Transcript Matematikens förbluffande förträfflighet

Talet π och Matematikens
Förbluffande Förträfflighet
Mario Natiello
Matematikcentrum (LTH)
Lunds Universitet
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.1/15
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
• π
och areor
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
• π
och areor
• π
och vinklar
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
• π
och areor
• π
och vinklar
•
Att bestämma läget utan GPS
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
• π
och areor
• π
och vinklar
•
Att bestämma läget utan GPS
• π
och sannolikhetsläran
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
• π
och areor
• π
och vinklar
•
Att bestämma läget utan GPS
• π
•
och sannolikhetsläran
Bestäm π med synålar
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
• π
och areor
• π
och vinklar
•
Att bestämma läget utan GPS
• π
och sannolikhetsläran
•
Bestäm π med synålar
•
Matematikens förbluffande förträfflighet
Innehåll
•
Kortfattad historia om π
• π
och areor
• π
och vinklar
•
Att bestämma läget utan GPS
• π
och sannolikhetsläran
•
Bestäm π med synålar
•
Matematikens förbluffande förträfflighet
END
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.2/15
Kortfattad historia om π
•
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
Kortfattad historia om π
•
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
• Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den
av en utskriven cirkel.
Kortfattad historia om π
•
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
• Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den
av en utskriven cirkel.
• Talsystem i bas 60.
Kortfattad historia om π
•
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
• Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den
av en utskriven cirkel.
• Talsystem i bas 60.
3 57
25
36
•
≈
+ 2 , dvs π ≈
= 3.125
π
60 60
8
Kortfattad historia om π
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
• Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den
av en utskriven cirkel.
• Talsystem i bas 60.
3 57
25
36
•
≈
+ 2 , dvs π ≈
= 3.125
π
60 60
8
• Egypten : Areor, 1650 f t
•
Kortfattad historia om π
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
• Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den
av en utskriven cirkel.
• Talsystem i bas 60.
3 57
25
36
•
≈
+ 2 , dvs π ≈
= 3.125
π
60 60
8
• Egypten : Areor, 1650 f t
•
•
Grekland : Uttömningsprincipen, 250 f t
Kortfattad historia om π
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
• Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den
av en utskriven cirkel.
• Talsystem i bas 60.
3 57
25
36
•
≈
+ 2 , dvs π ≈
= 3.125
π
60 60
8
• Egypten : Areor, 1650 f t
•
•
Grekland : Uttömningsprincipen, 250 f t
•
China : Gränsvärde, ca 250 e t
Kortfattad historia om π
Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t
• Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den
av en utskriven cirkel.
• Talsystem i bas 60.
3 57
25
36
•
≈
+ 2 , dvs π ≈
= 3.125
π
60 60
8
• Egypten : Areor, 1650 f t
•
•
Grekland : Uttömningsprincipen, 250 f t
•
China : Gränsvärde, ca 250 e t
Tillbaka till Innehåll
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.3/15
π i Egypten?
•
Rhind papyrus, 1650 f t
π i Egypten?
•
•
Rhind papyrus, 1650 f t
π i Egypten?
•
Rhind papyrus, 1650 f t
•
•
Example of finding the area of a round field with a
diameter of 9 khet. What is its area?
Take away 1/9 of its diameter, namely 1. The
remainder is 8. Multiply 8 times, making 64. Therefore
the area is 64 setjat. (1 khet ≈ 52.3 m).
π i Egypten?
•
Rhind papyrus, 1650 f t
•
Example of finding the area of a round field with a
diameter of 9 khet. What is its area?
Take away 1/9 of its diameter, namely 1. The
remainder is 8. Multiply 8 times, making 64. Therefore
the area is 64 setjat. (1 khet ≈ 52.3 m).
2
9
64
• π×
≈ 3.16.
≈ 8 × 8, dvs π ≈ 4 ×
2
81
•
π i Egypten?
•
Rhind papyrus, 1650 f t
•
Example of finding the area of a round field with a
diameter of 9 khet. What is its area?
Take away 1/9 of its diameter, namely 1. The
remainder is 8. Multiply 8 times, making 64. Therefore
the area is 64 setjat. (1 khet ≈ 52.3 m).
2
9
64
• π×
≈ 3.16.
≈ 8 × 8, dvs π ≈ 4 ×
2
81
•
Tillbaka till historia
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.4/15
π i Grekland
•
Hellre geometri än aritmetik
π i Grekland
•
Hellre geometri än aritmetik
•
Archimedes av Syracusa
π i Grekland
•
Hellre geometri än aritmetik
•
Archimedes av Syracusa
•
Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två
regelbundna polygoner
π i Grekland
•
Hellre geometri än aritmetik
•
Archimedes av Syracusa
•
Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två
regelbundna polygoner
φ = 12 · 26π
AS = 6 cos φ sin φ
AL = 6 tan φ
n cos πn sin πn ≤ π ≤ n tan πn
•
φ
π i Grekland
•
Hellre geometri än aritmetik
•
Archimedes av Syracusa
•
Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två
regelbundna polygoner
φ = 12 · 26π
AS = 6 cos φ sin φ
AL = 6 tan φ
n cos πn sin πn ≤ π ≤ n tan πn
•
•
φ
Kallas även instängningsprincipen.
π i Grekland
•
Hellre geometri än aritmetik
•
Archimedes av Syracusa
•
Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två
regelbundna polygoner
φ = 12 · 26π
AS = 6 cos φ sin φ
AL = 6 tan φ
n cos πn sin πn ≤ π ≤ n tan πn
•
φ
Kallas även instängningsprincipen.
223
22
• n = 96, 192:
≈ 3.1410 < π < 3.1428 ≈
.
71
7
•
π i Grekland
•
Hellre geometri än aritmetik
•
Archimedes av Syracusa
•
Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två
regelbundna polygoner
φ = 12 · 26π
AS = 6 cos φ sin φ
AL = 6 tan φ
n cos πn sin πn ≤ π ≤ n tan πn
•
φ
Kallas även instängningsprincipen.
223
22
• n = 96, 192:
≈ 3.1410 < π < 3.1428 ≈
.
71
7
•
Tillbaka till historia
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.5/15
π i China
•
Liu Hui: lim An = Acirc .
n→∞
π i China
•
Liu Hui: lim An = Acirc .
n→∞
M12
M6
r
•
p
2
M6
+ p2 = r 2
2
2
M6
2
+ (r − p)2 = M12
2
!
r
2
M
2
= 2 r2 − r r2 − 6
M12
4
π i China
•
Liu Hui: lim An = Acirc .
n→∞
M12
M6
r
p
•
•
An = n ·
q
M2
Mn · r 2 − 4n
2
2
M6
+ p2 = r 2
2
2
M6
2
+ (r − p)2 = M12
2
!
r
2
M
2
= 2 r2 − r r2 − 6
M12
4
, n = 6, 12, 24, · · · , 6 · 2k .
π i China
•
Liu Hui: lim An = Acirc .
n→∞
M12
M6
r
p
•
q
M2
Mn · r 2 − 4n
2
2
M6
+ p2 = r 2
2
2
M6
2
+ (r − p)2 = M12
2
!
r
2
M
2
= 2 r2 − r r2 − 6
M12
4
, n = 6, 12, 24, · · · , 6 · 2k .
•
An = n ·
•
r = 1 = M6 , n = 3072: 3.141590 < π < 3.141597.
π i China
•
Liu Hui: lim An = Acirc .
n→∞
M12
M6
r
p
•
q
M2
Mn · r 2 − 4n
2
2
M6
+ p2 = r 2
2
2
M6
2
+ (r − p)2 = M12
2
!
r
2
M
2
= 2 r2 − r r2 − 6
M12
4
, n = 6, 12, 24, · · · , 6 · 2k .
•
An = n ·
•
r = 1 = M6 , n = 3072: 3.141590 < π < 3.141597.
•
Lite bättre med omkretsen: s3072 ≈ 3.141592.
π i China
•
Liu Hui: lim An = Acirc .
n→∞
M12
M6
r
p
•
q
M2
Mn · r 2 − 4n
2
2
M6
+ p2 = r 2
2
2
M6
2
+ (r − p)2 = M12
2
!
r
2
M
2
= 2 r2 − r r2 − 6
M12
4
, n = 6, 12, 24, · · · , 6 · 2k .
•
An = n ·
•
r = 1 = M6 , n = 3072: 3.141590 < π < 3.141597.
•
Lite bättre med omkretsen: s3072 ≈ 3.141592.
Tillbaka till historia
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.6/15
π och areor
• π
förekommer “naturligt”.
π och areor
• π
•
förekommer “naturligt”.
Arean av en cirkel med radie 1.
π och areor
• π
förekommer “naturligt”.
•
Arean av en cirkel med radie 1.
•
Halva omkretsen av samma cirkel.
π och areor
• π
förekommer “naturligt”.
•
Arean av en cirkel med radie 1.
•
Halva omkretsen av samma cirkel.
•
Lantmäteri och ingenjörskonst.
π och areor
• π
förekommer “naturligt”.
•
Arean av en cirkel med radie 1.
•
Halva omkretsen av samma cirkel.
•
Lantmäteri och ingenjörskonst.
•
Det var först Archimedes som förstod att det finns ett
svårtfångat tal som med hjälp av radien ger arean och
omkretsen av en cirkel.
π och areor
• π
förekommer “naturligt”.
•
Arean av en cirkel med radie 1.
•
Halva omkretsen av samma cirkel.
•
Lantmäteri och ingenjörskonst.
•
Det var först Archimedes som förstod att det finns ett
svårtfångat tal som med hjälp av radien ger arean och
omkretsen av en cirkel.
Tillbaka till Innehåll
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.7/15
π och vinklar
•
Vinklar och cirkeln hör nära ihop.
π och vinklar
•
Vinklar och cirkeln hör nära ihop.
•
Avgörande för astronomiska observationer.
π och vinklar
•
Vinklar och cirkeln hör nära ihop.
•
Avgörande för astronomiska observationer.
•
Avgörande i sin tur för utvecklingen av folkgrupper.
π och vinklar
•
Vinklar och cirkeln hör nära ihop.
•
Avgörande för astronomiska observationer.
•
Avgörande i sin tur för utvecklingen av folkgrupper.
•
Mystik: Man har velat “se” π i bl a
pyramidernas design .
π och vinklar
•
Vinklar och cirkeln hör nära ihop.
•
Avgörande för astronomiska observationer.
•
Avgörande i sin tur för utvecklingen av folkgrupper.
•
Mystik: Man har velat “se” π i bl a
pyramidernas design .
Tillbaka till Innehåll
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.8/15
Pyramidernas mystik
•
Hur bestämdes pyramidernas lutning?
Pyramidernas mystik
•
Hur bestämdes pyramidernas lutning?
•
Lutningen skall(?) passa in i ett heltal “fingrar”.
Pyramidernas mystik
•
Hur bestämdes pyramidernas lutning?
•
Lutningen skall(?) passa in i ett heltal “fingrar”.
Lutningen bör vara ca 5–7.5 palmer.
2 × 5.5 11
=
≈ 3.1428/2.
7
7
3 pyramider har lutningen ≈ 5.5.
•
Pyramidernas mystik
•
Hur bestämdes pyramidernas lutning?
•
Lutningen skall(?) passa in i ett heltal “fingrar”.
Lutningen bör vara ca 5–7.5 palmer.
2 × 5.5 11
=
≈ 3.1428/2.
7
7
3 pyramider har lutningen ≈ 5.5.
•
•
Stämmer inte med π i Rhind Papyrus
Pyramidernas mystik
•
Hur bestämdes pyramidernas lutning?
•
Lutningen skall(?) passa in i ett heltal “fingrar”.
Lutningen bör vara ca 5–7.5 palmer.
2 × 5.5 11
=
≈ 3.1428/2.
7
7
3 pyramider har lutningen ≈ 5.5.
•
•
Stämmer inte med π i Rhind Papyrus
•
Vissa pyramider är inte fyrkantiga , andra inte raka .
Pyramidernas mystik
•
Hur bestämdes pyramidernas lutning?
•
Lutningen skall(?) passa in i ett heltal “fingrar”.
Lutningen bör vara ca 5–7.5 palmer.
2 × 5.5 11
=
≈ 3.1428/2.
7
7
3 pyramider har lutningen ≈ 5.5.
•
•
Stämmer inte med π i Rhind Papyrus
•
Vissa pyramider är inte fyrkantiga , andra inte raka .
Tillbaka till vinklar
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.9/15
Pyramidernas mystik II
Vilken lutar 5.5?
Sidor av olika längd.
Ej rak.
Tillbaka till Mystik
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.10/15
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
•
Flera handelsländer instiftade priser.
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
•
Flera handelsländer instiftade priser.
•
Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard:
Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser
(solen, månen, Jupiters månar).
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
•
Flera handelsländer instiftade priser.
•
Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard:
Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser
(solen, månen, Jupiters månar).
•
Bra avståndbestämning krävs (görs på land).
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
•
Flera handelsländer instiftade priser.
•
Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard:
Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser
(solen, månen, Jupiters månar).
•
Bra avståndbestämning krävs (görs på land).
•
Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750.
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
•
Flera handelsländer instiftade priser.
•
Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard:
Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser
(solen, månen, Jupiters månar).
•
Bra avståndbestämning krävs (görs på land).
•
Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750.
•
Latitud: Polstjärnans inklination (sextant).
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
•
Flera handelsländer instiftade priser.
•
Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard:
Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser
(solen, månen, Jupiters månar).
•
Bra avståndbestämning krävs (görs på land).
•
Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750.
•
Latitud: Polstjärnans inklination (sextant).
•
En clocka och ett A4-papper kan räcka långt.
Att bestämma läget utan GPS
•
Latitud och longitud avgörande för havshandel.
•
Flera handelsländer instiftade priser.
•
Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard:
Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser
(solen, månen, Jupiters månar).
•
Bra avståndbestämning krävs (görs på land).
•
Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750.
•
Latitud: Polstjärnans inklination (sextant).
•
En clocka och ett A4-papper kan räcka långt.
Tillbaka till Innehåll
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.11/15
π och sannolikhetsläran
2
•
Gausskurvan: y = e
− x2
.
π och sannolikhetsläran
2
− x2
•
Gausskurvan: y = e
•
Arean under kurvan: Integral!
Newton,
Z ∞ Barrow,
2
− x2
Leibnitz, 1660-1700. A =
e dx.
.
−∞
π och sannolikhetsläran
2
− x2
•
Gausskurvan: y = e
•
Arean under kurvan: Integral!
Newton,
Z ∞ Barrow,
2
− x2
Leibnitz, 1660-1700. A =
e dx.
.
−∞
•
Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis!
π och sannolikhetsläran
2
− x2
•
Gausskurvan: y = e
•
Arean under kurvan: Integral!
Newton,
Z ∞ Barrow,
2
− x2
Leibnitz, 1660-1700. A =
e dx.
.
−∞
•
•
Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis!
Tunna cylindriska skal.
Z ∞
2
− r2
V = 2π
re dr = 2π = A2 .
0
π och sannolikhetsläran
2
− x2
•
Gausskurvan: y = e
•
Arean under kurvan: Integral!
Newton,
Z ∞ Barrow,
2
− x2
Leibnitz, 1660-1700. A =
e dx.
.
−∞
•
•
•
Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis!
Tunna cylindriska skal.
Z ∞
2
− r2
V = 2π
re dr = 2π = A2 .
0
Gausskurvan är vanligt förekommande i
sannolikhetslära och statistik.
π och sannolikhetsläran
2
− x2
•
Gausskurvan: y = e
•
Arean under kurvan: Integral!
Newton,
Z ∞ Barrow,
2
− x2
Leibnitz, 1660-1700. A =
e dx.
.
−∞
•
Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis!
Tunna cylindriska skal.
Z ∞
2
− r2
V = 2π
re dr = 2π = A2 .
0
•
•
Gausskurvan är vanligt förekommande i
sannolikhetslära och statistik.
Tillbaka till Innehåll
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.12/15
Bestäm π med synålar
•
Streckor och nålar av längd L.
Bestäm π med synålar
•
Streckor och nålar av längd L.
•
Hur ofta träffar nålen sträckan?
Bestäm π med synålar
•
Streckor och nålar av längd L.
•
Hur ofta träffar nålen sträckan?
x
•
φ
L
sin φ > x.
2
n
2
= .
N
π
Bestäm π med synålar
•
Streckor och nålar av längd L.
•
Hur ofta träffar nålen sträckan?
x
•
L
sin φ > x.
2
n
2
= .
N
π
φ
•
Simulering från www.metablake.com/pi.swf
Bestäm π med synålar
•
Streckor och nålar av längd L.
•
Hur ofta träffar nålen sträckan?
L
sin φ > x.
2
n
2
= .
N
π
x
•
φ
•
Simulering från www.metablake.com/pi.swf
Tillbaka till Innehåll
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.13/15
Matematikens förbluffande förträfflighet
•
Varför fungerar matte så bra?
Matematikens förbluffande förträfflighet
•
Varför fungerar matte så bra?
•
Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp, ... you
name it.
Matematikens förbluffande förträfflighet
•
Varför fungerar matte så bra?
•
Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp, ... you
name it.
•
Samspelet beskrivning ↔ förutsägning.
Matematikens förbluffande förträfflighet
•
Varför fungerar matte så bra?
•
Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp, ... you
name it.
•
Samspelet beskrivning ↔ förutsägning.
•
Är talen människans påhitt eller fanns de redan där
när vi kom?
Matematikens förbluffande förträfflighet
•
Varför fungerar matte så bra?
•
Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp, ... you
name it.
•
Samspelet beskrivning ↔ förutsägning.
•
Är talen människans påhitt eller fanns de redan där
när vi kom?
Tillbaka till Innehåll
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.14/15
TACK !
Matematikcentrum
Lunds Universitet
Källor: Wikipedia,
http://www.kch42.dial.pipex.com/sekes0.htm
Talet π och Matematikens Förbluffande Förträfflighet – p.15/15