Transcript här - Chalmers tekniska högskola

Exempelsamling
Till¨ampad Kvantfysik TIF100
HT2014
Institutionerna f¨or teknisk fysik och fundamental fysik
Chalmers tekniska h¨ogskola
Senast redigerat av Adam Arvidsson, Teknisk fysik, 2014.
1
1.1
¨
VATEATOMEN
OCH LIKNANDE SYSTEM
V˚
agfunktionen f¨or v¨ateatomens grundtillst˚
and a¨r av formen
ψ (r) = A e−αr
Best¨am α och normeringskonstanten A.
1.2
Ber¨akna det mest sannolika samt v¨antev¨ardet f¨or avst˚
andet mellan elektronen
och k¨arnan f¨or en v¨ateatom i a) 1s-tillst˚
andet, b) 2s-tillst˚
andet, c) n˚
agot av 2ptillst˚
anden.
1.3
Ber¨akna sannolikheten f¨or att elektronen i v¨ateatomens grundtillst˚
and skall
befinna sig p˚
a ett avst˚
and fr˚
an k¨arnan som a¨r st¨orre ¨an bohrradien.
1.4
Ber¨akna sannolikheten f¨or att elektronen i en v¨ateatom skall befinna sig inom
avst˚
andet 2a0 fr˚
an k¨arnan, om atomen a¨r i a) 1s-tillst˚
andet, b) 2s-tillst˚
andet.
1.5
Ber¨akna v¨antev¨ardena av r2 och 1/r f¨or v¨ateatomens grundtillst˚
and.
1.6
Best¨am v¨antev¨ardena av den kinetiska och den potentiella energin f¨or en v¨ateatom
i grundtillst˚
andet.
1.7
Best¨am v¨antev¨ardena av den kinetiska och den potentiella energin f¨or ett 2stillst˚
and hos en v¨ateatom.
1.8
En positron a¨r en elementarpartikel, som har samma massa som en elektron men
motsatt tecken p˚
a laddningen. Om man byter ut protonen i en v¨ateatom mot
en positron f˚
ar man en s˚
a kallad positroniumatom, som kvantmekaniskt kan behandlas p˚
a likartat s¨att som v¨ateatomen. En v¨asentlig skillnad a¨r dock att elektronen och positronen kan f¨orinta varandra och omvandlas till elektromagnetisk
str˚
alning. Det a¨r rimligt att anta att detta intr¨affar om de b˚
ada partiklarna
−15
kommer inom ett avst˚
and av n˚
agra f˚
a fm (10
m) fr˚
an varandra. Ber¨akna sannolikheten f¨or att avst˚
andet mellan elektronen och positronen skall vara mindre
a¨n 2 fm f¨or en positroniumatom i grundtillst˚
andet.
1.9
En v¨ateatom befinner sig i ett 2p-tillst˚
and s˚
adant att det magnetiska kvanttalet
m har v¨ardet noll. Ber¨akna v¨antev¨ardena av beloppen av elektronens cartesiska
koordinater, dvs h|x|i, h|y|i och h|z|i.
1.10
p
hv 2 i.
Medelhastigheten v f¨or elektronen i v¨ateatomen definieras som v =
Ber¨akna v f¨or en elektron som befinner sig i grundtillst˚
andet hos en v¨ateatom.
1.11
Ber¨akna sannolikheten f¨or att elektronens hastighet i v¨ateatomens grundtillst˚
and
skall vara mindre a¨n h
¯ /ma0 .
1
2
APPROXIMATIONSMETODER
2.1
Uppskatta grundtillst˚
andets energi f¨or v¨ateatomen med hj¨alp av variationsmetoden. Anv¨and d¨arvid en v˚
agfunktion av formen
2
a) ψ = N e−α r ;
b) ψ = N e−β r .
2.2
En partikel med massan m r¨or sig i ett centralf¨alt med den potentiella energin
1 2
kr
2
V (r) =
Ber¨akna grundtillst˚
andets energi m.h.a. variationsmetoden och utg˚
a fr˚
an ansatsen
ψ(r) = A e− α r .
Med hur m˚
anga procent skiljer sig svaret fr˚
an det exakta v¨ardet?
2.3
En partikel med massan m r¨or sig i en potential
− r/a
V (r) = − V0 e
,
4h
¯2
V0 =
.
3 m a2
G¨or en uppskattning av grundtillst˚
andets energi m.h.a. variationsmetoden, och
anv¨and en v˚
agfunktion av formen
ψ(r) = N e− α r .
2.4
En partikel med massan m kan r¨ora sig l¨angs x-axeln under inverkan av potentialf¨altet
1
m ω 2 x2
om |x| ≤ a
2
V (x) =
∞
om |x| > a
d¨ar konstanterna ω och a a¨r s˚
adana att
h
¯ω h
¯2
m a2
Best¨am grundtillst˚
andets energi m.h.a. f¨orsta ordningens st¨orningsr¨akning.
2.5
En partikel med massan m a¨r r¨orlig l¨angs x-axeln. Den p˚
averkas av ett potentialf¨alt av formen

om 0 < x < a eller 3a < x < 4a
 0
V1
om a < x < 3a
V (x) =

∞
om x < 0 eller x > 4a
d¨ar V1 a¨r liten j¨amf¨ort med grundtillst˚
andets energi. Best¨am energierna f¨or
samtliga station¨ara tillst˚
and, m.h.a. f¨orsta ordningens st¨orningsr¨akning.
2
2.6
Hamiltonoperatorn f¨or en icke-relativistisk linj¨ar harmonisk oscillator kan skrivas
p˚
a formen
H0 =
1
p2x
+ m ω 2 x2 ,
2m
2
d¨ar m a¨r oscillatorns massa och ω a¨r dess vinkelfrekvens. L¨agsta ordningens
relativistiska korrektion har formen
H1 = −
p4x
,
8 m3 c2
d¨ar c a¨r ljushastigheten. Best¨am den h¨arav orsakade ¨andringen i grundtillst˚
andets energi. Hur stor blir a¨ndringen om m a¨r en elektronmassa och h
¯ ω har
v¨ardet 10 eV?
2.7
En partikel med massan m r¨or sig i det endimensionella potentialf¨altet
V (x) = V0 + V1 x + V2 x2 + V3 x3 + V4 x4 ,
d¨ar V1 , V3 och V4 a¨r sm˚
a j¨amf¨orda med V2 . Ber¨akna de tre l¨agsta energiniv˚
aerna
m.h.a. f¨orsta ordningens st¨orningsr¨akning.
2.8
F¨or att studera vibrationsr¨orelserna hos tv˚
a atomiga molekyler kan man anv¨anda
f¨oljande endimensionella modell. En partikel med massa µ r¨or sig l¨angs x-axeln
under inverkan av en kraft med potentialen
V (x) = V0 e−2 a (x−x0 ) − 2 e−a (x−x0 ) ,
d¨ar a, x0 och V0 a¨r konstanter. F¨or grundtillst˚
andet och det l¨agsta exciterade
tillst˚
anden g¨aller att partikeln befinner sig n¨ara j¨amviktsl¨aget x = x0 , och potentialen kan d¨arf¨or approximeras med hj¨alp av taylorutvecklingen
1
1
1
V (x) = V (x0 )+ V 00 (x0 ) (x − x0 )2 + V 000 (x0 ) (x − x0 )3 + V (4) (x0 ) (x − x0 )4 +. . .
2
6
24
d¨ar den linj¨ara termen saknas p˚
a grund av att V 0 (x0 ) = 0. Ber¨akna f¨orst
grundtillst˚
andets energi genom att f¨orsumma alla termer utom de tv˚
a f¨orsta,
och best¨am sedan med l¨agsta ordningens st¨orningsteori bidragen fr˚
an tredje och
fj¨arde termen. S¨att in sifferv¨arden som ¨ar relevanta f¨or H2 -molekylen, n¨amligen
a = 20 nm−1 , V0 = 4.37 eV, x0 = 0.074 nm och µ = 0.84 · 10−27 kg.
OBS! Trots att x st˚
ar f¨or avst˚
andet mellan atomerna i molekylen kan man i
denna endimensionella modell l˚
ata alla integraler ¨over x g˚
a fr˚
an −∞ till +∞.
3
2.9
F¨or att studera relativistiska effekter i v¨ateatomens grundtillst˚
and kan man
anv¨anda hamiltonoperatorn
2
¯2
e2
1
1
h
¯2 2
2 h
∇ −
+α
−
,
H=−
2 me
4 π ε0 r
2 me r 2 a0
d¨ar α a¨r finstrukturkonstanten och a0 a¨r bohrradien. Ber¨akna grundtillst˚
andets
energi med hj¨alp av f¨orsta ordningens st¨orningsr¨akning.
2.10
Om v¨ateatomens k¨arna antages vara en sf¨ar med radien R, vari laddningen ¨ar
j¨amt f¨ordelad, f˚
as omkring k¨arnan en elektrostatisk potential V (r), given av

e2
3
1 r2

om 0 ≤ r ≤ R
−
 4 π ε0 R 2 2 R2
V (r) =

 e2
om r ≥ R .
4 π ε0 r
Ber¨akna med f¨orsta ordningens st¨orningsr¨akning grundtillst˚
andets energi f¨or en
elektron som r¨or sig under inverkan av denna potential. Utg˚
a d¨arvid fr˚
an
grundtillst˚
andet f¨or en elektron i potentialen fr˚
an en punktladdning. Endast
den l¨agsta fr˚
an noll skilda termen i en utveckling i parametern R/a0 beh¨over
medtagas i svaret (a0 a¨r bohrradien).
2.11
Litiumatomen har som bekant tre elektroner, men den kan i m˚
anga sammanhang
behandlas som en enelektronatom, eftersom de tv˚
a innersta elektronerna huvudsakligen upptr¨ader som ett sk¨armande laddningsmoln kring k¨arnan. En enkel
modell baseras p˚
a antagandet att den yttre elektronen p˚
a grund av sk¨armningen
r¨or sig i ett effektivt potentialf¨alt av formen
Veff = −
e2 −3r
1 + 2 e a0 ,
4 π ε0 r
d¨ar a0 a¨r bohrradien. Ber¨akna valenselektronens energi i grundtillst˚
andet, om den
andra termen i parentesen kan behandlas som en liten st¨orning. Grundtillst˚
andet
a¨r ett 2s-tillst˚
and, och motsvarande v˚
agfunktion f¨or v¨ate har formen
1
r
− 2 ra
0 .
ψ2s (r, θ, ϕ) = p
e
1
−
2 a0
8 π a30
4
2.12
Vid en approximativ behandling av flerelektronatomer anv¨ander man ofta den
s˚
a kallade centralf¨altsmodellen. Den baseras p˚
a antagandet att varje elektron i
atomen r¨or sig i ett centralf¨alt, som tar h¨ansyn till att coulombf¨altet fr˚
an k¨arnan
sk¨armas av de ¨ovriga elektronerna. Ett enkelt p˚
a en s˚
adan sk¨armad potential a¨r
Zeff e2
,
V (r) = −
4 π ε0 (r − r0 )
d¨ar Zeff och r0 a¨r positiva konstanter. Best¨am med st¨orningsteori egenenergin f¨or
en 2s-elektron som r¨or sig i detta f¨alt under f¨oruts¨attning att r0 a0 /Zeff , d¨ar
a0 a¨r bohrradien.
2.13
En partikel r¨or sig under inverkan av en sk¨armad Coulomb potential av formen
V (r) = −
e2
e−µ r .
4 π ε0 r
Ber¨akna grundtillst˚
andets energi m.h.a. f¨orsta ordningens st¨orningsr¨akning.
L˚
at den ost¨orda hamiltonoperatorn vara densamma som f¨or v¨ateatomen med
tillh¨orande egenfunktion f¨or grundtillst˚
andet, a0 a¨r bohrradien,
H0 = −
2.14
h
¯2 2
e2
∇ −
, och
2m
4 π ε0 r
1
ψ0 = p 3 e−r/a0 .
π a0
Tv˚
a partiklar med samma massa m p˚
averkar varandra med en kraft svarande
mot potentialen
V (r) = −
a
+ br ,
r
d¨ar a och b a¨r positiva konstanter. Best¨am grundtillst˚
andets energi under antagandet att termen b r kan betraktas som en liten st¨orning.
Ledning: Grundtillst˚
andets v˚
agfunktion f¨or en v¨ateatom ¨ar av formen A e−α r d¨ar
A och α a¨r vissa konstanter. (Anm¨arkning: Denna och liknande potentialer har
f¨oreslagits f¨or att approximativt beskriva v¨axelverkan mellan ”kvarkar”, d.v.s. de
hypotetiska partiklar som antas vara byggstenar f¨or bl.a. nukleoner och mesoner.)
5
3
3.1
¨
VAXELVERKAN
MELLAN ATOMER
OCH STR˚
ALNING
En linj¨ar harmonisk oscillator med vinkelfrekvensen ω, massan m och laddningen
q p˚
averkas av ett homogent elektriskt f¨alt, vars f¨altstyrka varierar i tiden enligt
formeln
2
A
t
E (t) = exp − 2 ,
τ
τ
d¨ar A och τ a¨r konstanter. Antag att oscillatorn vid tiden t = −∞ befinner sig i
sitt grundtillst˚
and och ber¨akna sannolikheten f¨or att den vid tiden t = +∞ skall
befinna sig i det f¨orsta exciterade tillst˚
andet. Diskutera s¨arskilt gr¨ansfallet τ → 0
och τ → ∞. L¨agsta ordningens st¨orningsr¨akning f˚
ar anv¨andas.
3.2
En v¨ateatom i grundtillst˚
andet befinner sig mellan plattorna till en plankonden¨
sator. Over
plattorna l¨aggs en tidsberoende sp¨anning, s˚
a att mellan plattorna
alstras en potential av formen
0
f¨or
t<0
V =
− τt
f¨or
t≥0
eE0 z e
d¨ar z a¨r en rumskoordinat. Ber¨akna sannolikheten f¨or att man efter l˚
ang tid
skall finna v¨ateatomen i 2s-tillst˚
andet genom till¨ampning av f¨orsta ordningens
st¨orningsr¨akning. L¨agsta ordningens st¨orningsr¨akning f˚
ar anv¨andas.
3.3
En v¨ateatom befinner sig f¨or t ≤ 0 i sitt grundtillst˚
and. F¨or t > 0 p˚
al¨agges en
yttre st¨orning vilken ger upphov till en potentiell energi av formen
t
V (r, t) = V0 z e− τ sin ω t .
Vad ¨ar sannolikheten att atomen efter l˚
ang tid befinner sig i ett 2p-tillst˚
and?
L¨agsta ordningens st¨orningsteori kan anv¨andas.
3.4
Enligt gyllene regeln best¨ams sannolikheten f¨or dipol¨overg˚
angar i enelektronatomer av matriselementet hk| eˆ
p |si. Visa att detta kan skrivas p˚
a formen
hk| eˆ
p |si = i µ ωks hk| er |si ,
d¨ar hk| er |si a¨r matriselementet av atomens elektriska dipolmoment.
3.5
H¨arled urvalsreglerna f¨or dipol¨overg˚
angar i enelektronmodellen genom att utf¨ora
vinkelintegrationerna i dipolmatriselementet. Spinnbankopplingen antas f¨orsumbar, s˚
a att l, ml och ms a¨r goda kvanttal.
3.6
Ber¨akna f¨orh˚
allandet mellan totala ¨overg˚
angssannolikheterna f¨or o¨verg˚
angarna
ψ210 → ψ100 (π-¨overg˚
ang) och ψ211 → ψ100 (σ-¨overg˚
ang) i ett v¨ateliknande system.
6
3.7
En linj¨ar harmonisk oscillator med vinkelfrekvensen ω, massan m och laddningen
q p˚
averkas av en homogen elektrisk potential som oscillerar i tiden enligt formeln
E = eE0 z cos ν t
d¨ar z a¨r en rumskoordinat. Ber¨akna o¨verg˚
angssannolikheten per tidsenhet mellan a) grundtillst˚
andet och det f¨orsta exciterade tillst˚
andet, b) det f¨orsta och
det andra exciterade tillst˚
andet, c) grundtillst˚
andet och det andra exciterade
tillst˚
andet.
7
4
¨
FINSTRUKTUR OCH ATOMER I FALT
4.1
En str˚
ale av silveratomer med hastigheten 700 m/s passerar mellan tv˚
a magnetpoler, som utformats s˚
a att de ger upphov till ett inhomogent magnetf¨alt.
Varje silveratom p˚
averkas d¨arvid av kraften ∇ (m · B), d¨ar B a¨r den magnetiska
fl¨odest¨atheten och m a¨r silveratomens magnetiska moment, vilken kan anses vara
detsamma som f¨or en fri elektron. Fl¨odest¨atheten i det aktuella omr˚
adet anges
av det approximativa uttrycket B = (B0 + α z) zˆ, d¨ar z a¨r koordinaten vinkelr¨att
mot str˚
alens infallsriktning, α a¨r en konstant med v¨ardet 300 T/m och B0 a¨r en
konstant vars v¨arde ¨ar ov¨asentligt i detta sammanhang. Man finner att str˚
alen
uppsplittras i tv˚
a komponenter. Hur stor a¨r seperationen δ mellan de b˚
ada komponenterna p˚
a avst˚
andet 0,10 m fr˚
an den punkt d¨ar str˚
alen kommer in i f¨altet?
4.2
Hur stort ¨ar det magnetiska moment som alstras av elektronens banr¨orelse i
v¨ateatomens grundtillst˚
and enligt Bohrs modell och enligt den kvantmekaniska
modellen?
4.3
Vad ¨ar vinkeln mellan det totala r¨orelsem¨angdsmomentet och banr¨orelsem¨angdsmomentet f¨or tillst˚
andet 2 P3/2 ?
4.4
En atom¨ar 3d-niv˚
a uppspaltas p˚
a grund av spinnbankopplingen i tv˚
a finstrukturkomponenter. Ange de spektroskopiska beteckningarna f¨or dessa.
4.5
Atomer med en valenselektron i s-tillst˚
andet utanf¨or ett slutet elektronskal
befinner sig i ett homogent magnetf¨alt med fl¨odest¨atheten 0,4 T. Om atomerna uts¨atts f¨or elektromagnetisk str˚
alning av en viss energi intr¨affar resonansabsorption (elektronspinnresonans), d.v.s. spinnriktningen omorienteras i f¨altet.
Ber¨akna den fotonv˚
agl¨angd f¨or vilken detta sker.
4.6
Hamiltonoperatorn f¨or en elektron, som r¨or sig i ett centralf¨alt med den potentiella
energin V (r) inneh˚
aller p˚
a grund av spinnbankoppling en term av formen
ˆ SB =
H
1 1 dV (r) ˆ ˆ
L · S.
2 m2 c2 r dr
Best¨am h¨arur finstrukturuppsplittringen av v¨ateatomens 2p-niv˚
a.
8
4.7
Natriumatomen kan i m˚
anga sammanhang behandlas som en enelektronatom.
Dess hamiltonoperator skrivs d˚
a p˚
a formen
ˆ =H
ˆ 0 + ξ (r) L
ˆ·S
ˆ,
H
h
¯2
ˆ 0 a¨r hamiltonoperatorn f¨or en partikel i ett centralf¨alt. Den sista termen
d¨ar H
kommer av spinnbankopplingen, och den ger upphov till finstruktur i spektrat.
Bland annat uppspaltas den spektrallinje som svarar mot ¨overg˚
angen 3p → 3s i
tv˚
a komponenter. Detta a¨r den gula s˚
a kallade D-dubletten i natriums spektrum,
och enligt TEFYMA har dess komponenter v˚
agl¨angderna 5889,953 ˚
A respektive
˚
5895,923 A. Ber¨akna h¨arur v¨antev¨ardet av spinn-bankopplingsfunktionen ξ (r) i
3p-tillst˚
andet. Svaret skall anges i eV.
4.8
Den gula dubletten i natriums spektrum uppst˚
ar vid ¨overg˚
angarna p3/2 → s1/2 .
Skillnaden i v˚
agl¨angd mellan de b˚
ada linjerna i dubletten a¨r 0,597 nm. a) Ange
hur dessa linjer uppsplittras i n¨arvaro av ett yttre magnetf¨alt! b) Vid en viss
styrka hos magnetf¨altet kommer en av komponenterna i niv˚
an p3/2 att sammanfalla med en av komponenterna i niv˚
an p1/2 . Ber¨akna den magnetiska
fl¨odest¨atheten f¨or vilken detta intr¨affar.
4.9
Man observerar en spektrallinje i kaliums P-serie, 72 P3/2 - 42 S1/2 , med v˚
agl¨angden
3217 ˚
A. Land´es g-faktor ¨ar 4/3 f¨or P3/2 och 2 f¨or S1/2 . Ber¨akna uppspaltningen
i v˚
agl¨angd av linjen i ett yttre magnetf¨alt 2,14 T.
4.10
Positronium best˚
ar av en elektron och en positron som a¨r bundna till varandra.
Hamiltonoperatorn f¨or systemet kan approximativt skrivas som
H = H0 +
A
S1 · S2 ,
h
¯2
d¨ar H0 a¨r spinn-oberoende och d¨ar den andra termen representerar energibidraget
p˚
a grund av kopplingen mellan elektronens spinn S1 och positronens spinn S2 .
Denna koppling ger upphov till en uppsplittring av grundtillst˚
andet i tv˚
a termer
med de spektroskopiska beteckningarna 1 S och 3 S, svarande mot v¨ardena 0 re¨
spektive 1 p˚
a det totala spinnet. Overg˚
angsfrekvensen mellan dessa termer a¨r
5
2 · 10 MHz. Ber¨akna konstanten A uttryckt i eV.
9
4.11
Som bekant orsakas finstrukturen i atom¨ara spektra
av kopplingen mellan elektronernas spinn och deras
banr¨orelse. En likartad koppling finns mellan elektronh¨oljet och atomk¨arnan, och den ger upphov till ytterligare en uppsplittring av finstrukturniv˚
aerna (hyperfinstruktur). Om
p atomk¨arnan har ett r¨orelsem¨angdsmoment I (|I| = h
¯ I(I + 1)), s˚
a kopplas detta till
p det elektroniska r¨orelsem¨angdsmomentet J (|J| = h
¯ J(J + 1))
genom en term i hamiltonoperatorn,
2
4p
4s
P3/2
2
P1/2
2
S1/2
2π
AI · J,
h
¯
d¨ar A a¨r hyperfinstrukturkonstanten (i frekvensenheter) f¨or ifr˚
agavarande finstrukturniv˚
a. Figuren visar ett schematiskt energiniv˚
adiagram f¨or kalium med
h¨ansyn tagen till spinnbankopplingen .
a) Ange i hur m˚
anga hyperfinstrukturniv˚
aer var och en av de tre angivna finstrukturniv˚
aerna uppsplittras. K¨arnspinnet a¨r I = 3/2.
b) Ber¨akna storleken av uppsplittringen mellan de olika hyperfinstrukturniv˚
aerna
2
2
2
om A( S1/2 ) = 230,0 MHz, A( P1/2 ) = 29,0 MHz, A( P3/2 ) = 6,1 MHz.
Ledning: Inf¨or det totala banr¨orelsem¨angdsmomentet F = I + J, och anv¨and att
p
|F| = h
¯ F (F + 1) , d¨ar F kan anta v¨ardena |I − J|, |I − J| + 1, . . . , I + J.
Hhfs =
4.12
Hamiltonoperatorn f¨or en elektron i ett magnetf¨alt med fl¨odest¨atheten B l¨angs
z-axeln ¨ar
2
ˆ = pˆx + 2 µB B Sˆz ,
H
2m
h
¯
d¨ar Sˆz a¨r z-komponenten av spinnoperatorn. Vid tiden t = 0 g¨aller att
v¨antev¨ardet av spinnet a¨r hS (0)i = ¯h2 xˆ d¨ar xˆ a¨r en enhetsvektor l¨angs x-axeln.
Ber¨akna hS (t)i, d.v.s. v¨antev¨ardet av spinnet vid en godtycklig tid t.
10
5
5.1
SPEKTROSKOPI
Tabellen nedan ger v¨ardena f¨or spektraltermerna (i cm−1 ) f¨or litiumatomen.
n
2
3
4
5
s
43 486
16 280
8 475
-
p
28 582
12 560
7 018
-
d
12 203
6 864
4 390
f
6 856
4 382
a) Ber¨akna kvantdefekterna f¨or dessa termer, och visa att korrektionerna a¨r konstanta inom varje termserie.
b) Ange vilka termer som a¨r mest v¨atelika m.a.p. spektraltermernas v¨arde och ge
en f¨orklaring av detta.
5.2
Den fundamentala termen f¨or litiumatomen a¨r T2s = 43 486 cm−1 . Vilka
spektrallinjer uppkommer n¨ar en exciterad atom ˚
aterg˚
ar fr˚
an tillst˚
andet 3p till
tillst˚
andet 2s, om den direkta ¨overg˚
angen 3p → 2s svarar mot linjen 3233 ˚
A.
5.3
Ber¨akna och konstruera ett skalenligt termdiagram f¨or natriumatomen, vars
grundtillst˚
and a¨r 3s. V˚
agl¨angden f¨or resonanslinjen (589 nm), principallinjen i
den diffusa serien (819 nm), principallinjen i den fundamentala serien (1846 nm)
samt gr¨ansen av principalserien (241 nm) a¨r givna. Begr¨ansa diagrammet till
termer med huvudkvanttalen 3 och 4. (Resonanslinjen a¨r den linje som svarar
mot ¨overg˚
angen mellan grundtillst˚
andet och det l¨agsta exciterade tillst˚
andet.)
5.4
V˚
agl¨angden f¨or resonanslinjen fr˚
an kalium, vilken svarar mot ¨overg˚
angen 4p → 4s,
˚
˚
a¨r 7665 A, och v˚
agl¨angden f¨or principalseriegr¨ansen a¨r 2558 A. Ber¨akna d¨arur
Rydbergkorrektionerna f¨or s- och p-termerna i kaliumatomen.
5.5
Kvantdefekterna f¨or s-, p- och d-termerna i natriumatomen a¨r 1.37, 0.90, 0.01
respektive. L˚
at termerna representeras av uttrycket
Tnl =
R (Z − σ)2
,
n2
d¨ar Z a¨r k¨arnans atomnummer. Ber¨akna korrektionen σ f¨or termerna 3s, 3p och
3d. Vad a¨r den fysikaliska inneb¨orden av korrektionen σ?
11
5.6
Som framg˚
ar av nedanst˚
aende tabell s˚
a avtar jonisationspotentialen f¨or alkaliatomer och negativa alkalijoner, n¨ar man g˚
ar ner genom f¨orsta kolumnen i det
periodiska systemet.
a) Hur st¨ammer tabellens v¨arden f¨or alkaliatomer med vad en v¨ateliknande modell
f¨oruts¨ager utan kvantdefekter?
Configuration
Li
Li−
1s2 2s
1s2 2s2
Ionization potential
(in units of 13.6 eV)
0.40
0.0452
Dipole polarizability
(in units of a30 )
165
Na
Na−
1s2 2s2 2p6 3s
1s2 2s2 2p6 3s2
0.38
0.0396
166
K
K−
Rb
Rb−
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 5s
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 5s2
0.32
0.0344
0.31
281
Cs
Cs−
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 5s2 5p6 6s
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 5s2 5p6 6s2
0.29
0.0287
363
296
b) Vilka kvantdefekter kr¨
avs f¨
or att f˚
a tabellens resultat?
c) F¨
orklara kvalitativt varf¨
or jonisationspotentialen avtar s˚
a l˚
angsamt n¨ar man g˚
ar
ner˚
at i tabellen.
d) Varf¨
or skiljer sig v¨
ardena f¨
or en atom och motsvarande jon ˚
at?
5.7
Vidst˚
aende figur ger litiums atom¨ara
niv˚
aschema.
a) Kan en grov beskrivning av elektrostatiska potentialens variation inuti
atomen ge en f¨orklaring varf¨or 2s-niv˚
an
avviker mera fr˚
an motsvarande v¨ateliknande niv˚
a a¨n 2p-niv˚
an?
b) En spektrallinje uppst˚
ar vid
o¨verg˚
angen
2
P3/2 −→2 S1/2
I hur m˚
anga komponenter splittras linjen
upp i ett svagt magnetf¨alt?
5.8
V˚
agl¨angden f¨or Lα -linjen fr˚
an koppar ¨ar 1.332 nm. Vilken sk¨armningskonstant
m˚
aste man anv¨anda f¨or att erh˚
alla detta v¨arde, om man utg˚
ar fr˚
an en ansats
med v¨ateliknande orbitaler? (V¨ateatomens energiniv˚
aer hittar du i Physics Handbook.)
12
5.9
5.10
I r¨ontgenspektret f¨or ett mineralprov finner man bland annat tre linjer med
v˚
agl¨angderna 40.029 pm, 29.845 pm och 23.666 pm. Den f¨orstn¨amnda identifieras som Kα1 -linjen fr˚
an grund¨amnet 55 Cs och den sistn¨amnda identifieras som
Kα1 -linjen fr˚
an grund¨amnet 70 Yb. Fr˚
an vilket grund¨amne h¨arr¨or den mellanliggande linjen, om ocks˚
a den antas vara en Kα -linje?
Enligt l¨arob¨ockerna i fysik
a¨r uran med atomnummer
92 det tyngsta i naturen
f¨orekommande grund¨amnet.
Bland k¨arnfysiker har man
?
emellertid
sedan
l¨ange
spekulerat i att det kan
finnas
relativt
stabila
k¨arnor med betydligt h¨ogre
atomnummer. S˚
adana ”supertunga element” trodde
man sig ˚
ar 1976 ha uppt¨ackt
i vissa mineraler (glimmer)
fr˚
an Madagaskar.
Figuren visar experimentellt best¨amda r¨ontgenspektra f¨or tv˚
a prover av vilka det
som b¨ar beteckningen ”Giant Halo 19D” ans˚
ags inneh˚
alla supertunga element.
Speciellt har i figuren markerats ett maximum som identifierades med en Lα -linje
fr˚
an grund¨amne nr 126. Ett annat maximum, som markerats med ett fr˚
agetecken,
skulle kunna vara motsvarande Lα -linje fr˚
an ett annat supertungt element. Vilket
atomnummer har i s˚
a fall detta?
(Figuren ¨ar en l¨att modifierad version av figur fr˚
an Gentry et al., Phys. Rev. Lett.
37, 11 (1976); Copyright American Physical Society.)
13
5.11
En metod, som kallas ESCA (Electron Spectroscopy for Chemical Analysis), anv¨ands allt
mer till att best¨amma bindningsenergierna f¨or
elektroner i atomer, molekyler och fasta ¨amnen.
I metoden l˚
ater man r¨ontgenstr˚
alning sl˚
a ut en
elektron, varefter man m¨ater denna elektrons
kinetiska energi. Vidst˚
aende figur illustrerar hur
bindningsenergin f¨or en innerelektron i C beror
p˚
a omgivningen (huruvida en O- eller H-atom ¨ar
n¨armast).
Diskutera huruvida metoden g¨or sk¨al f¨or sitt
namn d.v.s. kan anv¨andas f¨or kemisk analys.
Motivera huruvida skift i bindningsenergierna av
den typ, som figuren illustrerar, kan h¨anga ihop
med valenselektronerna, d.v.s. vara ”kemiska
skift”.
Ledning: Motiveringarna kan f˚
a vara kvalitativa, d.v.s. beskrivande.
14
6
FLERELEKTRONSYSTEM
6.1
Skriv ner uttrycket f¨or hartreepotentialen f¨or en 1s- respektive 2s-elektron i
litiums grundtillst˚
andskonfiguration.
6.2
Ber¨akna hartreepotentialen fr˚
an ett fyllt p-skal, t.ex. 2p6 , f¨or att visa att potentialen i det fallet ¨ar central.
6.3
Vilka av nedanst˚
aende egenskaper a¨ndras periodiskt med atomnumret:
a) valens,
b) atomvolym,
c) sm¨altpunkt,
d) karakteristiskt r¨ontgenspektrum,
e) jonisationspotential,
f) elektronaffinitet.
Vad ¨ar orsaken till skillnaderna i beroendet av atomnumret hos dessa egenskaper?
6.4
Nedanst˚
aende figurer anger f¨orsta jonisationspotentialen och ˚
angbildningsv¨armet
f¨or en rad element som funktion av Z. Hur kan det komma sig att samma slags
av periodicitet kan f¨orekomma hos tv˚
a s˚
a olika fysikaliska egenskaper?
eV
25 Z=2
He
Z=10
Ne
20
Z=18
Ar
Z=36
Kr
15
Z=54
Xe
Z=30
Zn
10
Z=80 Z=86
Hg
Rn
Z=48
Cd
Heat of vaporization, kJ/mol
1000
jonisationsenergi
100
10
1
Rn
Xe
Kr
Ar
Ne
0.1
5
Ga
Li
Rb
K
Ti
In
Na
Fr
He
Cs
0
10
20
30
40
50
60
70
Z
80 Atomnummer
10
20
30
40
50
Z
60
70
80
90
6.5
Vilket ¨ar viktigast f¨or att best¨amma det kemiska uppf¨orandet hos en atom, antalet
neutroner eller antalet protoner? Varf¨or?
6.6
Varf¨or ¨ar f¨orsta jonisationsenergin st¨orre f¨or f¨orsta-skals-elementen H och He ¨an
f¨or andra-skals-elementen Li-Ne?
6.7
Varf¨or o¨kar f¨orsta jonisationspotentialen i allm¨anhet fr˚
an Li till Ne?
6.8
Varf¨or skulle du v¨anta dig en pl¨otslig och dramatisk o¨kning mellan 4:e och 5:e
jonisationsenergierna hos kol?
6.9
Skriv ner alla m¨ojliga LS-termer f¨or en konfiguration med en p-elektron och en
d-elektron utanf¨or slutna skal. Ange spektralbeteckningarna.
15
6.10
Mangan har i grundtillst˚
andet ett precis halvfyllt subskal inneh˚
allande 5 elektroner. Ange elektronkonfigurationen f¨or subskalet och grundtillst˚
andstermen f¨or
atomen.
6.11
Visa f¨or ett tv˚
aelektronsystem med l1 = 2 och l2 = 3 att b˚
ade LS-koppling och jjkoppling ger samma antal m¨ojliga tillst˚
and. Hur kan man experimentellt avg¨ora
vilken typ av koppling som b¨ast beskriver systemet?
6.12
En foton absorberas av en Ca-atom i grundtillst˚
andet, varvid en 3p-elektron exciteras till 3d (begynnelsekonfigurationen ¨ar allts˚
a ...3p6 4s2 och slutkonfigurationen
a¨r 3p5 3d4s2 ). Ange vilka av termerna (LS-koppling) i slutkonfigurationen som
kan exciteras av fotonen samt ange deras inb¨ordes ordning m.a.p. energin.
6.13
En exciterad elektronkonfiguration f¨or neon a¨r 1s2 2s2 2p5 3p. Ange vilka LS-termer
som erh˚
alls ur denna konfiguration och ordna dem efter o¨kande energi. Ange ocks˚
a
f¨or var och en av termerna huruvida atomen kan ˚
aterg˚
a till grundtillst˚
andet genom
att uts¨anda dipolstr˚
alning.
6.14
En boratom befinner sig i ett exciterat tillst˚
and med konfiguratio2
nen 1s 2s2p3p.
Genom att uts¨anda dipolstr˚
alning ˚
aterg˚
ar atomen till
2 2
grundtillst˚
andskonfigurationen 1s 2s 2p. a) Hur m˚
anga olika spektrallinjer kan
denna ¨overg˚
ang ge upphov till, om man bortser fr˚
an finstrukturen orsakad av
spinnbankoppling? b) Hur m˚
anga finstrukturkomponenter inneh˚
aller var och en
av dessa spektrallinjer?
6.15
Best¨am de m¨ojliga v¨ardena p˚
a kvanttalet J f¨or ett elektronsystem med L = 3,
om S antar v¨ardena 3/2, 2, 5/2 och 4.
6.16
Best¨am med hj¨alp av urvalsreglerna f¨or kvanttalen l och j antalet spektrallinjer
svarande mot ¨overg˚
angar mellan f¨oljande r¨ontgentermer:
K −→ L, K −→ M, L −→ M.
6.17
Nedanst˚
aende tabell anger finstruktursplittringen f¨or n˚
agra av termerna i kalciumatomens spektrum. Fyll i de v¨arden som fattas, utg˚
aende fr˚
an antagandet
att LS-koppling g¨aller.
Konfiguration
3d3d
3d3d
4s4p
4s4p
3d4s
3d4s
Termer
3 P ,3 P
1
0
3 P ,3 P
2
1
3 P ,3 P
0
1
3 P ,3 P
2
1
3 D ,3 D
2
1
3 D ,3 D
3
2
Energiskillnad (eV)
16.7 · 10−4
?
64.9 · 10−4
?
16.9 · 10−4
?
16
7
HELIUM
7.1
Ber¨akna grundtillst˚
andets energi f¨or heliumatomen med hj¨alp av f¨orsta ordningens st¨orningsteori. Utg˚
a d¨arvid fr˚
an v¨ateliknande v˚
agfunktioner och betrakta
hela elektron-elektronv¨axelverkan som en st¨orning.
7.2
Ber¨akna grundtillst˚
andets energi f¨or heliumatomen med hj¨alp av variationsmetoden. Utg˚
a d¨arvid fr˚
an v¨ateliknande v˚
agfunktioner men ers¨att k¨arnladdningen Z
med en sk¨armad laddning Z − σ, d¨ar σ behandlas som en variationsparameter.
7.3
Ber¨akna grundtillst˚
andets energi f¨or H− -jonen med samma metod som i uppgift
2. St¨ammer resultatet av ber¨akningen med det experimentellt funna faktum att
jonen i fr˚
aga a¨r stabil?
7.4
Visa att en foton i dipolapproximationen inte kan ˚
astakomma ¨overg˚
angar mellan
tillst˚
and med olika utbytessymmetri med avseende p˚
a rumskoordinater.
7.5
Ber¨akna den energi som ˚
atg˚
ar f¨or att helt jonisera en neutral heliumatom i
grundtillst˚
andet genom att plocka bort b˚
ada elektronerna. I den spektralserie
2 1
som svarar mot ¨overg˚
angarna 1s S→ 1s np 1 P g¨or v˚
agl¨angden mot 50.34 nm
om n (= 2, 3, . . .) blir mycket stort. Vidare vet man att jonisationsenergin f¨or
v¨ate a¨r 13.60 eV.
17
7.6
Figuren visar n˚
agra av energiniv˚
aerna f¨or helium, svarande mot konfigurationen
av formen 1s nl.
a) Varf¨or finns det ingen triplett med n = 1?
b) Varf¨or har tripletterna genomg˚
aende l¨agre energi ¨an motsvarande singletter?
Det ¨ar inte tillr¨ackligt att h¨anvisa till Hunds regler utan en fysikalisk f¨orklaring
kr¨avs.
c) Energierna f¨or finstrukturkomponenterna av tripletten 3 P med n = 3 ¨ar angivna i figuren. St¨ammer f¨orh˚
allandet mellan energiskillnaderna inom tripletten
med vad man v¨antar sig teoretiskt med utg˚
angspunkt fr˚
an LS-kopplingen?
18
8
MOLEKYLER
8.1
¨
Overg˚
angen mellan rotationstillst˚
anden svarande mot kvanttalen L = 2 och L = 3
svarar f¨or CO-molekylen mot v˚
agl¨angden 864 µm. Ber¨akna avst˚
andet mellan
atomerna i molekylen.
8.2
Tr¨oghetsmomentet f¨or NH-radikalen a¨r 1,68 ·10−47 kgm2 . Vid vilken frekvens sker
o¨verg˚
angen mellan rotationstillst˚
anden svarande mot L = 2 och L = 3?
8.3
Best¨am tr¨oghetsmomentet och avst˚
andet mellan k¨arnorna f¨or 1 H35 Cl-molekylen.
Frekvensskillnaden mellan tv˚
a n¨arliggande linjer inom det infrar¨oda rotationsbandet f¨or molekylen ¨ar ∆ν = 20,9 cm−1 . Ber¨akna ¨aven motsvarande frekvensskillnad
f¨or DCl-spektret.
8.4
Vid studium av radiok¨allan Orion A fann L. E. Snyder och D. Buhl ˚
ar 1974 en
signal med frekvensen 86243 MHz, som de associerade med o¨verg˚
angar mellan
28 16
tv˚
a rotationsniv˚
aer i molekylen Si O. Denna tolkning av signalen har senare
bekr¨aftats genom laboratorieexperiment. J¨amviktsavst˚
andet mellan k¨arnorna i
molekylen a¨r 0,15097 nm. Vilka ¨ar de tv˚
a aktuella rotationsniv˚
aerna (dvs vilka
J-kvanttal svarar de mot)?
8.5
Nedanst˚
aende figur visar rotations-vibrationsspektrum f¨or isotropiskt rent H35 Cl.
Enligt den enklaste teorin borde avst˚
andet mellan tv˚
a p˚
a varandra f¨oljande
spektrallinjer vara konstant (s˚
a n¨ar som p˚
a att en linje i mitten saknas), men av
figuren framg˚
ar att s˚
a inte a¨r fallet. Vad kan det bero p˚
a? Ber¨akna molekylens
vibrationsfrekvens samt avst˚
andet mellan k¨arnorna med hj¨alp av valda data ur
figuren.
19
Den enklaste av alla molekyler
L=2
a¨r v¨atemolekyljonen H+
2 , och
N=1
den har d¨arf¨or varit f¨orem˚
al
L=1
L=0
f¨or stort intresse fr˚
an teoretiska
fysikers sida. Tyv¨arr a¨r det
sv˚
art att g¨ora spektroskopiska
unders¨okningar,
d¨arf¨or att
molekylen av symmetriska sk¨al
v¨axelverkar mycket svagt med
ett yttre magnetf¨alt. Man har
L=3
funnit det l¨attare att best¨amma
spektra f¨or joner av typen HD+
N=0
L=2
eller HT+ , d¨ar ena v¨ateatomen
ersatts med en tyngre isotop
L=1
L=0
(deuterium eller tritium).
+
Figuren som visar de l¨agsta rotations- och vibrationsniv˚
aerna f¨or HD -jonen, a¨r
baserad p˚
a experiment av Wing m. fl. (Phys. Rev. Lett. 36, 1488 (1976)) och
teoretiska ber¨akningar av Bishop (Phys. Rev. Lett. 37, 484 (1976)). Vilka siffror
skulle st˚
att i figuren om det g¨allt H+
allet f¨or HD+ ?
2 ist¨
(teori)
1913 cm−1
(exp)
1824 cm−1
(exp)
{
1869 cm−1
8.6
{
8.7
Oktatetraen, C8 H10 , har formen av en sicksackkedja med kolatomerna i ett plan.
L¨angden hos kedjan ¨ar ungef¨ar 9,6 ˚
A. Uppskatta den l¨agsta excitationsenergin i
eV f¨or elektronerna under det enkla antagandet att π-elektronerna r¨or sig i en
linj¨ar endimensionell box med l¨angden 9,5 ˚
A.
8.8
Betrakta den hypotetiska cykliska molekylen C4 H4 : Ange π-elektronsystemets
energiniv˚
aer om H-matrisen antas vara

f¨or k = 1.
 E0
K
f¨or k och l n¨armaste grannar.
Hkl =

0
f¨or o¨vrigt,
och ¨overlappsintegralen Skl = δkl .
H
H
C
C
C
C
H
H
20
8.9
I butandienmolykylen C4 H6 finns molekylorbitaler som str¨acker sig l¨angs hela
molekylen. Dessa kan enligt LCAOmetoden skrivas som linj¨arkombinationer av atom¨ara orbitaler, i detta fall
kolatomernas p-orbitaler. Med hj¨alp av
symmetriargument sluter man sig till att
v˚
agfunktionen f¨or den av dessa molekylorbitaler som ger den starkaste bindningen b¨or kunna skrivas p˚
a formen
+
+
C +
Ψ = C1 (χ1 + χ4 ) + C2 (χ2 + χ3 )
+
C -
C -
C -
χ1
χ2
χ3
χ4
d¨ar χ1 , χ2 , χ3 och χ4 a¨r v˚
agfunktionerna
f¨or de atom¨ara p-orbitalerna (se figuren).
Konstanterna C1 och C2 kan ber¨aknas med hj¨alp av variationsmetoden under
bivillkoret C12 + C22 = 1/2. Best¨am energin f¨or denna molekylorbital uttryckt i
f¨oljande givna storheter:
hχi |χj i = δij .
D

E  α
ˆ
β
χ i H
χj =

0
om i = j
om |i − j| = 1
f¨or o¨vrigt
Det f˚
ar antas, att v˚
agfunktionernas faser ¨ar valda s˚
a att konstanten β a¨r reell
(α a¨r ju med n¨odv¨andighet reell). Dessutom g¨aller i detta fall att β a¨r negativ,
vilket i sin tur leder till att C2 m˚
aste ha samma tecken som C1 f¨or att orbitalen
skall vara bindande.
8.10
H+
andet en energi som ¨ar 2,65 eV l¨agre ¨an energin f¨or sys2 har i grundtillst˚
temet best˚
aende av en v¨ateatom i grundtillst˚
andet och en proton p˚
a o¨andligt
stort avst˚
and fr˚
an varandra. F¨or att ¨overf¨ora H2 i grundtillst˚
andet till tv˚
a
v¨ateatomer (p˚
a o¨andligt stort avst˚
and fr˚
an varandra) i grundtillst˚
andet m˚
aste
4,48 eV tillf¨oras. Ber¨akna:
a) energin f¨or H+
orh˚
allande till H+ + H+ + e− , d˚
a partiklarna ¨ar p˚
a o¨andligt
2 i f¨
avst˚
and fr˚
an varandra.
−
b) energin f¨or H+
andligt avst˚
and) i f¨orh˚
allande till energin f¨or tv˚
a o¨andligt
2 + e (o¨
separerade v¨ateatomer i grundtillst˚
andet.
c) jonisationsenergin f¨or H2 .
8.11
˚) ¨an i H+
˚
Varf¨or ¨ar bindningsavst˚
andet kortare i H2 (0,74 A
2 (1,06 A)?
Varf¨or a¨r dissociationsenergin f¨or H2 (4,48 eV) mindre ¨an dubbelt s˚
a stor som f¨or
H+
(2,65
eV)?
2
21
8.12
F¨orklara varf¨or H−
or vara mindre stabil a¨n He+
2 b¨
2 , om de har samma elektronkonfiguration.
8.13
Om o¨verlappsintegralen S uppritas som funktion av k¨arnavst˚
andet R framg˚
ar
att f¨or ¨overlapp mellan 2p-atomorbitaler i en π-bindning ¨okar S hela tiden d˚
aR
minskar och a¨r 1 f¨or R = 0. F¨or tv˚
a 2p-atomorbitaler i en σ-bindning d¨aremot
o¨kar S till en b¨orjan d˚
a R minskar f¨or att sedan ha ett maximum. S v¨axlar sedan
tecken vid R ∼0,7 ˚
A. F¨orklara!
8.14
+
+
Vilken elektronkonfiguration har C+
2 , N2 och O2 ?
8.15
+
H¨arled grundtillst˚
andstermen f¨or C+
2 och O2 .
8.16
Avg¨or med hj¨alp av MOLCAO-schemat vilka av f¨oljande molekyler som a¨r stabila:
H2 , Be2 och O+
2.
8.17
F¨orklara med MOLCAO-schemat f¨oljande resultat:
Dissociationsenergin f¨or N+
¨r 6,35 eV och f¨or N2 7,38 eV.
2 a
+
Dissociationsenergin f¨or O2 a¨r 6,48 eV och f¨or O2 5,08 eV.
22
SVAR1
========= Kapitel 1 ===============
1.1:
α = a−1
0 ;
1.2:
a) rmax = a0 ;
b) rmax = 5.24 a0 ;
c) rmax = 4 a0 ;
1.3:
68% .
1.4:
a) 76% ;
1.5:
1.6:
1.7:
1.8:
1.9:
πa30
( a0 = bohrradien).
hri = 3/2 a0
hri = 6 a0
hri = 5 a0 .
b) 5.3% .
1
1
.
hr2 i = 3 a20 ; h i =
r
a0
hEkin i =
h
¯2
h
¯2
;
hE
i
=
−
.
pot
2 m a20
m a20
hEkin i =
h
¯2
h
¯2
;
hE
i
=
−
.
pot
8 m a20
4 m a20
10−14 .
h|x|i = h|y|i =
15 a0
15 a0
; h|z|i =
.
8
4
h
¯
.
m a0
1.10:
1.11:
A = √1
71%
========= Kapitel 2 ===============
2.1:
2.2:
a) −11.6 eV ;
b) −13.6 eV .
r
3k
,
felet = 15% .
E0 = h
¯
m
2.3:
−
1
V0
.
32
vi approximerar aµ med a0
i
2.4:
2.5:
h2
+ m ω 2 a2
32 m a2
∆E = −
2.10:
.
3 (¯h ω)2
= 1.8 · 10−5 eV .
32 m c2
r
¯ 2 V4
1
2 V2 3 h
¯
+
,
E0 = V0 + h
2
m
8 m V2
r
3
2 V2 15 h
¯ 2 V4
E1 = V0 + h
¯
+
,
2
m
8 m V2
r
5
2 V2 39 h
¯ 2 V4
E2 = V0 + h
¯
+
.
2
m
8 m V2
2.7:
2.9:
1
1
− 2
6 π
h2 n2
V1
nπ
V1
+
sin
.
+
2
128 m a
2
nπ
2
2.6:
2.8:
E0 = −4.1 eV ; ∆E = 0.007 eV .
h
¯2
E=−
2 me a20
5 2
1− α
.
4
e2
E=−
8 π ε0 a0
4
1−
5
R
a0
2 !
.
2.11:
E2s
2.12:
e2
=−
32 π ε0 a0
Z 2 e2
E0 = − eff
32 π ε0 a0
19
1+
64
1 − 4 Zeff
= −4.41 eV .
r0
a0
.
2.13:
h
¯2
µ e2 µ a0 + 4
4 π ε0 h
¯2
.
E=−
+
, d¨ar a0 =
2 m a20 4 π ε0 (2 + µ a0 )2
m e2
2.14:
E0 = −
m a2
3bh
¯2
+
.
2 m a2
2h
¯2
ii
========= Kapitel 3 ===============
3.1:
3.2:
ω2τ 2
π A2 q 2
exp −
.
2mh
¯ω
2
0.
3.3:
3¯
h
215 a20 V02 ω 2
, d¨ar ωks =
.
2
2
1
2
8ma20
+ ω2
310 h
¯ τ 2 + ωks
3.4:
—–
3.5:
—–
3.6:
P210→100 /P211→100 = 1 .
3.7:
—–
========= Kapitel 4 ===============
4.1:
0.3 mm .
4.2:
µB =
4.3:
24◦ .
4.4:
3 d3/2 och 3 d5/2 .
4.5:
2.7 cm .
4.6:
45 µeV .
4.7:
hξi = 1.4 · 10−3 eV .
4.8:
a) 6 respektive 4 linjer;
4.9:
Sex komponenter med v˚
agl¨angder av formen λ = λ0 + ∆λ ,
˚
d¨ar λ0 = 3217 A och ∆λ = ±0.172˚
A , ±0.103˚
A , ±0.034˚
A.
4.10:
e¯
h
2m
enligt Bohr; Noll enligt kvantmekaniken.
b) 15.5 T .
8.3 · 10−4 eV .
4.11:
iii
4.12:
h
¯
hS (t)i = cos
2
2 µB
h
¯
2 µB
B t xˆ + sin
B t yˆ .
h
¯
2
h
¯
========= Kapitel 5 ===============
5.1:
δs = 0.40 ;
δp = 0.04 ;
δd = 0.001 ;
δf = 0 .
5.2:
26164 ˚
A, 8134 ˚
A, 6750 ˚
A.
5.3:
T3s = 4.144 · 106 m−1 ;
T3d = 1.225 · 106 m−1 ;
5.4:
δs = 2.325 ;
δp = 1.947 .
5.5:
σ3s = 9.16 ;
σ3p = 9.57 ;
σ3d = 9.997 .
5.6:
δLi = 0.42 ;
δNa = 1.38 ;
δK = 2.23 ;
5.7:
a) Ja ;
5.8:
—–
5.9:
63 Eu .
5.10:
124 .
T3p = 2.446 · 106 m−1 ;
T3f = 0.683 · 106 m−1 .
δRb = 3.20 ;
δCs = 4.14 .
b) 6 .
5.11:
========= Kapitel 6 ===============
6.1:
2

Z∞
02

r
e  3
− + dr0 > |R1s (r0 ) |2 + |R2s (r0 ) |2  ,
4πε0
r
r
0


Z∞
2
02
e  3
r
(2s)
VH (r) =
− +2
dr0 > |R1s (r0 ) |2  ,
4πε0
r
r
(1s)
VH
(r) =
0
d¨ar r> = max(r, r0 ) .
6.2:
6e2
VH =
4πε0
Z∞
dr0
r02 2 0
R (r ) , d¨ar r> = max(r, r0 ) .
r> 2p
0
iv
6.3:
6.4:
6.5:
6.6:
6.7:
6.8:
6.9:
1
P1 , 1 D2 , 1 F3 , 3 P0,1,2 , 3 D1,2,3 , 3 F2,3,4 .
6.10:
6
6.11:
—–
6.12:
3
P1 och 1 P1 . Tripletten har l¨agst energi.
6.13:
3
D, 3 P, 3 S, 1 D,
6.14:
a) Tre linjer. ;
6.15:
L
L
L
L
6.16:
K → L ger 2 linjer ;
6.17:
33.4 · 10−4 eV ;
S5/2 .
=
=
=
=
3,
3,
3,
3,
S
S
S
S
1
P, 1 S, dipol¨overg˚
ang endast fr˚
an 1 P.
b) En dublett, en triplett och en kvartett.
= 32 =⇒ J = 32 , 52 , 27 , 92 .
= 2 =⇒ J = 1, 2, 3, 4, 5 .
.
= 52 =⇒ J = 12 , 32 , 25 , 72 , 92 , 11
2
= 4 =⇒ J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .
K → M ger 2 linjer ;
129.8 · 10−4 eV ;
25.4 · 10−4 eV .
========= Kapitel 7 ===============
7.1:
−74.8 eV .
7.2:
−77.5 eV
7.3:
−12.9 eV ; st¨ammer ej .
7.4:
—–
7.5:
79.0 eV .
L → M ger 7 linjer .
v
7.6:
c) st¨ammer ej .
========= Kapitel 8 ===============
8.1:
1.12 ˚
A.
8.2:
3.0 THz .
8.3:
I = 2.67 · 10−47 kgm2 ;
8.4:
J = 1 och J = 2 .
8.5:
8.7 · 1013 Hz ;
8.6:
HD+ :
H+
2 :
R = 1.28 ˚
A;
F¨or DCl f˚
as ∆ν = 10.7 cm−1 .
1.3 ˚
A.
1869 cm−1 , 1824 cm−1 ,
2150 cm−1 , 2090 cm−1 ,
8.7:
3.76 eV .
8.8:
E0 − 2 K , E0 , E0 + 2 K .
1913 cm−1 .
2209 cm−1 .
√
5+1
β.
E =α+
2
8.9:
8.10:
a) −16.25 eV ;
8.11:
Tv˚
a elektroner ger mer fullst¨andig sk¨armning, och k¨arnorna kommer d¨arf¨or
n¨armare varandra. Repulsionen mellan elektronerna g¨or att dissociationsenergin inte blir dubbelt s˚
a stor i tv˚
aelektron-systemet som i enelektronsystemet.
8.12:
—–
b) 10.95 eV ;
c) 15.43 eV .
8.13:
8.14:
C+
(σg 1s)2 (σu∗ 1s)2 (σg 2s)2 (σu∗ 2s)2 (πu 2p)3
2
N+
(σg 1s)2 (σu∗ 1s)2 (σg 2s)2 (σu∗ 2s)2 (πu 2p)4 (σg 2p)1
2
4
O2−
(σg 1s)2 (σu∗ 1s)2 (σg 2s)2 (σu∗ 2s)2 (πu 2p)4 (σg 2p)2 πg∗ 2p
2
8.15:
2
C+
2 : Πu ;
2
O+
2 : Πg .
vi
8.16:
+
H−
2 och O2 .
8.17:
N+
2 har 5 bindande elektroner, N2 har 6.
O+
2 har 5 bindande elektroner, O2 har 4.
vii