Transcript Geometri - Trondheim kunstmuseum

Geometri
i hverdagen og kunsten
1.- 10. KLASSE.
1
Følgebrev
for
bruk
utstillingen
GEOMETRI
grunnskolen:
av
i
Geometri kan defineres som den delen av
matematikken som handler om figurenes
form og størrelser, og om egenskaper til
romlige legemer.
med oppgaveheftet, verktøyet og bøkene,
som en rød tråd gjennom prosjektet.
Oppgaveheftet som følger er delt inn i flere
nivå. Med kunsten, og heftet som følger
med, er tanken å finne igjen kjente former
på nye steder, og å se egenskapene til
hver enkelt form.
Innsikt i matematikk gjennom kunst,
design og arkitektur skaper en større
bevissthet om våre omgivelser. Nyere
forskning (bl.a. fra Finland) har vist at bruk
av estetiske undervisningsmetoder er med
på å styrke elevenes kreative evner, og gir
gode resultater i alle typer fag.
Elevene kan jobbe hver for seg eller
sammen, og det oppfordres til diskusjon
både før og etter oppgavene, samt egne
refleksjonsnotater.
Med Kunnskapsløftet har det blitt større
fokus på generelle ferdigheter innenfor
matematikk, men for noen føles faget
krevende, og det er ikke alltid like lett å se
nytten og gleden i faget.
Temaet geometri er utformet av formidlere
på Trondheim Kunstmuseum i samarbeid
med Mike Naylor fra Matematikksenteret
ved NTNU, og de tre innkjøpte
kunstnerne. Oppgavene er laget med
utgangspunkt
i
læreplanen
Kunnskapsløftet, og vi har hatt et ønske
om å gjøre prosjektet tverrfaglig. Derfor
har vi tatt med fag som KRL, kunst og
håndverk, naturfag og geografi.
Hensikten med Geometri er å gi elevene
et positivt forhold til matematikk og
geometri gjennom en kreativ og konkret
tilnærming. Geometrien selv er godt egnet
for «visuell bevisførsel». Derfor kommer
kunstverkene til Annika Borg, Espen
Gangvik og Tomasz Ozdowskis godt til
rette når elevene skal finne ut av
vinkelsummen på en trekant, «det gylne
snitt» eller diameteren på en sirkel.
Fellesnevneren for de tre kunstnerne er
bruk av naturvitenskap, matematikk /
geometri og filosofi.
Noen av dere kjenner kanskje utstillingen
GEOMETRI fra før. Siden sist har vi prøvd
å gjøre opplegget mer brukervennlig.
Tanken er at det skal være lite forarbeid
for læreren, og inspirerende å bruke for
elevene. Vi håper derfor Geometri kan
være et nyttig verktøy for lærere og elever
i alle grunnskoletrinnene, og stimulere til
kunnskap og forståelse om geometri sett
gjennom kreative briller. Målet er at
elevene skal få en større bevissthet og et
annet perspektiv på matematikkfaget og
bli inspirert til videre fordypning.
Gjennom å anvende bl.a. verket Frame(d)
av Annika Borg kan elevene lære å forstå
matematikkens språk og mange av de
tegnene og reglene som gjemmer seg bak
hverdagslige fenomener. Elevene vil få
mulighet til å trene blikket og øve sansene
i forhold til oppgavene, kunstverkene og
omgivelsene som omgir dem.
Kontakt oss gjerne hvis dere har spørsmål
eller tilbakemeldinger:
Diskuter og finn en god og trygg plass for
de
fire
skulpturene
og
bildet
i
klasserommet, slik at dere kan ha dem
fremme i hele perioden.
[email protected]
tlf: 73538180
Kunstverkene er kostbare og unike, derfor
er det viktig å bruke hvite hansker når dere
skal studere dem. Bruk dem, sammen
2
omgivelsene vi omgir oss med vil gi
mer mening.
Hvor finner vi geometri?
Geometri kan vi definere som den
delen av matematikken som handler
om figurenes form og størrelse (f.eks.
firkanter, trekanter, sirkler), og om
egenskaper til romlige legemer (f.eks.
kuber, pyramider, kuler).
?
Hvilke geometriske former
kjenner du til? Diskuter i
klassen.
Har du tenkt over hvor mange steder vi
finner trekanter, firkanter og sirkler? Og
hvor viktig det er å kunne bruke
matematikk når vi skal forme og forstå
omgivelsene rundt oss? Matematikken
kan f.eks. fortelle oss hvor høyt vi kan
bygge, eller hvor langt spenn det kan
være i ei bru. Den har også mye å si
for om vi syntes noe er harmonisk og
mer eller mindre pent å se på.
Kan
dere
finne
flere
geometriske former i bildet av
Nidarosdomen enn de dere
ser på skissa nedenfor?
Med utstillingen følger fem kunstverk
fra tre ulike kunstnere. Disse tre
kunstnerne har til felles at de er opptatt
av matematikk og geometri, og heter
Annika Borg, Espen Gangvik og
Tomas B. Ozdowski. Sammen med
deres kunstverk skal dere lære å bli
bedre kjent med de geometriske
formene som omgir oss, og som vi
også er avhengige av i hverdagen.
Over: Nidarosdomen sett fra vest.
Tallkunst og geometriske former finner
vi i alle kulturer i verden. Hvis vi ser på
kirkekunst i Norge finner man f.eks. i
Nidarosdomen både trekanter, buer,
sirkler, firkanter og rektangler. Dette er
fordi de geometriske formene var
viktige både når man skulle konstruere
og bygge Nidarosdomen, og når man
skulle utsmykke den.
Under: Geometrisk skisse av Nidarosdomen.
I dag har geometri blitt en så naturlig
og selvfølgelig del av vårt liv at vi
nesten ikke ser den. La oss begynne
med å lete etter den, så blir
matematiske formler og regler kanskje
ikke så vanskelige lenger, og
3
Innenfor Buddhismen er sirkelen som
geometriske form ofte brukt. Den er
like mye et symbolsk element som et
dekorativt element. Buddhistene tror
på et liv etter døden, og sirkelen blir
derfor et symbol på reinkarnasjon og
evighet.
Geometri og religion
For alle mennesker og kulturer spiller
utsmykking en viktig rolle, og vi kan
finne bruk av geometri i nesten alle
religiøse bygg, uavhengig av religion.
Her skal vi se på noen få eksempler.
I motsetning til kristen kunst, der det
har vært vanlig å avbilde kjente motiv
fra bibelen for å fortelle historier, har
man innenfor den islamske religionen
ikke lov og tradisjon for å avbilde
verken mennesker, dyr eller landskap.
Men muslimene har vært like opptatt
av å dekorere sine moskeer som de
kristne av å dekorere sine kirker. Det
har de gjort med vakre, abstrakte,
Kunst fra Islam.
Både i kristen og islamsk kultur finner
man bl.a. åttetakkete stjerner. Mange
kirker har åttekantet grunnflate, og ofte
er rosevinduene i store katedraler delt i
åtte. I kristen kunst er det som regel
den tradisjonelle åttekanten i form av
en «oktogon» eller «åttebladrosa» vi
ser, mens i islamsk kunst har de
mange ulike variasjoner av denne.
?
Klarer dere
geometriske
religioner?
å finne
mønster
bruk av
i
andre
Hvorfor tror dere det er så vanlig å
bruke sirkler, firkanter og trekanter
til å pynte med?
Buddhistisk hjul
Rosevinduet i Nidarosdomen.
4
Trekanter
den fikk trykk fra siden. En trekant vil
tåle trykk bedre fra alle sider.
Har du prøvd å bygge en trehytte?
Eller kanskje et hus eller en bru i
Lego? Da vet du hvor lett det kan rase
sammen. Tenk deg når man skal
bygge et hus, en stor kirke, eller bruer
som skal tåle vekten av tunge biler,
hardt vær og masse folk. Trekanten
brukes for å stive av byggverk, og man
er helt avhengig av denne formen når
man skal bygge opp store og små
konstruksjoner. Geometri kan nemlig
hjelpe oss å lage konstruksjoner som
tunge lastebiler kan kjøre over. Eller
store hus og kirker som kan stå i
mange hundre år. La oss begynne
med denne geometriske figuren;
trekanten.
Da Tomasz B. Ozdowski lagde sin
skulptur Lysets katedral, tenkte han
kanskje på hvor viktig trekanten var for
kirken.
Tomasz B. Ozdowskis «Lysets katedral», 17 x 8,5 x
8,5 x 2,6 cm
En trekant er en mangekant med tre
rette linjer. Den kan se veldig forskjellig
ut og den har mange ulike egenskaper.
?
En likesidet trekant er en trekant der
alle sidene er like lange og alle
vinklene er 60 grader.
Les mer om trekanter fra s. 82 i
boken «Mattemagi».
En likebeint trekant har to sider som er
like lange, og to vinkler som er like
store.
Hvor finner vi trekanter vi omgir oss
med i hverdagen?
Skulpturen til Tomasz har en trekant
inni trekanten. Kan dere finne den?
I en rettvinklet trekant må en av
vinklene være rett, d.v.s. 90 grader.
Tegn en rettvinklet, en likebeint og
en likesidet trekant. Lag de ulike
trekantene ved hjelp av papir og
saks.
Da Nidarosdomen ble bygget på 1100tallet hadde man ikke de sterke
materialene man har i dag, og derfor
måtte man bruke trekanter og
halvsirkler i vegger og tak for å styrke
konstruksjonen.
Grunnen
er
at
trekanten tåler godt trykk både fra
siden og ovenfra. Disse geometriske
formene har nemlig hjulpet til å holde
kirken stødig, slik at ikke veggene faller
utover
eller
innover.
Hvis
Nidarosdomen hadde vært bygd av
bare firkanter, ville den tålt mye trykk
ovenfra, men den ville kunne rase hvis
Hvorfor har vi ofte trekantete tak på
hus i Norge, men ofte flate tak i
Spania?
Gå til s. 72 i boken «Matematikk med
din glede». Her kan dere utforske
trekanten videre.
Gå sammen i grupper og lag et hus
med et trekantet tak av spagetti.
(Limes med limpistol.)
5
Ulike typer trekanter
Tomasz har laget en skulptur som er en rettvinklet trekant. Men trekanten til Tomasz
er ikke bare rettvinklet, den er også likebeint. Figuren under viser en likesidet trekant.
I en likesidet trekant er som vi ser alle sidene like lange, og alle vinklene 60 grader.
?
Tomasz`s skulptur er en geometrisk form. Enkel, men ganske smart laget. Hva heter
denne formen? Hvordan tror dere han har kommet fram til den?
Studer skulpturen til Tomasz og diskuter hvilke former dere ser.
Skulpturen består av to trekanter, og en trapes. Glasset har formen til et
rektangel, og hvis du snur skulpturen og ser den fra siden, dukker rektangler
opp.
Diskuter også om den lille trekanten er samme type som den store. Har de den
samme formen og de samme vinklene?
Videre kan dere snakke om hva det er som gjør dem forskjellige. De har ulik
størrelse, og hva er da forskjellen i areal? Vi ser at lengden av grunnlinja i den
store trekanten er dobbelt så lang som den lille, men arealet er fire ganger
større.
Tegn en trekant som er formlik med Tomasz sin skulptur. Lag din egen i papp
eller papir.
6
Tomasz har brukt trekanten som symbol på Nidarosdomen. Hvilke geometriske
figurer ville du brukt hvis du skulle lage en skulptur som symboliserte huset
ditt?
Vi vet nå at Nidarosdomen ikke kunne vært bygget hvis man ikke hadde hatt
kunnskap om geometri. Derfor er Tomasz sin skulptur et veldig enkelt, men også
sterkt symbol på katedralen.
Tomasz benytter seg av geometriske former, både fordi han ikke ville kopiere den
naturtro verden, og fordi han er interessert i å se på hvilke symbolske betydninger
man kan lese ut av disse formene. Dette er en moderne kunsttradisjon. Med
stilretningen modernismen fra slutten av 1800-tallet var det ikke lenger meningen at
et bilde eller en skulptur skulle være en naturtro kopi av det man etterlignet. Man
skulle heller få frem en følelse eller en egenart.
?
Et annet ord for Tomasz
samtidskunst kan være.
sin skulptur er «samtidskunst». Snakk om hva
«Lysets katedral» har Thomasz kalt sin skulptur. Synes dere det er et passende
navn? Hvorfor?
Gode og dårlige konstruksjoner
Vi vet allerede at trekanten er en langt mer stabil og stødig konstruksjon enn
firkanten.
?
Prøv selv og bygg ved hjelp av papirstaver. Finn frem det lille heftet som heter
«Matematiske modeller» og lag ulike konstruksjoner som «arkimediske legemer», en
skulptur lignende den Espen Gangvik har lagd, eller brukonstruksjoner. Test hvor
mye bruene tåler ved å legge på f.eks. kilosposer med sukker.
7
Firkanter
Johannes Itten; “O.T.” Fargelitografi, 1966.
De tre skulpturene til Espen Gangvik er laget ved hjelp av geometri. Espens
skulpturer skal ikke ligne på noe i naturen, men heller «gode» former som endrer seg
ut fra betrakter-ståsted. De tre skulpturene er basert på overganger mellom diverse
rene geometriske former som firkanter, trekanter og sirkler. Espen Gangvik er opptatt
av å se skulpturene fra ulike vinkler for å kunne få et så helhetlig syn på dem som
mulig. Det samme gjorde kunstnere som var opptatt av «kubismen», som vi skal
komme tilbake til i neste kapittel.
?
Klarer dere å tegne skulpturene bare ut fra en muntlig beskrivelse? La en elev eller
lærer beskrive skulpturen fra topp til bunn, uten at dere ser den. Prøv å tegne det
som personen beskriver. Ligner den todimensjonale tegningen din på den
tredimensjonale skulpturen til Espen?
En av Espens skulpturer inneholder en kvadratisk form der alle hjørnene er rette og
sidene like lange. Kan du måle hvor mange cm lang / bred dette kvadratet er?
Alle de tre skulpturene til Espen vrir seg på midten. Hvis dere ser nøye etter kan dere
finne flere geometriske former her. Ser dere hvilke det er?
Hvordan hadde skulpturene til Espen sett ut hvis de ikke hadde blitt vridd? Tegn
disse.
8
Rektangel
?
Et rektangel er en firkant der alle vinklene er rette, og to og to sider er parallelle og
like lange.
Gi hver elev et rektangel i forholdet 2:1 (d.v.s. at den lengste siden er dobbelt
så lang som den korteste.). Hvordan kan rektangelet kuttes slik at de to delene
kan omorganiseres for å få det samme forholdstallet? (Se figur under.)
Eksperimenter med hjelp av disse figurene og Tangram -figurene som følger
med. Se hvilke andre former du kan lage. Hva er navnene på de nye figurene?
9
Lag et kunstverk!
Prøv å bruke et annet rektangel i forhold 2:1. Skjær den i to eller flere stykker for så å
omorganisere disse bitene til en annen figur.
Prøv – tenk – diskuter – prøv igjen
Se på ulike muligheter. Hva gjør en form interessant? Hva slags geometriske
«ideer» kan du vise med figuren din?
Finn frem linjaler, saks, papir, og kanskje streng eller annet materiale. La gruppene få
tid til å finne figurer i Espen Gangviks skulpturer og undersøke dem. Det vil være
noen problemer med å bestemme egenskapene til disse figurene fordi de er forankret
i en 3d struktur.
En gruppe kan si at de fant en firkant, og vet at det er en firkantet fordi den har 4
sider. Hvilke navn kan 4-kanter ha? (Kvadrat, rektangel, trapes m.fl.) Hvordan
defineres de forskjellige 4-kantene? Lag en oversikt og tegn. Se hvilke av disse man
kan finne igjen i Espens skulpturer.
Merk at med en likesidet trekant er det nok å finne at de 3 sidene er like lange for å
kunne si det er en likesidet trekant – ingen måling av vinkler er nødvendig. Dette er
spesielt for likesidete trekanter.
Finn andre interessante tverrsnitt i skulpturene av andre former (kube, trekant,
trapes, sekskant, kvadrat, f.eks.)
.
Lag en «flipp bok» ved hjelp av en bunke papir, «gul-lapper», eller en notisbok.
Bestem deg for en start- form og en avslutnings- form. Tegn en geometrisk figur på
bunnarket. Vend til neste side og endre den litt slik at deler av figuren beveger seg
10
mot en annen form. Fortsett slik til hele formen er forvandlet til en annen form. Dra
tommelen fort over kanten av arkene så figurene beveger seg som en «film»
Paplo Picasso; Pikene fra Avignon. 1907.
de to skulle male, så de kanskje lenge
på gjenstandene de hadde foran seg.
Så forenklet de dem og bygget dem
opp som geometriske former. Et
menneske fikk da for eksempel en kule
til hode, og en sylinder til overarm.
Kubismen
er navnet på en
kunstretning som startet i 1907. Navnet
kubisme kommer av det greske ordet
kybos, som betyr terning. Kubismen
blir ansett å være en av de viktigste
kunstbevegelsene, og hadde stor
påvirkningskraft på europeisk maleri og
skulptur på begynnelsen av 1900-tallet.
Kubistene malte ikke et motiv bare fra
en kant, men viste motivet som om det
var sett fra forskjellige sider på en
gang, som om det var «brettet ut».
Dette var et forsøk på å presentere
motivet på en så helhetlig måte som
mulig.
En kunstner som het Cezanne var
opptatt av hvordan en kunne forenkle
og forklare formene i naturen ved hjelp
av geometriske figurer som firkanter,
sirkler og trekanter (terninger, kuler og
kjegler). Med inspirasjon fra ham
skapte malerne Pablo Picasso og
Georges Braque kubismen, hvor
motivet ble brutt opp i geometriske
enkeltformer. I 1907 malte Picasso
Pikene fra Avignon, og dette blir regnet
som det første kubistiske maleriet. Når
?Mal eller tegn hverandre bare ved
hjelp av geometriske figurer.
Se om dere klarer å tegne
skulpturen til Tomasz sett fra to
ulike perspektiv og på samme ark.
11
Lek med geometriske figurer
Hanne Borchgrevink, Barndomshjem, 1998. Hanne Borchgrevink, Uthus, 2011.
En kjent norsk kunstner som heter
Hanne Borchgrevink (født 1951) liker
best å male hus. Når hun arbeider
setter hun som regel sammen
geometriske former, som hun maler
(eller trykker) med ulike farger.
best hvis hver geometriske figur
males med kun en farge.
Når dere har klippet og limt huset
deres på et todimensjonalt ark, kan
dere prøve å lage det samme huset i
en tredimensjonal form av papp.
?
Ta en linjal og mål opp huset ditt.
Skriv en kort boligannonse der du
forteller hvor stort huset er og
hvorfor du liker det. Skriv f.eks. cm
som m.
Kan du si navnet på de ulike
geometriske formene i Hannes
«Uthus»? Klarer du å lage ditt eget
hus i samme stil som Hanne, kun
ved hjelp av å klippe og farge
geometriske former? Resultatet blir
Les mer om trekanter fra s. 82 i
boken «Mattemagi».
12
Geobrett
?
Lag et geobrett på sløyden ved hjelp
av små stifter, et kvadratisk bord. Finn
frem gummistrikkene og heftet som
følger med i kassen. Med geobrett kan
dere utforske og eksperimentere med
mange ulike geometriske former som
polygoner
(d.v.s.
mangekanter),
vinkler, symmetrier og areal.
Geobrettet egner seg også godt til å
forstå skulpturene til Espen og
Tomasz. Se om du klarer å gjengi de
geometriske figurene du finner i
kunstverkene på geobrettet.
Mange gode oppgaver finnes også i
Geobrett-heftet.
13
Tangram
Tangram er et puslespill laget av sju
brikker, og kommer fra Kina,
antakeligvis fra 1600-tallet. Det består
av fem trekanter, et lite kvadrat og et
parallellogram. Lagt riktig sammen
utgjør disse et stort kvadrat. Selv om
der bare er sju brikker, er det visstnok
godt over 6 millioner måter å sette
sammen et Tangram på. Det er mange
historier knyttet til Tangram. Den mest
kjente er den om Tan, som knuste en
jadeflis hos den kinesiske keiseren.
Flisen brakk i syv biter, og Tan prøvde
desperat å sette den sammen igjen.
Det gikk ikke så bra, men keiseren fikk
interesse for puslespillet, og så ble
Tangram en realitet.
?
Klarer du å lage noen fine mønstre
av Tangramfigurene som følger med
i kassen? Tangram er også et spill
som kan spilles av to eller flere.
Spill og gi poeng.
Klipp ut og lag ditt eget Tangram.
Lek og prøv!
Hvor mange ulike måter kan du lage
en firkant, en trekant og et rektangel
på med Tangram?
14
Den hollandske kunstneren M.C.
Escher (1898-1972) jobbet mye med
tesseleringer. For å forstå tesselering,
og for å lære seg teknikken som ligger
bak, må vi se mer nøyaktig på temaet
symmetri i matematikken.
Tesselering
?
Søk opp M.C. Escher på Google og
finn noen mønster dere liker. Skriv ut.
Prøv å merke av de delene av
mønsteret som er like, og som gjentar
seg om og om igjen. En slik del kalles
en «mønster-rapport».
Ordet tesselering kommer fra det
latinske ordet tessela, som er navnet
på den lille, kvadratiske steinen som
ble brukt i romerske mosaikker.
Tesselering betyr også «flatedekkende
mønster».
Tomasz sin skulptur kan man bruke
som inspirasjon når man skal tesselere.
Ved hjelp av en liten og en stor trekant
kan dere prøve og lage et heldekkende
mønster
på
store
ark.
Hvilke
egenskaper, for eksempel størrelse, må
trekantene ha i forhold til hverandre?
Et
mosaikkmønster,
eller
en
tesselering, er et mønster som er
bygget opp av en eller flere
geometriske figurer. Mønsteret skal
være uten åpne rom og overlappinger.
Vi sier at figurer «tesselerer» dersom
de dekker en flate uten at det blir
overlappinger eller mellomrom mellom
dem.
En morsom måte å prøve tesselering på er
ved hjelp av Post it – lapper, som følger
med i Geometri-kassen. Man trenger også
en saks, samt blyant og teip.
Begynn med å klippe ut et geometrisk
mønster av en lapp, og fest det du klipper
ut som en «utvekst» på den samme
lappen du har klippet i. Teip dette
sammen, slik at du får det mønsteret du
ønsker.
Brosteinslegging og flislegging er
eksempler på tesselering. Disse
eksemplene treffer vi nesten daglig, på
gater, golv og i baderom, uten å tenke
over at de vakre mønstrene har
matematikk i bunnen.
Neste trinn blir å legge det mønsteret du
har klippet og limt på et ark, og tegne en
linje rundt hele dette mønsteret. Fjern så
arket, og vips så er du i gang. Nå forsetter
du på samme måte til du har dekket et helt
ark. Fargelegg!
Et
gjentagende
mønster
av
«regelmessige
polygoner»
(mangekanter)
blir kalt for en
tesselering.
Av
alle
mulige
kombinasjoner er det kun tre
«regelmessige polygoner» som kan
fullføre et gjentagende mønster. Disse
polygonene er firkanter, trekanter, og
sekskanter. For at figurer skal
tesselere/dekke en hel flate uten at det
blir hull, må hjørnene som møtes ha
vinkler som til sammen blir 360 grader.
Diskuter i klassen hvorfor man ikke kan
tesselere med annet enn trekanter,
firkanter og seskanter. Gjør gjerne et
forsøk med en andre geometriske form
enn de som er nevnt ovenfor, for å
bekrefte eller avkrefte om dette stemmer.
15
Kunstutstilling
Det finnes mange kjente kunstnere som bruker geometriske figurer som firkanter,
trekanter og sirkler når de skal lage kunst. Noen av dem er Piet Mondrian, Johannes
Itten, Victor Vasarèly, Vasilij Kandinskij og Pablo Picasso.
Vasilij Kandinskij: « Modeller av figurer på en scene»
Å farge, klippe og lime geometriske
figurer på ark, og / eller montere på
vegg er også en mulighet.
?
Lag
en
kunstutstilling
med
geometriske figurer som tema.
Kanskje du får lov til å lage en eller
flere trekaner i tre, lignende Tomasz
sin, på sløyden?
Både Tomasz og Kandinskij (se
bilde over) er som kunstnere opptatt
av å «abstrahere» verden når de
skal lage kunst. Å abstrahere betyr å
forenkle ved å ta bort detaljer. Kan
dere gjøre det samme? Abstraher
deg selv, læreren, et dyr du liker
eller en medelev, kun ved hjelp av
geometriske figurer.
Du kan også sy sammen firkanter
og trekanter av stoff. Dette kalles
«quilting», og er et gammelt
håndverk. En «quilt» er et teppe
som er sydd sammen av mange
lapper med geometriske former,
som danner fine mønster. (Bilde av
en quilt??)
16
Mykerinos’ pyramide i Kairo, med tre små pyramider
bygd, for å beskytte kongen, som var
øverste gud og herre, ikke bare over
Egypt, men over hele tilværelsen.
Pyramide
En pyramide er en romlig form, som
har sideflater som er trekantete og en
grunnflate som er kvadratisk eller
trekantet. Pyramidene i Egypt er
eksempler på pyramider med
kvadratisk grunnflate.
Byggematerialet i pyramidene er
granitt, kalkstein og soltørket murstein.
Til den mektige Kheopspyramiden gikk
det med nær 2,5 millioner steinblokker
à 2–3 tonn.
Hvis man setter to pyramider med
kvadratisk grunnflate sammen bunn
mot bunn, får vi en figur som kalles
«oktaeder». Det kommer av at vi har
fått en figur med 8 sider, og «okta»
betyr 8.
om at trekantformen tåler mye trykk
eller vekt både fra siden og fra
toppen. Tror dere pyramidene hadde
stått i så mange tusen år hvis de
hadde vært firkantet?
?Dere husker sikkert at vi snakket
Lag hver deres pyramide ved hjelp
av lego, papir eller plastbrikker. Hvis
dere bruker lego kan dere også
regne ut volumet på en enkel måte...
Meningen med den største pyramiden i
Egypt, Kheopspyramiden, var at den
skulle være den døde kongens bolig.
Derfor var pyramideanlegget solid
17
Prisme og sylinder
Figur: Rett prisme og melkekartong.
Et prisme er en romlig figur der grunnflaten og toppflaten er like og er en mangekant
(f.eks. trekant, firkant, sekskant), og der sideflatene har form som parallellogram.
Prismeformen finner man bl.a. i melkekartongen. Hvis man fjerner den øverst delen
av en melkekartong og legger et lokk på i stedet så den ser ut som en avlang eske,
blir det et prisme.
Figur: Sylinder
En sylinder er en romlig figur hvor toppflaten og bunnflaten er sirkler, og sideflaten et
rektangel.
For å finne overflaten, må vi tenke oss sylinderen klippet opp og lagt ut slik tegningen
viser. Topp og bunn gir to sirkler, og sideflaten gir et rektangel med grunnlinje lik
omkretsen til sirklene.)
Kanskje har Espen begynt med prismer og sylindere når han skulle lage side
skulpturer? Når Espen skulle lage skulpturen som har en sirkelflate øverst og
nederst har han nok tatt sylinderen som utgangspunkt. Sylinderen kan være både
rett og skjev. Hva slags form / figur får sideflata i en skjev sylinder?
18
Formskiftende
skulpturer
?
Tenk dere at klassen skal bygge en
stor skulptur, lik den Espen har laget
med kvadratformen i bunn, som skal
stå i skolegården. Da må dere gjøre
om centimeter til meter, og regne ut
hvor mange kvadratmeter den ville blitt
i bunn og topp.
Firkanten er en todimensjonal figur i et
plan. En firkant kan ha ulikt utseende.
En av de firkantene som er mest
alminnelig er kvadratet. I et kvadrat er
alle sidene like lange, og vinklene i
hvert av hjørnene er rette, altså 90º.
For todimensjonale geometriske figurer
som sirkler, trekanter og firkanter er vi
gjerne interessert i å kunne beregne
areal og omkrets. Hvis vi ønsker å
finne arealet til et kvadrat, må vi finne
ut hvor mange kvadratmeter eller
kvadratcentimeter vi kan plassere
inne i kvadratet. Når overflaten blir så
liten som i Espens skulptur, kan vi
bruke centimeter istedenfor meter.
Symbolet for kvadratcentimeter er cm².
Hvor mange kvadratcentimeter er
overflaten på Espen sin kvadratiske
skulptur?
Kontrollèr om omkretsen og arealet av
kvadratet er like store i bunn og topp
av skulpturen.
Synes dere skulpturene ser tunge eller
lette ut? Kalde eller varme? Kjenn på
dem.
19
Sirkel og kule
Skulpturene til Espen er like høye,
men er ulike i utseende. De endrer
også form i midten, men er like på topp
og bunn.
Snakk om hva et tverrsnitt er, d.v.s. det
«avtrykket» du får hvis du skjærer /
snitter tvers gjennom figuren. Hva
slags forskjellige tverrsnitt-former kan
gjemme seg i skulpturene til Espen?
En sirkel er en 2-dimensjonal figur, og
en kule er et 3-dimensjonalt legeme.
En sirkel har mange viktige og
praktiske egenskaper.En egenskap er
at den kan rulle. En annen egenskap
ved sirkelen er at den er den formen
som gir størst areal i forhold til
omkrets.
?
Del klassen opp i tre grupper og gi
dem hver sin skulptur av Espen
Gangvik.
Be
elevene
om
å
undersøke og berøre skulpturene.
Be dem tenke over strukturer og
overganger. Se om de kan finne noe
interessant eller uvanlig med
figurene.
Alle himmellegemer er kuleformete,
fordi gravitasjonskraften så å si former
himmellegemenes «stoff» slik at de får
en kuleform. I hver av disse
”stoffklumpene” er det et såkalt
massemidtpunkt
der
gravitasjonskraften trekker like mye i
alle retninger. Hvis vi tenker oss en
stor hydrogensky ute i rommet, vil den
indre gravitasjonen trekke skyen
sammen om midtpunktet. Resultatet
blir en kule rundt dette midtpunktet –
kanskje en planet som Jupiter eller
Jorden.
Hvis de har funnet en spesiell form,
be dem beskrive denne. Hva slags
geometrisk figur er det? Hvordan
defineres denne figuren?
Tegn en av skulpturene til Espen fra
flere ulike vinkler.
Visste du at jorden «tilter» / står på
skrå 23, 4 grader, og dette er grunnen
til at vi får ulike årstider? Diameteren
er den lengste avstanden mellom to
punkter i en sirkel eller kule. Radiusen
er halvparten av diameteren. Radius
er avstanden fra en sirkels eller
rundings sentrum til et tilfeldig punkt på
20
sirkelens ytterkant. Visste du også at
jordas diameter ved ekvator er
12 756,28 km?
kan legge på lokket skeivt uten at det
faller ned i kloakken.(Det hadde du
ikke kunnet hvis det var kvadratisk.) I
tillegg erkanten skrådd inn, slik at det
heller ikke kan falle ned i hullet på
høykant.
?
Hvis du skal finne ut hvor langt det er
til midten av jorda må du dele
diameteren på to. Hvor langt blir det
da? (Se over.)
Kommer du på noen flere eksmpler der
det er lurt å bruke sirkel?
Lag en trådpasser (d.v.s en tråd med
en blyant i enden, festet til en pinne)
og bruk den til å konstruere ulike
sirkler. Hva er sammenhengen mellom
trådlengde og radius?
Kan du finne diameteren og radiusen
på et kumlokk?
Kumlokk er enda et eksempel på
hvorfor sirkelen er en praktisk form. Du
21
Sirkel, symmetri og skjønnhet
Idealet om hva som er vakkert og skjønt har forandret seg over tid. Det som er
vakkert i dag ville kanskje blitt sett på som stygt da Platon levde i Hellas ca. 427 f.Kr.
I boken Matematikk med din glede skriver Jo Røislien fra s. 107 bl.a. om Platon,
symmetri og sirkelen. Platon var opptatt av «ideen om det vakre», og mente at det
nærmeste man kunne komme en ideell skjønnhet hos kvinnen var hvis nesen ikke
var lenger enn avstanden mellom øynene, og bredden på ansiktet ikke mer enn to
tredjedeler av ansiktshøyden. Dette var Platons fasit for skjønnet. Men finnes det en
fasit for hva som er skjønt, og kan dette knyttes til geometri?
I renessansen ca. 1350-1600 tok man opp igjen disse idealene fra den greske
antikken. Kunstneren Botticelli prøvde å følge idealene til Platon da han malte Venus
fra Milo (år 1485). På 1900-tallet ble kunstnere som kubistene opptatt av å finne nye
måter å uttrykke seg på, og de var spesielt opptatt av geometriske former og en
vitenskapelig måte å male bilder på. En sirkel kunne de f.eks. studere og bøye og
strekke. Jo mer skjev en sirkel blir, jo mer lik blir den en ellipse. Slik kunne de bygge
opp bilder av geometriske former.
Man har altså til alle tider prøvd å finne «det skjønne» i kunsten, og her kommer
sirkelen inn. Sirkelen er en symmetrisk form. Når mennesker lagrer sanseinntrykk,
søker man symmetrier og harmonier i denne lagringsprosessen. Derfor synes vi
kanskje at symmetriske ansikt er «vakrere» enn usymmetriske, siden
lagringsprosessen går «glattere». Derfor finner man symmetrier over alt, som i border
og mønster i ornamentikk, som mennesker har formet.
Sandro Botticelli «Venus fødsel» (1485)
22
like på begge sider av en tenkt
midtakse. Men man ser at kongen til
høyre i bildet har krone og står i en
borg, mens biskopen til venstre står i
noe som minner om en kirke og har
biskopstav. Siden høyre og venstre
side ikke er helt like, blir de derfor
heller ikke «speilsymmetriske».
Symmetri/
speilsymmetri
Symmetri er en egenskap ved
geometriske figurer. Da fremstår den
ene halvdelen av objektet som et
speilbilde av den andre. Symmetri kan
også finnes i levende organismer som
mennesker og dyr. Mangel på
symmetri betegnes som asymmetri.
Kommunevåpenet fra 1897, har
utgangspunkt i Trondheims gamle bysegl fra 1200-tallet. Motivet er hentet
fra samtidens politiske tenkning, der
balansen mellom kirke og stat var
hovedemne.
Mennesker tiltrekkes som vi har sagt
av symmetri i mønster. Ett eksempel er
kommunevåpnene i Norge, som
mange er symmetriske.
?
Bruk speil:
Prøv å lage et eksempel der
Trondheims
kommunevåpen
er
speilsymmetrisk.
Se på kommunevåpnene fra Nord –
og Sør – Trøndelag. Hvor mange er
symmetriske og hvor mange er
speilsymmetriske finner du?
Lag ditt eget kommunevåpen som er
speilsymmetrisk.
Hva liker du best, symmetri eller
asymmetri?
Trondheims kommunevåpen har en
viss symmetri, fordi noen elementer er
Lag et kommunevåpen ved hjelp av
Geobrettene.
23
uendelige, og slik ser den ut: 0,1,1, 2,
3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89…
Det gylne snitt og
Fibonaccis tallrekke
«Det gylne snitt» er et forholdstall som
vi mennesker opplever som pent og
harmonisk. Kunstnere bruker det
bevisst når de skal komponere
harmoniske bilder.
Det gylne snitt er et forholdstall, og har
vært brukt i vest europeisk bildekunst
og arkitektur helt siden antikken.
Proporsjonen beskrives allerede av
Euklid i verket "Elementene" (ca. 300 f.
kr).
«Det gylne snitt» deler et linjestykke
slik
at
forholdet
mellom
hele
linjestykket og den lengste delen, er lik
forholdet mellom den lengste og den
korteste delen. Matematisk kan dette
uttrykkes
slik:
Punktet B deler linjestykket AC i det
gylne snitt dersom AC/AB = AB/BC.
Da Pythagoreerne (tilhengere av den
greske matematikeren Pythagoras ca.
580-500 f.Kr.) så at tallet  verken
slutter eller gjentar seg, ble de
sjokkerte. De mente at eksistensen av
tall som verken var heltall (1, 2, 3, 4,
...), eller et forhold mellom to hele tall
(1/2, 2/3, 3/4,.....), var en kosmisk
«feil» som måtte holdes hemmelig. I
dag vet vi at det finnes mange slike
tall, og vi kaller disse tallene for
irrasjonelle tall.
En spennende ting med Fibonacci's
tallrekke er at tar vi to tall ved siden av
hverandre og deler det største på det
minste, vil svaret ligne «det gylne
snitt», som er ca. 1,6. Og jo lenger opp
i rekken vi kommer, jo nærmere
kommer vi det gylne snitt, som er på
1,618034
2/1= 2,00
3/2=1,5
5/3=1,67
13/8=1,63
55/34=1,617 ...
I naturen er det ingen skapning eller
plante som er tilfeldig utformet. En
«regel» som ofte går igjen i naturen, og
som vi mennesker selv bruker som
målestokk i alt fra kunst, design og
arkitektur, er «det gylne snitt» og
matematikeren Fibonaccis (1170-1250)
ide om en systematisk tallrekke.
Fibonaccis tallrekke dukker utrolig nok
opp nesten over alt i naturen.
Tallrekken går ut på at hvert tall i rekka
er summen av de to forrige. En pluss
en er to. To pluss en er tre. To pluss
tre er fem. Sånn går den ut i det
24
?
I kunstverket «For:gren(er)» av
Annika Borg har kunstneren tegnet
grener sett fra fire ulike vinkler. Se i
permen til Annika, og lag et
lignende motiv, men da med fokus
på Fibonaccis tallrekke.
Finn frem boksen med skjell og
studer og diskuter mønsteret på
disse. Finner dere igjen mønsteret
til Fibonacci?
I kongler viser denne tallrekken
hvordan det blir plass til flest mulig frø,
det samme ser man i solsikken og i
hvordan sneglehuset er formet.
Tallrekken dukker også opp i hvordan
mennskekroppen er bygd opp.
Les mer om det gylne snitt i boken:
«Det gyldne snit - i kunst, natur og
matematikk.»
0, 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55,
89…hvilket tall blir det neste?
Fortsett tallrekka så langt du orker.
Se hvor nært det gylne snitt du
kommer når du deler to tall langt ut i
rekken.
Kan dere finne flere eksempler på
planter i naturen der det gylne snitt
dukker opp? (Eks. her er bregner og
kongler.)
25
Fibonacci
Fibonacci gjorde sine oppdagelser for
over 800 år siden. Men det var først for
30 år siden at noen andre forskere fant
ut hvorfor naturen ordner seg likt
Fibonaccis tallsystem. De oppdaget
nemlig at når en plantecelle deler og
utvikler seg, så skjer cellepakkinga i
Fibonacci-mønster. Det er fordi dette
er
den
mest
«økonomiske»
cellepakkinga naturen klarer å få til.
?
Mål fra bakken opp til navlen din. Så
deler du hele høyden din på høyden
opp til navlen. Hvilket svar får du?
Sjekk høyden din, og sjekk etterpå
hvor høyt navlen din ligger. De
fleste har ikke navlen plassert midt
på kroppen, men på "det gylne
snittet", som er forholdet mellom to
nabo-tall i Fibonacci-rekken (ca.
1,6).
For enkelhets skyld kan vi si at du
er 144 cm lang. 144 er nemlig et tall i
Fibonacci-rekka. Da skal navlen din
ligge på nabotallet under i rekka,
nemlig 89. For å finne forholdet
mellom høyde og navlehøyde, deler
vi det største tallet på det minste.
144:89=1,6 (1,6179775, men det
rundes ned til 1,6). Dette jo "det
gylne snitt"!
Leonardi da Vinci (italiensk kunstner,
vitenskapsmann og oppfinner som
levde mellom 1452-1519) var også
opptatt av «det gylne snitt», eller det
han
kalte
«den
guddommelige
proporsjon».
Han
fant
mange
sammenhenger mellom «det gylne
snitt» og menneskekroppen, og han
mente
at
den
perfekte
menneskekroppen var den som var
mest nær «det gylne snitt».
26
?
«Det gylne snitt» opptrer ikke bare i
tallrekker, linjestykker og celler i
naturen, men også i geometriske
figurer som rektangelet. Da kalles det
også «det gylne rektangel.» Her er det
da slik at de oppdelte rektanglene
forholder seg til hverandre på samme
måte som linjestykkene i A,B,C, og
forholdstallet for disse blir også ca. 1,6.
Eksempel på «gylne rektangel» er
fyrstikkeska og det norske flagget.
Klarer dere å lage et «gyllent
rektangel» med utgangspunkt
i Fibonaccis tallrekke?
Finner dere andre eksempler
på hvordan «det gylne snitt»
er brukt?
Se på skolen deres. Er det
mulig at «det gylne snitt»
eller
«gylne
rektangler»
dukker opp her?
27
28
Sannsynlighetsberegning
Annika Borg
Kunstneren Annika Borg liker orden og uorden, og å føre statistikk. Hver dag kaster
hun seks terninger 101 ganger. Resultatet skriver hun opp. I 2012 blir det 18 år siden
hun begynte å kaste terningene, og hun har gjort det hver dag, uansett om hun har
vært hjemme eller i et telt i skogen. Annika har aldri jukset, og visstnok får hun
«yatzy» på første kast ca. en gang hver tredje mnd.
Slik har hun opparbeidet et stort «arkiv» bestående av alle de tilfeldige tallrekkene fra
alle terningkastene. Men selv om utfallet av terningene er tilfeldig, er ideen bak
hennes kunstprosjekter alt annet enn tilfeldig. Med de seks ternigene som
utgangspunkt, og statistikken fra dem, lager hun så sine kunstverk. Ett av dem heter
Frame.
Annika får oss til å se at det kan ligge noe mer bak det tilfeldige, og at man ikke alltid
trenger å skape orden og forstå alt. For i det tilfeldige kan det ligge både noe vakkert,
noe befriende og en bevisstgjøring.
? Her er noen oppgaver hvor dere kan lage mønster og forandringer med
utgangspunkt i tall :
29
?
Finn frem dokusmentasjonspermen til Annika Borg og la dere innspirere. Kanskje kan
dere lage et stort kunstverk sammen, basert på tallkombinasjonene fra egne
terningkast?
Lag et dikt der dere lar terningene være med på å bestemme utfallet. Dere må selv
finne ut av hvordan. En ide kan være å ta utgangspunkt i en bok eller forfatter dere
leser om i norsk eller engelsk.
Hvordan tror dere Annika har jobbet når hun har lagd prikkemønsteret på bildet?
Lag Annikas prikkemønster ved hjelp av et regneark, tusj og en terning. Lag en liten
prikk når du slår tallet 1, så større og større prikk jo høyere tall du får. Du kan velge
om prikkene skal ha ulike farger eller bare være sorte. (Det er kanskje lettere å skille
dem hvis de har hver sin farge.)
Husker dere hvor ofte Annika fikk yatzy på første kast? Før statistikk på tavlen og
over hvor mange i klassen som får yatzy i løpet av den tiden dere jobber med temaet.
Du kan også lage lignende mønster på et perlebrett, eller på rutearket, ved å kaste
«kron og mynt». Her velger du kun to farger som skal brukes.
Kaster du «mynt og kron» er sjansen eller sannsynligheten for å få kron lik som for å
få mynt. Antakelig får du et tall ganske nær ½ om du deler antall ruter i en av fargene
med de totale antall ruter/perler du fargela.
Hvor mange kvadratiske sideflater består en terning av? Hvor stor er sjansen for å få
6?
30
?
Kast 2 terninger 30 ganger, og skriv ned resultatet på en kreativ måte.
Her er noen forslag:
1. Legg sammen tallene. Tegn en sirkel for hver sum du får som er kastet. Hvis
du kaster en sum du allerede har tegnet en sirkel for, tegnes en sirkel rundt
den samme sirkelen, slik at den blir større. Her kan du bruke ulike farger for å
markere de ulike kastene hvis du vil.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. Tegn en geometrisk form for hver gang terningene kastes.
3. Eller du kan ordne figurene i en sirkel, eller på et linjestykke, eller på en bue.
31
Diskuter ulike metoder å representere dataene på. Hva er det som gjør
arrangementet interessant eller vakkert? Hva synes dere om måten Annika Borg har
representert sine data på?
Se også på likheter og ulikheter mellom representasjonene. Hva har bildene til felles?
Dere vil trolig observere at tallene i midten, 6, 7 og 8 er med ofte, mens de høye og
lave tallene er sjeldnere. Det er altså en symmetri i fordelingen her. Dette handler om
sannsynlighetsteori: Summen 7 har flest måter den kan kastes med to terninger på (6
måter), 6 og 8 har færre (5 måter hver), 5 og 9 har 4 måter hver, o.s.v., og 12 som
bare kan kastes på en måte.
?
Gruppeprosjekt:
Diskuter i klassen hvordan dere kan lage et stort bilde som skal vise alles
resultat fra 30 terningkast. Et forslag er å lage en ås med mange små
tregrupper slik som vist på oppg. 2. Bestem dere for hvilken farge dere vil
bruke for de forskjellige tallene eller figurene.
32
Terninger og statistikk
I boken «Matematikk med din glede»
skriver Jo Røislien også om terninger
(se s. 162). Han snakker om at man
aldri kan vite neste resultat av et
terninngkast, samme hvor mange
ganger man har spilt Yatzy. Og hvis
man kaster lenge nok, vil man til slutt
få sidene 1 til 6 opp like mange
ganger.
Det å føre statistikk har vært veldig
viktig innenfor bl.a. medisin. Det hele
begynte med en jente som het
Florence Nightingale ( 1820-1910)
Annika pleier å få Yatzy på føraste kast
ca. hver 3. mnd, men det er ikke
umulig at hun kan få Yatzy eller seks
like terninger seksti ganger på rad!
Siden Annika har skrevet ned alle
terningene hun har slått de siste 18
årene kan man si at hun har ført en
statistikk. Slik kan hun fortelle oss noe
om sannsynligheten for hvor ofte hun
får Yatzy.
Florence Nightingale.
Det er 1:7776 dels sannsynlighet for å
få Yazty hvis du gjør 101 terningkast pr
dag i 90 dager. Det betyr at sjansen
ikke er så veldig stor. I Lotto er for
eksempel vinnersannsynligheten for
førstepremien 1:5 379 616.
Florence var datter i en rik familie i
England. De ville helst at hun skulle
lære seg å være en god husmor og
serverer te, men Florence hadde andre
planer. Da hun fortalte dem at hun ikke
ønsket denne type liv, ble hennes
foreldre veldig sinte, men hun presset
faren
til
å
la
henne
få
matematikkundervisning. Siden faren
elsket tall lot han henne få lov, selv om
dette var svært uvanlig for jenter på
denne tiden.
?
Kanskje dere vil teste om hypotesen
til Annika stemmer? Hvis dere skal
få til dette må hver elev kaste alle
seks terningene ca 300 ganger, hvis
dere er 30 elever. Skriv ned hvor
mange ganger dere får Yatzy, og
sammenlign dette med Annika sitt
resultat. Lag et diagram og heng det
opp i klasserommet.
Da hun ble 24 år bestemte hun seg for
å bli sykepleier, og det skulle vise seg
at hun ville få god nytte av matematikkkunnskapene sine i denne jobben.
Annika kaster 101 terningkast om
dagen og opplever å få yatzy, på
første kast ca hver 3 mnd. Hvor
mange kast er det mellom hver
yatzy?
I boken Siffer (s. 34) forteller Jo
Røislien om hvordan Florence begynte
å føre statistikk over hva pasientene
33
hennes døde av. England var i krig, og
hun kom frem til at bare
1 av 10 pasienter døde av krigsskader.
Resten
døde
av
smittsomme
sykdommer.
Så hva tror dere hun gjorde? Hun
vasket ned det skitne sykehuset og
forbedret hygienerutinene, og fjernet
bl.a. en død hest som lå i drikkevannet
til pasientene. Nå døde det langt færre
soldater, og Florence ble en helt i
England.
? Hva tror dere hadde skjedde hvis
Florence ikke hadde ført statistikk?
Kanskje dere kan føre statistikk i
deres eget klasserom for å få et
bedre miljø?
Dere kan for eksempel føre
statistikk over hvor ofte lærer eller
elev er syke, og lage noen teorier
om hva det kan komme av.
34
Terningspill: Først til hundre
Finn frem terninger, ark og blyanter. La to og to spille mot hverandre. Hvert par har 2
terninger. Spillerne starter med å tegne en tall-linje fra 1 til 100 og tilbake til 1 igjen
(100 i midten). Førstemann kaster en terning, og bestemmer om det skal være enere
eller tiere. Så kastes den andre terningen. Valgte spilleren tiere i første kast, blir dette
enere og motsatt.
Eksempel: I første kast får du en firer, du velger tiere. I andre kast får du en femmer,
det blir enere. Resultatet ditt: 45.
Så kaster den andre på laget en ny runde, og får et nytt resultat. Finn så forskjellen
mellom de to resultatene. Så langt som dette resultatet er, skal spilleren hoppe på
tallinja. Start på null, og merk av tallet.
Så er det neste lag sin tur. Gjør likedan, men tegn hoppet på andre siden av linja,
gjerne i en annen farge.
Andre runde er likedan, men nå hopper spillerne videre fra der de landet i første
runde. Førstemann som hopper over 100 vinner.
35
«Matematiske modeller» Vitensenteret
Matematikk i kunst og håndverk – et
idèhefte for lærere i grunnskolen.
Matematikksenteret – Geobrett – Tøylige
geometriske utfordringer.
Perm med Annika Borgs kunstverk.
Matematiske modeller av papirstaver og
pepperkakedeig.
Tomasz B. Ozdowskis Lystets katedral.
CV og info om de 3 kunstnerne.
Praktisk informasjon
Tilstandsrapport.
Annet:
Innhold i kassen
60 terninger og Tangram.
Kunst:
Eske med Magnetic.
Kunstverk av Espen Gangvik
Eske med geometriske plastfigurer.
3 skulpturer: 36 cm x 13 cm x13 cm
Div materiale.
Kunstverk av Annika Borg
Rapportskjema (husk å kopiere opp nye)
1 bilde: 29 cm x 50 cm x 2, 6 cm
2 par hvite hansker.
Kunstverk av Tomasz Ozdowski
Håndtering av utstilling
1 skulptur: 17 cm x 8, 5 cm x 2, 6 cm.
Klassen må sammen bli enige om hvordan
dere skal vise kunstverkene. Disse må
være plassert på et trygt sted. Kanskje
noen
elever
vil
ta
rollen
som
kunstformidler? Lage lapper med info til
hvert kunstverk osv.
Bøker og mapper:
Oppgavehefte for 1. – 10. klasse.
Jo Røyslien og Magnus Nome: «Siffer».
Sissel Redse Jørgensen og Eirik Newth:
Det skal alltid brukes hvite hansker når
dere tar på kunstverkene, og de må
behandles med forsiktighet da det er
snakk om store verdier. Dette er kunstverk
som ikke kan erstattes og som er helt
unike.
«Matematikk med din glede».
Håvard Tjora. «Mattemagi»
«Matematisk
Thorvaldsen
kulturhistorie»
Steinar
Etter endt periode fyller dere ut vedlagt
tilstandsrapport og sender den til
Trondheim Kunstmuseum, Bispegata 7B,
7013
Trondheim
eller
på
mail:
[email protected]
«Det gylne snit» Jesper Frandsen
«Den matematiske krydderhylle» Nils Kr.
Rossing
Oppgavehefte for grunnskolen.
Når deres skole er ferdig med utstillingen
sender dere den videre, samt betaler
transport til neste destinasjon.
36
Rim og rytme, arbeide kreativt med
tegning og skirving i forbindelse med
lesing.
Kunnskapsløftet
Matematikk
Hovedområder i matematikk 1.-4.:
Tall, geometri, måling og statistikk.
Naturfag
Hovedområder i matematikk 5.-7.:
Hovedområder i naturfag 1.-10.:
Forskerspiren, mangfold i naturen, kropp
og helse, verdensrommet, fenomener og
stoffer, teknologi og design.
Tall og algebra, geometri, måling og statistikk
og sannsynlighetsregning.
Hovedområder i matematikk 8.-10.:
Tall og algebra, geometri, måling, statistikk,
kombinatorikk og funksjoner.
KRL
Hovedområder i KRL 1.- 7.:
Kristendom, jødedom, islam, hinduisme,
buddhisme og livssyn, samt filosofi og etikk.
Hovedområder i KRL 8.-10.:
Kristendom, jødedom, islam, hinduisme,
buddhisme, annet religiøst mangfold og
livssyn, samt filosofi og etikk.
«En vesentlig del av kunsten er
intellektuell, akkurat som en vesentlig del
av kunsten er håndverk.» (Håkon Bleken)
Kunst og håndverk
Hovedområder i kunst og håndverk 1.-10.:
Visuell kommunikasjon, design, kunst og
arkitektur.
Geografi
Hovedområder i samfunnsfag 1.-10.:
Historie, geografi og samfunnskunnskap.
Norsk
Hovedområder i norsk 1.-10.:
Muntlige tekster, skriftlige tekster,
sammensatte tekster, språk og kultur.
Hovedområder i norsk 1.-2.:
37
38
39
40