Transcript 005 FORMULE DES VOLUMES DES SOLIDES

Formule des volumes des solides.
Les bases et les faces latérales des solides délimitent un espace.
Le calcul de cet espace s’appelle le volume.
Exemple
Volume d’un prisme
Le volume d’un prisme s’obtient en multipliant l’aire d’une base
par la hauteur du prisme.
h
largueur
Longueur
Volume
prisme
= Aire d’une base X hauteur
Volume
prisme
= Aire
base
X hauteur
Volume
prisme
= Aire
base
X hauteur
h
Volume : L X l X h
largeur
Volume : L l h
Longueur
Volume : n X c X a X h
2
h
Volume : n c a X h
2
Volume : b X h
2
Volume : b h
h
X h
Attention
X h
2
Remarque: La hauteur d’un prisme est le segment joignant les deux faces parallèles.
Volume d’un cube
c
c
c
Le cube ayant toutes ses arêtes de même mesure, la formule pour
calculer son volume est très simple.
Volume
cube
= c3
Exemple
Calcule le volume de ce prisme.
3 cm
5 cm
4 cm
Volume : L l h
Volume : 4 X 5 X 3 = 60 cm3
car 3 dimensions : longueur
largueur
hauteur
Exemple
Calcule le volume de ce prisme.
Volume : n c a X h
7m
2
5m
Volume : 6 X 5 X 7 X 15
2
Volume : 1 575 m3
15 m
Exemple
Calcule le volume de ce prisme.
3 dm
Volume : b X h
2
8 dm
X H
4 dm
Volume : 4 X 3
2
X8
Volume : 48 dm3
Remarque : Dans un triangle rectangle, les deux cathètes correspondent à la
base et à la hauteur.
Exemple
Calcule le volume de ce cube.
9 mm
Volume
cube
= c3
Volume
cube
= 93
Volume
cube
= 729 mm3
9 mm
9 mm
Volume d’un pyramide
Le volume d’une pyramide s’obtient en multipliant l’aire de la base
par la hauteur de la pyramide
et en divisant par trois.
À base égale et à hauteur
égale, l’espace occupé par
une pyramide est 3 fois
plus petit que celui du
prisme.
Volume
pyramide
= Aire de la base X h
3
Volume
pyramide
= Aire
base
3
Xh
Volume
pyramide
= Aire
base
Xh
3
Volume
pyramide
= c2 h
3
droite à base carrée
Volume
pyramide
= nca
2
3
droite à base hexagonale
Xh
Exemple
Calcule le volume de cette pyramide.
8m
Volume
pyramide
= Aire de la base X h
3
Volume
pyramide
= c2 h
3
Volume
pyramide
= 12 X 12 X 8
3
= 384 m3
12 m
12 m
Exemple
Calcule le volume de cette pyramide.
a
On ne connaît pas la hauteur donc
1) Déterminer le demi-côté: 3 m
2) Déterminer la hauteur : a2 = c2 - b2
a2 = 52 - 32
a2 = 16
a =4m
?
4m
6m
b
3m
c
5m
6m
Exemple
Calcule le volume de cette pyramide.
4m
Volume
pyramide
= Aire de la base X h
3
Volume
pyramide
= c2 h
3
Volume
pyramide
= 6 X 6 X4
3
= 48 m3
6m
6m
Exemple
Calcule le volume de cette pyramide.
7m
Volume
pyramide
= nca
Xh
2
4m
3
Volume
pyramide
=
6X5X4
2
3
Volume
pyramide
=
140 m3
5m
X7
Volume d’un cylindre
Le volume d’un cylindre s’obtient en multipliant l’aire d’une base
par la hauteur du cylindre.
h
Volume
cylindre
= π X r2 X h
Volume
cylindre
= π r2 h
Exemple
Calcule le volume de ce cylindre.
10 cm
Volume
cylindre
= πr2h
Volume
cylindre
= π X 52 X 10
Volume
cylindre
≈ 785,4 cm3
5 cm
Volume d’un cône
Le volume d’un cône s’obtient en multipliant l’aire de la base
par la hauteur du cône
et en divisant par trois.
À base égale et à hauteur
égale, l’espace occupé par
un cône est 3 fois plus
petit que celui du cylindre.
Volume
cône
= π X r2 X h
3
Volume
cône
= π r2 h
3
Exemple
Calcule le volume de ce cône.
12 m
9m
Volume
cône
= π r2 h
3
Volume
cône
= π X 92 X 12
3
Volume
cône
≈ 1 017,88 m3
Exemple
Calcule le volume de ce cône.
On ne connaît pas la hauteur donc
1) Rayon : 3 cm
2) Déterminer la hauteur :
a
5 cm
c
4 cm
?
a2 = c2 - b2
a2 = 52 - 32
a2 = 25 - 9
a2 = 16
a = 4 cm
b
3 cm
Calcule le volume de ce cône.
4 cm
3 cm
Volume
cône
= π r2 h
3
Volume
cône
= π X 32 X 4
3
Volume
cône
≈ 37,7 cm3
Volume d’une boule
Une boule est un solide régulier donc sa formule est simple.
Volume
boule
= 4 X π X r3
3
Volume
boule
= 4 π r3
3
Exemple
Calcule le volume de cette boule.
Volume
boule
=4π
r3
3
Volume
boule
Volume
boule
= 4 X π X 53
3
≈ 523,6 dm3
r = 5 dm
En résumé
Volume d’un prisme :
Aire
base
Volume d’une pyramide : Aire
base
Xh
Xh
3
Ces deux formules dépendent de la forme des bases.
Volume d’un cylindre : Aire
Volume d’un cône : Aire
base
base
Xh
3
Volume d’une boule =
4 π r3
3
Volume du cube : c3
Xh
=
= π r2 h
π r2 h
3