Transcript Area

1.4 Formler och geometri
Kvadratrötter, area och omkrets
Grekland – Geometrins högsäte under antiken
Pythagoras 569-475 f.kr
har fått ge namn åt matematikens mest
berömda sats.
Pythagoras sats
I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan
Lika med summan av kvadraterna på kateterna
Grekland – Geometrins högsäte under antiken
Platons akademi
• Startades 387 f.kr. och stängdes 529 e.kr.
• Öppen över 900 år.
• Världens längst existerande universitet.
• Icke-geometriker äga ej tillträde.
Platon är inte känd som någon stor
matematiker, men många historiska
greker studerade vid Platons akademi.
Eratosthenes 276-194 f.kr.
Den första person som vi vet som har mätt
jordens omkrets är Erathostenes. Genom att
studera vinklarna på skuggorna lämnade på två
skilda platser vid samma tid kunde han
bestämma jordens omkrets.
Grekland – Geometrins högsäte under antiken
Euklides 325-265 f.kr.
Euklides sammanfattade dåtidens
matematik i sin Elementa.
Den skrevs på 300 talet f.kr. och
nyupplagor användes så länge som till
1950 talet. En livslängd på över 2000 år
och med vem vet hur många läsare gör
det den till en av världens mest lästa
böcker förutom möjligtvis bibeln
Den geometri vi använder oss av på
gymnasiet kallas för Euklidisk geometri,
en geometri där till exempel trianglar
alltid har vinkelsumman 180.
Exempel på icke Euklidisk geometri.
3.
141592653 589793238 462643383 279502884 197169399 375105820 974944592
307816406 286208998 628034825 342117067 982148086 513282306 647093844
609550582 231725359 408128481 117450284 102701938 521105559 644622948
954930381 964428810 975665933 446128475 648233786 783165271 201909145
648566923 460348610 454326648 213393607 260249141 273724587 006606315
588174881 520920962 829254091 715364367 892590360 011330530 548820466
521384146 951941511 609433057 270365759 591953092 186117381 932611793
105118548 074462379 962749567 351885752 724891227 938183011 949129833
673362440 656643086 021394946 395224737 190702179 860943702 770539217
176293176 752384674 818467669 405132000 568127145 263560827 785771342
757789609 173637178 721468440 901224953 430146549 585371050 792279689
258923542 019956112 129021960 864034418 159813629 774771309 960518707
211349999 99...
= 3,1415926536…
1
En cirkel med diametern 1 l.e. har en omkrets
som är 𝜋 l.e.
𝜋 är alltså ett förhållande mellan cirklars omkrets
och diametern.
𝜋 återkommer även i formeln för cirkelns area.
A = 𝜋r2
O = 𝜋d
Rekord
Flest antal decimaler uträknade av en dator
2 576 980 377 524st (gammalt)
Flest antal decimaler uppräknade av en människa
67 890 st decimaler (verifierat) (87sidor)
= 3,1415926536…
Genom att skriva in en cirkel mellan två regelbundna månghörningar så
får man en övre och en undre gräns för cirkelns area och omkrets.
Genom att använda sig av månghörningar med fler kanter kan man få en
mer noggrann uppskattning av π.
Arkimedes (287 - 212 f.kr)
Använde sig av denna metod och visade att pi ligger
någonstans mellan 223/71 och 22/7. Han skrev då in en
cirkel mellan två regelbundna 96hörningar. Approximationen
22/7 användes länge av matematiker.
Med sin oändliga decimalutveckling är
π ett irrationellt tal, vilket betyder att
det inte går att uttrycka exakt som en
kvot av två tal.
Räkna med 𝜋
Genom att använda oss av 𝜋 istället för
approximationen 3,14 så får vi ett
exaktare svar, samtidigt som vi inte
behöver skriva lika mycket.
Vid beräkningar såväl på räknaren som
i uträkningar på papper så använder vi
oss av 𝜋 (inte 3,14).
1401
𝑎) Beräkna omkretsen av en kvadrat med arean 23 𝑐𝑚2 .
𝑥
Arean får vi genom att multiplicera basen med höjden.
𝑥 × 𝑥 = 23 ↔ 𝑥 2 = 23 ↔ 𝑥 = ± 23
Negativa längder blir underligt så vi sätter − 23 åt sidan
Omkretsen är fyra gånger sidans längd i en kvadrat
4𝑥 = 4 × 23 = 19,18
Svar: Kvadratens omkrets är 19 cm
𝑥
1401
𝑏) Beräkna arean av en kub med volymen 17 𝑐𝑚3 .
𝑦
Volymen får vi genom att multiplicera basen med
längden med höjden.
𝑦 × 𝑦 × 𝑦 = 17 ↔ 𝑦 3 = 17
↔𝑦=
3
𝑦
17
𝑦
På kuben finns det 6 stycken sidor, vi räknar ut arean för en av dessa sidor och
multiplicerar sedan dess area med 6 för att få hela kubens area.
6 × 𝑦 × 𝑦 = 6𝑦 2 = 6
3
17
2
= 39,6689 ≈ 40
Svar: Kubens area är ungefär 40 𝑐𝑚2
Cirkelsektorns areaformel
Exempel
Hur stor är omkretsen och arean på följande parallelltrapets?
10
5
(cm)
4,3
5
15
Omkretsen → 10 + 15 + 5 + 5 = 35 cm
Arean → 4,3(10+15)/2 = 4,3 × 25 / 2 = 53,75 cm2
Svar: Omkretsen är 35 cm och arean 53,75 cm2.
7216 - Origo
(cm)
b) Beräkna figurens omkrets och area.
Vi har två stycken cirkelsektorer, varderna
med radien 4 cm och vinkeln 90°.
Omkretsen består av 4 radier och två stycken
cirkelbågar.
Svar: Figurens area är ungefär 25,13 cm2
och dess omkrets är ungefär 28,57 cm
7233 - Origo
A
I figuren har cirkelringarna samma bredd som
innercirkelns radie. Beräkna andelen av det
färgade områdets area jämfört med hela cirkelns
area.
B
4r
r
2r
3r
Svar: De gula områdena i figuren upptar 5/8 av hela figurens area.
5141 – Matematik 3000 A
Uttryck med en formel arean A av den skuggade delen av figuren.
Den vita cirkelns radie är r
Den skuggade cirkelns radie är 2r
r
Arean för den vita cirkeln kan uttryckas
Avit = πr2
Arean för den stora cirkeln kan uttryckas
Astora = π(2r)2 = 4πr2
Arean för den skuggade cirkeln kan uttryckas
Askuggade = Astora – Avit = 4πr2 – πr2 = 3πr2
Svar: Arean kan uttryckas som A = 3πr2
5119 – Matematik 3000 A
Uttryck med en formel arean A av det skuggade området.
Figuren kan ses som två stycken
parallelltrapetser
b
b
Arean på en parallelltrapets kan skrivas som
2a
2a
b(2a+3,5a)/2 = b(5,5a)/2 = 5,5ab/2
Så arean A för de båda figurerna blir det dubbla
A = 2 × 5,5ab/2 ↔ A = 5,5ab
Svar: Arean kan uttryckas med formeln A = 5,5ab
Parallelltrapets
Area = h(a+b) / 2
3,5a