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Variations et fonctions de référence
A) Rappels : Sens de variation et extremum d’une fonction.
1. Fonction croissante.
Définition :
Dire qu’une fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I
signifie que l’une des deux propositions suivantes est vérifiée :
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
a < b ⇒ f (a ) < f (b ) .
f (b) − f (a )
> 0.
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
b−a
2. Fonction décroissante.
Définition :
Dire qu’une fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I
signifie que l’une des deux propositions suivantes est vérifiée :
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
a < b ⇒ f (a ) > f (b ) .
f (b) − f (a )
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
< 0.
b−a
3.
Tableau de variations.
Définition :
Étudier les variations d'une fonction f c'est déterminer les intervalles sur lesquels cette fonction
est monotone, c'est-à-dire croissante ou décroissante.
On résume les résultats obtenus dans un tableau de variations.
Exemple :
Sur la courbe ci-dessous, f est décroissante sur [− 3 ; − 1] et croissante sur [− 1 ; 2] .
Le tableau de variations de f est donné ci-dessous :
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4.
Extremum.
Définition :
• Dire que la fonction f admet un maximum en a sur l'intervalle I signifie que, pour tout réel x
de I, on a : f ( x) ≤ f (a ) .
• Dire que la fonction f admet un minimum en b sur l'intervalle I signifie que, pour tout réel x
de I, on a : f ( x) ≥ f (b) .
• La fonction f admet un extremum sur l'intervalle I si elle admet un minimum ou un maximum
sur I.
B) Fonctions affines.
1. Définition d’une fonction affine.
Définition :
f est une fonction affine, si et seulement si, il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x :
f ( x) = ax + b .
Notation :
• a est appelé coefficient directeur.
• b est appelé ordonnée à l’origine.
Propriété :
f est une fonction affine vérifiant f ( x1 ) = y1 et f ( x 2 ) = y 2 on a alors a =
f ( x 2 ) − f ( x1 )
.
x 2 − x1
2. Variations d’une fonction affine.
Dans toute cette partie, f est la fonction affine définie pour tout réel x par : f ( x) = ax + b .
Propriétés :
Tableau de variations d'une fonction affine selon le signe de a :
1er Cas : a < 0
x
–∞
∞
f (x)
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2ème Cas : a > 0
+∞
∞
x
–∞
∞
+∞
∞
f (x)
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3. Représentation graphique d’une fonction affine.
Propriétés :
La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation : y = ax + b .
2ème Cas : a > 0
1er Cas : a < 0
4. Signe d’une fonction affine.
−b
.
a
x > − b
2ème cas : ax + b > 0 donc ax > −b d’où 
x < − b
x < − b
3ème cas : ax + b < 0 donc ax < −b d’où 
x > − b
On obtient alors les tableaux de signes suivants :
1er cas : ax + b = 0 donc ax = −b d’où x =
a si a > 0
a si a < 0
a si a > 0
a si a < 0
.
.
Exemples : Représentations graphiques
Soit f et g deux fonctions définies pour tout réel x par : f ( x) = −2 x − 3 et g ( x) = 3 x .
Représenter graphiquement les fonctions f et g dans un repère du plan.
Représentation graphique de f.
f est une fonction affine, sa représentation graphique C f
est donc une droite. Il suffit d'avoir deux points appartenant
à cette droite pour pouvoir la tracer.
• On calcule, par exemple, f (0) = −2 × 0 − 3 = −3 .
On place le point A(0 ; − 3) .
• On calcule, par exemple, f (2) = −2 × 2 − 3 = −7 .
On place le point B(2 ; − 7 ) .
Conclusion : C f est la droite passant par les points :
A(0 ; − 3) et B(2 ; − 7 ) .
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Représentation graphique de g.
g est une fonction linéaire, sa représentation graphique C g
est donc une droite qui passe par l'origine du repère. Il suffit
d'avoir un autre point de cette droite pour pouvoir la tracer.
• On calcule par exemple g (2) = 2 × 3 = 6 .
On place le point C (2 ; 6 ) .
Conclusion : C g est la droite passant par les points
O(0 ; 0 ) et C (2 ; 6 ) .
Exemples : Etude du signe de fonctions affines
Soit f et g deux fonctions définies pour tout réel x par : f ( x) = 2 x − 1 et g ( x) = −3 x − 4 .
Signe de f.
Le coefficient directeur de la fonction affine f est a = 2 > 0 , on obtient alors le tableau de signes
suivant :

1

2 x − 1 > 0 si x ∈  2 ; + ∞ 



On en déduit que : 
.
2 x − 1 < 0 si x ∈  − ∞ ; 1 


2 
Signe de g
Le coefficient directeur de la fonction affine g est a = −3 < 0 , on obtient alors le tableau de
signes suivant :

 4

− 3 x − 4 < 0 si x ∈  − 3 ; + ∞ 



On en déduit que : 
.
4


− 3 x − 4 > 0 si x ∈ − ∞ ; −


3 
Exercice n°1 :
Soit f la fonction définie par f ( x) = mx + p .
1) Comment s’appelle cette famille de fonctions et quelle est sa représentation graphique ?
f (b) − f (a )
2) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R :
= m.
b−a
3) En déduire que les variations de f sur R dépend uniquement du signe de m.
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C) Fonctions inverse.
1. Définition de la fonction inverse.
Définition :
1
.
x
1) La fonction inverse est définie sur R* = ]–∞, 0[ ∪ ]0, +∞[.
2) La fonction inverse est décroissante sur ]–∞, 0[ et sur ]0, +∞[.
La fonction inverse est la fonction f définie par f ( x) =
2. Variations de la fonction inverse.
x
–∞
∞
+∞
∞
0
La double barre dans ce tableau
signifie que 0 est une valeur interdite
pour cette fonction.
f (x)
3. Représentation graphique de la fonction inverse.
Remarque : La représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exercice n°2 :
Soit f la fonction définie par f(x) =
1
.
x
f (b) − f (a )
< 0.
b−a
f (b) − f (a )
2) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R+* :
< 0.
b−a
3) En déduire les variations de f sur Df.
1) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R-* :
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D) Fonctions racine carrée.
1. Définition de la fonction racine carrée.
Définition :
La fonction racine carrée est la fonction f définie par f ( x) = x .
1) La fonction racine carrée est définie sur R+ = [0, +∞[.
2) La fonction racine carrée est croissante sur [0, +∞[.
2. Variations de la fonction racine carrée.
x
0
+∞
∞
f (x)
3. Représentation graphique de la fonction racine carrée.
Exercice n°3 :
Soit f la fonction définie par : f ( x) = x .
1) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R+ :
On pensera à multiplier la première expression par
dénominateur.
b− a
1
=
.
b−a
b+ a
b + a au numérateur et bien sûr au
2) En déduire que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R+ :
f (b) − f (a )
> 0.
b−a
3) En déduire les variations de f sur Df.
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E) Fonctions cube.
1. Définition de la fonction cube.
Définition :
La fonction cube est la fonction f définie par f ( x) = x 3 .
1) La fonction cube est définie sur R.
2) La fonction cube est croissante R.
2. Variations de la fonction cube.
x
–∞
∞
+∞
∞
f (x)
3. Représentation graphique de la fonction cube.
Exercice n°4 :
Soit f la fonction définie par : f ( x) = x 3 .
1) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R : b 3 − a 3 = (b − a ) b 2 + ab + a 2 .
f (b) − f (a )
2) En déduire que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R+ :
> 0.
b−a
f (b) − f (a )
3) En déduire que pour tout a et b (a ≠ b) appartenant à R- :
> 0.
b−a
4) En déduire les variations de f sur Df.
(
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)
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Exercice n°5 :
Lire l’équation réduite de chaque droite sur le graphique suivant :
Exercice n°6 :
Déterminer les expressions des fonctions affines f.
Dresser leur de variation et donner leur tableau signe.
1) f est linéaire et f (2) = 3 .
2) f (3) = 10 et f (6) = 19 .
3) f (− 1) = 2 et f (4 ) = −6 .
Exercice n°7 :
Une production passe, en un an, de 23 tonnes à 24,2 tonnes.
On modélise cette production, en tonnes, par une fonction affine f , où x est le nombre de mois
écoulés. Ainsi, f (0) = 23 et f (12) = 24,2 .
Déterminer l’expression f ( x ) en fonction de x et dresser son tableau de variation.
Exercice n°8 :
Entre 2004 et 2008, le nombre de femmes actives en France métropolitaine est passé de 11485
milliers à 12243 milliers. On suppose que le nombre de femmes actives entre 2004 et 2008 peut
être modélisé par une fonction affine f.
1) Déterminer f ( x ) en fonction de l’année x.
1) En supposant que l’évolution se poursuit ainsi pendant quelques années, estimer le nombre
de femmes actives en 2011.
Exercice n°9 :
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1) 5 x − 7 = 0 .
2) − 2 x + 4 = x − 6 .
3) 5 x + 7 = −3 x − 2 .
4) − 2 x + 4 > 0 .
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5) 3x − 4 ≥ 3(2 x − 5) − 2
1
1
6) 3 x − ≤ 5 x + .
2
4
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Exercice n°10 : Interpolation linéaire.
Entre 2000 et 2007, le montant des soins hospitaliers annuels est passé de 52,7 milliards d’euros
à 72,7 milliards d’euros. On suppose que le montant des soins hospitaliers annuels entre 2000 et
2007 peut être modélisé par une fonction affine f.
1) Déterminer f ( x ) en fonction de l’année x.
2) En supposant que l'augmentation annuelle du montant des soins hospitaliers est constante
entre 2000 et 2007, estimer le montant des soins hospitaliers en 2002 et en 2005.
Exercice n°11 : Extrapolation linéaire.
La consommation de yaourts est passée de 19,9kg par personne en 2000 à 22,3kg par personne
en 2007. On modélise cette consommation par une fonction affine f, où x est le nombre d'années
écoulées depuis 2000.
1) Déterminer cette fonction affine f, en arrondissant le coefficient a à 10 −3 près.
2) En supposant que l’évolution se poursuit ainsi pendant quelques années, estimer la
consommation de yaourts en 2015.
Exercice n°12 :
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1
1)
= −5 .
x
3
2)
= 5.
2x
−4
3)
= 3.
x +1
3
4) x − 1 =
x +1
1
3
<− .
x
4
1
6)
< 2.
x −1
2x − 3
7)
≥2
x −1
−4
8) 3 x + 1 ≥
.
x−2
5)
Exercice n°13 :
Soit H la courbe représentative de la fonction inverse et D la droite d’équation : y =
1 x +1
<
.
x
6
2) En déduire les positions relatives de H et D.
x +1
.
6
1) Résoudre algébriquement l’inéquation
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Exercice n°14 :
3x + 1
x+2
1) A quelle famille de courbes appartient cette fonction ?
2) Donner le domaine de définition, Df, de f.
−5
3) Montrer que pour tout x∈Df : f ( x) = 3 +
.
x+2
4) Soient a et b deux réels distincts de Df.
5(b − a )
.
a) Montrer que : f (b) − f (a ) =
(b + 2 )(a + 2)
f (b) − f (a )
5
b) En déduire que
=
.
b−a
(b + 2)(a + 2)
c) En déduire que f est croissante sur ]− 2 ; + ∞[ et croissante sur ]− ∞ ; − 2[ .
5) Dresser son tableau de variation.
6) Tracer Cf dans un repère orthonormé.
7) Algébriquement donner les antécédents de 2 par f.
8) Résoudre, algébriquement, l’inéquation : f(x) ≥ 3.
9) Le point A(− 1 ; 2) appartient-il à Cf ?
10) Résoudre, graphiquement, l’inéquation : f ( x) ≤ − x + 2 .
11) En déduire, algébriquement, l’inéquation : f ( x) ≤ − x + 2 .
On considère la fonction f définie par f ( x) =
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Exercice n°15 :
Soit f la fonction donnée par : f ( x) = x − 3 .
1) Déterminer son domaine de définition Df.
2) Afficher la représentation graphique Cf de f sur l’écran de votre calculatrice.
3) Soit a et b deux réels tels que : 3 ≤ a < b .
a) Justifier que f (a ) < f (b) .
b) En déduire que f est croissante sur Df.
c) Dresser le tableau de variation de f.
Exercice n°16 :
Soit f la fonction donnée par : f ( x) = − 0,5 x + 3 .
1) Déterminer son domaine de définition Df.
2) Afficher la représentation graphique Cf de f sur l’écran de votre calculatrice.
3) Soit a et b deux réels tels que : a < b ≤ 6 .
a) Justifier que − 0,5a + 3 > − 0,5b + 3 .
b) En déduire que f est croissante sur Df.
c) Dresser le tableau de variation de f.
Exercice n°17 :
Le coût unitaire d’une production de piments, en euros par kg, peut être modélisé par la
fonction : U ( x) = 0,35 x − 20 + 3 où x ∈ [200 ; 600] est le nombre de kg produits.
1) Afficher la représentation graphique Cf de f sur l’écran de votre calculatrice.
2) Soit a et b deux réels tels que : 200 ≤ a < b ≤ 600 .
a) Justifier que f (a ) < f (b) .
b) En déduire que f est croissante sur Df.
c) Dresser le tableau de variation de f.
3) Le producteur estime que la production n’est rentable que si son coût unitaire ne dépasse pas
9€/kg. Déterminer la plage de bénéfice de la production.
Exercice n°18 :
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1) 2 x = 3 .
2) − 4 x + 1 = 0 .
3)
x +1 = 2 .
4)
x +3<5
5) 2 x 3 − 16 = 0 .
3
6) (1 + x ) = 8 .
7) x 3 ≥ 64 .
Exercice n°19 :
Soit P la parabole représentant la fonction carré et H l’hyperbole représentant la fonction inverse.
x3 −1
1) Dresser le tableau de signes de l’expression : d ( x) =
.
x
2) En déduire les positions relatives des courbes P et H.
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Exercice n°20 :
Une entreprise fabrique au maximum 10000 objets par mois. Les coûts de production, en milliers
3
d’euros, sont modélisés par la fonction C définie sur [0 ; 10] par : C ( x) = ( x − 3) + 0,8 x + 100
pour des quantités x données en milliers. C (x) est la somme dune fonction cube g ( x) = ( x − 3)
et d'une fonction affine f ( x) = 0,8 x + 100 .
1) Justifier que f est croissante sur [0 ; 10].
2) Soit a et b deux réels tels que : 0 ≤ a < b ≤ 10 .
3
3
a) Justifier que (a − 3) < (b − 3) .
b) En déduire que g est croissante sur [0 ; 10].
c) Dresser le tableau de variation de C.
3) Calculer le montant des coûts fixes, coûts pour une production nulle.
4) Justifier que les coûts de production de l’entreprise sont toujours inférieurs à 451000€.
5) En utilisant la calculatrice, déterminer la production maximale que doit faire l’entreprise pour
que ses coûts restent inférieurs à 200 milliers d’euros. Arrondir la production maximale à dix
objets près.
3
Exercice n°21 :
Pour chaque courbe ci-dessous, donner l'expression de la fonction qu’elle représente.
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Exercice n°22 :
La demande d'un bien dépend seulement du prix p (en €) strictement positif. Cette demande est
4000
estimée par : q = D ( p ) où D( p ) =
− 150 pour q > 0 .
p
Pour des raisons économiques, ne sont pris en considération que :
• les prix supérieurs à 30 € l'unité.
• les demandes supérieures à 500 unités.
1) Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b .
a) Justifier que D (a ) > D (b) .
b) En déduire que D est décroissante sur [0 ; +∞[.
c) Dresser son tableau de variation.
2) Résoudre l’inéquation D ( p ) > 0 . Sur quel intervalle de prix la demande est-elle positive ?
3) Sur quels intervalles la fonction D doit-elle être définie pour vérifier les contraintes
économiques ?
4) Dans quel intervalle varie alors la quantité q demandée ?
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