Transcript Kal 2 sistem koordinat polar

System koordinat Polar pada Integral Lipat dua
Misalkan diketahui Integral Lipat dua :
 F ( x, y)dydx
D
Sedangkan D adalah daerah bidang sebagai batas integral lipat dua dan berupa lingkaran maka integral lipat dua
tersebut dapat juga diselesaikan dengan transformasi ke system koordinat polar sebagai berikut :
Transformasi ke system koordinat polar :
Perhatikan OPQ : OP = r = jari-jari lingkaran
OQ = x = r cos 
PQ = y = r sin 
.x2 + y2 = r2
.dydx = rdrd.
Sehingga integral lipat dua
 F ( x, y)dydx   F (r cos , r sin )rdrd
D
D
Dengan Transformasi ke sistem koordinat Polar seperti pada ketentuan di bawah ini :
Pemakaian variabel-variabel baru pada integral lipat dua
Y
U=Uo
V=Vo

r
du
u

r
dv
v
jajaran genjang
x
Diketahui integral lipat dua  F ( x, y) dy, dx dan U=f(x,y) dan V = g(x,y),



D
vektor posisi r merupakan fungsidari
U dan V, dr  r dU  r dV
u
v



r
Untuk lengkungan U konstan U=Uo maka dU =0 sehingga dr  0  dV
v
(merupakan vektor singgung pada lengkungan dimana U konstan )
Untuk lengkungan V konstan V=Vo maka dV =0 sehingga  r
dr 
u
(merupakan vektor singgung pada lengkungan dimana V konstan ) .
dU  0





r

r

r

r
Luas jajaran genjang yang terbentuk : 
dU x
dV 
x
dU dV
u
v
u v


r  x
y
r  x
y
i
 j
Dimana u  i u  j u dan
u
u
u





i
j
k


i
j
r r
x
y
z
x
x
y
Sehingga: u v 

u u u
u
u
x
y
z
x
y
v
v
v
v
v


r r
x
u v

x
u
x
v
y
u
y
v
Sehingga integral lipat dua

k
0
0
x

 k u
x
v
: disebut Determinan Jacobi
 F ( x, y) dy dx 
D
 M (u, v)
D1
( x, y)
dU dV
(u, v)
y
u
y
v
Determinan Jacobi dalam koordinat polar
x
x
 cos ;
  r sin 
r

y
y
y  r sin  .............
 sin  ;
 r cos
r

x
y
Determinan Jacobi :  ( x, y )
r
 ( r ,  )  r
x  r cos ...........
x

y


cos
sin 
 r sin 
r cos
Sehingga integral lipat dua dalam koordinat Polar :
 F ( x, y) dy dx   F (r cos , r sin  ) r dr d
D
Contoh-contoh:
1.Hitunglah integral lipat dua
D1
 2xydydx
D
Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 + y2 = 25 di kwadran I.
Jawab:
r
•
•
Transformasi ke koordinat Polar :
integral lipat dua
 2xydydx    2r cosr sin  .r.dr.d

5  /2
D
r 0 0
5  /2

  r
r 0 0
3
sin 2 ..dr.d 
 sin 2 (

1
4
0
2.Hitunglah integral lipat dua  8xydydx
   2r
3
cos sin  ..dr.d
r 0 0
 /2
sin 2 (


1
4
r 4 )]5r  0 d
0
 /2

5  /2

54 )d  625 ( 12 cos 2 )] /02  625
4
4
D
Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 + y2 = 16 dipotong oleh y = x dan sumbu x di kwadran I.
•
Jawab:
•
Transformasi ke koordinat Polar :
•
integral lipat dua
4  /4
 8xydydx    8r cosr sin  .r.dr.d
r 0  0
D
4  /4

  8r
3
cos sin  ..dr.d
r 0 0
4  /4


3
 4r sin 2 ..dr .d
r 0  0
 /4

1 4 4
4
sin
2

(
r )] r  0 d
4

 0
 44 ( 12 cos2 )] / 40  266{0  (1/ 2)}  128. ///
TUGAS:
1. Hitunglah integral lipat dua
 (2xy  2 y)dydx
D
Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 +y2 =4 dipotong oleh y = x
Dan sumbu y bagian atas.
2. Hitunglah integral lipat dua  (8x  2 y)dydx
D
Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 +y2 = 9 di kwadran I
3. Hitunglah integral lipat dua
 (8xy)dydx
D
Jika D daerah yang dibatasi oleh (x-4)2 + y2 = 16 di kwadran I
4.
Hitunglah integral lipat dua
 5xydydx
D
Jika D daerah yang dibatasi oleh (x-4)2 + y2 = 16 dipotong oleh y = x
dan di kwadran I
5. Hitunglah integral lipat dua  (8xy)dydx
D
Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 + (y-2)2 = 4 di kwadran I