kB T + 1
0
0
σ(ǫF )ρ′ (ǫF )
(πkB T )2
ρ(ǫF ) −
vilket ger entropin
+
6
ρ(ǫF )
π2 2
σ(ǫF )ρ′ (ǫF )
S = kB T ρ(ǫF ) −
,
3
ρ(ǫF )
som kan f¨orenklas ytterligare om vi utnyttjar att σ(ǫF ) = N, ρ(α) = σ ′ (α) samt
antar ideal gas, ρ(α) ∝ α1/2 ,
S=
2π 2 kB2 T
Nπ 2 kB2 T
=
ρ(ǫF ).
3ǫF
9
Detta ¨ar b¨orjan av en serieutveckling i den lilla dimensionsl¨osa parametern kB T /ǫF .
120. Entropin har h¨arletts i uppgift 119 och ¨ar:
S=
2π 2 2
k T ρ(ǫF ) + O(T 3).
9 B
Med ρ(ǫF ) = 23 N(AV /N)2/3 samt A och V /N som i uppgift 118 blir den f¨orsta
termen i uttrycket f¨or S ovan
π2
3
2A
5P
2/5
NkB2 T
π2
+
18
2A
5P
6/5
NkB4 T 3 ,
och dess bidrag till CP a¨r
2/5
6/5
π 2 2A
∂S
π 2 2A
2
CP = T
=
NkB T +
NkB4 T 3 .
∂T P
3 5P
6 5P
{z
} |
{z
}
|
finns ocks˚
a med i
ger 1:a bidraget
CV
till CP − CV
Den andra termen i uttrycket f¨or S, ovan markerad O(T 3), ger ocks˚
a bidrag proportionellt mot T 3 till CP . Nu kommer den att inneh˚
alla den temperaturoberoende
92
delen av V /N i uppgift 118 och ger d¨arf¨or samma bidrag till CV som CP . Det ¨ar
bidraget fr˚
an den temperaturberoende delen av V /N som bidrar till CP − CV .
6/5 9/5
π 2 16π
2m
CP − CV =
NkB4 T 3 .
2
6 15P
h
121. I det tv˚
adimensionella fallet blir uttrycket f¨or σ(α)
Z
Ad2 p¯ 4πmAα
4πmA
′
=
,
ρ(α)
=
σ
(α)
=
,
σ(α) = η(s)
|{z}
h2
h2
h2
2
p2
≤α
2m
dvs. ρ(α) ¨ar en konstant funktion. Vid stark degeneration kan vi i allm¨anhet, f¨or
en godtycklig funktion f (α), anv¨anda approximationen
Z µ
Z ∞
(πkB T )2 f ′ (µ)
f (α)
dα
≈
,
f
(α)dα
+
e(α−µ)/kB T + 1
6
0
0
d¨ar
µ = ǫF −
(πkB T )2 ρ′ (ǫF )
,
6ρ(ǫF )
och Fermienergin ǫF ¨ar oberoende av T . Eftersom ρ′ (α) = 0 f˚
ar vi µ = ǫF och
Z ∞
Z ∞
αdα
αρ(α)dα
4παm
4πmA (πkB T )2
=
=
C
+
,
U=
e(α−µ)/kB T + 1
h2
e(α−µ)/kB T + 1
h2
6
0
0
d¨ar C ¨ar oberoende av T . Slutligen f˚
ar vi v¨armekapaciteten
4π 3 mAkB T
∂U
=
.
CV =
∂T V
3
h2
122.
a) ǫF best¨ams ur N = σ(ǫF ) ⇒
2/3 2
h
3N
= 6,91 · 10−23 J
ǫF =
8πV
2m
TF = ǫF /kB = 5,0 K
b)
Z
∞
αρ(α) dα
= serieutveckling som i uppgift 115
+1
0
Z ǫF
(πkB T )2
ρ(ǫF ) + . . .
=
αρ(α)dα +
6
0
U =
CV
=
e(α−µ)/kB T
∂U
∂T
=
V
= 4,10 J mol
π 2 kB T
π2 2
kB T ρ(ǫF ) = NkB
= 0,49NkB
| {z }
3
2 ǫF
3σ(ǫF )/2ǫF
−1
K
−1
vid 0,5 K
93
123.
U=
Z
0
∞
ρ(ǫF )
αρ(α) dα
= 1/2
(α−µ)/k
T
B
e
+1
ǫF
Z
∞
0
α3/2 eµ/kB T
dα
eα/kB T + eµ/kB T
Substitution med x = α/kB T ger
Z ∞ 3/2 µ/kB T
ρ(ǫF )
x e
dx
5/2
U = 1/2 (kB T )
x
µ/k
ǫF
e + e BT
0
D˚
a T ≫ TF g¨aller att e−µ/kB T ≫ 1. D¨arf¨or skall vi serieutveckla i den lilla
parametern 1/z = e+µ/kB T .
Z ∞
e−x
5/2
3/2 −x 1
1−
dx
U = C(kB T )
x e
z
z
0
√
d¨ar C = ρ(ǫF )/ ǫF .
Z ∞
e−x
3/2
1/2 −x 1
N = C(kB T )
1−
dx
x e
z
z
0
C(kB T )5/2 Γ( 25 )
1 1
⇒U =
1− √
+ ...
z
4 2z
C(kB T )3/2 Γ( 23 )
1 1
N=
1− √
+ ...
z
2 2z
Den sista ekvationen ger i f¨orsta ordningen:
N
1
1
1
=
3/2
z
C (kB T ) Γ( 32 )
N
2 3/2 2 3/2 3/2
2
ρ(ǫF )
= N = σ(ǫF ) = ǫF ρ(ǫF ); C = 1/2 = ǫF = kB TF
C
3
ǫF
3
3
3/2
4 1 TF
1
⇒ = √
z
3 π T
Dividera uttrycket f¨or U med uttrycket f¨or N:
1 1
√
1
−
3
1 1
U
3
4 2z
= { Taylorutveckla} = kB T 1 + √
= kB T + ...
N
2
2
4 2z
1 − √1 1
2 2z
S¨att in uttrycket f¨or
1
:
z
"
#
3/2
3
1
TF
U(N, T ) = NkB T 1 + √
+ ...
2
3 2π T
"
#
3/2
TF
∂U
3
1
CV =
= NkB 1 − √
+ ...
∂T V
2
6 2π T
94
124. σ(α) ber¨aknas direkt ur definitionen: σ=antal niv˚
aer (×2) med energi ≤ α. F¨or
ǫ1 ≤ α ≤ ǫ2 ¨ar det 2n eller 2N(α − ǫ1 )2 /(ǫ2 − ǫ1 )2 vilket ger:


0
α < ǫ1


2
1
σ(α) = 2N ǫα−ǫ
ǫ1 ≤ α ≤ ǫ2
2 −ǫ1



2N
α > ǫ2
ρ(α) = 4N
α − ǫ1
(ǫ2 − ǫ1 )2
√
Med σ(ǫF ) = N f˚
ar man ǫF = ǫ1 + (ǫ2 − ǫ1 )/ 2.
CV =
π2 2
4π 2 NkB2 T
kB T ρ(ǫF ) = √
3
3 2 ǫ2 − ǫ1
125. σ(α) ber¨aknas direkt ur definitionen: σ=antal niv˚
aer (×2) med energi ≤ α.
σ(α) =
2N
(α − ǫ0 )
D
ǫ0 < α < ǫ0 + D
Vid l˚
aga temperaturer ¨ar µ ≈ ǫF
ǫF = ǫ0 +
D
2
2N
ρ(ǫF ) =
D
Z ǫF
N 2 (πkB T )2
(πkB T )2
ǫ +
ρ(ǫF ) =
U=
αρ(α) dα +
6
D F
3
0
126. Definitionsm¨assigt g¨aller att σ = 2×volymen av del av en kub med sida α/ǫ0 s˚
adan
att x1 + x2 + x3 < α/ǫ0 ; x1 , x2 , x3 > 0 .
3
3
1
α
1 α
α2
⇒ σ(α) = 2 · ·
=
ρ= 3
6
ǫ0
3 ǫ0
ǫ0
ǫF = ǫ0 · (3N)1/3
Z ǫF
3
π2
1
π2
U=
αρ(α) dα + kB2 T 2 ρ(ǫF ) = ǫF N + kB2 T 2 N
6
4
2
ǫF
0
127.
q
V
σ(α) = 2 3 · 4π
h
α2 −m2 c4
c2
Z
0
p2 dp =
3/2
8π V 2
α − m2 c4
3
3
3 h c
95
ρ(α) =
1/2
V dσ
= 8π 3 3 α α2 − m2 c4
dα
h c
s
m2 c4
σ(ǫF ) = N ⇒ ǫF =
+
h2 c2
⇒ TF ≈ 1,64 · 1010 K
3N
8πV
2/3
⇒ ǫF /(mc2 ) = 2,76
T ≪ TF :
CV
1/2 2
8π 3 V
π2 2
kB T ρ(ǫF ) =
ǫF ǫF 2 − m2 c4
kB T
3
3
3
3 hc
1/3 "
2/3 #1/2
3N
3N
8π 3 V
m2 c4 + h2 c2
kB2 T
=
3 h2 c2 8πV
8πV
=
CV /(NkB ) ≈ 2,2 · 10−10 T K−1 = 0,022
P V ≈ P0 V =
ZǫF
8πV 1
σ(α) dα =
3 (hc)3
α2 − m2 c4
mc2
mc2
P0
ZǫF
ǫFZ/mc2
4
8π
mc2
=
3
3(hc)
|
{z
}
x2 − 1
1
4,8·1022 N/m2
3/2
dα
dx
= { x = cosh φ, dx = sinh φ dφ} = 4,8 · 10
23
3/2
22
2
≈ 4,5 · 10 N/m
Z
ar cosh(ǫF /mc2 )
sinh4 φ dφ
0
N¨asta term, dvs temperaturberoendet, kan f¨orsummas.
128.
Z
V
V d3 p
p2 dpdΩ
=2 3
σ(α) = η(s)
3
h |p|≤α/c
ǫp ≤α h
V 1 α 3 8π V 3
= 8πη(s) 3
α
=
h 3 c
3 h3 c3
Z
V
dσ
= 8π 3 3 α2
dα
h c
Med h¨ansyn tagen till att det finns tv˚
a fria elektroner per heliumk¨arna f˚
ar vi
ρ(α) =
N =2
M
= 7,46 · 1056 elektroner
mHe
96
och
N/V = 1,425 · 1036 elektroner/m3
Fermienergin definieras av σ(ǫF ) = N, vilket ger
1/3
3N
ǫF =
hc = 1,10 · 10−13 J = 6,9 · 105 eV
8πV
Vid stark degeneration kan vi i allm¨anhet, f¨or en godtycklig funktion f (α), anv¨anda
approximationen
Z µ
Z ∞
(πkB T )2 f ′ (µ)
f (α)
dα
≈
,
f
(α)dα
+
e(α−µ)/kB T + 1
6
0
0
d¨ar
(πkB T )2 ρ′ (ǫF )
,
6ρ(ǫF )
µ = ǫF −
och Fermienergin ǫF ¨ar oberoende av T . I detta fall f˚
ar vi
1 (πkB T )2
µ = ǫF 1 −
3 ǫ2F
och inre energin
Z ∞
U =
Z µ
αρ(α)dα
V
(πkB T )2 2
3
= 8π
3µ
α dα +
e(α−µ)/kB T + 1
(hc)3
6
0
0
1 4 1
V
2 2
µ + (πkB T ) µ
= 8π
(hc)3 4
2
1 4
4 (πkB T )2
1
V
2 2
4
4
ǫ 1−
+ O(T ) + (πkB T ) ǫF + O(T )
= 8π
(hc)3 4 F
3 ǫ2F
2
3/2
4π V
3N
= C+
(πkB T )2 ,
3 hc 8πV
d¨ar C ¨ar oberoende av T . Slutligen f˚
ar vi v¨armekapaciteten
2/3
8π 3 V 3N
∂U
=
kB2 T = 1,3 · 1032 J/K.
CV =
∂T V
3 hc 8πV
129.
Ne =
Z
∞
c2 dα
α − ǫl
=x
kB T
=
e(α−µ)/kB T + 1
Z ∞
Z ∞
dx
(µ−ǫl )/kB T
≈ c2 k B T e
e−x dx
= c2 k B T
x e(ǫl −µ)/kB T + 1
e
0
0
= c2 kB T e(µ−ǫl )/kB T
ǫl
97
Z
ǫv
1
ǫv − α
=x
kB T
=
c1 dα 1 − (α−µ)/k T
B
e
+1
Z ∞
1
dx
= c1 k B T
1 − −x (ǫv −µ)/k T
B
e e
+1
0
Z ∞
dx
= c1 k B T
≈ c1 kB T e(ǫv −µ)/(kB T )
x e(µ−ǫv )/kB T + 1
e
0
Nh =
−∞
kB T
1
ln (c1 /c2 )
Ne = Nh ⇒ µ = (ǫl + ǫv ) +
2
2
√
vilket ger Ne = c1 c2 kB T e−(ǫl −ǫv )/kB T
130.
a)
Ne − Np =
Z
∞
| mc
2
Z ∞
ρ(α) dα
ρ(α) dα
−
(α−µ)/k
T
(α+µ)/k
B
BT + 1
e
+1
2 e
{z
} | mc
{z
}
Ne
Np
b) Om Ne = Np g¨aller att µ = 0. (Det r¨acker inte med att konstatera att
integralerna d˚
a blir lika). Man f˚
ar allts˚
a olika tecken p˚
a µ h¨ar.
c)

 0
α < mc2
σ(α) =
 8 πV [2m(α − mc2 )/h2 ]3/2 α ≥ mc2
3

 0
α < mc2
ρ(α) =
 4πV (2m/h2 )3/2 (α − mc2 )1/2 α ≥ mc2
Med µ = 0; mc2 ≫ kB T har vi:
Z ∞
Ne ≈
ρ(α) dα e−α/kB T
mc2
= 4πV
= 2V
2m
h2
3/2
2πmkB T
h2
−mc2 /kB T
e
Z
∞
x1/2 e−x/kB T dx
0
3/2
e−mc
2 /k
BT
⇒ 3,8 · 1029 elektroner/m3
d)
σ(α) =
8π V 2
2 4 3/2
α
−
m
c
3 h3 c3
ρ(α) = 8π
V 2
2 4 1/2
α
α
−
m
c
h3 c3
98
(j¨amf¨or uppgift 127).
Z
∞
e−α/kB T ρ(α) dα
Z
8πV ∞ 2
2 4 1/2 −α/kB T
2
α
α
−
m
c
e
dα
=
x
=
α
−
mc
=
h3 c3 mc2
Z
8πV ∞
2
=
(x + mc2 )x1/2 (x + 2mc2 )1/2 e−x/kB T e−mc /kB T dx
3
3
h c 0
Ne ≈
mc2
(ǫF − mc2 ) ≫ kB T, kB T ≫ mc2 ⇒ x ≫ mc2 p˚
a n¨astan hela delen av
intervallet som ger bidrag till integralen. F¨orsumma d¨arf¨or mc2 i integranden:
Z
16πV
8πV −mc2 /kB T ∞ 2 −x/kB T
2
xe
dx = 3 3 (kB T )3 e−mc /kB T
Ne ≈ 3 3 e
hc
h c
0
6.3
Bose-Einstein-statistik
131. F¨or en kondenserad Bose-Einstein-gas µ = 0 blir partikelantalet:
Z ∞
ρ(α) dα
,
N = N0 + N1 = N0 +
α/k
e BT − 1
0
d¨ar N0 ¨ar antalet partiklar i grundtillst˚
andet. Detta bidrar dock inte till energin:
Z ∞
αρ(α) dα
U=
eα/kB T − 1
0
√
ar man:
Med ρ(α) ∼ α f˚
3 ζ 52
U
kB T ≈ 0,770 kB T
=
N1
2 ζ 32
132. F¨or en ideal gas, f¨or vilken E(p) = p2 /2m, har vi att
3/2
4πV 2mα
σ(α) =
,
3
h2
vilket ger
1
P =
V
Z
∞
4π (2m)3/2
σ(α) dα
=
eα/kB T − 1
3
h3
Z
∞
√
α dα
eα/kB T − 1
0
{z
}
|0
(kB T )5/2 ζ ( 52 )Γ( 52 )
5
5
4π (2m)3/2
5/2
Γ
(kB T ) ζ
=
3
3
h
2
2
3/2
m
≈ 21,1 3 (kB T )5/2 oberoende av t¨atheten.
h
Endast partiklar i exciterade tillst˚
and bidrar till trycket. Om fler partiklar tillf¨ors
hamnar de i grundtillst˚
andet och ger ej n˚
agot bidrag till trycket.
99
133. Entropin ges av
∂(P V )
10π (2m)3/2 5/2 3/2
5
S=
= (P fr˚
an uppgift 132) =
kB T ζ
3
∂T
3
h
2
µ
(2m)3/2 3/2 3/2
kB T ζ
N1 = {se uppgift 131} = 2π
h3
5
ζ(5/2)
⇒ S = N1 kB
= 1,29N1 kB
2
ζ(3/2)
3
3
Γ
2
2
134. I tre dimensioner g¨aller:
3/2 Z ∞
√
2m
α dα
N = 2πV
2
(α−µ)/k
BT − 1
h
e
0
µ ≤ 0 ⇒ N(µ) ¨ar maximal f¨or µ = 0 ⇒ Nmax = V
(2πmkB T )3/2
ζ (3/2)
h3
d¨ar Nmax ¨ar det maximala antal partiklar som ryms i kontinuet av tillst˚
and med
energi > 0 . De ¨overtaliga partiklarna kommer d˚
a att kondensera till grundtillst˚
andet.
Detta b¨orjar ske vid
Tc =
N
ζ (3/2) V
2/3
N(µ)
h2
≈ 2,8 K.
2πmkB
I tv˚
a dimensioner blir ρ(α) = konstant och
Z ∞
dα
N (µ = 0) ∼
α/k
e BT − 1
0
2 dim
Nmax
3 dim
0
µ
divergerar. D˚
a ryms hur m˚
anga partiklar som
helst i kontinuet.
135.
3/2
Z ∞ 3/2
2m
x dx
4π
5/2
η(s)V
(k
T
)
PV =
B
3
h2
zex − 1
0
3/2
Z ∞ 1/2
2m
x dx
3/2
N = 2πη(s)V
(kB T )
2
h
zex − 1
0
d¨ar z = e−µ/kB T . Serieutveckling i 1/z och eliminering av z(N) som s¨atts in i den
f¨orsta formeln ger P V (N, T ) ist¨allet f¨or P V (z, T ).
#
"
5/2
5
1
1
5
1
2
Γ( ) +
Γ( ) 2
P V = C(kB T )5/2
3
z 2
2
2 z
100
"
N = C(kB T )3/2
1 3
Γ( ) +
z 2
d¨ar C = 4πη(s)V (2m/h2 )
⇒
#
3/2
1
3 1
Γ( ) 2
2
2 z
3/2
PV
1 1
= 1 − 5/2 + . . .
NkB T
2 z
d¨ar z −1 kan l¨osas ut ur formeln f¨or N och uttrycks i
2/3
1 h2
N
TE =
πkB 2m ζ( 23 )V
"
3/2 #
1
3 TE
⇒ P V = NkB T 1 − 7/2 ζ( )
.
2
2
T
136. F¨or T < TE ¨ar µ = 0.
Z
∞
x3/2 dx
ex − 1
0
∂U0
5
5
5
3/2
0
CV =
= kB (kB T ) ζ
Γ( )
∂T V
2
2
2
5/2
U = U0 = C(kB T )
T > TE :
Z
∞
x3/2 dx
e−µ/kB T ex − 1
⇒ CV (µ = 0) =
CV0
5/2
5/2
U = C(kB T )
0
− C(kB T )
Z
0
∞
∂
x3/2 ex dx
−µ/kB T
lim
e
(ex − 1)2 µ→0+ ∂T
∂N
∂
e−µ/kB T best¨ams ur villkoret att
=0
µ→0 ∂T
∂T
Z ∞
x1/2 dx
3
∂
e−µ/kB T ex − 1
0
e−µ/kB T =
⇒
Z ∞
∂T
2T
x1/2 ex dx
lim+
0
lim+ CV = CV0 −
T →TE
2
(e−µ/kB T ex − 1)
3
C(kB T )5/2
2T
konst
konst
}|
{ Z
}|
{
z
∞ 1/2
∞
x dx
x3/2 dx
dx
·
ex − 1 0 (ex − 1)2
0
= CV0
Z ∞ 1/2 x
x e dx
(ex − 1)2
0
|
{z
}
∞
zZ
101
137.
CP
=
CV
∂H
∂T
PV =
Z
∞
U=
Z
0
∞
0
y
,
P
∂U
∂T
V
σ(α) dα
e(α−µ)/kB T ± 1
αρ(α) dα
=
e(α−µ)/kB T ± 1
dσ(α)
ρ(α) =
dα
2
Z
=
∞
0
yσ(α) dα
e(α−µ)/kB T ± 1
om σ(α) ∼ α . F¨or en ideal gas a¨r ǫp = p /m ⇒ y = 3/2. Vi har allts˚
a:
5
5
3
U = PV ⇒ H = U + PV = PV = U
2
2
3
,
,
∂U
5P ∂V
∂P
5 ∂U
CP
=
=
CV
3 ∂T P
∂T V
3V ∂T P
∂T V
dP (V, T ) =
∂P
∂T
V
∂P
dT +
∂V
dV ⇒
T
∂V
∂T
P
=−
∂P
∂T
,
V
∂P
∂V
T
Vi f˚
ar
5P
CP
=−
CV
3V
,
∂P
∂V
T
Uttryck f¨or P f˚
as (j¨amf¨or uppgifterna 123 och 135) till
3/2
Z ∞ 3/2
4π
2m
x dx
5/2
P =
η(s)
(kB T )
2
3
h
ex z ± 1
0
+ F D − BE
d¨ar z = e−µ/kB T , z ≫ 1 i klassisk gr¨ans. Med samma metod som i uppgifterna 123
och 135 med serieutveckling i z −1 och eliminering av z −1 ur
N = 2πη(s)V
2m
h2
3/2
(kB T )
3/2
Z
∞
0
x1/2 dx
zex ± 1
+ F D − BE
f˚
as
"
2
5 N
CP
h
5
1
1 ± 2− 2
=
CV
3
V η(s) 2πmkB T
3/2 #
som ger CP /CV = 5/3 i klassisk gr¨ans!
138. F¨or He4 s¨atts m = 4m0 och tryck enligt uppgift 132:
P1 = 21,1
(4m0 )3/2
(kB T )5/2
h3
102
+ F D − BE
F¨or He3 s¨atts m = 3m0 och endast den l¨agsta (temperaturoberoende) termen i
Fermi-Dirac gasens tryck beh˚
alls:
Z
16π (6m0 )3/2 5/2
1 ǫF
σ(α) dα =
ǫF
(A)
P2 =
V 0
15
h3
P1 = P2 ger
21,1 · 43/2 (kB T )5/2 =
16π 3/2 5/2
· 6 ǫF
15
8π (2m)3/2 3/2
N
=
ǫF
⇒ ǫF = 1,64kB T
V
3
h2
ǫF ¨ar visserligen st¨orre ¨an kB T men knappast tillr¨ackligt mycket st¨orre f¨or att helt
motivera (A) (T¨atheten blir f¨or l˚
ag).
139.
U=
Z
0
∞
αρ(α) dα
e(α−µ)/kB T
Vid l˚
aga temperaturer ¨ar µ = 0 ⇒
Z ∞ 2
α ρ(α)/(kB T 2 )eα/kB T
α
∂U
=
dα = x =
CV =
2
∂T V
kB T
(eα/kB T − 1)
0
Z ∞ 2
x
x ρ(xkB T )e
= kB2 T
dx ≈ {ρ = konstant = ρ(0)}
(ex − 1)2
0
Z ∞
x2 ex
2
dx
≈ kB T ρ(0)
(ex − 1)2
0




Z
Z
∞
 ∞ x2 ex

∞
2x
x2
=
+
dx
=
2
ζ(2)
Γ(2)
dx
=
−
2
|{z} |{z}

ex − 1 0
ex − 1
0
 0 (ex − 1)

2
π /6
= kB2 T ρ(0)
6.3.1
2
π
3
Fotoner
140.
U
N
Z
∞
αρ(α)dα
eα/kB T − 1
= Z0 ∞
= ρ(α) ∝ α2 , α/kB T = x
ρ(α)dα
α/k
e BT − 1
0
Z ∞ 3
x dx
ζ(4)Γ(4)
ex − 1
= kB T
≈ 2, 70kB T
= kB T Z0 ∞ 2
ζ(3)Γ(3)
x dx
ex − 1
0
103
1
U
hc
hc
=
⇒ T ≈
≈ λ = 5 · 10−7m ≈ 104 K
N
λ
2, 7kB λ
141.
a)
F ∝VT
4
⇒ S=−
∂F
∂T
V
∝ V T3
Sluttemperaturen T1 best¨ams av
3
V T = 2V T1
3
1/3
1
⇒ T1 =
T
2
b)
U
∝
V
Z
ω 3 dω
= {~ω/kB T = x} =
e~ω/kB T − 1
kB T
~
4 Z
x3 dx
ex − 1
Integranden har maximum f¨or n˚
agot v¨arde xmax
~ωmax
ωmax (T1 )
T1
= xmax ⇒ ωmax (T ) ∝ T ⇒
=
=
kB T
ω0
T
1/3
1
2
Detta f¨oljer direkt ur Wiens f¨orskjutningslag om man kan den.
142. T = 3000 K och λ = 7000 ˚
A svarar mot
hc
~ω
=
= 6, 86
kB T
λkB T
Andelen utstr˚
alad effekt med frekvens mindre ¨an 7000 ˚
A ¨ar
Z
Z 6,86 3
∞
x3 dx
x dx
Z
x
15 ∞ x3 dx
ex − 1
6,86 e − 1
0
≈ 0, 92
=1− Z ∞ 3
= 1− 4
Z ∞ 3
π 6,86 ex − 1
x dx
x dx
ex − 1
ex − 1
0
0
143. Den totala utstr˚
alade effekten per ytenhet ges av Stefan-Boltzmanns lag
JU = ǫσB T 4
d¨ar σB = π 2 kB4 /60~3 c2 = 5, 67 · 10−8 W/m2 K4 ¨ar Stefan-Boltzmanns konstant och
ǫ ¨ar emissiviteten. Antag att stj¨arnan emitterar som en svart kropp, dvs att ǫ = 1.
¨
Andringen
i den inre energin per tidsenhet hos stj¨arnan blir
dU
= −4πR2 σB T 4
dt
104
Klassisk (enatomig) gas: U = 32 NkB T
⇒
dT (t)
8πR2 σB 4
=−
T (t)
dt
3NkB
Integrera:
−1/3
1
8πR2 σB T0 3
8πR2 σB
1
−
t ⇒ T (t) = T0 1 +
t
=
T 3 T0 3
NkB
NkB
T (t) = 105 K ⇒ t = 4, 2 · 1010 s = 1320 ˚
ar
144.
e(ν)dν =
hν 3 dν
8πν
·
c3 ehν/kB T − 1
e(ν) ¨ar st¨orst n¨ar (3 + hν/kB T )ehν/kB T = 3, dvs n¨ar ν = 2, 82 kB T /h.
a) ν = 3, 5 · 1014 s−1 , strax under synligt spektrum.
b) ν = 1, 7 · 1013 s−1 , i infrar¨oda omr˚
adet.
a) ν = 1, 6 · 1011 s−1 , l˚
ag infrar¨od (mikrov˚
ag-) str˚
alning.
145.
8π 5 (kB T )4
P =
·
45
(hc)3
1
⇒T =
kB
45h3 c3 P
8π 5
1
=
V
1/4
Z
∞
0
σ(α)dα
eα/kB T − 1
= 1, 4 · 105 K
146. F¨ordelningen blir
ω 2dω
e~ω/kB T − 1
−(ω−ω0 )2 /2σ −~ω/kB T
≈ konst · e
e
· ω 2 dω
2 /2σ
n(ω)dω = konst · e−(ω−ω0 )
·
n(ω) har maximum d˚
a
ω0 − ~σ/kB T
ω=
+
2
r
(ω0 − ~σ/kB T )2
+ 2σ
4
σ → 0 (mycket smalt filter): ωmax = ω0 (filterfrekvensen)
σ → ∞ (mycket brett filter): ωmax → 2kB T /~2 .
105
147.
U=
32π 5 kB4 T 3
8π 5 kB4 T 4
· 3 3 · V ⇒ CV =
· 3 3 · V = 1, 62 · 1027 J/K
15 h c
15
h c
vilket ¨ar mycket mindre ¨an bidraget fr˚
an elektronerna.
W = utstr˚
alad effekt =
dT
dt
2π 5 kB4 T 4
·
· 4πR2 = 1, 76 · 1035 W.
15 h3 c3
W
= {CV (total) = γT + CV (fonon) ≈ γT } = −1, 4 · 10−18 T 3
CV
(= −1400 grader per sek vid T = 107 K)
= −
Differentialekvationen har l¨osningen
−1/2
T = 10−14 + 2, 8 · 10−18 t
T = 300 K n¨ar t = 4 · 1012 s = 1, 3 · 105 ˚
ar.
148.
a) Om partikelns tv¨arsnittsyta ¨ar πr 2 , ¨ar andelen utstr¨ommad str˚
alningseffekt
som n˚
ar partikeln πr 2 /4πx2 . Totala str˚
alningen fr˚
an solen ¨ar σB T 4 4πR2 . Om
str˚
alningen totalreflekteras ¨ar kraften p˚
a partikeln
2σB T 4 πr 2 R2
2 × reflekterad effekt
=
c
cx2
b) Kraftj¨amvikt:
2σB T 4 πr 2 R2
4πr 3
4πR3
1
=
k
·
ρ
·
ρS ·
P
2
cx
3
3
x
⇒ r=
9σB T 4
= 1, 33 · 10−6 m
8πckRρS ρP
149. Str˚
alningsenergi per tidsenhet som l¨amnar rymdvinkelelementet Ω ¨ar
σB T 4 · 4πr 2 ·
Ω
= σB T 4 Ωr 2
4π
Energi f¨or en foton: ǫ = ~ω = ~ck.
R¨orelsem¨angd f¨or en foton: p = ~k = ǫ/c.
Utstr˚
alande r¨orelsem¨angd per tidsenhet som l¨amnar rymdvinkelelementet Ω ¨ar
s˚
aledes
σB T 4 Ωr 2 /c
Om fotonerna totalreflekteras mot ett f¨orem˚
al ¨overf¨ors under en tidsenhet r¨orelsem¨angden
2σB T 4 Ωr 2 /c
106
vilket svarar mot en kraft (F = ∆p/∆t)
F = 2σB T 4 Ωr 2 /c
F¨or att en rymdseglare med yta A och massa M p˚
a avst˚
and R f˚
an solen ska kunna
utnyttja denna kraft f¨or att f˚
a en acceleration a kr¨avs att
2σB T 4 r 2 A
· 2
c
R
|{z}
Ω
MacR2
= 9, 2 · 106 m2
⇒ A =
2σB T 4 r 2
Ma = F =
150.
(≈ 3 km × 3 km)
a) F¨or en fotongas ¨ar
σ(α) =
vilket ger
8π α 3
V
,
3
hc
Φ = −kB T ln Ξ =
Z
∞
0
σ(α)
e(α−µ)/kB T
−1
dα = CV T 4 ,
d¨ar konstanten C ¨ar oberoende av V och T . Detta ger
∂Φ
∝ V T 3 ∝ (RT )3 .
S=−
∂T V,µ
Entropin konstant ger RT = konstant.
b) Vid en adiabatisk process ¨ar arbetet lika med ¨andringen i inre energin.
8π 5 kB4 T 4 4πR3
32π 6 kB4
=
(R0 T0 )3 T
15 h3 c3 3
45 h3 c3
32π 6 kB4
(R0 T0 )3 (T0 − T1 )
W =
45 h3 c3
U=
8π 5 (kB T )4
V.
15 (hc)3
3
kB T
V.
Antal fotoner: N = 16πζ(3)
hc
Antal k¨arnpartiklar: 10−9 N.
151. Energi f¨or fotoner: U =
Energin f¨or bakgrundsstr˚
alningen ¨ar lika stor som energin f¨or k¨arnpartiklarna om
U = 10−9 N · mc2
vilket ¨ar fallet d˚
a
30ζ(3) mc2
= 4030 K
T = 10−9 ·
π4
kB
107
152. Se tal 151.
U=
8π 5 (kB T )4
V
15 (hc)3
CV /N =
6.3.2
⇒
CV =
32π 5 kB4 T 3
V
15 (hc)3
2π 4
kB = 10, 8 kB
15ζ(3)
Andra sv¨
angningar
153. Konstanten C best¨ams av
C
(kB θD )3
3
3N = σ(kB θD ) =
S=
⇒
C=
9N
(kB θD )3
∂
(kB T ln Ξ)
∂T
ln Ξ = −
Z∞
0
ln 1 − e−α/kB T ρ(α)dα
kZB θD
9N
= −
(kB θD )3
ln 1 − e−α/kB T α2 dα
0
= −3N ln 1 − e−θD
/T
+ 3N
T
θD
3 θZD /T
0
x3 dx
ex − 1
i) θD /T ≫ 1:
ln Ξ = 3N
T
θD
3
ζ(4)Γ(4)
S = 12ζ(4)Γ(4)NkB
T
θD
3
ii) θD /T ≪ 1:
1 − e−θD /T ≈ θD /T
3 Z θD /T
T
T
θD
2
+ 3N
x dx = 3N ln
+N
ln Ξ = −3N ln
T
θD
θD
0
T
S = 3NkB ln
+ 4NkB
θD
108
154.
α
= 1 − cos ap ⇒
c
V η(s)
σ(α) =
4π
h3
p(α) =
1
arccos(1 − α/c)
a
p(α)
Z
4πV η(s)
p2 dα =
arccos3 (1 − α/c)
3h3 a3
0
Entropin ges av
∂I
∂T
S=
d¨ar I ¨ar integralen
I=
Z∞
0
4πV η(s)
σ(α)dα
=
kB T
α/k
T
e B −1
3h3 a3
Z∞
0
arccos3 (1 − kB T x/c)
dx
ex − 1
Serieutveckla f¨or sm˚
a kB T x/c:
p
√
arccos(1 − z) = 2 arcsin z/2 = 2z + O(z 3/2 )
3/2
3/2
Z∞ 3/2
2π
x dx
2
5/2
= η(s)ζ(5/2)V
(kB T )
(kB T )5/2
c
ex − 1
ch2 a2
|0 {z }
ζ(5/2)Γ(5/2)
3/2
5
2πkB T
S = ζ(5/2)η(s)kBV
2
ch2 a2
4πV η(s)
I≈
3h3 a3
155. Best¨am f¨orst P V i storkanonisk ensemble (formelsamlingen):
(
)
3/2
Zαc
σ(α)dα
α
4π
P V = kB ln Ξ = −
= σ(α) =
V, αc = γpc 2
α/k
T
2
B
e
−1
3 γh
0
4πV
≈−
3
1
γh2
3/2 Z∞
0
3/2
α3/2 dα
π
= −ζ(5/2)
(kB T )5/2 V.
eα/kB T − 1
γh2
Nu blir entropin hos spinnv˚
agorna
3/2
5
πkB T
∂P V
= ζ(5/2)
kB V.
Sq =
∂T µ 2
γh2
Detta ger:
3/2
πkB T
5
kB V
∆S = NkB ln 2 − ζ(5/2)
2
γh2
109
d¨ar
σ(αc )
4π pc 3
N
=
=
.
V
V
3 h
156.
V
N = 3
h
Z∞
4πp2 dp
e(ǫ0 +p2 γ)/kB T
0
=
V
U= 3
h
V
h3
Z∞
0
πkB T
γ
3/2
4πV
≈ 3
h
−1
e−ǫ0 /kB T e−γp
2 /k
BT
p2 dp
0
e−ǫ0 /kB T
ǫ0 + γp2
e(ǫ0 +p2 γ)/kB T − 1
3/2
Z∞
4πp2 dp = N(ǫ0 + 23 kB T ) =
V
= 3
h
CV
"
2 #
3/2 r
kB 2
∂U
kB T
V π
15 kB T
e−ǫ0 /kB T
=
= 3
ǫ0 1 + 3
+
∂T
h
γ
T
ǫ0
4
ǫ0
πkB T
γ
e−ǫ0 /kB T (ǫ0 + 23 kB T )
= 1, 27 · 103 J/m3 K
110