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Pyramides et cônes
A) Pyramides.
1. Premières définitions.
Définition :
Une pyramide est un solide dont :
• une face est un polygone (c’est la base de la pyramide),
• les autres faces sont des triangles qui ont un sommet commun : le sommet de la pyramide.
Définition :
La hauteur d’une pyramide de sommet S est le segment [SH] perpendiculaire au plan de la base,
où H est un point de ce plan.
La droite (SH) ainsi que la longueur SH sont aussi appelées hauteur de la pyramide.
Définition :
Une pyramide régulière est une pyramide dont :
• la base est un polygone dont les côtés ont la même longueur et les angles ont la même
mesure,
• les faces latérales sont des triangles isocèles ayant pour sommet principal le sommet de la
pyramide.
Propriété :
Le pied de la hauteur d’une pyramide régulière est le centre du cercle circonscrit à sa base.
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4ème B
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Exercice n°1 :
On considère la figure ci-après.
1) Pour chacune des pyramides ci-dessus, indique :
a) son sommet
b) sa base
c) une arête latérale
d) une face latérale cachée.
2) Recopie le tableau suivant et complète-le.
3) Que remarques-tu concernant les nombres S, F et A ? Quelles conjectures émets-tu ?
Exercice n°2 :
1) Représente à main levée en perspective cavalière une pyramide régulière de sommet S ayant
pour base un triangle équilatéral ABC. Appelle H le pied de sa hauteur.
2) On suppose que : SH = 8 cm et SA = 10 cm .
a) Détermine SB et SC.
b) Quelle est la nature des triangles SHA, SHB et SHC ?
c) Hugo dit que H est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Es-tu d’accord avec
lui ?
2. Patrons et volume d’une pyramide :
Propriété : (Patrons d’une pyramide)
Il existe plusieurs patrons d’une même pyramide.
Exemple : on a représenté ci-dessous trois patrons d’une même pyramide régulière à base carrée
(il y en a d’autres)
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Propriété : (Volume d’une pyramide)
Le volume V d’une pyramide s’obtient en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur et en
aire de la base × hauteur
divisant le résultat obtenu par 3. On a donc : V =
.
3
Exercice n°3 :
Calcule le volume d’une pyramide de hauteur 5 m , dont la base est un rectangle de dimensions
9 m et 7 m .
Exercice n°4 :
On considère le cube ABCDEFGH ci-contre, de 6cm d’arête.
I, J et K sont les milieux respectifs de [AB], [BC] et [BF].
Hugo sépare avec une scie le bout coloré, du reste.
1) Quelle est la nature du solide rose ? Calcule son volume.
2) Combien de faces, d’arêtes et de sommets a le solide restant ?
3) Calcule le volume V en cm 3 de ce solide.
Exercice n°5 :
ABCDELMN est un pavé droit. AB = 6 cm BC = 3,5 cm AE = 2 cm F est un point de [DC].
1) Montre que l’aire du triangle AFB est égale à 10,5 cm 2 .
2) Ali dit que ce n’est pas difficile si l’on commence par faire au brouillon une figure
représentant le quadrilatère ABCD et le triangle ABF.
3) Calcule le volume en cm3 de la pyramide MABF.
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B) Cône de révolution.
1. Premières définitions.
Définition :
Un cône de révolution est un solide décrit par un triangle rectangle effectuant un tour complet
autour d’un des côtés de l’angle droit.
Définition :
La hauteur d’un cône de sommet S est le segment [SH] perpendiculaire au cercle de base, où H
est le centre de ce cercle.
La droite (SH) ainsi que la longueur SH sont aussi appelées hauteur du cône.
Définition :
Tout segment ayant pour extrémités le sommet d’un cône et un point du cercle de base est appelé
une génératrice du cône.
Exercice n°6 :
La hauteur d’un cône de révolution est de 7 cm et la longueur de ses génératrices vaut 10 cm .
1) Mets en évidence sur la figure ci-contre les données de l’énoncé.
2) Détermine l’arrondi au dixième du rayon en cm du disque de base.
Exercice n°7 :
Peut-on ranger ce cône de révolution dans un cylindre de 4,1 cm de rayon et de hauteur 9,2 cm ?
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2. Patron et volume d’un cône:
Propriété : (Patron d’un cône)
Voici le patron d’un cône dont le disque a un rayon de 4,5 cm :
Propriété : (Volume d’un cône)
Le volume V d’un cône s’obtient en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur et en divisant le
aire de la base × hauteur
.
résultat obtenu par 3. On a donc : V =
3
Exercice n°8 :
Voici deux vases :
1) Calcule le volume du cône en fonction de R.
2) Calcule ce volume en cm 3 pour R = 10 et R = 4.
3) Calcule le volume en cm 3 , puis en litres du parallélépipède.
Exercice n°9 :
Un verre ayant la forme d’un cône de 6 cm de diamètre et de 15 cm de hauteur est rempli d’eau.
On verse son contenu dans une casserole de 12 cm de diamètre.
Quelle est alors la hauteur d’eau dans la casserole ?
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Exercice n°10 :
Pour fabriquer un objet d’art, on creuse dans un parallélépipède en verre un cône.
Calcule le volume en cm 3 de l’objet ainsi obtenu.
Tu donneras la valeur exacte du résultat ainsi que son arrondi à l’unité.
Exercice n°11 :
Un tronc de cône est déterminé par un cône (C ) duquel on retire un autre cône (C ') .
Le tronc de cône représenté ci-dessous est défini par un cône (C1 ) de sommet J et de base le
disque de rayon [BH] et par un cône (C 2 ) de sommet J et de base le disque de rayon [FC]. On
sait que : BJ = 18 dm ; FJ = 14,4 dm et BH = 12,5 dm . Les droites (FC) et (BH) sont parallèles.
1) Calcule, en justifiant, la longueur FC.
2) Calcule le volume V1 du cône (C1 ) en fonction de π .
3) Calcule le volume V2 du cône (C 2 ) en fonction de π .
4) Calcule le volume V3 du tronc de cône en fonction de π . Donne la valeur arrondie au dm 3 .
Exercice n°12 :
Complète les pointillés suivants :
4235 dm = …………. dam
53 dm
= 0,53………….
2
4235 dm = …………. dam 3
53 dm 2
= 0,53 …………
3
4 235 dm = …………. dam 3
53 dm 3
= 0,053 …………
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32,25 m
0,035 km
0,035 m 2
0,035 km 2
3,225 m 3
0,035 km 3
= …………… mm
= 3,5 ……………
= ………..… mm 2
= 350 …………...
= …………… cm 3
= 35 …………….
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Exercice n°13 :
La figure ci-contre représente-t-elle un patron de pyramide ?
Exercice n°14 :
Complète les pointillés suivants sachant que : 1 L = 1 dm 3
1 dL = ………………..... dm 3 = …………….. cm 3 =…………………….. dam 3
35 L = …………………. cm 3 = 0,035 ……………
Exercice n°15 : Vu au Brevet
Dans tout le problème, les unités employées sont le cm , le cm 2 et le cm 3 .
Partie I
On considère le solide représenté ci-dessous :
• ABCDEFGH est un pave droit de base carrée ABCD avec AB = 1,5 et de hauteur AE = x ;
• SEFGH est une pyramide régulière de hauteur 4 cm .
On appelle V1 le volume du solide représenté ci-dessous.
1) Démontrer que V1 = 2,25 x + 3 .
2) Le volume V1 est-il proportionnel à la hauteur x ? Justifier.
Partie II
On considère un cylindre de révolution dont la base est un disque d'aire 3 cm 2 et dont la hauteur
variable est notée x . On appelle V2 le volume d'un tel cylindre.
1) Exprimer le volume V2 en fonction de x .
2) Le volume V2 est-il proportionnel a la hauteur x ? Justifier.
Partie III
Pour quelle valeur de x les deux solides ont-ils le même volume ? Quel est ce volume ?
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Exercice n°16 : Vu au Brevet
Soit la pyramide SABC de sommet S et de base ABC. Les triangles SAB et SAC sont rectangles
en A. Les dimensions sont données en millimètres : AS = 65 ; AB = 32 ; AC = 60 ; BC = 68.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2) Calculer le volume de la pyramide SABC.
3) Tracer un patron de cette pyramide.
Exercice n°17 : Vu au Brevet
La figure ci-dessous représente un cône de révolution (C ) de hauteur SO = 20 cm et de base le
cercle de rayon OA = 15 cm .
1) Calculer en cm 3 le volume de (C ) , on donnera la valeur exacte sous la forme kπ , k étant
un nombre entier.
2) Montrer que SA = 25 cm .
3) L'aire latérale d'un cône de révolution est donnée par la formule π × R × SA ( R désignant le
rayon du cercle de base). Calculer en cm 2 l'aire latérale de (C ) .On donnera une valeur
exacte sous la forme nπ ( n étant un nombre entier) puis une valeur approchée à 10 −1 prés.
Exercice n°18 : Vu au Brevet
La société Truc fabrique des enseignes publicitaires composées de deux cônes de révolution de
même diamètre 24 cm et de même hauteur 40 cm .
1) Calculer la valeur exacte puis la valeur arrondie au dm 3 du volume d'une enseigne.
2) Pour le transport, chaque enseigne est rangée dans un étui en carton ayant la forme d'un
cylindre le plus petit possible et ayant la même base que les cônes. Calculer le volume de cet
étui en négligeant l'épaisseur du carton.
En donner la valeur exacte en cm 3 puis la valeur arrondie au dm 3 .
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Exercice n°19 : Vu au Brevet
Un bien étrange sablier...
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que :
AB = 8 cm ; BC = 6 cm et la hauteur AE = 12 cm .
Le point M est situe sur l'arête [CG] et on a : CM = 7 cm .
1)
2)
3)
4)
Calculer l'aire du triangle rectangle DAC.
Calculer le volume V1 de la pyramide MADC.
Calculer la longueur GM puis calculer le volume V2 de la pyramide MEFGH.
On remplit complètement la partie haute MADC du sablier avec du sable. Lorsque le sable
aura fini de s'écouler, la partie basse sera-t-elle pleine ? Et si non, quel volume restera-t-il ?
Exercice n°20 : Vu au Brevet
La pyramide régulière à base carrée SABCD ci-dessous a une base de 50 cm 2 et une arête [SA]
de 13 cm .
1) Calculer la valeur exacte de AB puis démontrer que : AC = 10 cm .
2) Soit H le centre de ABCD. On admet que (SH) est perpendiculaire a (AC). Démontrer que :
SH = 12 cm puis calculer le volume de SABCD.
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