Transcript Polynomfunktioner

3.2 Derivator och tillämpningar
Polynomfunktioner
3204
Ett straffkast i basket följer ekvationen
𝑦 = 2,15 + 2,1𝑥 − 0,41𝑥 2
där 𝑦 m är bollens höjd över golvet och 𝑥 är
avståndet från utkastet räknat längs golvet. Hur
högt når bollen?
𝑦′ = 0
Bollen kommer att följa en bana likt denna. Vi
vill alltså veta höjden på bollen när den når sin
vändpunkt. I denna punkt är derivatan noll.
𝑦′ = 2,1 − 0,82𝑥
↔ 0 = 2,1 − 0,82𝑥 ↔
2,1
↔ 0,82𝑥 = 2,1 ↔ 𝑥 =
↔ 𝑥 = 2,56
0,82
→ 𝑦 = 2,15 + 2,1 × 2,56 − 0,41 × 2,562 = 4,839 ≈ 4,8
Svar: Bollens högsta höjd blir 4,8 meter över marken.
3208
I ett hörn där två murar möts avgränsas ett
rektangulärt trädgårdsland med hjälp av ett nät
som är 28 m långt.
𝑎) Arean är 𝑦 m2 . Bestäm 𝑦 som en funktion av 𝑥.
𝑦 = 𝑥 28 − 𝑥 = 28𝑥 − 𝑥 2
28 − 𝑥
𝑦 m2
𝑥
𝑏) Ange funktionens definitionsmängd
0 < 𝑥 < 28
Det blir ganska underligt om en sidlängd skulle vara säg 0, negativ eller längre än 28 m.
𝑐) Vilken är den största area trädgårdslandet kan få?
nollställen 𝑥 = 0 och 𝑥 = 28 → 𝑦 = 0
𝑦′ = 0
𝑦 ′ = 28 − 2𝑥
𝑦′ = 0
↔ 28 − 2𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 14 → 𝑦 = 28 × 14 − 142 = 196
Svar: Är sidlängderna 14 m långa får vi den maximala arean av 196 m2.
𝑦
3219
I ett samhälle finns en tomt i form av en rätvinklig
triangel. Den får bebyggas med ett hus av
rektangulär bottenyta som figuren visar.
(𝑚)
58
𝑃
40
Bestäm största möjliga area för husets bottenyta.
𝐴 m2
Det blir intressant att ta fram punkten 𝑃:s koordinater.
Får vi fram dessa så vet vi höjden och basen på den
rektangulära ytan.
𝑙
𝑏
Tänker vi oss dessa koordinataxlar så kan vi se hypotenusan i den rätvinkliga
triangeln som en rät linje. Tar vi fram ekvationen för denna räta linje så får vi ett
uttryck som vi kan använda oss av för att beräkna punkten 𝑃:s 𝑦 värde.
Vi beräknar sidan 𝑏 för att kunna bestämma linjen 𝑙:s ekvation.
Pythagoras sats ger oss
402 + 𝑏2 = 582 ↔ 𝑏 = ± 582 − 402
𝑏1 = 42 och (𝑏2 = −42)
𝑥
𝑦
3219
(𝑚)
Linjen 𝑙 har 𝑚 = 40 och
58
Δ𝑦
−40
20
𝑘=
=
=−
Δ𝑥
42
21
𝑃
40
𝐴 m2
20
𝑙
𝑙:s ekvation blir således 𝑦 = − 21 𝑥 + 40
Punkten 𝑃 får då koordinaterna
20
𝑥; − 21𝑥
+ 40 ,
42
detta blir också rektangelns sidlängder.
Rektangelns area 𝐴 blir således
20
20
𝐴 = 𝑥 − 𝑥 + 40 = − 𝑥 2 + 40𝑥
21
21
Vi söker det 𝑥 som ger 𝐴′ = 0
40
40 × 21
40
40
′
𝐴 = − 𝑥 + 40 ↔ 0 = − 𝑥 + 40 ↔
↔ 𝑥 = 21
𝑥 = 40 ↔ 𝑥 =
21
40
21
21
𝑥
𝑦
3219
(𝑚)
Vi gör en teckentabell för att studera funktionen
𝑚𝑎𝑥
𝑃
40
𝐴
↗
419
↘
𝐴′
+
0
−
𝑥
58
𝐴 m2
21
42
Den maximala arean blir således
𝐴 21 = −
20
× 202 + 40 × 20 ≈ 419
21
𝐴=−
𝐴′
Svar: Den största area vi kan få på denna bottenyta är 419 m2.
𝑙
20 2
𝑥 + 40𝑥
21
40
= − 𝑥 + 40
21
𝑥
𝑦′
3223
Figuren visar grafen till förstaderivatan
𝑓′ av en funktion 𝑓.
+
Hur beter sig funktionen 𝑓 i punkterna
𝑎, 𝑏 och 𝑐?
+
𝑎
𝑦
↗
𝑦′
+
𝑥
↘
0
𝑎
−
↗
0
𝑏
+
0
𝑏
↗
0
+
−
𝑐
Svar: Punkten 𝑎 är ett lokalt maximum, 𝑏 är ett lokalt minimum
och 𝑐 är en terasspunkt.
0
+
𝑐
0
𝑥
3235
Inuti en kon är en cylinder placerad som figuren visar. Vilken är den största volym
som denna cylinder kan ha?
Vi kallar cylinderns radie för 𝑥 och dess höjd för ℎ.
(𝑐𝑚)
Vi kan göra ett snitt genom konen för att få
en mer överskådlig bild.
24
(𝑐𝑚)
ℎ
𝑥
24
12 − 𝑥
12
ℎ
𝑥
12
Vi kan nu utnyttja likformighet mellan den mindre blå
triangeln och den större magentafärgade triangeln.
(𝑐𝑚)
3235
Likformighet ger
12 − 𝑥
12 − 𝑥
ℎ
↔ 24 ×
= ℎ ↔ ℎ = 24 − 2𝑥
=
12
12
24
𝑟=𝑥
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
24
12 − 𝑥
ℎ
𝑥
Vi kan nu uttrycka cylinders volym i med
endast en variabel.
12
𝑉 = 𝜋𝑥 2 (24 − 2𝑥) = 24𝜋𝑥 2 − 2𝜋𝑥 3
Funktionens definitionsmängd är 0 < 𝑥 < 12
Vi deriverar funktionen för cylinderns volym för att finna det 𝑥 värde som ger den
största volymen, vi söker 𝑉 ′ = 0
𝑉 ′ = 48𝜋𝑥 − 6𝜋𝑥 2 ↔ 0 = 48𝜋𝑥 − 6𝜋𝑥 2 ↔ 0 = 6𝜋𝑥(8 − 𝑥)
(𝑥1 = 0)
𝑥2 = 8
(𝑐𝑚)
3235
Inuti en kon är en cylinder placerad som
figuren visar. Vilken är den största volym
som denna cylinder kan ha?
𝑚𝑎𝑥
𝑉
↗
1609
↘
𝑉′
+
0
−
𝑥
8
𝑉 8 = 24𝜋 × 82 − 2𝜋 × 83 = 1609 cm3
24
ℎ
𝑥
12
𝑉 = 24𝜋𝑥 2 − 2𝜋𝑥 3
𝑉′ = 6𝜋𝑥(8 − 𝑥)
Svar: Om cylindern har en radie på 8 cm får den en maximal volym på 1609 cm3