Transcript eksamen i teknisk akustikk (ttt4180)

Noregs teknisk–naturvitskaplege universitet
Institutt for elektronikk og telekommunikasjon
Side 1 av 6
Fagleg kontakt under eksamen:
Erlend Magnus Viggen
(45 66 17 66)
EKSAMEN I TEKNISK AKUSTIKK (TTT4180)
Torsdag 26. mai 2011
Tid: 09:00 – 13:00
Hjelpemiddel:
Alle trykte og handskrive hjelpemiddel tillate. Bestemd, enkel kalkulator tillate.
Nokre kommentarar før du byrjar:
• Anta at tettleiken og lydsnøggleiken i luft er ρ0 = 1.21 kg/m3 og c = 343 m/s.
• På siste side står det nokre nyttige uttrykk som du kan få bruk for.
• Om du ikkje får til oppgåva heilt, kan du fortsatt få poeng for eit ufullstendig svar.
• Eksamen er laga slik at du ofte kan klare seinare deloppgåver uavhengig om du klarar dei
tidlige eller ikkje. Ikkje gi opp!
Oppgåve 1
(20 poeng)
Masse/fjør-system
Under ein framtidig måneekspedisjon flyttar astronautane seg rundt ved hjelp av tilnærma
masselause og friksjonsfrie hoppestokkar.1 Når hoppestokken er i bakken er samanpressinga
ξ ≥ 0, og vi kan sjå på den som eit masse/fjør-system som vist i figur 1. Når samanpressinga
blir negativ (ξ < 0), sprett hoppestokken opp frå bakken.
Vi ynskjer å sjå på hoppestokkens åtferd mens den er i kontakt med bakken. Ein astronaut
med romdrakt har ein masse på m = 100 kg, og hoppestokkens fjørkonstant er s = 50 000 N/m.
Hoppestokken treff bakken ved t = 0 med ein snøggleik på u(t = 0) = 3 m/s. Sia astronauten
er på månen er gravitasjonskrafta neglisjerbar i forhold til fjørkrafta.
1
Ein hoppestokk er ei fjørbasert framkomstmiddel der ei innebygd fjør sørgjar for at du sprett opp igjen etter
at du treff bakken, slik at du kan hoppe rundt som ein kenguru.
Side 2 av 6
m
=⇒
ξ
s
Figur 1: Hoppestokk som eit masse/fjør-system.
a) Finn rørslelikninga og vis at uttrykket for fjøras samanpressing må vere
p
ξ(t) = A sin(ω0 t)
for ξ ≥ 0,
kor ω0 = s/m.
b) Kor lenge er hoppestokken nede i bakken før den sprett opp igjen?
c) Kor langt blir fjøra samanpressa medan den er nede i bakken?
d) Ein del av astronautens arbeid inneber å drasse rundt store mengder månestein i ein
ryggsekk. Uten at han veit om det, er det ei svakheit i fjøra som gjer at den knekk når
den gir ei kraft på 8000 N. Gitt at astronauten treff bakken med same snøggleik når han
har ryggsekken full av månestein, kor mykje månestein kan han bere før det gjeng gale?
Oppgåve 2
(30 poeng)
Måling av lydnivå
Vi har ei lita maskin som strålar ut stasjonær støy tilnærma omnidireksjonelt. Vi ynskjer å
finne lydeffekten W til denne maskina. For å gjere dette, plasserar vi den i eit klangrom med
ukjend absorpsjon. Vi slår den på og måler lydtrykknivået i tre forskjellige punkt i rommet,
alle langt unna maskina. Deretter slår vi den av og gjer det same for ei referanselydkjelde med
kjend lydeffekt W 0 = 2 × 10−4 W. Måleverdiane er gitt i tabell 1.
Tabell 1: Lydtrykknivå for tre målepunkt i; Lpi frå maskina og L0pi frå referansekjelda.
i
1
2
3
Lpi [dB]
65.3
64.5
66.2
L0pi [dB]
75.2
74.5
76.0
Hint: I deler av denne oppgåva får du bruk for nokre av uttrykka gitt på formelsida.
Side 3 av 6
a) Estimer RMS-lydtrykket i diffusfeltet for maskina og for referansekjelda.
b) Bruk dette til å estimere lydeffektnivået til maskina.
Vi flyttar maskina vår til eit ekkofritt rom og måler lydtrykknivået ved ein avstand på 1 m frå
senteret av maskina.
c) Kva blir dette lydtrykknivået?
Hint: Intensitet og RMS-trykk for ei kulebølgje er kobla gjennom I = Pe2 /ρ0 c.
d) Kva var lydtrykknivået ved same avstand i klangrommet?
Oppgåve 3
(15 poeng)
Transmisjon og refleksjon i røyr
TLM-metoden er ein numerisk metode der vi følgjer lydpulsar som propagerer igjennom eit
nettverk av uendeleg tynne røyr. Når ein puls treff eit knutepunkt, vil den både reflekterast
attende og spreiast vidare i dei andre røyra tilknytta knutepunktet. I forelesningane såg vi på
tilfellet med eit firkanta nettverk, men det er også mogleg å bruke eit heksagonalt nettverk som
vist i figur 2.
pt
pt
pi
pt
pr
pt
pt
Figur 2: Venstre: Heksagonalt TLM-nettverk. Høgre: Trykkrefleksjon og -spreiing ved eit knutepunkt.
Finn eit uttrykk for det reflekterte trykket pr og dei transmitterte trykka pt i forhold til det
innkomande trykket pi .
Hint: Bruk kontinuitet av trykk og volumsnøggleik, eller bruk den kombinerte impedansen av
sidegreinane.
Side 4 av 6
Oppgåve 4
(15 poeng)
Ståande bølgjer
Vi har eit tynt røyr med rektangulært tverrsnitt og harde veggar. Dette røyret er bøygd i ein
sirkel med radius r0 og festa i seg sjølv, som vist i figur 3. Vi antek at røyrets breidd og høgde
er mykje mindre enn ei halv bølgjelengde.
r0
Figur 3: Tynt rør bøygd i en sirkel med radius r0 .
Vis at trykkfeltet i dette røyret er ei ståande bølgje, gitt ved
pm (θ, t) = Am cos(mθ + ϕm ) ejωm t ,
m = 1, 2, 3, . . . ,
kor faseskiftet ϕm er gitt frå eventuelle randvilkår som posisjonen til ei kjelde. Uttrykk m
gjennom bølgjetalet k og radien r0 , og forklar kvifor m må vere eit heiltal.
Hint: I sylinderkoordinatar er bølgjelikninga
1 ∂
∂p
1 ∂2p ∂2p
1 ∂2p
r
+ 2 2 + 2 = 2 2.
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
c ∂t
Oppgåve 5
(20 poeng)
Utleiing av bølgjelikninga
Om ei lydkjelde er plassert i eit område med vind, vil lydbølgjene bli blåst med vinden som vist
i figur 4.
Vi ynskjer å utleie ei bølgjelikning for dette tilfellet. Vi kan dele opp tettleiken og partikkelsnøggleiken i ein konstant del og ein svært liten svingande del,
ρ(~r, t) = ρ0 + ρ0 (~r, t),
ρ0 ρ0 (~r, t),
~u(~r, t) = U0 x
ˆ + ~u0 (~r, t),
U0 |~u0 |(~r, t).
Side 5 av 6
U0
Figur 4: Lydbølgjer blir blåst medvinds med ein tidsuavhengig vindsnøggleik U0 .
kor x
ˆ er einingsvektoren i x-retning. Om vi antek at fluidet er tapsfritt, kontrollerast fluidet av
tre likninger: Kontinuitetslikninga, Eulers likning og den akustiske tilstandslikninga; høvesvis
ρ
∂ρ
= −∇ · (ρ~u),
∂t
∂~u
+ (~u · ∇)~u = −∇p,
∂t
p = c2 ρ0 .
(1a)
(1b)
(1c)
a) Vis at likning (1a) og (1b) i dette tilfellet kan forenklast til
1 ∂p
U0 ∂p
=− 2
− ρ0 ∇ · ~u0 ,
2
c
∂t
c
∂x
0
∂~u
∂~u0
ρ0
+ U0
= −∇p,
∂t
∂x
(2a)
(2b)
Hint: Her får du bruk for nokre av uttrykka gitt i slutten av eksamenssettet. Hugs at du
kan linearisere bort fleire ledd!
b) Kombiner likning (2a) og (2b) for å utleie bølgjelikninga for eit medium i rørsle,
2
∂2p
∂2p
2 2
2∂ p
−
c
∇
p
+
2U
+
U
= 0.
0
0
∂t2
∂x∂t
∂x2
(3)
Hint: Dette gjerast svært likt som når ein utleier den ordinære bølgjelikninga. Hugs at du
u
∂
alltid kan bytte rekkefølgje på derivasjonsoperatorar, f.eks. ∇ · ( ∂~
u).
∂t ) = ∂t (∇ · ~
c) Vis at ei planbølgje som propagerer i ±x-retning propagerer med ein fasesnøggleik
ω
= U0 ± c.
k
Hint: Begynn med å setje inn uttrykket for ei planbølgje i likning (3).
Side 6 av 6
Nyttige uttrykk
Lydnivå
Løysing av andregradslikning
Lydtrykknivå:
ax2 + bx + c = 0
Lp = 20 log
Pe
Pref
I
Iref
=⇒
Lydintensitetsnivå:
b
x=− ±
2a
√
b2 − 4ac
2a
Differensielle vektoridentitetar
LI = 10 log
Gradient:
∇f =
Lydeffektnivå:
LW = 10 log
W
Wref
∂f
∂f
∂f
x
ˆ+
yˆ +
zˆ
∂x
∂y
∂z
Divergens:
~=
∇·A
Referansestorleikar:
Pref = 20 × 10−6 Pa
Iref = 1 × 10−12 W/m2
Sref = 1 m2
∂Ax ∂Ay
∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
Divergensen til ein gradient:
∇ · ∇f = ∇2 f =
Wref = Iref Sref
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
Divergensen til eit skalar-vektor-produkt:
Sum og snitt av RMS-verdiar
~ = f∇ · A
~+A
~ · ∇f
∇ · (f A)
Sum:
2
Pe,tot
=
N
X
2
Pe,n
n=1
Snitt:
2
Pe,avg
=
N
1 X 2
Pe,n
N
n=1
Adveksjonsoperatoren:
~ · ∇ = Ax ∂ + Ay ∂ + Az ∂
A
∂x
∂y
∂z