Transcript 06_20Integral_20Lipat_20Dua

Universitas Indonusa Esa Unggul
Fakultas Ilmu Komputer
Teknik Informatika
Integral Lipat Dua
Integral Lipat Dua
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi
panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a  x  b, c  y  d}
z
Z=f(x,y)
c
a
b
x
1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d]
menjadi n bagian.
2. Pilih ( x k , y k ) pada setiap sub interval
pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]
3. Bentuk njumlah
Riemann.
n
  f (x
d y
k
, y k ) Ak
i  1 i 1
yk
xk
R
4. Jika n   (|P| 0) diperoleh limit
jumlah Riemann.
n
n
lim
(x k , yk )
n 
  f (x
k
, y k ) Ak
i  1 i 1
Jika limit ada, maka z = f(x,y)
terintegralkan Riemann pada R,
ditulis
n
n
 f ( x , y )dA
R
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
 lim
n 
  f (x
k
, y k ) Ak
i  1 i 1
2
Integral Lipat Dua
Definisi integral lipat dua :
Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang
terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
Jika
n
lim
P 0

f ( x k , y k )  Ak
ada, kita katakan f dapat
k 1
diintegralkan pada R. Lebih lanjut
 f ( x , y ) dA
R

 f ( x , y ) dxdy
R
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan
oleh :
n

atau
f ( x , y ) dA 
R

f ( x k , y k )  Ak
k 1
n
 f ( x , y ) dx dy
R
4/29/2015
lim
P 0
 lim
P 0
 f (x
k
, y k )x k y k
k 1
KALKULUS LANJUT
3
Arti Geometri Integral Lipat Dua
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y)  0 pada persegpanjang R,
maka
 f ( x , y )dA
menyatakan volume benda padat yang
R
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
4
Menghitung Integral Lipat Dua
Jika f(x,y)  0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan
metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ
z
z
z= f(x,y)
A(y)
a
A(y)
c
d
a
y
b
x
b
A( y ) 
b
 f ( x , y ) dx
a
x
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
5
Menghitung Integral Lipat Dua
(Lanjutan)
d
 f ( x , y ) d A
R

d
 A( y ) dy

c

c
b

  f ( x , y ) dx  dy 
a

d b
  f ( x , y ) dx
c a
Maka
d b
 f ( x , y ) dA
R
4/29/2015

  f ( x , y ) dx
dy
c a
KALKULUS LANJUT
6
dy
Menghitung Integral Lipat Dua
(lanjutan)
(ii) Sejajar bidang YOZ
z
z
z= f(x,y)
A(x)
A(x)
a
c
d
c
y
d
y
d
A( x ) 
b
 f ( x , y ) dy
c
x
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
7
Menghitung Integral Lipat Dua
(Lanjutan)
b
 f ( x , y ) d A
R

b
 A( x ) dx

a

a
d

  f ( x , y ) dy  dx 
c

b d
  f ( x , y ) dy
a c
Maka
b d
 f ( x , y ) dA
R
4/29/2015

  f ( x , y ) dx
dy
a c
KALKULUS LANJUT
8
dx
Contoh
1. Hitung integral lipat dua berikut ini :
dimana
2
 2y
2
 dA
R = {(x,y) | 0  x  6, 0  y  4}
 2y
2
 dA
6 4

  x
2
 2y
2
 dy
0 0
6
R

y

0
4
 2
2 3
x y 
y

3

dx
4

 dx

0 
6
128 

2
4
x

 dx
 
3 
0
6
4 3
128

x 
x  288  256  544
3
3
0

R
6
4/29/2015
2
R
Jawab:
 x
 x
x
KALKULUS LANJUT
9
Contoh
Atau,
 x
2
 2y
2
 dA
4 6

  x
2
 2y
2
 dx
0 0
4
R


0
1 3
 x  2 xy
3

4

 72
 12 y
2
0
dy
6
2

 dy

0 
 dy
4
 72 x  4 x
3
 288  256  544
0
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
10
Contoh
2. Hitung integral lipat dua berikut ini :  sin  x  y dA
dimana
R
R = {(x,y) | 0  x /2, 0  y  /2}
Jawab:
 sin  x
 y  dA

  sin  x
0
R
 /2
y
/2
R
/2
4/29/2015
 /2  /2
x
 y  dy dx
0
 /2


 dx
    cos( x  y )


0 
0 
6




    cos 
 y   cos y   dx
2


0 
 /2
 /2


 sin y
 sin 
 y
0
2
0
 
 
 sin    sin    sin    2
2
2
KALKULUS LANJUT
11
Latihan
1. Hitung
1 2
1 1
a.

xy e
x
2
y
2
dy dx
b.
y
x
2
1
dy dx
1
2


xy
dy
 
0

0 0
0 0
2
c.
dx
1
2.  f  x , y  dx
dy
untuk fungsi
R
a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]
b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]
c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
12
Sifat Integral Lipat Dua
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. 
k f  x , y  dA  k
R
 f  x , y  dA
R
2.   f  x , y   g  x , y  dA

R
 f  x , y  dA

R
 g  x , y  dA
R
3. Jika R = R1 + R2 , maka
 f  x , y  dA
R

 f  x , y  dA
R1

 f  x , y  dA
R2
4. Jika f(x,y)  g(x,y), maka
 f  x , y  dA
R
4/29/2015


g  x , y  dA
R
KALKULUS LANJUT
13
Integral Lipat Dua atas Daerah
Sembarang
Ada dua tipe
 Tipe I
D = {(x,y) | a  x  b , p(x)  y  q(x) }
 Tipe II
D = {(x,y) | r(y)  x  s(y) , c  y  d }
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
14
Tipe I
Integral lipat dua pada
daerah D dapat dihitung
sebagai berikut :
y
q(x)
D
x
p(x)
b q(x)

f ( x , y ) dA 
D
a
y
b
  f ( x , y ) dy
dx
a p(x)
x
D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)}
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
15
Tipe II
Integral lipat dua pada
daerah D dapat dihitung
sebagai berikut :
d
x
D
d s(y)
c
s (y)
r (y)
x
 f ( x , y ) dA    f ( x , y ) dx
D
dy
c r(y)
y
D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd}
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
16
Aturan Integrasi



Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua
tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah
urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan
dengan perubahan urutan pengintegralan akan
memudahkan dalam proses integrasinya.
Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat
menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita
dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada
sketsa daerah integrasi yang sama.
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
17
Contoh
1. Hitung 
2 y e dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
x
R
R = {(x,y)| 0 x y2, 0  y  1}
y
x = y2
1
x
 2 y e  dA
x
R
1 y

2
  2 y e  dx dy
x
0 0
R
1

1
x
 2y e
y
x
0
0
1

 2 y e
2
y
2
dy

 1 dy
0

 e
4/29/2015
y
KALKULUS LANJUT
2
 y
2

1
0
 e 11  e 2
18
Contoh
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R = {(x,y)| 0 x 1, x  y  1}
y
 2 y e  dA
x
x = y2
1
1

1
  2 y e  dy
x
0
R
x
1

R
y
x

e y

e
2
1
0
1

1
x
dx
x
x
 xe
dx
x
dy
0

 e
x
 xe
x
 e
x

1
0
 2 e  e  (1  1)  e  2
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
19
Contoh
4 2
2.
 e
0
x
y
2
dy dx
2
Jawab:
Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2  y  2}
Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:
y
R = {(x,y)| 0 x 2y, 0  y  2}
Sehingga
yx=2y
= x/2
2
x
2 2y
4 2
 e
R
0
y
4
x
y
2
dy dx 
0 0
2
2

x
 e
e
2
2
dx dy
x
2y
 2y e
0
 e
KALKULUS LANJUT
y
2
2
0
dy
0
0
2

4/29/2015
y
y
y
2
dy
 e
4
1
20
Latihan
3 3y
 xe
1.
y
3
dx dy
3.
1 y

2.
  y cos x dy
0
7.
dx
4/29/2015
x 1
2
dy dx
4x
0
5.
4.
  sin(

2
2
dx 8 .

0

x  y ) dx dy
e
y
2
dy dx
0 x
4
0 0
   x  y  dy
0
y
 
2 2
0
2

0 0
sin x
2
1 1
1 2
6.
1
 e
0
x
3
dx dy
y
cos x
 y sin x dy dx
0
KALKULUS LANJUT
21
Integral lipat dalam koordinat kutub/polar
Hitung
 e
2
x y
2
dA
, D={(x,y)|x2+y24}
D
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk
diselesaikan.
Sistem Koordinat Kutub
Hubungan Kartesius – Kutub
x = r cos 
x2+y2=r2
2
2
y = r sin 
r x y
 = tan-1(y/x)
y
r
P(r,)

x
4/29/2015
=0
(sumbu kutub)
KALKULUS LANJUT
22
Transformasi kartesius ke kutub
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D
D={(r, )| a  r  b,     }
 f ( x , y ) dA
 ?
D
Ak
r=a
Ak
=
r=b

D
=
Sumbu Kutub
rk-1
rk
Pandang satu partisi persegi
panjang kutub Ak
Luas juring lingkaran dengan
sudut pusat  adalah ½ r2
Ak = ½ rk2  - ½ rk-12 
= ½ (rk2 - rk-12) 
= ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)
= r r 
Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
23
Transformasi kartesius ke kutub
Sehingga
 f ( x , y ) dA
Dk

 f ( r cos  , r sin  ) r dr
d
Dp
Contoh:
1. Hitung

2
e
x y
2
dA
, D={(x,y)|x2+y24}
D
2. Hitung
 y dA , D adalah daerah di kuadran I di dalam
D
4/29/2015
lingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1
KALKULUS LANJUT
24
Contoh
1.

e
2
x y
2
dA
dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}
D
Jawab.
D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat
(0,0) jari-jari 2.
D = {(r,)| 0  r  2, 0    2}
y
Sehingga
2

D
e
2
x y
2
2 2
dA

 
0
r
2
e r dr d 
0
2
1

2
r
 d
   e
2

0 
0 
2
1
1 4
  e    d
2 0
2
2

 1
KALKULUS LANJUT
  e
4/29/2015
D

r
2
x
4
25
Contoh
2.
 y dA
D
dengan D adalah persegipanjang kutub
di kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4
di luar x2+y2=1
D = {(r,)| 1  r  2, 0    /2}
Sehingga
 /2

r dA
 

D
0
 /2


0


4/29/2015
2
1
3
7
r sin  r dr d 
1
1
 r3
3

8
 1
2

 sin  d 


1
y
D
r 
1
2
x
 /2


 cos 
3
0
sin  d 
 /2
0
KALKULUS LANJUT
  73
26
Latihan
1
1. Hitung
1 x
 
0
4  x
2
 y
2
dy dx
0
1
2. Hitung
2
1y
 
0
2
sin( x
2
2
 y ) dx dy
0
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah
paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9
dengan menggunakan koordinat kutub.
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
27
D daerah sembarang/umum
1.
2.
D={(r, )| 1()  r  2(),     }
D={(r, )| a  r  b, 1(r)    2(r)}
=2(r)
r=b
=
r=2()
r=1()
D
D
=
r=a
Sumbu Kutub
Sumbu Kutub
4/29/2015
=1(r)
KALKULUS LANJUT
28
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
1
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan
pusat di (1,0) dan berjari-jari 1
D
1
2
Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1
x2 – 2x + 1 + y2 = 1
x2 + y2 = 2x
r2 = 2r cos 
r2 – 2r cos  =0
r (r – 2 cos  )=0
r = 0 atau r = 2 cos 
Untuk batas  (dari gambar)  =– /2  = /2
Sehingga,
D={(r, )| 0  r  2 cos  ,– /2    /2}
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
29
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
y
=/4
x=1 x=2
y = 0  y = 2x  x2
D
1
2
x
x2 + y2 – 2x = 0
(x – 1)2 + y2 = 1
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
y2 = 2x – x2
Untuk batas r dihitung mulai
x=1
r cos  = 1
hingga r = 2 cos 
r = sec 
Untuk batas  (dari gambar)  =0  = /4
Sehingga koordinat polarnya adalah
D={(r, )| sec   r  2 cos  ,0    /4}
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
30
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
2
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan
pusat di (0,1) dan berjari-jari 1
1
Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1
x2 + y2 – 2y + 1 = 1
x2 + y2 = 2y
r2 = 2r sin 
r2 – 2r sin  =0
r (r – 2 sin  )=0
r = 0 atau r = 2 sin 
1
Untuk batas  (dari gambar)  =0  = 
Sehingga,
D={(r, )| 0  r  2 sin  ,0    }
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
31
Tuliskan daerah integrasi dalam
koordinat polar
1
D
1
x=0 x=1
y=0 y=x
Untuk batas r
x=1
r cos  = 1
r = sec 
Untuk batas  (dari gambar)  =0  = /4
Sehingga koordinat polarnya adalah
D={(r, )| 0  r  sec  ,0    /4}
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
32
Contoh
1. Hitung
2xx
2
2
1
 
1
x y
2
0
dydx
2
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:
x=1 x=2
y = 0  y = 2x  x2
x2 + y2 – 2x = 0
(x – 1)2 + y2 = 1
ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1
y
Koordinat polarnya adalah
=/4
y2 = 2x – x2
D={(r, )| sec   r  2 cos  ,0    /4}
D
1
4/29/2015
2
x
KALKULUS LANJUT
33
Contoh (Lanjutan)
Sehingga,
2
2x x


1
2
0
 / 4 2 c os 
1
x
2
 y
2
dy dx


0
 /4



s ec 
r
1
r
. r dr d 
2 c os 
s ec 
 d
0
 /4

 2 cos 
0
 2 sin   ln sec   tan 

  2 sin


1

 2.
2

4/29/2015
 sec   d 

 /4
0
 
 
  
   ln sec    tan     2 sin 0   ln sec 0   tan 0  
4
4
4

2  ln 2  1   ln 1  
2  ln 2  1


KALKULUS LANJUT

34
Latihan
1. Hitung  r dr d  , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos
S
dan di luar r = 2
2. Hitung
1 1

2
x dx dy
(dengan koordinat kutub)
0 x
3. Hitung 
D
4/29/2015
4  x
2
 y
2
dA
, D daerah kuadran I dari
lingkaran x2+y2=1 antara
y=0 dan y=x
KALKULUS LANJUT
35