Transcript Révisions de thermodynamique - MP*1

MP*1-2014/2015
Révisions de thermodynamique
1) Travail reçu d’un gaz parfait puis d’un gaz de Van der Waals :
On considère une mole de gaz, modélisé d’abord par un gaz parfait, puis par un gaz de
Van der Waals. Cette mole occupe initialement le volume 𝑉1 = 25 𝐿 à la température
𝑇1 = 300 𝐾 et on la comprime de manière isotherme et irréversible jusqu’au volume
𝑉2 = 12,5 𝐿.
On donne l’équation d’état d’une mole de gaz de Van der Waals: (𝑃 + 𝑎/
2
𝑉 ) ( 𝑉 – 𝑏 ) = 𝑅 𝑇 ainsi que l’expression de son énergie interne molaire: 𝑈 (𝑇, 𝑉) =
𝐶𝑣 𝑇 – 𝑎/𝑉. Pour l’air on donne avec 𝑎 = 0,163 𝑆𝐼 et 𝑏 = 3,64 10−5 𝑆𝐼 .
1) Donner l’unité SI de 𝑎 et de 𝑏.
2) Discuter des modèles proposés (hypothèses, conditions de validité…).
3) Calculer les pressions dans l’état initial et dans l’état final de l’air que le travail et la
chaleur échangés par ce gaz dans le modèle du gaz parfait et dans le modèle du gaz de Van
der Waals. Conclure.
2) Compressions isothermes d’un gaz parfait :
On considère un cylindre droit, dont la base a une surface 𝑆 = 100 𝑐𝑚2 , fermé par un
piston mobile sans frottement et de masse négligeable et plongé dans un mélange eau + glace
qui maintient une température 𝑇𝑜 de 273 𝐾. On désigne par h la hauteur de ce cylindre. Un
gaz parfait se trouve enfermé dans ce cylindre. La pression extérieure est 𝑃𝑜 = 1 𝑏𝑎𝑟. La
hauteur initiale du cylindre est ℎ1 = 20 𝑐𝑚 . La paroi du cylindre est diathermane, c'est-à-dire
qu’elle est conductrice de la chaleur.
1) Un opérateur appuie très lentement de façon réversible sur le piston jusqu’à
𝑃2 = 10 𝑃1 . Dans cet état d’équilibre, le gaz occupe un volume 𝑉2 à la température T2.
a) Déterminer la hauteur ℎ2 du cylindre dans l’état final.
b) Calculer le travail 𝑊 et le transfert thermique 𝑄 échangés par le gaz. Calculer la
masse d’eau transformée. On donne 𝐿𝑓 = 333 𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 la chaleur latente de fusion de l’eau.
c) Calculer la variation d’entropie ∆𝑆 du gaz .
2) L’opérateur place sur le piston à partir de l’état initial (𝑇𝑜 , 𝑃1 ) une masse
( P  P1 ) S
.
M  2
g
a) Déterminer la hauteur ℎ2′ du cylindre dans l’état final.
b) Calculer le travail 𝑊′ et le transfert thermique 𝑄′ échangés par le gaz. Calculer la
masse d’eau transformée.
c) Calculer la variation d’entropie ∆𝑆′ du gaz. Montrer qu’elle peut être considérée
comme la somme de deux termes : un terme d’échange et un terme de création. Que pensezvous du signe de chacun de ces termes ?
3) Détente dans le vide :
Un récipient à parois rigides adiabatiques est séparé en deux compartiments A et B de
même volume 𝑉𝑜 par un robinet 𝑅. Initialement 𝑅 est fermé, 𝐵 est vide et 𝐴 contient un gaz
parfait monoatomique 𝑃𝑜 , 𝑇𝑜 .
1) On ouvre légèrement 𝑅 et on le referme dès que la pression a la même valeur dans
les deux compartiments : 𝐴 contient alors 𝑛𝑥 moles de gaz à la température 𝑇𝐴 , 𝐵 en contient
𝑛(1 − 𝑥) à la température 𝑇𝐵 .
1) En faisant toutes hypothèses réalistes, calculer 𝑃𝑓 , 𝑥, 𝑇𝐴 , 𝑇𝐵 .
2) Calculer la variation d’entropie totale ∆𝑆 et commenter.
4) Piston lié à un ressort :
On considère le dispositif ci-dessous.
Dans le compartiment on a une mole de gaz supposé
monoatomique à la température 𝑇1 = 300 𝐾, à la pression
GP
𝑃1 = 1 𝑏𝑎𝑟 et il occupe un volume 𝑉1.
La surface du compartiment est 𝑆 = 10 𝑑𝑚2 . Le
compartiment est fermé par un piston sans frottements, lié à un
𝑙
H
ressort de constante de raideur 𝑘 = 10 𝑁. 𝑚−1 , de longueur à
vide 𝑙𝑜 . Le cylindre et le piston sont calorifugés.
Dans l’état initial, un opérateur maintient le piston de façon à avoir 𝑙 = 𝑙𝑜 . On lâche le piston
sans vitesse initiale.
1) On donne 𝑉2 = 𝑎𝑉1, a étant un réel positif. Déterminer 𝑃2 et 𝑇2 . Application
numérique : 𝑎 = 3.
2) Le processus est-il irréversible ou réversible ? Justifier par le calcul.
5) Détente dans une enceinte percée :
Une enceinte de volume 𝑉𝑜 , initialement vide, est placée dans l’atmosphère dont la
pression 𝑃𝑜 et la température 𝑇𝑜 sont considérées comme constantes. On la perce, de façon à y
laisser entrer l’air que l’on considère comme un gaz parfait.
Lorsque l’équilibre mécanique est réalisé, quelle est la température du gaz dans
l’enceinte ?
6) Variation d’entropie d’un corps par transfert thermique :
On jette un bloc de fer de 2 𝑘𝑔 porté à la température de 607°𝐶 dans un lac à la
température de 5°𝐶.
Déterminer l’entropie créée et proposer une interprétation pour cette création.
On donne la capacité thermique massique du fer : 𝑐 = 440 𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 . 𝐾 −1 .
7) Oscillations d’une bille dans un tuyau :
Une enceinte verticale de volume 𝑉𝑜 = 5 𝐿 surmontée d’un tuyau de section 𝑠 =
5 𝑐𝑚2 et de hauteur ℎ𝑜 = 5 𝑐𝑚, fermée par une bille de masse 𝑚 = 10 𝑔 qui peut osciller
sans frottement. L’enceinte contient un gaz parfait de coefficient  sous la pression au repos
𝑃𝑜 . L’air extérieur est à la pression 𝑃𝑒𝑥𝑡 = 1 𝑏𝑎𝑟. Les oscillations de la bille sont assez rapides
et d’assez faibles amplitudes pour qu’on puisse considérer les transformations du gaz comme
adiabatiques et réversibles.
Quelle est la période des oscillations de la bille ?
8) Cycle monotherme :
On considère un système constitué d’un gaz parfait (𝛾 = 1.4) n’échangeant de chaleur
qu’avec un thermostat à la température 𝑇𝑜 = 300 𝐾 et deux états A et C du système :
𝑇𝐴 = 𝑇𝑜
C:
𝑇𝐶 = 𝑇𝑜
5
𝑃𝐴 = 10 𝑃𝑎
𝑃𝐶
𝑉𝐴 = 1 𝐿
𝑉𝐶 = 2 𝐿
On envisage dues transformations du système entre l’état A et l’état C:
a- transformation (1) : isotherme réversible de A à C ;
b- transformation (2) : adiabatique réversible de A à B, puis isochore de B à C.
1) Indiquer comment réaliser pratiquement ces deux transformations. Que peut-on dire
de la réversiblité de l’étape B-C de la transformation (2) ?
2) Placer A, B et C sur un diagramme de Clapeyron. Calculer 𝑃𝐵 et 𝑇𝐵 .
3) Calculer le travail et la chaleur reçus par le système au cours de (1) et (2).
4) Le système étant considéré comme une machine thermique fonctionnant avec une
seule source de chaleur, quel est le seul chemin possible : A-B-C-A ou A-C-B-A ? Vérifier
que ce résultat est en accord avec le second principe appliqué aux machines monothermes.
A:
9) Climatiseur :
Un climatiseur est une machine thermique ditherme. Elle décrit des cycles à partir de
deux sources thermiques constituées d’une part par l’air extérieur de température invariable
𝑇𝑒𝑥 = 298 𝐾 et d’autre part par une pièce de température initiale 𝑇𝑖 (𝑇𝑒𝑥 = 𝑇𝑖 ) que l’on
désire porter à la température 𝑇𝑓 = 293 𝐾.
1) Déterminer le travail électrique 𝑊𝑟 nécessaire à la machine dans le cas où son
fonctionnement est réversible. On supposera que la pièce, dont on évalue la capacité
thermique à 𝐶 = 5.103 𝑘𝐽. 𝐾 −1 , n’échange de l’énergie thermique qu’avec la machine. On
fera les hypothèses nécessaires.
Quel est le temps nécessaire à la mise en température de la pièce pour une puissance
électrique de 250𝑊?
2) La machine fonctionne de façon réversible. Il existe maintenant un flux thermique
entre la pièce et l’air extérieur caractérisé par une puissance thermique: Pth  h(Tex  T )
A puissance électrique d’alimentation constante quelle est la température en régime
stationnaire?
10) Deux corps en contact thermique :
On considère deux corps (1) et (2). Tous deux consistent en 1 𝑚3 d’eau. La
température du corps (1) est initialement 𝑇1𝑜 = 10°𝐶 et la température du corps (2) est
initialement 𝑇2𝑜 = 90°𝐶.
1) On met les deux corps au contact. L’ensemble est isolé. Quelle est la température
finale 𝑇𝑓 ?
2) Les deux corps permettent d’alimenter un moteur. Quelle est la température finale
des corps 𝑇𝑓𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟 ? Quel est le rendement du moteur en fonction des températures initiales.
11) Vaporisation ou liquéfaction ?
Un tube cylindrique fermé, de section , de volume 𝑉 = 10 𝐿, est divisé en deux
compartiments par un piston coulissant sans frottement. On suppose que la masse M du piston
Mg
est telle que :
 Po  1bar . Le premier compartiment contient na = 0.1 mole d’air et le

second ne = 1 mole d’eau. L’eau vapeur et l’air sont assimilés à des gaz parfaits. L’ensemble
est en équilibre thermique à la température 𝑡 = 100°𝐶. La pression de vapeur saturante de
l’eau à cette température est 𝑃𝑠𝑎𝑡 = 1 𝑏𝑎𝑟.
1) Le tube est vertical, l’air est en bas. La température est 𝑡 = 100°𝐶. Déterminer le
titre molaire 𝑥 en vapeur d’eau.
2) Le tube pivote de 90°. Il devient horizontal. Prévoir qualitativement l’évolution du
titre en vapeur puis calculer le nouveau titre 𝑥’.
3) Le tube pivote à nouveau de 90° toujours dans le même sens. Il devient vertical
avec l’air en haut. Que devient le nouveau titre 𝑥’’ ?
4) Le tube est vertical, l’air est en bas. On lâche le tube dans le champ de pesanteur.
Quel est le nouveau titre en vapeur d’eau 𝑥’’’?
12) Etude de la surfusion du phosphore :
Dans un tube à essai isolé thermiquement, on a 30 𝑔 de phosphore en surfusion à la
température 𝑡 en °𝐶. On fait cesser la surfusion brusquement par addition d'un microcristal.
Déterminer la température et la composition du système à l'équilibre final dans les
deux cas suivants:
1) 𝑡 = 40°𝐶
2) 𝑡 = 12.5°𝐶
On donne la température de fusion du phosphore: 𝑡𝑜 = 44°𝐶, la chaleur massiques du
phosphore solide: 𝑐𝑠 = 795,5 𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1, la chaleur massique du phosphore liquide
𝑐𝑙 = 840 𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ; la chaleur latente de fusion du phosphore: 𝐿𝑜 = 2.104 𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 .
13) Taille d’un cratère de météorite :
Une météorite de rayon 𝑅 = 1𝑘𝑚, de masse m, rencontrant la Terre avec une vitesse
de l’ordre de grandeur de 𝑣 = 20 𝑘𝑚/𝑠 creuse un cratère hémisphérique de rayon 𝑅’ = 𝑥𝑅 et
de masse 𝑀.
Déterminer l’ordre de grandeur de 𝑥 en supposant que la couche superficielle de la
Terre est formée de silicates, comme la météorite. Les silicates ont une masse volumique
𝜌 = 2500 𝑘𝑔. 𝑚3, une chaleur massique 𝑐 = 850 𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1, une température de fusion
𝑇𝑓 = 1500 𝐾 et une chaleur latente de fusion 𝐿𝑓 = 130𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1.
Le cratère de Chicxulub est un cratère d'impact situé à Chicxulub dans la péninsule du
Yucatán au Mexique. Il a été provoqué par la chute d'une météorite de près de 10 kilomètres
de diamètre qui s’est abattue sur la Terre il y a 66 038 000 ans, c'est-à-dire à la fin du
Crétacé. Sa chute marque la fin de l'ère secondaire ainsi qu'une des extinctions massives qui
ont frappé la Terre, la crise Crétacé-Tertiaire. Le diamètre du cratère, d’environ 180
kilomètres, laisse imaginer une puissance d'explosion similaire à « plusieurs milliards de fois
celle de la bombe d’Hiroshima 2. Le bassin du cratère, enseveli sous environ mille mètres de
calcaire, s'étend moitié sous la terre ferme, moitié sous le golfe du Mexique.
14) Détente isotherme d’un mélange air-eau :
Un récipient est thermostaté à la température 𝑡𝑜 = 100°𝐶.
Son volume initial est 𝑉1 = 1 𝐿. Il contient de l’air de pression partielle 𝑃𝐴 = 2 𝑏𝑎𝑟𝑠 et une
masse 𝑚 = 1 𝑔 d’eau.
1) Déterminer complètement cet état initial.
2) On effectue une détente réversible isotherme.
a) Quelle est la pression totale lorsque toute l’eau est passée sous forme de vapeur
avec une pression partielle 𝑃𝐻2 𝑂 = 𝑃𝑠𝑎𝑡 = 1 𝑏𝑎𝑟?
b) Quelle est le transfert thermique échangée avec le thermostat?
On notera 𝐿𝑜 la chaleur latente massique de vaporisation de l’eau à la température 𝑇𝑜 .
Annexe : quelques expressions de l’entropie
Les expressions 𝑆(𝑇, 𝑝) ou 𝑆(𝑇, 𝑉) ne sont pas à mémoriser, mais seront toujours rappelées
dans les problèmes.
Cas d’un gaz parfait :
𝑆 = 𝑛𝑆𝑚 = 𝑚𝑠
 Avec les variables (𝑇, 𝑝) :
𝑅𝛾
𝑇
𝑝
𝑆𝑚 =
𝐿𝑛 ( ) − 𝑅𝐿𝑛 ( ) + 𝑆𝑚0
𝛾−1
𝑇0
𝑝0
 Avec les variables (𝑇, 𝑉) :
𝑅
𝑇
𝑉
𝑆𝑚 =
𝐿𝑛 ( ) − 𝑅𝐿𝑛 ( ) + 𝑆𝑚0
𝛾−1
𝑇0
𝑉0
 Avec les variables (𝑝, 𝑉) :
𝑅
𝑝
𝑅𝛾
𝑉
𝑆𝑚 =
𝐿𝑛 ( ) +
𝐿𝑛 ( ) + 𝑆𝑚0
𝛾−1
𝑝0
𝛾−1
𝑉0
Cas d’une phase condensée incompressible et indilatable
𝑇
𝑆 = 𝑛𝑆𝑚 = 𝑚𝑠 et 𝑆𝑚 ne dépend que de T :
𝑆𝑚 = 𝐶𝑚 𝐿𝑛 (𝑇 ) + 𝑆𝑚0
Cas d’un corps pur diphasé
En notant 1 et 2 les deux phases en équilibre à (𝑇, 𝑝):
𝑛(𝑥1 𝑆𝑚1 + 𝑥2 𝑆𝑚2 )
0
𝑆 = 𝑛1 𝑆𝑚1 + 𝑛2 𝑆𝑚2 =
Indications :
1) Compression isotherme d’un gaz parfait puis d’un gaz de Van der Waals
2) On peut constater que le modèle du gaz parfait est excellent pour l’air dans les conditions
du problème; 3) pour le travail des forces pressantes, la TF étant réversibles, on peut partir de
l’expression 𝛿𝑊 = −𝑃𝑑𝑉.
2) Compressions isothermes d’un gaz parfait :
1) la TF étant réversibles, on peut partir de l’expression 𝛿𝑊 = −𝑃𝑑𝑉 pour le calcul du travail
des forces pressantes ; pour évaluer le transfert thermique, utiliser la première loi de Joule ; le
signe du transfert thermique vous dira si la glace fond ou se forme ; pour l’entropie, utiliser le
formulaire ; 2) l’état final de cette question est le même que celui de la question précédente,
mais cette fois la transformation est irréversible, à pression extérieure constante 𝑃𝑒𝑥𝑡 = 𝑃2 ;
pour l’entropie d’échange, remarquer la transformation est monotherme.
3) Détente dans le vide :
Il faut tout d’abord remarquer que l’ensemble des deux compartiments est calorifugé et à
paroi rigide : du point de vue de l’extérieur il n’y a aucun échange, l’énergie interne de ce
système se conserve ; puis utiliser l’additivité de l’énergie interne à deux sous-systèmes bien
choisi pour trouver 𝑃 ; on peut faire l’hypothèse que les particules restant dans A subissent
une TF adiabatique réversible et que la loi de Laplace peut s’appliquer, on en déduit 𝑇𝐴 puis
𝑥 ; il n’y a plus qu’à considérer les particules qui passent de A vers B et à appliquer l’équation
des gaz parfaits .
4) Piston lié à un ressort :
1) Il faut d’abord calculer la longueur du ressort lorsque le piston est libéré en utilisant la
conservation de la longueur totale du dispositif ; dans l’énoncé du premier principe, tenir
compte de la variation d’énergie interne et de la variation d’énergie potentielle et écrire
∆𝑈 + ∆𝐸𝑝 = 𝑊 + 𝑄 en prenant comme système le GP, le piston et le ressort et en déduire la
température du GP, puis sa pression ; 2) on calcule alors la variation d’entropie à l’aide du
formulaire.
5) Détente dans une enceinte percée : 
Prendre comme système {les n moles d’air qui pénètrent dans l’enceinte + le vide} et
appliquer le premier principe en faisant des hypothèses convenables sur la nature de la
transformation ; l’atmosphère agit comme un piston qui pousse les molécules de gaz dans le
compartiment.
6) Variation d’entropie d’un corps par transfert thermique :
Pour la variation d’entropie, il suffit d’appliquer le formulaire ; pour l’entropie échangée,
remarquer que la TF est monotherme et monobare.
7) Oscillations d’une bille dans un tuyau :
Commencer par faire une étude à l’équilibre lorsque la bille ne bouge pas ce qui donne la
valeur de 𝑃𝑜 ; considérer que le gaz vérifie la loi de Laplace et que le déplacement << ℎ𝑜 .
8) Cycle monotherme :
La pente de l’adiabatique réversible est plus grande que celle de l’isotherme ; il faut le
justifier.
9) Climatiseur :
1) Le transfert thermique avec la pièce se calcule facilement mais attention au choix des
systèmes et aux signes ; pour trouver le transfert thermique échangée avec la source froide, on
suppose que lors d’un cycle, les températures varient de façon infinitésimale ; utiliser alors
l’égalité de Clausius pendant un cycle ; 2) prendre comme système la pièce et faire un bilan
des transferts thermiques entre 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡 pour trouver une expression du transfert thermique
avec la source chaude 𝛿𝑄𝑐 ; cette fois il faut tenir compte des pertes thermiques avec l’air
extérieur ; utiliser l’égalité de Clausius pour trouver une expression du transfert thermique
avec la source froide 𝛿𝑄𝐹 ; en déduire la puissance échangée 𝑃, puis la température en régime
stationnaire.
10) Deux corps en contact thermique :
1) Ecrire l’énergie interne totale et utiliser l’additivité ; 2) supposer considérer que la
température varie peu lors d’un cycle et utiliser l’égalité de Clausius ; attention aux signes des
transferts thermiques et bien définir les systèmes.
11) Vaporisation ou liquéfaction ?
1) et 2) Faire une hypothèse. Si le système est diphasé, la fraction molaire de vapeur doit être
inférieur à 1 ; 3) montrer qu’on n’a que du liquide. 4) Penser aux forces d’inertie.
12) Etude de la surfusion du phosphore :
La réaction est rapide, et n’a pas le temps d’avoir de transfert thermique ; de plus elle est
isobare ; la variation d’enthalpie est donc nulle ; trouver un chemin pour calculer cette
variation d’enthalpie en faisant une hypothèse sur la composition finale du phosphore.
13) Taille d’un cratère de météorite :
L’énergie cinétique du météorite se transforme en transfert thermique ; les silicates se
réchauffent puis fondent.
14) Détente isotherme d’un mélange air-eau : 
1) Faire une hypothèse pour l’eau : système diphasé ou vapeur pure et vérifier sa validité ; 2)
a) Calculer d’abord le volume du récipient à partir de la connaissance de l’état de l’eau et de
sa pression, puis en déduire la pression partielle de l’air ; b) Pour l’air il s’agit d’une TF
isotherme réversible d’un GP ; pour l’eau il s’agit d’un changement d’état isobare.
Solutions :
1) Compression isotherme d’un gaz parfait puis d’un gaz de Van der Waals
1) 𝑎 traduit les interactions attractives entre molécules et 𝑏 traduit le volume « propre » des
molécules ; 2) 𝑎 est en 𝑘𝑔. 𝑚. 𝑠 −2 . 𝑚𝑜𝑙 −1 et 𝑏 est en 𝑚−3 . 𝑚𝑜𝑙 −1 ; 𝑃1𝐺𝑃 = 99,72. 105 𝑃𝑎 ;
𝑃1𝐺𝑑𝑊 = 99,86. 105 𝑃𝑎 ; 𝑃2𝐺𝑃 = 199,44. 105 𝑃𝑎 ; 𝑃2𝐺𝑑𝑊 = 199,91. 105 𝑃𝑎 ; le modèle plus
𝑉
sophistiqué du gaz de Van der Waals est inutiles ici ; 3) 𝑊𝐺𝑃 = 𝑅𝑇𝐿𝑛 𝑉2 = 1728 𝐽 ; 𝑄𝐺𝑃 =
𝑉
𝑉 −𝑏
1
1
2
1
1
𝑉 −𝑏
−𝑅𝑇𝐿𝑛 𝑉2 = −1728 𝐽 ; 𝑊𝐺𝑑𝑊 = 𝑅𝑇𝐿𝑛 𝑉2 −𝑏 − 𝑎 (𝑉 − 𝑉 ) = 1725 𝐽 ; 𝑄𝐺𝑑𝑊 = −𝑅𝑇𝐿𝑛 𝑉2 −𝑏 =
1
1
1
1731 𝐽.
2) Compressions isothermes d’un gaz parfait :
ℎ
𝑄
1) ℎ2 = 2 𝑐𝑚 ; 𝑊 = −𝑃𝑜 𝑆ℎ1 𝐿𝑛 ℎ2 = 460 𝐽 ; 𝑄 = −460 𝐽 ; une masse 𝑚 = 𝐿 = 1,38 𝑔 d’eau
fond ;
ℎ2
∆𝑆 = 𝑛𝑅𝐿𝑛 ℎ =
1
𝑃𝑜 𝑆ℎ1
𝑇𝑜
1
𝑓
ℎ2
𝐿𝑛 ℎ = −1,68 𝐽. 𝐾
1
−1
;
ℎ2′
2)
= 2 𝑐𝑚 ;
𝑊 ′ = −𝑃2 (𝑆ℎ2 −
𝑄′
𝑆ℎ1 ) = 1800 𝐽 ; 𝑄’ = −1800 𝐽 ; 𝑚′ = 𝐿 = 5,40 𝑔 ; il est logique de trouver 𝑚’>m, la TF
𝑓
𝑄′
′
étant irréversible ; ∆𝑆 = ∆𝑆 = −1,68 𝐽. 𝐾 −1 ; 𝑆é𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 = 𝑇 = −6,59 𝐽. 𝐾 −1 et 𝑆𝑐𝑟éé = ∆𝑆 −
𝑜
𝑆é𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 = +4,91 𝐽. 𝐾 −1 grandeur positive puisque la TF est irréversible.
3) Détente dans le vide :
1
1)𝑃𝑓 = 𝑃𝑜 /2 ; TA  To 2

; x2

1

𝛾−1
𝛾
; 𝑇𝐵 = 𝑇𝑜 /(2 − 2
)

 




Ln 2  2   Ln2  .
2) S  nR1  2   

   1 







4) Piston lié à un ressort :
𝛾−1
1) Si 𝑙 est la nouvelle longueur du ressort, on a 𝑙 − 𝑙𝑜 = −0.5𝑚 et 𝑇2 = 𝑇1 — 𝑅 𝑘(𝑙 − 𝑙𝑜 )2 =
 1

1
299.8𝐾. 𝑃2 = 0.33 𝑏𝑎𝑟 ; 2) ∆𝑆 =
𝑛𝑅
𝛾−1
𝐿𝑛
𝑇2
𝑇1
+ 𝑛𝑅𝐿𝑛𝑎 > 0.
5) Détente dans une enceinte percée : 
Tf = To.
6) Variation d’entropie d’un corps par transfert thermique :
𝑇
∆𝑆 = 𝑚𝑐𝐿𝑛 𝑇𝑓 = −10,6 𝑘𝐽. 𝐾 −1 ; 𝑆é𝑐ℎ =
𝑚𝑐(𝑇𝑓 −𝑇𝑖 )
𝑇𝑙𝑎𝑐
𝑇𝑓
𝑖
+9,3 𝑘𝐽. 𝐾 −1 ; on peut montrer que : 𝑚𝑐 (𝐿𝑛 𝑇 −
= −19,9 𝑘𝐽. 𝐾 −1 ; 𝑆𝑐𝑟éé𝑒 = ∆𝑆 − 𝑆é𝑐ℎ =
(𝑇𝑓 −𝑇𝑖 )
𝑖
𝑇𝑓
) > 0 indépendamment des valeurs
des températures, sauf égalité.
7) Oscillations d’une bille dans un tuyau :
On a 𝑃𝑜 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 +
𝑚𝑔
𝑠
𝑚(𝑉𝑜 +𝑠ℎ𝑜 )
~105 𝑃𝑎 et 𝑇 = 2𝜋√
𝑃𝑜 𝛾𝑠
= 5,3. 10−3 𝑠
8) Cycle monotherme :
1) l’étape 2 est un échange de chaleur, donc TF irréversible.
V
2) PB  PA  A
 VC


PV
nR
  3.8.10 4 Pa ; TB  To B C  227 K ; 3) QAB = 0 ; W AB 
TB  TA  ;
PAV A
 1

nR
𝑊𝐵𝐶 = 0 ; QBC 
TC  TB  ; cycle monotherme donc 𝑊 > 0, sens A-B-C-A.
 1
9) Climatiseur :
Tf
1) W  C (T f  Ti )  CTex Ln  212kJ ;   W / P  848s ; 2) en faisant des bilans entre 𝑡 et
Ti
𝑡 + 𝑑𝑡 on trouve : 𝛿𝑄𝑐 = −𝐶𝑑𝑇𝑐 − ℎ(𝑇𝑐 − 𝑇𝑒𝑥 ) ; 𝛿𝑄𝐹 = 𝐶
𝑃=𝐶
𝑑𝑇𝑐
𝑑𝑡
(1 −
𝑇𝑒𝑥
𝑇𝑐
) + ℎ(𝑇𝑐 − 𝑇𝑒𝑥 )(1 −
𝑇𝑒𝑥
𝑇𝑐
10) Deux corps en contact thermique :
𝑇𝑒𝑥
𝑇𝑐
𝑑𝑇𝑐 + ℎ
𝑇𝑒𝑥
𝑇𝑐
(𝑇𝑐 − 𝑇𝑒𝑥 ) ;
) ; en régime stationnaire 𝑃 = +ℎ
(𝑇𝑐 −𝑇𝑒𝑥 )2
𝑇𝑐
.
1) 𝑇𝑓 =
𝑇1𝑜 +𝑇2𝑜
2
= 50°𝐶 ; 2) 𝑇𝑓𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟 = √𝑇1𝑜 𝑇2𝑜 = 47,5°𝐶 ; 𝜌 = 1 −
√𝑇1𝑜
√𝑇2𝑜
= 0,12.
11) Vaporisation ou liquéfaction ?
1) système diphasé 𝑥 = 0.27 ; 2) système diphasé 𝑥′ = 0.22 ; 3) liquide pur ; 4) système
diphasé 𝑥′′ = 0.22.
12) Etude de la surfusion du phosphore :
𝑚𝑐
1) le phosphore à l’équilibre est diphasé ; 𝑡𝑓 = 44°𝐶 et 𝑚𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒 = 𝐿 𝑙 = 5 𝑔 ; 2) le phosphore
est solide à l’équilibre ; 𝑡𝑓 =
𝐿𝑓 +𝑐𝑠 𝑡𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 −𝑐𝑙 (𝑡𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 −𝑡𝑖 )
13) Taille d’un cratère de météorite :
𝑐𝑠
𝑓
= 35°𝐶.
2𝜋𝜌𝑥 3 𝑅 3
4𝜋𝜌𝑅 3
𝐸𝑐 = (𝑀 + 𝑚)𝑐(𝑇𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 − 𝑇𝑜 ) + (𝑀 + 𝑚)𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 ; 𝑀 =
; 𝑚 = 3 ; 𝑥~7 .
3
14) Détente isotherme d’un mélange air-eau : 
P MP
1) 𝑚𝑣 = 0,6 𝑔 ; 𝑚𝑙 = 0.4 𝑔 ;2) a) PA'  A s : 𝑃𝑓 = 𝑃𝑠 + 𝑃’𝐴 = 2.18 𝑏𝑎𝑟𝑠;
mRTo
PA'
 ml Lo .
b) Q   PAV1 Ln
PA