Transcript TS COURBES DE GAUSS

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EXPONENTIELLES COURBES DE GAUSS
1
C
Amérique du Sud - Novembre 2005
Partie A :
-x²
-x²
On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = e et g(x) = x²e .
On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal (abscisses : 2cm pour une
unité ; ordonnées : 4 cm pour une unité).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Etudier la parité de f et g
Etudier les variations de f et g.
Etudier les limites éventuelles de f et g en +∞.
Dresser le tableau de variations de ces deux fonctions.
Etudier la position relative de Cf et Cg.
Tracer Cf et Cg.
Partie B :
x
On considère la fonction g définie sur R par G(x) =
∫ t²e
− t²
dt
0
1)
2)
3)
Que représente G pour la fonction g ?
Donner pour x > 0 une interprétation de G(x) en termes d’aires.
Etudier le sens de variation de G sur R.
x
On définit la fonction F sur R par : pour tout réel x, F( x) =
∫e
0
[
− t²
dt
]
1
4) Démontrer que, pour tout réel x, G(x) = F( x) − xe −x² .
2
On admet que la fonction F admet une limite finie l en +∞ et que cette limite l est égale à l’aire, en unités d’aire, du
domaine A limité par la courbe Cf et les axes des abscisses et des ordonnées.
5) Démontrer que la fonction G admet une limite en +∞ que l’on précisera.
1
6)
Interpréter en termes d’aires le réel N =
∫ (1 − t²)e
− t²
dt
0
7)
En admettant que la limite de G en +∞ représente l’aire P en unités d’aires du domaine D limité par l’axe des
1
abscisses et la courbe Cg, justifier graphiquement que
∫ (1 − t²)e
0
− t²
dt ≥
l
2
(On pourra illustrer ce raisonnement sur la figure.)
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2
-kx²
Soit k un réel strictement positif. On définit sur R la fonction Gk par : Gk(x) = e
1)
2)
3)
4)
6)
Etudier la parité de Gk.
Démontrer que Gk est dérivable et calculer sa dérivée.
En déduire le tableau de variation de Gk.
Calculer Gk’’(x) et résoudre l’équation Gk’’(x) = 0
1
Tracer les courbes Gk pour k = , k = 1 et k = 2.
2
Démontrer que h ≤ k ⇔ Gh ≥ Gk sur R.
7)
Dans cette question k =
5)
3
C
1
. Soit a la solution positive de l’équation Gk’’(x) = 0. Déterminer une équation de la
2
tangente T à la courbe Gk au point d’abscisse a. Tracer T sur le graphique.
Courbes de Gauss et Points d’inflexion.
Soit n un entier strictement positif.
-nx²
On définit sur R la fonction fn par : fn(x) = e
1)
Etudier les variations de fn.
2)
Montrer que la dérivée seconde f’’n(x) s’annule en deux valeurs opposées an et bn.
3)
Soient An et Bn les points de C d’abscisses respectives an et bn.
a)
Montrer que lorsque n varie dans N, les points An et Bn restent sur une même droite.
b)
Démontrer que lorsque n varie dans N les tangentes aux points An et Bn à la courbe passent par un point fixe R.
Déterminer les coordonnées de ce point.
4)
Tracer les courbes Gk pour k = 1 et k = 2, ainsi que les points ak et bk et les tangentes en ces points.
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CORRIGE :
1
Amérique du Sud - Novembre 2005.
1)
2)
Les fonctions f et g sont paires.
f ' (x) = −2xe − x ²
f ' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Donc f est croissante sur ] − ∞ ; 0 ] et décroissante sur [0 ; + ∞[
g' (x) = 2x(1 − x)(1 + x)e −x ²
g' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Donc g est croissante sur ] − ∞ ; − 1 ] ∪ [0 ; 1] et décroissante sur [−1 ; 0] ∪ [1 ; + ∞[
3)
4)
5)
6)
2
lim f (x) = lim f (x) = 0
x − > +∞
x − > −∞
lim g (x) = lim g (x) = 0
x − > +∞
x − > −∞
Dresser le tableau de variations de ces deux fonctions.
f(x) − g(x) = (1 − x)(1 + x)e −x ² ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
Donc C f est au dessus de Cg sur [−1 ; 1] et en dessous sur ] − ∞ ; − 1] ∪ [1 ; + ∞[
Tracer Cf et Cg.
Soit k un réel strictement positif.
-kx²
On définit sur R la fonction Gk par : Gk(x) = e
1)
Paire donc courbe symétrique
2)
Gk est dérivable sur R comme composée de deux fonctions dérivables sur R. Gk' (x) = −2kxe−kx ²
3)
En déduire le tableau de variation de Gk.
Gk' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Donc Gk est croissante sur ] − ∞ ; 0 ] et décroissante sur [0 ; + ∞[
lim Gk (x) = lim Gk (x) = 0
x − > +∞
x − > −∞
Gk'' (x) = −2ke −kx ² (1 − 2kx ²)
4)
1
1
Gk'' (x) = 0 ⇔ x = −
ou x =
2k
2k
Un point de la courbe où la dérivée seconde est nulle est appelé point d’inflexion. A cet endroit la courbe change de
concavité. Autrement dit, la tangente « traverse » la courbe.
5) .
h≤k
⇔ −hx ² ≥ −kx ²
6)
⇔ e −hx ² ≥ e−kx ² car la fonction exp est croissante sur R
⇔ Gh ≥ Gk
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7)
3
y=−
1
e
x+
2
e
Courbes de Gauss et Points d’inflexion.
1)
fn' (x) = −2nxe −nx ²
fn' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 . Donc fn est croissante sur ] − ∞ ; 0 ] et décroissante sur [0 ; + ∞[
lim fn (x) = lim fn (x) = 0
x − > +∞
x − > −∞
fn'' (x) = −2ne −nx ² (1 − 2nx ²)
2)
1
1
fn'' (x) = 0 ⇔ x = −
ou x =
2n
2n
Un point de la courbe où la dérivée seconde est nulle est appelé point d’inflexion. A cet endroit la courbe change de
concavité. Autrement dit, la tangente « traverse » la courbe.
3) Soient An et Bn les points de C d’abscisses respectives an et bn.
1
a) Les points appartiennent à la droite d’équation y =
e
b)
4)

2 

I 0 ;
e 

.
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