Transcript integral-lipat-dua-kuliah-k-2-n

MATA KULIAH
MATEMATIKA III( 3 SKS )
SEM. GANJIL 2013/2014
INTEGRAL LIPAT DUA
(LANJUTAN)
18092013
INTEGRAL LIPAT
 Integral Berulang
Kita dapat menginterprestasikan integral lipat dua sebagai
volume V dari benda padat dibawah permukaan
Z = f (x,y ).
V   f x, y dA
R
b d
V   f x, y  dA    f x, y dydx
R
a c
d b
V   f x, y  dA    f x, y dxdy
R
c a
Contoh:
Hitunglah :
1. 3 2
2 x  3 y dxdy
a.
Peny: 0 1
a. 3
3

 x
2

 3 yx 1 dy   3  3 y dy
2
0
0
3
3 2

3 y  2 y   45 / 2
0
b. Ubah urutan integralnya
Hasil yang sama apabila kita tukarkan urutan integral nya:
3
3 2

1 0 2 x  3 y dydx  1 2 xy  2 y  0 dx
2 3
2
2
27 

 6 2 27 
1  6 x  2 dx   2 x  2 x1
2
 45 / 2
2. Hitunglah :
2 3
  (9  y)dxdy
0 0
Soal-2
3
4 2
2
(
xy

3
y
)dydx

2 1
4. Tentukan volume suatu benda padat yang
terletak dibawah permukaan z  4  x2  y
dan diatas persegi panjang
R  {( x, y) 0  x  1,0  y  2}
Bentuk grafiknya:


2 1


V   4  x 2  y dA    4  x 2  y dxdy
R
 8
0 0
2
16
2
3
3
 Integral Lipat dua atas daerah bukan persegi panjang
Untuk menyelesaikan batas-batas
yang melengkung kita menggunakan
himpunan sederhana x dan himpunan sederhana y.
Grafik himpunan sederhana x dan himpunan y :
x 1 y
d
x  2  y
y  2  x 
s
s
c
0
Himp. Sederhana x ( y=k)
0
y  1 x 
a
b
Himp. Sederhana y (x=k)
Dimana:
Himpunan sederhana x : S  x, y ; 1  y   x   2  y ; c  y  d 
Himpunan sederhana y: S  x, y ;1 x  y  2 x; a  x  b
Maka untuk himpunan sederhana x :
d 2
V   f x, y dA  
s
c
 f x, y dxdy
1
Untuk himpunan sederhana y adalah:
b 2
V   f x, y dA    f x, y dydx
s
a 1
Contoh soal:
5. Hitunglah integral berulang
Peny:
2
1 y
  2 ye dxdy   2 ye 
1
2
x y
0
x
0 0
2
1 y
x
2
ye
  dxdy
0 0
dy
0

1

1
1
  2 y e y  e0 dy   2 ye y dy  2 ydy
2
0
2
0
1
1
0
   y 
  e du  2 ydy  e
u
0
0
 e 1 1  e  2
u 1
0
2 1
0
Latihan(P.R)
6.
2 3y
  ( x  y)dxdy
1 y
7.
2 x2  x

xdydx
0 2 x2
8.
1 3x
2
x
  ydydx
0 0
9. Gunakan integral lipat dua untuk menetukan volume dari
tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan
bidang 3x  6 y  4 z  12  0
Peny:
Perpotongan sumbu x
x=4
Perpotongan sumbu y
y= 2
Perpotongan sumbu z
z=3
3
S
4
2
Daerah segitiga bidang xy
membentuk alas tetrahedron di
lambangkan dengan S. Kita akan
mencari volume dibawah permukaan :
Dari pers:
3x  6 y  4 z  12  0
4 z  12  3x  6 y
3
z  4  x  2 y  dan diatas daerah S
4
Memotong bidang xy pada :
3x  6 y  12  6 y  12  3x  y  2 
x
2
 3x  12  6 y  x  4  2 y
S dapat dipandang sebagai :
Himpunan sederhana x : S  x, y ;0  x  4  2 y;0  y  2
Himpunan sederhana y : S  {( x, y) 0  x  4, 0  y  2  x}
2
Jadi Volume dari benda padat adalah:
4
x
2
2
V 

0
0
4

3
4  x  2 y dydx
4
3
  4 y  xy  y 2
4
0

2
0
x
2
4


3
dx   16  8 x  x 2 dx
16 0
4
3 
1 3
2
 16 x  4 x  x 
16 
3 0
3  3 3 43 
V   4  4    4
16 
3
Latihan soal:
Gambar & tentukan
 f ( x, y)dA
, jika :
R
10. f ( x, y)  y
R daerah yg dibatasi oleh x=0,
x=¶, y = 0 dan y = sin x.
11. f ( x, y )  4 x  y ; R  {( x, y ) y 2  x  2 y, 0  y  2}
12. f ( x, y)  xy 2 R segitiga dengan titik-2 sudut
(0,0) , (3,1) , (-2,1)
INTEGRAL LIPAT DUA
DALAM KORDINAT POLAR/KUTUB
23092013
Integral Lipat Dua
dalam kordinat polar
(r, θ) pasangan kordinat kutub/polar dari P
P(r, θ )
r
θ
X
Lingkaran berpusat di (0,0)
• Kordinat Cartesian  x² + y² = a²
• Kordinat Polar/ kutub  r = a
Y
a
X
 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub
Kurva-kurva tertentu pada suatu bidang seperti lingkaran,
kardioid, dan mawar lebih mudah dihitung dengan
menggunakan koordinat kutub.
Maka volume V benda padat di
bawah permukaan ini dan di atas R
dinyatakan:
V   f x, y dA
R
Dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R
R  r, ; a  r  b;     
dimana a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π
z  f x, y   f r cos , r sin  
 f r , 
Maka volume V dalam koordinat kutub:
V   f x, y dA   f r cos , r sin  rdrd
R
SOAL :
R
Contoh soal:
Tentukan volume V dari benda padat diatas persegipanjang
kutub:
R  r,  : 1  r  3;0     / 4
dan dibawah permukaan z  e
Peny:
2
2
2
x

y

r
Dik :
maka
2
r
z  e maka
V   e
x y
R

0
 /4 3
2
dA 
 e
r2
rdrd
0 1
 /4 3

2
1 u
1 2 e dud 
 /4
  
0
1 u3
e 1 d
2
V
x2  y 2
lanjutan
1

2

 /4

0



1
e  e d   e9  e1
2
9

e
8
1
9
e
1


 /4
0
Integral Kutub Himpunan Umum S
Untuk integral kutub kita kenal himpunan sederhana r dan
himpunan sederhana θ .
Maka:
S  r,  : 1    r  2  ;     
S  r,  : a  r  b; 1 r      2 r 
Contoh soal:
Hitunglah
 ydA dimana S adalah daerah di kuadran
R
pertama yang berada di luar lingkaran r = 2 serta di
dalam kardioid r  21  cos 
Penyelesaian :
Berdasarkan gambar di bawah ini maka:
S adalah himpunan sederhana r
y  r sin 
  0  /2
r  2  r  21  cos 
 / 2 2 1 cos 
 ydA    r sin rdrd
S
0
2
 /2


0
 /2


0
2 1 cos 
r

 sin  
3
2
3
d


23
3 sin 
 sin   d
21  cos 
3
3


 /2
8
 
3

0
 /2

1  cos  sin d   sin d 
0

3
 /2
 /2


8
3
    u du   sin d 
3 0
0

 /2
8 1

4
  1  cos   cos 
3 4
0


8 1 4
 22
4
   1  2   1 
3 4
 3