Transcript Övningspapper - Iceclimbers.net

Linjära funktioner, ekvationssystem och linjära olikheter
Grundläggande
1.
Bestäm k och m för linjerna
a) y  3x  7
b) y  5  2 x
2.
Bestäm k och m för linjerna
a) y 
3.
Bestäm k och m för linjen nedan.
4.
Bestäm k och m för linjen nedan.
5.
En rät linje går genom 2; 3 och har k  4 . I vilken punkt skär linjen y-axeln?
5  2x
7
b) y  15
6.
Rita linjerna y  2 x  1 och y  5x  7 i samma koordinatsystem utan att göra
värdetabeller. Avläs skärningspunkten mellan linjerna.
7.
Lös olikheten 11  2x  5x  24
8.
Lös olikheten 1  2 x  5x  24
9.
Lös olikheten 1  3x  x  3
10.
Att hyra en motorcykel hos en viss uthyrningsfirma kostar y  350  2,5x kronor, där
x är antalet körda kilometer.
a)
Bestäm grundavgiften.
b)
Bestäm milkostnaden.
11.
a) Bestäm ekvationen för linjen som är
inritad i koordinatsystemet.
Endast svar fordras
b) Avgör om punkten (4, 11) ligger
på linjen.
c) Rita ett koordinatsystem och rita in
en linje som har
3
riktningskoefficienten k 
4
Endast svar fordras.
12.
Nedan finns grafen till f (x) . Lös följande problem grafiskt.
a) Bestäm f (0)
b) Lös ekvationen f ( x)  4
13.
Skriv linje-ekvationen 3x  y  2  0 i k-form.
14.
3x  y  6  0
Lös ekvationssystemet grafiskt: 
 x  y  2  0
15.
 x  y  23
Lös ekvationssystemet 
3x  6 y  96
16.
2 x  y  5
Lös ekvationssystemet 
med valfri algebraisk metod.
 y  0,25 x  4,75
17.
x  2 y  1  0
Lös ekvationssystemet 
med valfri algebraisk metod.
 y  4  x
18.
Lars och Peter köpte kläder på en klädrealisation. Lars fick betala 213,50 kronor för två
T-shirts och sju par strumpor. Peter köpte fem T-shirts och fem par strumpor för
295,00 kronor. Vad kostade en T-shirt och ett par strumpor?
19.
Ofelia, Cordelia och Julia stod i kö på ett konditori. Först köpte Ofelia tre biskvier och
fem wienerbröd för 131 kronor. Därefter köpte Cordelia fyra biskvier och tre
wienerbröd för 105 kronor. När det slutligen blev Julias tur beställde hon nio
wienerbröd och sju biskvier. Hur mycket fick hon betala?
Medel
1.
Två räta linjer är givna: y  5x  4 och y  kx  3 . Bestäm k då linjerna är vinkelräta
mot varandra.
2.
Två räta linjer är givna: 2 x  7 y  14  0 och 4 x  ay  1  0 .
Bestäm a då dessa linjer är vinkelräta mot varandra.
3.
Familjen Svensson planerar att ha en bassäng på sin tomt. Familjefadern, en
matematiker, ritar in ett koordinatsystem på tomtritningen (ett steg = en meter). Han
tänker sig att bassängen ska begränsas av linjerna x  2 , y  1 , y  4 och en rät
linje mellan punkterna (3;4) och (7; 1) .
Hur många liter vatten kommer bassängen att rymma om den är två meter djup?
4.
I ett koordinatsystem finns de tre punkter som markerats i figuren. Wilma anser, att
dessa tre punkter ligger på en rät linje. Madeleine menar, att punkterna inte alls ligger
på en rät linje utan att det bara ser ut så. Undersök vem som har rätt.
5.
Ett passagerarflygplan som är på väg över Atlanten drabbas av ett plötsligt
bränsleläckage. Det finns 4.500 liter bränsle kvar när läckaget upptäcks och tankens
innehåll minskar med ca 28 liter per minut om man räknar samman läckaget och
motorns förbrukning.
a)
Konstruera en formel som visar hur tankens innehåll y liter, beror av tiden,
t minuter efter läckagets upptäckt.
b)
Hur lång tid har planet på sig för att hinna landa?
Svara i timmar och minuter.
6.
7.
8.
En rät linje går genom punkterna (
En rät linje går genom punkterna (
En rät linje går genom punkterna (
9.
x
 2 
Lös ekvationssystemet 
x 
 3
) och (
) och (
) och (
), bestäm linjens ekvation.
), bestäm linjens ekvation.
), bestäm linjens ekvation.
y
 10  0
3
med valfri algebraisk metod
y
 11  0
2
10.
Åsa och Torbjörn arbetar på en sommarkoloni. Barnen på kolonin serveras mellanmjölk
(fetthalt 1,5 %) till måltiderna. En dag får de en felaktig leverans som bara innehåller
lättmjölk (fetthalt 0,5 %) och standardmjölk (fetthalt 3 %). De beslutar sig därför att
blanda dessa båda sorter. Åsa skriver följande på en lapp:
a liter lättmjölk och b liter standardmjölk
a + b = 10
0,005a + 0,03b = 0,015 10
(1)
(2)
a)
Förklara vad ekvation (1) beskriver.
b)
Förklara vad ekvation (2) beskriver.
Hur mycket mjölk av varje sort ska de blanda?
11.
Jonatan ska blanda två sorters rengöringssprit för att få rätt alkoholhalt. Han använder
nedanstående två ekvationer för att veta hur han ska genomföra blandningen.
 x  y  2 liter

0,40 x  0,75 y  0,54  2
12.
a)
Vilken alkoholhalt har de två spritsorterna?
b)
Vilken alkoholhalt har den färdiga blandningen?
c)
Hur mycket sprit använder Jonathan av varje sort?
Din klasskompis har löst olikheten 3x  2  6 x  4 (se nedan).
Han har fått veta att han inte har gjort rätt, men kan inte hitta felet i sin lösning.
Hjälp honom genom att ange var han har gjort fel och beskriv hur han kan rätta till
felet.
3x  2  6 x  4
3 x  6 x  2  4
 3 x  6
3x  6
13.
x2
Figuren nedan kan användas för att grafiskt lösa ett linjärt ekvationssystem.
a)
Ange lösningen till ekvationssystemet.
b)
Vilket är ekvationssystemet?
Mer omfattande
1.
För vilka värden på a är linjen 2 x  (a  4) y  3  0 stigande?
2.
Bestäm algebraiskt talet b ( b  0 ) så att linjerna 3bx  7 y  2  0 och
11x  9by  13b  0 blir parallella. Svara både exakt och som ett närmevärde med två
decimalers noggrannhet.
3.
Bestäm den linjära funktionen f (x) om f (5)  f (2)  18 och f (3)  f (6)  38 .
4.
På linjen y  x  1 , finns en punkt P vars avstånd till origo är 16 längdenheter.
Bestäm punkten P:s y-koordinat då x > 0.
Svara med en decimals noggrannhet.
5.
Den här uppgiften handlar om att bilda figurer med tändstickor. Det gäller att koppla
ihop några enkla regelbundna månghörningar efter varandra till en rad. Exemplen
nedan visar hur det går till för regelbundna trehörningar och fyrhörningar.
Av 3 tändstickor kan
man bilda 1 triangel.
Av 5 tändstickor kan man
bilda 2 trianglar.
Av 7 tändstickor kan man bilda 3
trianglar lagda på rad.
Det går att hitta ett samband mellan antal tändstickor och antalet ihopkopplade
trianglar om dessa kopplas ihop till en rad på det sätt som visas i bilderna.
I tabellen nedan är x antalet tändstickor och y antalet ihopkopplade trianglar.
x
3
5
7
..
y
1
2
3
..
a)
Rita in punkterna i ett koordinatsystem. Punkterna ligger på en rät linje. Bestäm
linjens ekvation på formen y  kx  m .
b)
Hur många trianglar kan bildas av 20 tändstickor om du kopplar ihop trianglarna
som i bilderna ovan? Kommentera ditt svar och dra en slutsats om antalet
tändstickor som krävs för att bilda en rad av trianglar på detta sätt.
c)
Vad händer om du istället lägger en rad av fyrhörningar på samma sätt som i
bilderna nedan? Ange och beskriv ett samband mellan antalet tändstickor och
antalet ihopkopplade fyrhörningar.
En fyrhörning.
d)
Två fyrhörningar.
Tre fyrhörningar lagda på rad.
En månghörning kallas ibland för n-hörning, där n är ett positivt heltal som anger
antalet hörn. Tänk dig nu att du lägger en rad av en viss sorts n-hörningar som
kopplas ihop på samma sätt som tidigare.
Försök finna sambandet mellan antalet tändstickor och antalet ihopkopplade
n-hörningar. Beskriv detta samband med ord och en formel. Motivera att ditt
samband gäller för alla n-hörningar.
(Nationellt prov, kurs B, vt 2005)
6.
7.
3x  3 y  z  1

Lös ekvationssystemet 3x  y  2 z  2
 x  2 y  3z  3

Hur kan det komma sig att den högra figuren nedan har en ”lucka” trots att de båda
figurerna består av samma delfigurer?
Ledning: Använd ett koordinatsystem för att lösa problemet.
8.
Linjerna y  kx  13 och y  x  1 skär varandra i en punkt som ligger i 1:a kvadranten
om k väljs på lämpligt sätt. Då är skärningspunktens koordinater positiva.
a)
Låt k  0 och rita upp de båda linjerna.
Bestäm skärningspunkten mellan linjerna.
b)
Linjerna y  kx  13 , y  x  1 samt y-axeln bildar en triangel då k  0 . Linjerna
y  kx  13 , y  x  1 samt y-axeln bildar en annan triangel då k  1 .
Beräkna och jämför trianglarnas areor.
c)
Arean av den triangel som begränsas av linjerna y  kx  13 , y  x  1 samt yaxeln är beroende av värdet på k. Undersök och beskriv hur arean beror av k,
under förutsättningen att linjerna skär varandra i första kvadranten.
9.
En triangel begränsas av x-axeln, linjen 13x  7 y  39  0 och linjen L. Denna linje L går
genom punkten 9;0 . Triangeln har arean 108 areaenheter.
Bestäm exakt ekvationen för linjen L. Grafisk lösning godtas ej.
10.
Vilket är talet b om linjerna 32 x  by  11  0 och 2 y  (b  16) x  19 är parallella?
11.
Bestäm skärningspunkten för linjerna ax  by  c och dx  ey  f .
Punktens koordinater ska uttryckas i konstanterna a, b, c, d, e och f.
Ange även begränsningar ditt svar, dvs. när det inte kan beräknas.
12.
En triangel med arean 24 areaenheter begränsas av de positiva koordinataxlarna och
en linje som går genom punkten 3;3 . Bestäm linjens ekvation.