Transcript MNF130 DISKRETE STRUKTURAR - Obligatorisk

MNF130 DISKRETE STRUKTURAR Obligatorisk innlevering 1 VÅREN 2013
Dette er ei øving som er obligatorisk for å få bestått eksamen i MNF130 våren 2013. Du vel sjølv om du vil levere inn papirversjon eller elektronisk versjon.
Papirversjonen kan leverast i kassen merkt MNF130 utafor ekspedisjonskontoret
til Institutt for informatikk i 4.etasje på HiB, eller direkte til Tobias Sørensen
Urhaug, Atle Loneland eller Dag Haugland. Elektronisk versjon kan berre leverast i innleveringsmappa til MNF130 på MiSide (ingen innlevering via epost).
Innleveringsfrist: Torsdag 21. februar kl. 16:00.
Oppgåve 1
Diskursuniverset for A, B og C består av alle mengder. For kvar påstand under,
avgjer om han er sann eller usann. Svara skal grunngjevast.
a) ∀A∀B∀C (A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)).
b) ∀A∀B∀C (A − (B ∩ C) = (A − B) ∩ (A − C)).
c) ∀A∀B∀C (A − (B ∪ C) = (A − B) ∪ (A − C)).
Oppgåve 2
Mengda med naturlege tal, N, er definert som alle ikkje-negative heiltal. Ved
hjelp av matematisk notasjon skriv uttrykka for desse mengdene:
a) Mengda av jamne heiltal.
b) Mengda av odde heiltal.
c) Mengda av rasjonale tal.
d) Mengda av naturlege tal delelege med 5.
Oppgåve 3
Ein funksjon blir kalla ein injeksjon dersom han er injektiv og surjeksjon dersom
han er surjektiv.
a) Finn ein injeksjon og ein surjeksjon frå N til N × N.
b) Finn ein injeksjon og ein surjeksjon frå N × N til N.
c) Finn ein injeksjon og ein surjeksjon frå Z til N.
Oppgåve 4
a) Vis at (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) → (q ∨ r) er ein tautologi.
b) Er proposisjonane (p → q) ∨ r og p → (q ∨ r) ekvivalente? Grunngje svaret
ditt.
c) Er proposisjonane p ∨ (¬p ∧ q) og (p ∧ ¬q) ∨ q ekvivalente? Grunngje svaret
ditt.
1
Oppgåve 5
La n vere eit vilkårleg heiltal. Vis at desse proposisjonane er ekvivalente.
a) n2 er odde.
b) 1 − n er jamn.
c) n3 er odde.
d) n2 + 1 er jamn.
Oppgåve 6
Uttrykk kvar av desse proposisjonane ved å bruke matematiske og logiske operatorar, predikat og kvantifikatorar der diskursuniverset består av alle heiltal
a) Summen av to negative heiltal er negativ.
b) Differansen mellom to positive heiltal treng ikkje vere positiv.
c) Summen av kvadrata av to positive heiltal er mindre enn kvadratet av
summen av tala.
d) Absoluttverdien av produktet av to heiltal er lik produktet av absoluttverdien til kvar av dei.
Oppgåve 7
Anta at g : A → B og f : B → C der A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, C =
{2, 8, 10}, og g og f er definert ved g(1) = b, g(2) = a, g(3) = b, g(4) = a og
f (a) = 8, f (b) = 10, f (c) = 2.
a) Finn f ◦ g.
b) Forklar kvifor f har ein invers funksjon, og finn f −1 .
c) Finn f ◦ f −1 .
d) Forklar kvifor g ikkje har ein invers funksjon.
Oppgåve 8
a) Forklar kvifor alle uendelege mengder har ei uendeleg delmengd som er
teljeleg.
b) La A vere ei endeleg mengd, og la P (A) = {B|B ⊆ A} vere potensmengda
til A. Er P (A) endeleg? Er P (A) teljeleg? Gi grunn for svara.
c) La no A vere uendeleg. Bruk Cantor sitt diagonaliseringsprinsipp til å vise
at P (A) ikkje er teljeleg.
2