COURBES ALGÉBRIQUES RÉELLES

ERWAN BRUGALLÉ P ( Une x, y courbe algébrique réelle plane ) = 0 où P ( x, y ) est une courbe du plan R 2 définie par une équation de la forme est un polynôme à coefficients réels. Les courbes algébriques réelles de degré 1 et 2 sont simples et bien connues, ce sont les droites et les coniques. À mesure que le degré de P ( x, y ) augmente, le dessin réalisé par la courbe d’équation P ( x, y ) = 0 peut être de plus en plus complexe. Pour s’en convaincre, il suffit de jeter un œil à la figure 1 où sont représentés une partie des dessins possibles réalisés par une courbe algébrique réelle de degré 4.

a) b) c) d) Figure 1.

Quelques courbes algébriques réelles de degré 4 Un théorème dû à Axel Harnack à la fin du XIXème siècle affirme qu’une courbe algébrique réelle plane de degré d a au maximum d ( d − 1)+2 2 composantes connexes. Mais comment ces composantes peuvent-elles se situer les unes par rapport aux autres ? Comme souvent dans ce type de problèmes, il apparaît plus raisonnable de se restreindre au cas des courbes non-singulières et projectives (i.e.

lorsque l’on a ajouté à R 2 une droite à l’infini ). On appelle arrangement d’une courbe algébrique réelle plane la position relative de ses composantes connexes dans le plan projectif. Autrement dit, on ne s’intéresse pas à la position exacte de la courbe dans le plan, mais seulement au dessin qu’elle réalise. Par exemple si une courbe a deux composantes connexes, on se préoccupe uniquement de savoir si ces composantes sont en dehors l’une de l’autre (voir figure 1a) ou pas (voir figure 1c).

Lors du deuxième congrès international de mathématiques à Paris en 1900, David Hilbert énonça sa célèbre liste de 23 problèmes pour le XXème siècle, et la première partie de son 16ème problème peut être compris dans sa forme étendue comme suit : Étant donné un entier d , établir la liste des arrangements possibles des courbes algébriques non singulières réelles de degré d dans le plan projectif.

À l’époque de Hilbert, la réponse était connue pour les courbes de degré au plus 5. Malgré des avancées spectaculaire dans ce problème au XXème siècle, dues en particulier à des mathématiciens de l’école russe, la classification des courbes réelles planes n’est connue actuellement que jusqu’en degré 7, et de nombreuses questions restent toujours sans réponses...

Le but de ce MODAL est de rendre compte des avancées marquantes dans ce 16ème problème de Hilbert, des travaux de Harnack à nos jours. Cette problématique se trouve au carrefour de Date : 27 janvier 2014.

1

2 ERWAN BRUGALLÉ nombreuses branches des mathématiques, et les thèmes abordés comprendront : espaces projectifs, rudiments de géométrie algébrique, topologie des surfaces, patchwork et géométrie tropicale, ...

Pour avoir un petit aperçu du sujet proposé, vous pouvez jeter un oeil à [Vir] ou encore [Bru09, Section 5].

Références [Bru09] E. Brugallé. Un peu de géométrie tropicale.

Quadrature , (74) :10–22, 2009. Accessible à http ://er wan.brugalle.perso.math.cnrs.fr/articles/Quadrature/Quadrature.pdf.

[Vir] O. Ya. Viro. Real algebraic varieties with prescribed topology. http ://www.math.sunysb.edu/ ∼ oleg/es/index.html.

E-mail address : [email protected]