Transcript TD 33 - Un cours de physique en spéciale PC

Spéciale PC
Thème TD Physique
Année 2013–2014
1
1.1
TD n° 33.
Thermodynamique ; énergie libre, enthalpie libre.
Donné le : 03 / 04 / 14.
1.3
Évolutions d’un gaz parfait.
Les fonctions d’état du gaz parfait.
Détente monobare brutale d’un
gaz parfait (oral Centrale - Supelec).
Un cylindre de volume V0 est placé dans une atmosphère extérieure à la pression p0 = 1 bar et la
température T0 = 290 K. Initialement le cylindre et
le piston sont calorifugés, le piston est bloqué et le
cylindre contient une mole de gaz parfait de capacité
thermique à volume constant CV = 52 R à la température T0 /2 et à la pression 2p0 . À l’instant t = 0,
on libère le piston et supprime l’isolation thermique,
mettant instantanément le gaz en contact mécanique
et thermique avec l’atmosphère extérieure.
On considère un gaz parfait de masse molaire M
et de rapport des capacités thermiques massiques
cP
γ=
constant. On raisonnera sur une masse unité
cV
de corps pur.
1°) Rappeler la valeur et l’unité de la constante molaire R des gaz parfaits. Rappeler les expressions de
cP et cV en fonction de γ, R et M . On notera avec
des minuscules les grandeurs massiques.
On donne : R = 8, 31 J.K −1 .mol−1 .
2°) Énoncer la première et deuxième loi de Joule. En
déduire les expressions de u et h pour le gaz parfait
(on prendra ces fonctions nulles à une température
T 0 de référence).
∂f
, avec f = F/m.
3°) Montrer que P = −
∂v T
En déduire pour le gaz parfait, l’expression de f en
fonction de v, à une fonction ne dépendant que de
la température près, qu’on notera f 0 (T ).
∂g
4°) Montrer que v =
, avec g = G/m. En
∂P T
déduire l’expression de g(T, P ) pour le gaz parfait
(on notera g 0 (T ) l’enthalpie libre du gaz pour la
pression dite de référence P 0 ).
3°) Calculer le travail exercé par l’atmosphère sur
le gaz parfait, la variation ∆F ∗ de la fonction F ∗ =
U − T0 S et le rapport |W |/|∆F ∗ |. Commenter la
valeur en relation avec la réversibilité ou l’irréversibilité de l’évolution.
5°) Démontrer la deuxième relation de Gibbs ∂ Tg P
Helmholtz : h = −T 2
.
∂T
2.1
1°) Déterminer le potentiel thermodynamique et en
déduire l’état d’équilibre final.
2°) Vérifier la stabilité de l’équilibre vis-à-vis d’une
variation de T à V fixé.
2
Déduire de l’expression établie précédemment pour
h la fonction g 0 (T ) en fonction de cP , T, T0 et
g 0 (T 0 ).
1.2
Équilibres physiques du corps
pur.
Formule de Clapeyron et variation d’entropie (oral CCP).
On considère un système fermé composé de deux
phases ϕ1 et ϕ2 d’un même corps pur à l’équilibre à
la même pression P et même température T . On
note leurs enthalpies libres massiques respectives
R
g1 (T, P ) et g2 (T, P ). On note r = M
où M est la
masse molaire du corps pur.
Détente dans le vide d’un gaz
parfait (oral CCP).
1°) On considère, à partir de cet état d’équilibre
à (T, P ), une petite perturbation menant le système
dans un nouvel état d’équilibre à (T +dT, P +dP ) infiniment proches sur la courbe d’équilibre P = f (T ).
Montrer que les variations infinitésimales de pression et température sont liées par la formule de Clapeyron
`1→2
dP ,
eq =
dT
Ttrans (v2 − v1 )
Un récipient comporte deux compartiments de
même volume V0 séparés par une paroi. Initialement,
le compartiment de droite est vide et celui de gauche
contient une mole d’un gaz parfait de capacité thermique à volume constant CV = 52 R, à la température T0 et à la pression p0 . L’ensemble est au contact
d’un thermostat à la température T0 . On supprime
la paroi de séparation des deux compartiments et le
système évolue vers un nouvel état d’équilibre..
où `1→2 est la chaleur latente.
1°) Montrer en utilisant le premier principe que la
chaleur reçue par le gaz au cours de cette évolution
est nulle. En déduire l’entropie créée.
2°) Montrer, en précisant les approximations faites,
que suffisamment loin du point critique, la chaleur
latente de transition liquide - vapeur est
2°) Quel travail minimal doit fournir une machine
monotherme pour revenir à l’état initial ? Proposer
un protocole réalisant ce travail minimal.
`vap =
1/ 2
2
rTvap
dPS
PS dT
3°) En déduire que la variation d’entropie correspondant à la vaporisation de 1 kg du corps pur vaut
∆s =
2.2
On constate que la machine s’arrête dans un état
où toute la glace de la source froide a fondu et où
T2∞ = TF .
rTvap dPS
PS dT
1°) Établir la relation :
`F dm2
dT1
− m01 c
=0
TF
T1
Humidité dans l’air (oral Centrale - SupElec).
2°) En déduire la température finale T1∞ de la
source chaude et sa masse initiale m01 .
On étudie l’équilibre à pression P et température
T constantes, de ne moles d’eau dont nL
e sont sous
forme liquide sur un ligne mouillé et nVe sont en
phase vapeur, mélangées à na nVe moles d’air. On
note x = nVe /(nVe + na )la fraction molaire en vapeur
d’eau dans la phase vapeur. On admet que l’enthalpie libre de ce système fermé s’écrit
xP
0
−x
G = G (T ) + na RT xln
Pvs
3°) Calculer le travail total W récupéré, la chaleur
totale Q1 fournie par la source chaude et le rendement η de la machine. Comparer au rendement
de Carnot d’une machine ditherme fonctionnant
entre deux véritables sources de température T01 et
TF . Interpréter le résultat η < ηCarnot .
où Pvs (T ) est la pression de vapeur saturante de
l’eau à la température T et G0 (T ) une fonction de
T seulement.
2.4
Surfusion de l’eau.
Certains corps purs sont susceptibles d’exister à
l’état liquide, sous une pression donnée, à une température inférieure à leur température de fusion. Ce
phénomène de retard à la solidification est appelé
surfusion. Il nécessite des conditions expérimentales
particulières et peut cesser lors de l’introduction
d’un cristal de solide, d’une impureté ou en cas d’agitation du récipient contenant le liquide surfondu.
Supposons qu’une masse donnée d’eau soit restée liquide après refroidissement à −5 ◦ C. Un petit cristal
de glace, de masse négligeable est alors ajouté pour
"ensemencer" le liquide sous refroidi et faire cesser
très rapidement cette surfusion.
1°) On admet que G est le potentiel thermodynamique du problème. Rappeler ce que cela signifie.
2°) Étudier les variations de G(x) et tracer l’allure
de son graphe pour 0 6 x 6 1. En déduire la valeur xe de x à l’équilibre. Cet équilibre est-il stable ?
Comment évolue le système si x < xe ? À quelle
condition le linge sèche-il ? En déduire pourquoi le
linge humide sèche d’autant mieux que la température de l’atmosphère est plus élevée. Quel est par
ailleurs l’intérêt du vent pour accélérer le séchage
du linge ?
3°) La transpiration joue un rôle essentiel dans
la régulation thermique du corps humain lorsque
la température extérieure est excessive. Expliquer
pourquoi l’évaporation d’eau tend à faire baisser la
température du corps humain. Expliquer pourquoi
les climats chauds sont d’autant plus pénibles pour
l’homme qu’ils sont plus humides.
2.3
(E)
1°) Si le changement d’état se produit adiabatiquement (au fait justifiez cette hypothèse) et à la pression atmosphérique, calculez la fraction massique
d’eau qui se solidifie (on la notera z).
2°) Calculez aussi la variation d’entropie massique
∆s de l’eau correspondant à cette transformation.
Données : Lf = 333, 4 kJ/kg a
` 0◦ C, chaleur latente
de fusion de la glace.
Machine
pseudo-ditherme
à
sources variables (oral Mines Ponts).
cP = 4, 22 kJ/(Kg.K), capacité calorifique massique de l’eau liquide entre -5 °C et 0 °C.
Une machine ditherme fonctionne entre une masse
m01 d’eau liquide, initialement à T01 = 373 K et
une masse m02 = 1 kg d’eau solide initialement à
la température de fusion TF = 273 K de la glace
à la pression atmosphérique. Pendant une durée dt,
suffisamment courte pour que les sources évoluent
peu et pour qu’on puisse considérer que l’évolution
du fluide contenu dans la machine est réversible et
approximativement cyclique, ce fluide reçoit (algébriquement !) une chaleur δQ1 en provenance de la
source chaude, une chaleur δQ2 en provenance de la
source froide et un travail δW en provenance de l’extérieur. Simultanément, la masse de glace varie de
dm2 et la température de la source chaude de dT1 .
2.5
Détente adiabatique d’un liquide
(oral Mines - Ponts).
Une mole d’eau liquide, à la température T1 , remplit
initialement la totalité du récipient, dont les parois
sont adiabatiques. On déplace lentement le piston de
surface S (également adiabatique) jusqu’à l’état caractérisé par T2 < T1 et P2 = PS (T2 ), (PS pression
de vapeur saturante de l’eau). On donne la capacité
thermique molaire de l’eau sur la courbe d’ébullition, supposée constante, notée C.
Connaissant la chaleur latente L2 de vaporisation de
l’eau à la température T2 , exprimer en fonction des
données le déplacement h du piston. On précisera
les approximations faites.
On donne la capacité calorifique de l’eau liquide
c = 4, 18 kJ.kg −1 et l’enthalpie de fusion de la glace
`F = 330 kJ.kg −1 .
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