Transcript Dimensjonering av skråtagsbro

 Multiconsult Gruppe 1 Dimensjonering av skråtagsbro Kasper, Krithika, Erik og Pranav !"#$ Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran Dimensjonering av skråstagsbro Problemet i oppgaven bestod i en mangel på kunnskap angående dimensjonene i den ønskede
konstruksjonen: en skråstagsbro på 200 meter som krysset en motorvei, og som måtte være i
stand til å bære de tre bestemte bilene på henholdsvis omtrent 0,9 tonn, 1,2 tonn og 2 tonn. Ut
i fra kunnskapen som var gitt kunne man ved hjelp av trigonometri og grunnleggende fysikk
definere lengden mellom skråstagene og vinklene som krevdes i skråstagene og derfra
definere tykkelsen på skråstagene og midttårnet. Dermed kan plantegningen fullføres.
•
Kasper : Research og tekst
•
Pranav : Utregning
•
Erik
•
Krithika: Modeller og PowerPoint
: Utregning
Først av alt er det viktig å vite forskjellen på en skråstagsbro og en
hengebro. I en hengebro, som for eksempel figur én, er det to
kabler som strekker seg over hele broen og andre kabler strekker
seg ned fra dem.
Figur 1 I en skråstagsbro er alle kablene festet direkte i tårnet i stedet for
indirekte via kabler, se figur to. En hengebro må ha sterke fester for
hovedkablene i grunnen på begge sider, imens en skråtagsbro stiller
høyere krav til selve brodekket, altså flaten i broa. Vi kan anta at
ettersom staten valgte å lage en skråtagsbro var ikke grunnen ved broa av god
kvalitet.
1 Figur 2
Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran Modellen som ble gitt inneholdt visse opplysninger om vinkler og lengder. Målet var å finne
opprisset av broas geometri og det var dermed nødvendig å finne de resterende
vinklene/lengdene (x,y, samt de to vinklene som mangler). Dette ble gjort ved bruk av
trigonometri. Geometrien i oppgaven førte tallrike desimaler, og derfor avrundet vi til
nærmeste hele meter eller grad. Det er dermed noen små avvik underveis.
Aller først finner vi x relativt til y ved hjelp av et likningssett relatert til høyden av tårnet.
Deretter finner vi x og y ved hjelp av lengdene.
X blir 37 meter, Y blir 52 meter og Z (høyden fra broa og til toppen av tårnet) ble 62 meter.
Ved hjelp av Z og trigonometri kunne vi nå finne 𝛼 og 𝛽. 𝛼 = 40° og 𝛽 = 29°
Deretter var neste mål å finne broas
egenvekt. For å gjøre dette måtte vi finne
volumet av betongen i broa. Vi brukte
utsnittet av broa (sett rett forfra) til å finne
arealet som skulle ganges med lengden av
broa.
2 Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran Arealet av utsnittet ble 8,62 m2. Multiplisert med lengden av broa (200 meter) ble volumet av
betongen i broa på 1724 m3. Tillagt rekkverket blir tyngden av dette 43 160 kilonewton (kN),
rekkverket tilla bare 60 kN.
Neste steg i konstruksjonsplanene er å finne ut hvor tykke stagene må være. For å gjøre dette
beregnet vi først den vertikale kraften som virket på stagene, med og uten biler, før vi brukte
trigonometri for å finne hva strekkraften (diagonalt) ble. Dette er viktig ettersom strekkraften
ikke er lik tyngdekraften. At 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑥 = !"#$#å!"#! !"#$#
!"#$%&'()
gir oss at strekkraften på stag B ble
omtrent 8 meganewton (MN), C: 12,3 MN og D: 16,5 MN. Stag A sin strekkraft er definert
ved at den må motvirke alle de andre stagene sine horisontale trekkraft. Derfor får den, etter
litt regning med trigonometri, ca. 44, 4 MN i strekkraft. Dette betyr at stag As kabel må være
på 307 mm i diameter, Bs på 140 mm, Cs på 163mm og Ds på 187 mm.
Midttårnets grunnflate defineres av den samlede kompresjonskraften til
alle stagene. Denne kraften er basert på den vertikale trekkraften deres.
Samlet fører dette til at midttårnet må tåle opptil 58 MN. Men likevel
tåler tårnet mye mindre før det brekker eller velter. Dette kommer av
knekkingsprinsippet: at alle lange søyler vil bøye seg og brekke i stedet
for å knuses. Derfor må søyler som dette tårnet sikres ytterligere enn
kompresjonskraften tilsier. Men ifølge beregningene må hver side av det
kvadratiske tårnet være på omtrent én meter. I virkeligheten ville det vært
mye mer.
Betong er ikke nødvendigvis det beste materialet for denne broen. Dette kommer av at selv
om betong er billig, så er det også tungt. Da må Stål kunne vært et godt alternativ, men krever
antirustbehandling og kan også deformeres på grunn av oppvarming og nedkjøling, noe som
ikke er et like stort problem med betong. Betong kan bli for tungt, men stål krever vedlikehold
og kan skrumpe inn og utvide seg på grunn av varme. Altså kan det hende at stål er et bedre
alternativ enn betong, men dette krever atskillig flere beregninger med pris som avhenger av
prisen på stålet og betongen.
3 Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran Kilder •
Wikipedia.org om forskjellige typer betong og broer (lastet ned mellom 26 og
29.11.13)
http://en.wikipedia.org/wiki/Bridge
http://en.wikipedia.org/wiki/Concrete
•
Eldre rapport fra unicon.no om betongstandarden og terningsfasthet (lastet ned
27.11.13)
http://www.unicon.no/default.aspx?m=2&i=119
•
• Yahoo.com om terningsfastheten til betong (lastet ned 27.11.13)
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20071117172737AA1iOVj
•
Yahoo.com om Eulers formel om knekkelengde (lastet ned 27.11.13)
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20100725141542AAIwm8r
4 Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran Utregningsvedlegg Finner forholdet mellom x og y:
tan 50° * y = tan 60° * x
3 * x = 1,192y
x = 0,688y
Etter å ha funnet forholdstallet kan vi benytte likningen: 4x + y = 200
!
200 = 4x + !,!""x
200 = 5,453x
!""
x = !,!"# = 36,77 ≈ 37 meter
For y:
!""
y = !,!"# ≈ 52 meter
For høyden z:
𝑍
=𝑦
1,192
Z = 1,192y = 1,192 * 52 ≈ 62 meter
5 Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran For å vinne vinklene 𝜶 𝑜𝑔 𝜷 måtte vi først finne høyden fra veibanen og til høyeste punkt på
broen.
Z = tan 60° * 37 = 64 meter
tan α =
motstående
hosliggende
𝜶 = tan-1
!"
!"
= 40°
For vinkel 𝜷
!"
𝜷 = tan-1 !"! = 29°
Belastning på hvert stag uten biler:
37m * 0,3kN + 37m * 8,62m2 * 25kN/m3 = 7984,6 kN
Strekkraft på stag B
!"#$,!
= !"# !"° = 9219,8 kN
Strekkraft på stag C
!"#$,!
= !"# !"° = 12421,8 kN
Strekkraft på stag D
!"#$,!
= !"# !" ° = 16469,6 kN
Horisontalkraft til stag B
9219,8 kN * cos 60° = 4609,9 kN
For å regne u t strekkraften til staget til venstre for tårnet: stag A, må vi først omforme strekkreftene til de andre stagene om til horisontalkraft. Det venstre staget må utligne horisontalkreftene til de 3 stagene til høyre for tårnet. Vi bruker denne verdien til å bestemme strekkraften til stag (50°). Horisontalkraft til stag C
12421,8 kN * cos 40° = 9515,7 kN
Horisontalkraft til stag D
16469,6 kN * cos 29° = 14404,6 kN
Stag A må utligne summen av disse kreftene. Horisontalkraften til stag A må derfor være
28530,2 kN. Vi deler dette på vinkelen for å finne strekkraften.
6 Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran !"#$%,!
Strekkraften til stag A = !"# !"° = 44385, 1 kN
Vertikalkraft
Vi finner vertikalkreftene til stagene for å finne kompresjonen på broa. Vi gjør dette ved å
multiplisere diagonalkreftene(strekkreftene) med vinklene.
Stag B = 9229,6 kN * sin60° = 7993,1 kN
Stag C = 12440,5 kN * sin40° = 7996,6 kN
Stag D = 16510 kN * sin29° = 8004,6 kN
Stag A = 44471,1 * sin50° = 34066,8 kN
Kompresjonen på tårnet er summen av alle disse vertikale kreftene. Kompresjonen på broa er
på 57954,8 kN.
Alt dette ble gjentatt bare at vi la til tyngde av tre biler på tyngden. Strekkreftene i stagene og
kompresjonen hadde veldig lite forskjeller med biler og uten. Kompresjonen på tårnet med
biler ble til 58061,1 kN. Disse bilene hadde lite å si i sin helhet.
Tykkelse av stålstager med biler
Vi bruker strekkrefter på de enkle skråstager for å regne ut. Vi deler strekkreftene på
strekkapasitet. VI ble gitt strekkapasitet til stål som var på 600 N/mm2.
Stag A=
!!!"#,!∗!"""!
!"" !/!!²
= 74118,5 mm2
Vi deler tykkelsen på π og tar kvadratrot og ganger med to. Vi får diameter på 307,2 mm.
!""!,!∗!"""!
Stag B=
!"" !/!!²
= 15332,7 mm2
Vi får diameter på 139,8 mm.
!"##$,!∗!"""!
Stag C=
!"" !/!!²
= 20734,2 mm²
Vi får diameter 164,2 mm.
!"#!$,!∗!"""!
Stag D=
!"" !/!!²
= 28 518 mm²
Vi får diameter på 190,6 mm.
7 Kasper Grøndahl Klausen, Pranav Bhart, Erik Nordahl, Krithika Gunasegaran Dimensjonering av tårnet. Vi bruker tyngden med bilene. Vertikalkraften på tårnet med bilene
ble 58061,1 kN.
!
Formel for trykk: 𝑝 = !
Vi fant ut at terningsfasthet til betong B45 MF45 var på 55 Mega pascal. Dette er trykket
tårnet tåler.
Vi omformulerer formelen til å regne ut arealet.
𝐴=
𝐴=
8 !"#$%,!∗!"""!
!! !!! !!! !"
𝐹
𝑝
= 1,056m2, Dette gir en side av tårnet på 1,028m.