Transcript Sections planes de solides

CHAPITRE
Sections planes de
solides
Énigme du chapitre.
On dipose d’un cylindre dont le cercle de base
fait 4 cm de rayon et d’une pyramide regulière
de hauteur 10 cm et dont la base est un carré
de 10 cm de côté.
À quelle hauteur (par rapport à la base) fautil couper la pyramide (par un plan parallèle à
la base) pour que la section obtenue ait la
même surface qu’un plan sectionnant le cylindre
à notre disposition ?
8
Objectifs du chapitre.
— Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face,
à une arrête.
— Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un
plan parallèle ou perpendiculaire à son
axe.
— Connaître et utiliser les sections d’un
cône de révolution et d’une pyramide
par un plan parallèle à la base.
I/ Section d’un pavé droit
Définition
Lorsqu’un solide est coupé par un plan, la section du solide par le plan est constituée de tous les
points qui appartiennent à la fois au plan et au solide.
Activité A. Sections d’un pavé droit, d’un cube
1. Sections d’un pavé droit.
(a) Pour faire un gâteau, on coupe une plaquette de beurre parallèlement à l’une de
ses faces. Quelle est la forme de la section ? Et si on coupe parallèlement à l’une
de ses arrêtes mais sans être parallèle à
une face.
(b) On considère le pavé droit ABCDEF GH
ci-contre, où AB
cm ; AD
; cm
et AE
cm.
On place un point M sur AE tel que
AM
cm et on coupe le solide parallèlement à la face ABCD.
Reproduire le pavé ci-contre puis trace en
rouge la ligne de section passant par M .
Quelle est la nature de la section ? Quelle
est la nature de la section ? Dessine-la en
vraie grandeur.
=4
=1
=3
=15
[ ]
(c) En coupant le pavé par un plan parallèle à la face AEF B , quelle sera la nature de la
section ? Faites-en une représentation en vraie grandeur.
(d) Même question pour un plan parallèle à la face
(e) On coupe cette fois le pavé ABCDEF GH
par un plan parallèle à l’arrête AD et passant par un point N de AB .
[ ]
[ ]
Quelle est la nature de la section ? Que
peux-tu dire de ses dimensions ?
BF GC .
2. Sections d’un cube
On
cosnidère
ci-contre
ABCDEF GH d’arête cm.
5
un
cube
(a) Dessiner une représentation en perspective du cube et placer un point M sur
AD .
Dessiner la ligne de la section du cube
par le plan parallèle à la face AEF B qui
passe par le point M . Dessiner alors la
section en vraie grandeur.
[ ]
(b) Dessiner, sur les représentations en perspectives puis en vraie grandeur, la plus
grande section du cube qu’on peut obtenir en le coupant par un plan parallèle à
l’arête F B .
[ ]
Propriété
La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle de
mêmes dimensions que cette face.
Exemple
On coupe le pavé droit ABCDEF GH par un
plan parallèle à la face ABCD. La section est un
rectangle de mêmes dimensions que ABCD.
Remarque
Dans le cas particulier du cube, la section
par un plan parallèle à une face est un carré de
même dimension par cette face.
Propriété
La section d’un pavé droit ou d’un cube par un plan parallèle à une arrête est un rectangle, dont
l’une des dimensions correspond à la longueur de cette arête.
Exemple
On coupe le pavé droit ABCDEF F GH par
un plan parallèle à l’arête EH de longueur
cm. La section est le rectangle MNOP où
MN EH .
4
[ ]
=
La face AEF B du pavé droit est un rectangle dont le triangle MEP est rectangle en
p E.
En appliquant le théorème de Pythagore p
dans ce triangle, on démontre que MP
.
cm.
Les dimensions de MNOP sont cm et
4
Faire les exercices 1 2 3 4 F
13
= 13
II/ Section d’un cylindre de révolution
Activité B. À la scierie
On débite un tronc d’arbre assimilé à un cylindre de révolution de rayon ; m et de hauteur
m.
04
2
1. On le coupe perpendiculairement à l’axe du tronc. Quelle est la forme de la section ?
Représentez celle-ci à l’échelle = .
1 20
2. En sectionnant le tronc parallèlement à son axe, quelle forme obtient-on ? Faites une
représentation possible à l’échelle = .
1 40
3. Pour obtenir une planche, on coupe le tronc par un plan parallèle à son axe. Faites un
schéma en perspective de la section.
Quelle est la forme réelle de la section ? Quelles sont ses dimensions possibles ?
Propriété
La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même
rayon que la base.
Exemple
On coupe un cylindre de révolution par un
plan perpendiculaire à son axe. La section est
un cercle de même rayon que la base.
Propriété
La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle.
Exemple
On coupe un cylindre de révolution de hauteur
cm dont le rayon de base est
cm,
parallèlement à son axe, à cm de celui-ci. La
section est un rectangle de longueur la hauteur
du cylindre du cylindre : ici,
cm.
10
2
10
3
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC , on démontre
p que DC
Les dimensions de la section rectangulaire de ce cylindre sont
cm et
cm.
10
Faire les exercices 5 6 7 8 F
2 5
= 2p5.
III/ Section d’une pyramide ou d’un cône de révolution
Activité C. Section d’une pyramide ou d’un cône de révolution
1. Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base
On considère la pyramide regulière SABCD (e) Calculer le volume de la pyramide
à base carrée de centre O représentée ciSABCD puis en déduire celui de la py0
contre. Par un point O de SO , on coupe la
ramide SA0 B 0 C 0 D0 .
pyramide parallèlement à sa base. On donne
AB
; cm ; SO
cm et SO0
cm.
[ ]
=45
=6
=2
(a) Que peut-on dire des droites (OA)
et (O0 A0 ) ? (AB ) et (A0 B 0 ) ? (BC ) et
(B0C 0) ? Justifier.
(b) Représenter les triangles
en vraie grandeur.
SOA et SAB
(c) Démontrer que
A0 B 0
AB
=
B0C 0
BC
=
C 0 D0
CD
=
D0 A0
:
DA
En déduire la nature du quadrilatère
A0 B 0 C 0 D0 .
(d) Quelle est la nature de la pyramide
SA0 B 0 C 0 D0 ?
2. Section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base Le triangle SOA
rectangle en O engendre un cône de révolution de hauteur
cm et de rayon de base
cm. On réalise la section de ce cône par le plan parallèle à la base passant par O0 , un point
de SO tel que SO0
cm.
0
0
0
(a) Calculer O A et SA .
20
[ ]
5
=2
(b) Calculer les valeurs exactes des volumes des deux cônes.
(c) Par quel coefficient faut-il multiplier le volume du grand cône pour obtenir celui du
petit cône ?
Propriété
La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une
réduction de la base.
Exemples
1. On coupe une pyramide SABCD à base carrée de côté cm et de hauteur cm, par un
plan parallèle à sa base à cm du sommet.
4
Le coefficient de réduction est k
donc
5
4
0
0
A B k AB 5 ; cm.
La section est donc un carré de côté ; cm.
3
=
5
=
4
=
3=24
24
2. On coupe un cône de révolution par un plan
parallèle à sa base.
La section est une réduction de la base, c’est
donc un cercle.
Faire les exercices 9 10 11 12 F
Problèmes :
Faire les exercices 13 F 14 F 15 F 16 F
Vu au brevet :
Faire les exercices 17 F 18 F 19 F 20 F