Transcript 07_Integral_Lipat_Tiga

Universitas Indonusa Esa Unggul
Fakultas Ilmu Komputer
Teknik Informatika
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga pada Balok
Bk
(x k , y k , zk )
z
B
yk
1. Partisi balok B menjadi n bagian;
B1, B2, …, Bk, …, Bn
zk Definisikan |||| = diagonal
ruang terpanjang dari Bk
xk
2. Ambil ( x k , y k , z k )  B k
3. Bentuk jumlah Riemann
 f (x , y , z )V
n
k
k
k
k
k 1
4. Jika |||| 0 diperoleh limit
jumlah Riemann
n
lim
y
x
 0
 f (x
k
, y k , z k ) V k
k 1
Jika limit ada, maka fungsi
w
= f(x,y,z) terintegralkan Riemann
pada balok B, ditulis
n
 f ( x , y , z ) dV
4/29/2015
B
KALKULUS LANJUT
 lim
 0
 f (x
k
, y k , z k ) V k
k 1
2
Integral Lipat Tiga pada Balok (2)
vk = xk yk zk dV = dx dy dz
Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
 f ( x , y , z ) dV   f ( x , y , z ) dx dy dz
B
4/29/2015
B
KALKULUS LANJUT
3
Contoh
Hitung 
2
x yz dV
dengan B adalah balok dengan ukuran
B
B = {(x,y,z)| 1  x  2, 0  y  1, 1  z  2}
Jawab.
2 1 2

2
x yz dV 

1 0 1
B
2 1


1 0
2


1

4/29/2015
2
x yz dx dy dz
2
1 3
yz  x  dy dz
3
1
1
7
1 2
z  y  dz
3
2
0
2
7 1 2
7
 z  
6 2
1 4
KALKULUS LANJUT
4
Integral Lipat Tiga pada Daerah
Sembarang
Hitung 
2
x yz dV
, Jika S benda padat sembarang
S

Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B,
dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)
B
z
S
y
x
(gb. 1)
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
5
Integral Lipat Tiga pada Daerah
Sembarang (2)

z=2(x,y)
z
S
z=1(x,y)
Jika S dipandang sebagai
himpunan z sederhana (gb.2)
(S dibatasi oleh z=1(x,y) dan
z=2(x,y), dan proyeksi S pada
bidang XOY dipandang sebagai
daerah jenis I) maka:
b 2 ( x )  2 ( x , y )
a
x
b
y=1(x)
Sxy
(gb. 2)
4/29/2015
 f ( x , y , z )
y
y=2(x)
dV 
S

 
 f (x, y, z)
dz dy dx
a 1 ( x )  1 ( x , y )
Catatan:
Jika f(x,y,z) = 1, maka  f ( x , y , z )
menyatakan volume benda
pejal S
S
KALKULUS LANJUT
6
dV
Contoh
Hitung  f ( x , y , z ) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda
S
padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 dan
bidang-bidang z = 0, y=x, y=0
z
y=x
Jawab.
z=2–½ x2
Dari gambar terlihat bahwa
y=0
S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x
0≤z≤ 2 – ½x2}
0
2
Sxy
y
Sehingga,
2 x
 2 xyz
x
S
Sxy = proyeksi S pada XOY
(segitiga)
4/29/2015
dV 
KALKULUS LANJUT
1
2
x
2
   2 xyz
dz dy dx
2 x
1
0 0

2
0
  xy
0 0
z
2
2
0
2
x
2
dy dx
7
Contoh (lanjutan)
2 x


0 0
2


1 7

3
5
x  dx
2x  x 
8


1
2
x
 8 
4/29/2015
1 2
4 

x 
y
dx
4
2

0

0

x
1

2
x4  2x

0
2

2
1 2

xy  2 
x  dy dx
2


4

32
3
1
6
x
6

 4 
1
64
2
x
8
0
4
3
KALKULUS LANJUT
8
Latihan
1. Hitung  z dV , S benda padat di oktan pertama yang
S
dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung
x2 + z2 = 1.
2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi
tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan
tuliskan dan hitung integral lipatnya.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :
a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.
b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.
c. x2 = y, z2 =y, y = 1.
d. y = x2 +y 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.
/2 z
4. Hitung
sin( x  y  z ) dxdydz
 
0
4/29/2015
0 0
KALKULUS LANJUT
9
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung
dan Bola)
Koordinat Tabung
z
Koordinat Bola
P(,,)
z
P(r,,z)

z

r

y
x
Syarat & hubungan dg Kartesius
r  0, 0    2 
x = r cos 
y = r sin 
z=z
r2 = x2 + y2
z

r
y
x
Syarat & hubungan dg Kartesius
  0, 0    2 , 0    
x = r cos 
r =  sin  } x =  cos  sin 
y = r sin 
r =  sin  } y =  sin  sin 
z =  cos 
x2 + y2 + z2 = 2
Jika D benda pejal punya sumbu simetri  Koordinat Tabung
Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik  Koordinat Bola
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
10
Contoh
1.
Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh
tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4
z
Jawab.
4
D dalam koordinat:
2
0
2
x
4/29/2015

y
r
x2+y2=4
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 
0≤z≤4}
b. Tabung:
D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤≤ /2,
0≤z≤4}
KALKULUS LANJUT
x
2
,
11
Contoh
2.
Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.
Jawab.
z
z 
4  x
2
2
0
2
x
4/29/2015


r
2
y
 y
2
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4  x 2 ,
0≤z≤ 4  x 2  y 2 }
b. Tabung:
D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2,
0≤ ≤ /2}
KALKULUS LANJUT
12
Penggantian Peubah dalam Integral
Lipat Tiga
Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)
maka:
 f ( x , y , z ) dx dy dz   f ( m ( u , v , w ), n ( u , v , w ), p ( u , v , w ))
D
J ( u , v , w ) du dv dw
D
dimana
J(u , v, w ) 
x
y
z
u
u
u
x
y
z
v
v
v
x
y
z
w
w
w
Jacobian
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
13
Koordinat Kartesius Tabung
x = r cos 
y = r sin 
z=z
Matriks Jacobiannya:
x
J(u , v, w ) 
y
z
r
r
r
x
y
z



x
y
z
z
z
cos 
 sin 
0
z
 r sin 
r cos 
0
 f ( x , y , z ) dx dy dz   f ( r cos  , r sin
D
4/29/2015
0
0  r cos   r sin
2
2
r
1
 , z ) r dr d  dz
D
KALKULUS LANJUT
14
Koordinat Kartesius Bola
x =  cos  sin 
y =  sin  sin 
z =  cos 
Matriks Jacobiannya:
x
J(u , v, w ) 
y
z




x
y
z



x
y
z
f ( x , y , z ) dx dy dz 
D
4/29/2015




sin  cos 
 sin  sin 
  sin  sin 
 sin  cos 
cos 
 cos  cos 
 cos  sin     sin 
2
0
1
f (  sin  cos  ,  sin  sin  ,  cos  )  sin  d  d  d 
2
D
KALKULUS LANJUT
15
Contoh (Tabung)
1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan z = 4.
Z
Jawab.
Daerah S dalam Koordinat Cartesius
adalah:
2
y S={(x,y,z)|-2  x  2,  4  x y 4  x ,
x2 + y2  z  4}
Dalam koordinat tabung:
S={(r,,z)|0  r  2, 0   2 , r2  z  4}
z=4
2
Sxy
x
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
2 2 4
V 
 1
S
4/29/2015
dV 
   r dz
0
d  dr
0 r2
KALKULUS LANJUT
16
Contoh (Lanjutan)
2 2 4
V 
   r dz
0
0 r2
2 2


d  dr
r z
4
r
2
d  dr
0 0
2

 
r 4  r
2


2
0
dr
0
1 4

2
 2  2 r 
r 
4


2
 8
0
Jadi volume benda pejalnya adalah 8
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
17
Contoh (bola)
2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I
Jawab.
z
z 
4  x
2
 y
D dalam koordinat:
2
2
2
x
a. Cartesius:

2
D={(x,y,z)|
0≤x≤2,
0≤y≤
4  x ,
2
0
0≤z≤ 4  x 2  y 2 }
y

b. Bola:
D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2,
0≤ ≤ /2}
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
 /2  /2 2
V 

S
4/29/2015
1 dV 
  
0
0
2
 sin  d  d  d 
0
KALKULUS LANJUT
18
Contoh (Lanjutan)
 /2  /2 2
  
V 
0
0
 /2  /2

 
0

0
 /2

0

8
3
2
sin  d  d  d 
0
2
1 3
sin     d  dr
3
0
8
3
  0
 cos  
 /2
 /2
d
0

4
3

Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
19
Contoh
1. Hitung 
x
2
dV ,
dengan D benda pejal yang dibatasi
D
z =9 – x2 – y2 dan bidang xy.
2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi
bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.
4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan bidang z =4.
5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola
x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara
menyamping oleh tabung x2+y2=4.
4/29/2015
KALKULUS LANJUT
20
Latihan
6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola
x2+ y2+ z2 = 9, di luar kerucut
z 
x
2
 y
2
dan di atas bidang xy.
3
9x
7. Hitung 
9x y

3 
3
2
2
2
2

9. Hitung
0
2
4/29/2015
 y
2
 z

2 3 /2
dy dz dx
2
x
2
 y
2
dz dy dx
0
4x
 
0
2
9x y
2
2
8. Hitung   
0
x

9x
9x
2
0
2
2
4x y

2
z 4  x
2
 y
2
dy dz dx
0
KALKULUS LANJUT
21