Transcript kal 3 MODUL 2

1. Sistem koordinat Silinder pada Integral Lipat Tiga
Misalkan diketahui Integral Lipat tiga :  ( F ( x , y , z ) dz .dy .dx
V
Dimana V adalah benda dengan proyeksi di bidang xoy berupa lingkaran
Maka integral lipat tiga tersebut dapat juga diselesaikan dengan menggunakan
transformasi ke koordinat silinder atau ke koordinat bola.
Sistem koordinat silinder pada integral lipat tiga sebagai berikut :
Perhatikan silinder di bawah x2 + y2 = r2
Pada segitiga OPQ : OP= r
PQ= y = r sin 
OQ = x = r cos 
x  y
2
2
 r
2
.z = z
. dz dy dx = r dz dr d
Integral lipat tiga =
 ( F ( x , y , z ) dz dy dx

V
Dimana
 ( x, y, z )
 ( r , , z )
x
z  z .......... .......... .

 cos  ;
r
y  r sin  .......... ...
 ( r , , z )
V
 (x, y, z)
 (r,  , z)
adalah determinan Jacobi:
x  r cos  .......... .
 ( x, y, z )

F ( r cos  , r sin  , z )
y
r
z
r
x

 sin  ;
 0;
z

y

  r sin  ;
 r cos  ;
 0;
x
y
z
r
x
r
y
r
z

x

y

z
z
z
z
z
z
x
z
y
z
 0
 0
1
cos 
  r sin 
0
sin 
r cos 
0
0
0  r
1
Maka integral lipat tiga dapat ditransformasikan ke koordinat silinder sebagai
berikut :
 ( F ( x , y , z ) dz dy dx   F ( r cos  , r sin  , z ). r .dz .dr .d 
V
V
dz dr d 
Hubungan sistem koordinat kartesius dan system koordinat Silinder :
x = r cos 
y = r sin
x y r
2
2
2
.z = z
. dz dy dx = r dz dr d
Maka integral lipat tiga dapat ditransformasikan ke koordinat silinder sebagai
berikut :
 ( F ( x , y , z ) dz .dy .dx =  F ( r cos  , r sin  , z ). r .dz .dr .d 
V
2.SISTEM KOORDINAT BOLA:
Misalkan diketahui Integral Lipat tiga :  ( F ( x , y , z ) dz .dy .dx
V
Sistem koordinat Bola pada integral lipat tiga sebagai berikut:
Perhatikan gambar bola di bawah x2 +y2 +z2 = r2
Perhatikan pada persegi empat ONPM : dengan diagonal OP = r
Pada segitiga siku-siku OPM : MP sejajar dan sama dengan ON = r sin 
OM = z = r cos 
Pada segitiga siku-siku ONQ : NQ = y = ON sin = r sin  sin 
OQ = x = ON cos = r sin  cos 
Sedangkan dz dy dx = r2 sin dr d  d 
Sehingga integral lipat tiga di transformasikan ke sistem koordinat bola menjadi:

 ( F ( x , y , z ) dz dy dx

F ( r sin  cos  , r sin  sin  , r cos  )
 ( x, y, z )
drd  d 
 (r , , )
V
V
 ( x, y, z )
Dimana  ( r ,  ,  )
adalah determinan Jacobi:
x  r sin  cos  .......... .
x
r
y  r sin  sin  .......... ...
y
r
z  r cos  .......... .......... .
 ( x, y, z )
 (r ,  , )

 sin  cos  ;
z
r
x

 sin  sin  ;
 cos  ;
x
y
z
r
x
r
y
r
z

x

y

z



z

  r sin  sin  ;
y

 0;
 r sin  cos  ;
z

x

y

 r cos  cos 
 r cos  sin 
  r sin 
sin  cos 
  r sin  sin 
r cos  cos 
sin  sin 
cos 
r sin  cos 
0
r cos  sin 
 sin 
 r sin 
2
Sehingga integral lipat tiga di transformasikan ke sistem koordinat bola menjadi:
 ( F ( x , y , z ) dz dy dx
V


V
F ( r sin  cos  , r sin  sin  , r cos  ) r sin  drd  d 
2
Hubungan sistem koordinat kartesius dan system koordinat bola :
x  r sin  cos  .
x y z r
2
z  r cos 
2
2
2
y  r sin  sin  .
dzdydx  r sin  dr d  d 
2
1. Hitung integral lipat tiga
 2 x
 2 y dzdydx
2
2
V
Jika V adaah benda yang dibatasi oleh z  x 2  y 2 dipotong oleh bidang z = 4 ?
Jawab :

2 x  2 y dzdydx
2
2
V
2

2
4
   2r
2
.r .dz .dr .d  
 0 r0 zr 2
2
2
 
4
 2 r .. dz .dr .d  
 0 r0 zr2
3

2 r . z ] z  r 2 .dr .d  
3
4
.
2
2
 


2 r ( r  4 ) dr .d 
3
2
 0 r 0
1 6
4
2
( . 2  2 ) ]  0
3
1
 (
1
2
6
r 
6
4
4
r ]r 0 . 
4
2
. 2  2 ). 2 
6
4
3
.dz .dy .dx
2.Hitung integral lipat tiga 
x  y
Jika V benda yang dibatasi oleh perpotongan
z = x 2  y 2 dengan . z  6  ( x 2  y 2 )
Jawab :
Perpotongan kedua kurve z= 6 – ( x 2  y 2 ) dengan . z  x 2  y 2
Adalah z = 6 – z2
Atau z2 +z – 6 = 0
( z +3) ( z-2 ) = 0
Z = - 3 ( tidak diapakai ) atau z = 2. 2
2
2
x  y  2
Jadi proyeksi benda di bidang xoy adalah
Berupa lingkaran dengan jari-jari = 2
2
V
2
.
transformasi ke koordinat silinder
2
1

x  y
2
V
2

2
.dz .dy .dx

 
6  r  r .dr .d  
6 .2 
1
 0
  
2
2

6r 
3
2 
3
1
2
2 ]d  
2
(12 
1
8
2
r .dz .dr .d  
r
1
2
 
6r
2
. z ] z  r .dr .d 
 0 r0
1
r 
3
3
 0
 0 r 0

2
 0 r 0 zr
2
2

2 6r
2
r ]r  0 d 
2 2
2
 0
 (10 
 2 ) ]
3
8
) 2
3
1

dz .dy .dx
3. Hitung integral lipat tiga
9 x  y  z
Jika V adalah benda dibatasi oleh bola x 2  y 2  z 2  9 diatas bidang z=0
2
2
2
V
Jawab.

V
9x  y z
2
2

2
1
2
2
2
3
  
dz .dy .dx 
 0  0 r 0
1
9r
.r sin  .dr .d  .d 
2
2
2

2
 

9
4
 0  0
 . sin  .d  .d  
9
4

 /2
 (  cos  )] 
 0
0
.d 
2

9
4
 (  cos 

/ 2  cos 0 )]. d 
 0

9
4
 .2 
9
2

 9 sin
2
2
Catatan:
3
. 
r0
r
2
9r
2
.dr 

9 sin
2
9r

9  9 sin
 3 1  sin
 3 cos u
. 3 cos u .du 
3 cos u
Misal r = 3 sin u
.dr = 3 cos u .du
2
u
2
2
u
 9(
1
2
 9(
u .du
sin u . cos u 
1
2
1
2
 sin
sin u . cos u 
0
u .du )
1
2
.u )
u
 9 (  12 . 3r
1
3
9  r  12 arcsin
2
 9 / 2 arcsin 1 
r
3
9
4
)] 9 ( 0  1 / 2 arcsin 1)

TUGAS
1. Hitung integral lipat tiga 
V
3
4 x  y
2
2
dz .dy .dx
2
2
2
Jika V adalah benda dibatasi oleh bola x  y  z  4 dipotong
oleh z = 1 bagian atas
 2 x  5 y .dz .dy .dx
2. Hitung integral lipat tiga
V
, Jika V adalah kerucut z =
x  y
2
2
dipotong oleh z = 5.
3
2
2
2
3.Hitung integral lipat tiga 
4 x  y  z
V
Jika V adalah benda dibatasi oleh bola x 2  y 2  z 2  9
4.Hitung integral lipat tiga
Jika V adalah bola
2

V
3x
9 x  y
2
x  y z 9
2
dz .dy .dx
2
2
 z
dz .dy .dx
2
di bagian atas.
dipotong x 2  y 2  z 2  4