Transcript Les Sujets
Clubs Maths – 2014/2015 Sujet 1 : les polyominos Les pièces du Tétris sont formées avec 4 petits carrés de même taille. Il en existe 7 différentes. Les dominos sont formés de 2 carrés accolés par un côté. Les polyominos qui en réunissent 3 sont dénommés triominos ; 4, des tetraminos ; 5, des pentaminos ; 6, des hexaminos, ; 7, des heptaminos ; 8, des octominos… Combien y’a-‐t-‐il de triominos ? pentaminos ? hexaminos ?... Peut-‐on trouver une formule qui donne le nombre de polyominos en fonction du nombre de carrés utilisés pour les fabriquer ? Est-‐il possible de paver un rectangle avec tous les tetraminos, avec tous les pentaminos ? Sujet 2 : Un problème de chapeaux On annonce à 50 personnes les règles du jeu suivant. On va vous disposer en file indienne puis on va mettre sur chacune de vos têtes un chapeau noir ou blanc. On ne précise pas le nombre total de chapeaux noirs ou blancs. Chaque personne peut voir les chapeaux des personnes devant elle mais pas le sien et chacun peut entendre les autres. On demande ensuite à chaque personne, en commençant par celle du fond, de deviner la couleur de son chapeau. Chaque personne ne peut répondre autre chose que blanc ou noir. Le but du jeu est que le maximum de personnes puissent trouver la couleur de leur chapeau. Pour cela ils peuvent discuter d'une stratégie avant de commencer. Quelle stratégie permet au maximum de personnes de trouver avec certitude la couleur de son chapeau ? Comment faire si le nombre de chapeaux possibles n'est plus deux mais trois ou cinq ? ??? Sujet 3 : Une frise dévorante C'est un sujet qui s'inspire du jeu "pierre, papier, ciseaux". La pierre vaut 1, les ciseaux 2 et le papier 3. On crée une frise infinie, avec des 1, des 2 et des 3 au hasard. Le 1 "mange" le 2, qui "mange" le 3 qui "mange" le 1. On écrit alors une deuxième frise, qui est le résultat de la première, en fonction des nombres "mangés". Ainsi, le premier nombre de la deuxième frise sera le résultat des deux premiers nombres de la première frise. Le second nombre de la deuxième frise sera le résultat des nombres n°2 et n°3 de la première frise, et ainsi de suite. Une fois la deuxième frise créée, on en fait une troisième qui sera le résultat de la deuxième en fonction des nombres "mangés". Et ainsi de suite avec une quatrième, cinquième... frise. Comment évoluent les frises ? 3 2 1 2 1 2 3 1 1 3 …. 2 3 2 1 2 1 Sujet 4 : Les Pions sauteurs On a n pions, tous identiques, disposés au hasard sur une table. On peut les bouger selon deux règles seulement : (a) deux pions peuvent se rejoindre (on les pose l'un sur l'autre) exactement au milieu du segment qu'ils formaient avant, (b) si on a deux pions l'un sur l'autre, on peut les séparer, dans n'importe quelle direction et de n'importe quelle longueur, mais de façon symétrique par rapport à leur point de départ. Avec ces règles, pourra-‐t-‐on tous les aligner ? tous les empiler ? Sujet 5 : Maths et magie On a un tas de carte, qu'on sépare en deux tas égaux. On effectue alors un mélange en alternant une carte d'un tas et une carte de l'autre. Le tas initial est donc mélangé. On recommence la procédure avec ce nouveau tas. En combien de mélanges les cartes reviennent-‐elles à leur place initiale ? Peut-‐on le savoir à l'avance ? Comment le prouver ? Sujet 7