Transcript integral lipattiga

Integral Lipat-Tiga
1
Pertama – tama f didefinisikan pada kotak
segiempat
B
 x , y , z  a  x  b , c  y  d , r  z  s
Langkah pertama adalah membagi B menjadi
kotak – kotak bagian.
Kita lakukan dengan membagi selang [a,b]
menjadi l selang-bagian  x , x  berlebar sama  x
, membagi [c,d] menjadi m selang-bagian
berlebar sama  y dan membagi [r,s] mejadi n
selang-bagian berlebar sama  z
i 1
i
2
Bidang – bidang yang melalui titik ujung
selangbagian – selangbagian ini yang sejajar
terhadap bidang – bidang koordinat membagi
kotak B menjadi lmn kotak-bagian
B ijk   x i 1 , x i    y j 1 , y j    z k 1 , z k 
yang diperlihatkan dalam Gambar 1.
Masing – masing kotak bagian mempunyai
volume  V   x  y  z
Gambar 1.
3
Kemudian, kita bentuk jumlah Riemann
rangkap-tiga
l
m
n
   f  x * , y * , z *  V
dengan titik sampel  x * , y * , z *  terletak
pada B ijk .
2
ijk
i 1
ijk
ijk
j 1 k 1
ijk
ijk
ijk
4
Berdasarkan analogi dengan definisi integral
lipat-dua, kita definisikan integral lipat-tiga
sebagai limit dari jumlah Riemann rangkaptiga
3
Definisi Integral lipat-tiga dari f pada kotak B adalah
 f  x , y , z  dV
B
l
 lim
l ,m ,n  
m
n
   f x*
i 1
ijk
, y * ijk , z * ijk   V
j 1 k 1
jika limit ini ada.
5
Integral lipat-tiga selalu ada jika f kontinu.
Kita dapat memilih titik sampel sebagai sebarang
titik di dalam kotak-bagian, tetapi jika kita
memilih titik sampel ini sebagai titik  x i , y j , z k 
kita peroleh ekspresi yang lebih sederhana
untuk integral lipat-tiga
 f  x , y , z  dV
B
l
 lim
l ,m ,n  
m
n
   f x , y
i
i 1
j
, zk  V
j 1 k 1
6
Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode
praktis untuk penghitungan integral lipat-tiga
adalah menyatakannya sebagai integral
berulang
4
Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga. Jika f kontinu
Pada kotak B=[a,b]x[c,d]x[r,s], maka
 f  x , y , z  dV

s
d
  
r
c
b
f
a
 x , y , z  dydxdz
B
7
Contoh 1:
2
xyz
d Vdengan B
Hitunglah integral lipat-tiga  B
adalah kotak segiempat yang diberikan oleh
B
 x , y , z  0  x  1,  1  y  2, 0  z  3
Penyelesaian :
Kita dapat menggunakan salah satu dari enam
urutan pengintegralan yang mungkin.
8
Jika kita memilih untuk mengintegralkan
terhadap x, kemudian y, dan kemudian z, kita
peroleh
 xyz
2
3
2
1
0
1
0
  
dV 
xyz d xd yd z 
2

B


2
0
1
 

3
0
yz
3
2
d yd z 
2

3
0
3
0
x 1
 x yz 
 1  2  d yd z

 x0
2
2
2
y2
y z 
dz


 4  y  1
2
2
3
z 
27
dz 
 
4
4 0
4
3z
2
3
9
Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada
daerah umum terbatas E dalam ruang dimensi
tiga (benda pejal) dengan prosedur yang
hampir sama seperti yang kita gunakan untuk
integral lipat-dua.
Kita lingkupi E dalam sebuah kotak B yang
berjenis sama seperti pada Persamaan 1.
Kemudian kita definisikan fungsi F agar fungsi
ini sesuai dengan f pada E tetapi bernilai 0
untuk titik – titik pada B yang di luar E.
10
Menurut definisi,
 f  x , y , z  dV
E

 F  x , y , z  dV
B
Integral ini ada jika f kontinu dan perbatasan E
adalah mulus.
Integral lipat-tiga mempunyai sifat yang pada
dasarnya sama seperti integral lipat-dua.
Kita batasi pada fungsi kontinu f dan pada jenis
daerah sederhana yang tertentu.
11
Daerah pejal E dikatakan sebagai berjenis 1, jika
daerah ini terletak di antara grafik dua fungsi
kontinu x dan y, dengan kata lain
5
E 
 x , y , z   x , y   D , u
1
 x, y  

z  u2  x, y 
dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xy
seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.
12
Gambar 2
Gambar 3
Perhatikan bahwa perbatasan atas benda pejal E adalah
permukaan dengan persamaan z  u 2  x , y  , sedangkan
perbatasan bawah adalah permukaan z  u  x , y 
1
13
Jika E adalah daerah jenis I yang diberikan oleh
Persamaan 5, maka
 

 dA
f
x
,
y
,
z
dV

f
x
,
y
,
z
dz




6 
    

Khususnya, jika proyeksi D dari E pada bidangxy adalah daerah bidang jenis I (seperti dalam
Gambar 3), maka
u2 x , y
E
E 
 x , y , z  a  x  b , g
u1 x , y
D
1
x 

y  g 2  x  , u1  x , y   z  u 2  x , y 
dan Persamaan 6 menjadi
7
 f  x , y , z  dV
E

b
 
a
g2  x
g1  x 

u2  x , y 
u1  x , y 
f
 x , y , z  dzdydx
14
Sebaliknya, jika D adalah daerah bidang jenis II
(seperti dalam gambar 4), maka
E 
 x , y , z  c  y  d , h  y   x  h
1
2
 y  , u1  x , y  

z  u2  x, y 
dan Persamaan 6 menjadi
d
h  x u  x,y
8
 f  x , y , z  dV  c h  x  u  x , y  f  x , y , z  dzdxdy
2
1
E
2
1
Gambar 4
15
Contoh 2:
Hitunglah  zd V dengan E adalah bidangempat (tetrahedron) pejal yang dibatasi oleh
empat bidang x  0, y  0, z  0, dan x  y  z  1
Penyelesaian :
Proyeksi E adalah daerah segitiga yang
diperlihatkan dalam Gambar 5, dan kita
mempunyai
E    x , y , z  0  x  1, 0  y  1  x , 0  z  1  x  y 
E
16
y
1
y  1 x
D
0 y0 1
x
Gambar 5
Pendeskripsian E sebagai daerah jenis 1,
sehingga kita dapat menghitung integral
sebagai berikut
 zd V

1
1 x
0
0
 

1 x  y
zd zd yd x 
0
1
1 x
0
0
 
E


1
6
1
2
1
1
1 x
  1  x  y 
0
d yd x 
0
 1  x 
0
2
3
1  1  x 
dx  
6
4

4
1
2

1
0
z 1  x  y
z 


2

 z0
2
d yd x
 1  x  y 

3

3



y 1 x
dx
y0
1

1
 
24

0
17
Daerah pejal E adalah jenis 2 jika berbentuk
 y , z   x  u 2  y , z 
dengan D adalah proyeksi E pada bidang-yz.
Permukaan belakang adalah x  u 1  y , z  dan
permukaan depan adalah u 2  y , z  dan kita
mempunyai
E 
9
 x , y , z   y , z   D , u

E
1
u2  y , z 

f  x , y , z  dV   
f  x , y , z  dx  dA
 u1  y , z 

D
18
Daerah jenis 3 berbentuk
E 
 x , y , z   x , z   D , u
1
 x, z  

y  u2  x, z 
dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xz,
y  u 1  x , z  adalah permukaan kiri, dan y  u  x , z 
2
adalah permukaan kanan (Lihat Gambar 6).
Untuk daerah jenis ini kita mempunyai
u x,z
10

E

2

f  x , y , z  dV   
f  x , y , z  dy  dA
 u1  x , z 

D
Gambar 6
19
Dalam masing – masing Persamaan 9 dan 10
boleh jadi terdapat dua ekspresi yang mungkin
untuk integral tersebut tergantung pada apakah
D daerah berjenis I atau jenis II (dan
berpadanan terhadap Persamaan 7 dan 8)
20
Contoh 3:
Hitung  x  z dV dengan E adalah daerah yang
2
2
dibatasi oleh paraboloid y  x  z dan bidang
2
2
E
y4
Penyelesaian :
Benda pejal E diperlihatkan dalam Gambar 7.
Jika kita pandang benda sebagai daerah jenis I,
maka kita perlu meninjau proyeksinya D1 ke
bidang-xy, yang berupa daerah parabola dalam
Gambar 8. (Jejak dari y  x 2  z 2 di bidang z  0
2
Adalah parabola y  x
21
Gambar 7
Gambar 8
22
Dari y  x 2  z 2 kita dapatkan z   y  x ,
sehingga permukaan perbatasan bawah dari E
adalah z   y  x dan permukaan atasnya z  y  x
Karena itu, penjabaran E sebagai daerah jenis I
adalah
2
2
E 

 x , y , z   2  x  2, x  y  4, 
2
yx  z
2
yx
2

sehingga kita peroleh

x  z dV 
2
2
2
4
2
x
  
2
yx

2
yx
x  z dzdydx
2
2
2
E
23
2
Walaupun ekspresi tersebut benar, namum sangat
sukar untuk dihitung.
Sebagai gantinya kita akan meninjau E sebagai
daerah jenis 3.
Dengan demikian proyeksinya D 3 ke dalam
bidang-xz berupa cakram x 2  z 2  4 yang
diperlihatkan dalam Gambar 9.
Gambar 9
24
Maka perbatasan kiri dari E adalah paraboloid
2
2
y  x  z dan perbatasan kanan adalah bidang
y  4, sehingga dengan mengambil
2
2
u 1  x , z   x  z dan u 2  x , z   4 dalam
Persamaan 10, kita mempunyai

E
4

x  z dV    2 2
 x  z
D
2
x  z dy  dA

2
2
2
3

 
4x z
2
2

x  z dA
2
2
D3
25
Atau dapat kita tuliskan dalam koordinat polar di
bidang-xz

x  z dV 
2
2
E
 
4x z
2
2

x  z dA
2
2
D3

2
  
0
2
4r
2
0

rrdrd  

2
0
d 
2
0

4r  r
2
4
 dr
2
 4r
r 
128
 2 

 
5 0
15
 3
3
5
26
Penerapan Integral Lipat-Tiga
Ingat bahwa jika f(x)≥0 maka integral tunggal
 f  x  d x menyatakan luas di bawah kurva y  f  x 
mulai dari a ke b, dan jika f(x,y)≥0 maka integral
lipat-dua  f  x , y  d A menyatakan volume di
bawah permukaan z  f  x , y  dan di atas D.
b
a
D
27
Integral lipat-tiga  f  x , y , z  d V dapat
ditafsirkan dalam cara yang berbeda dalam
situasi fisis yang berlainan, tergantung pada
penafsiran fisis dari x, y, z, dan f(x,y,z).
E
Pada kasus khusus dimana f  x , y , z   1 untuk
semua titik dalam E. Maka integral lipat-tiga
menyatakan volume E :
11
V E 
 dV
E
28
Contoh 4:
Gunakan integral lipat-tiga untuk mencari
volume bidang-empat T yang dibatasi oleh
bidang – bidang
x  2 y  z  2, x  2 y , x  0, dan z  0.
Penyelesaian :
Bidang-empat T dan proyeksinya D pada bidangxy diperlihatkan dalam Gambar 10 dan 11.
perbatasan bawah T adalah bidang z  0 dan
perbatasan atas bidang x  2 y  z  2 yaitu
z  2 x  2y
29
Gambar 10
Gambar 11
Karena itu, kita mempunyai
1 1
2 x2 y
V  T    dV   
dzdydx

0
0
x
2
x
2
T

1
1 x 2
0
x
 
2
 2  x  2 y  dydx 
1
3
30
Semua penerapan integral lipat-dua dapat
langsung diperluas ke integral lipat-tiga.
Misalnya, jika fungsi kerapatan dari benda pejal
yang menempati daerah E adalah ρ(x,y,z),
dalam satuan massa tiap satuan volume, di
sebarang titik (x,y,z) yang diberikan, maka
massanya adalah
m     x , y , z  dV
12
E
31
Dan momennya terhadap tiga bidang koordinat
adalah
13
M
yz

 x   x , y , z  dV
M
xz

 y   x , y , z  dV
E
E
 z   x , y , z  dV
Pusat massanya terletak di titik  x , y , z  dengan
M
xy

E
14
x 
M
yz
m
y 
M xz
m
z 
M xy
m
Jika kerapatannya konstan, pusat massa benda
pejal disebut sentroid dari E.
32
Momen inersia terhadap tiga bidang koordinat
adalah
I    y  z    x , y , z  d V
2
2
x
E
15
Iy 
  x
2
z
2
   x, y, z  dV
2
 y
2
   x, y, z  dV
E
Iz 
  x
E
Muatan listrik total pada suatu benda pejal yang
menempati daerah E dan mempunyai
kerapatan muatan σ (x,y,z) adalah
Q 
   x , y , z  dV
E
33
Jika kita mempunyai tiga variabel acak kontinu
X, Y, dan Z fungsi kerapatan bersama mereka
adalah fungsi tiga variabel sedemikian rupa
sehingga peluang bahwa (X, Y, Z) terletak
dalam E adalah
P   X , Y , Z   E    f  x , y , z  dV
Khususnya
P  a  x  b, c 
E
y  d,r  z  s 
b
d
  
a
c
s
f
r
 x , y , z  dzdydx
Fungsi kerapatan bersamanya memenuhi
f
 x, y, z   0


  




f
 x , y , z  dzdydx  1
34
Contoh 5:
Carilah pusat massa dari sebuah benda pejal
berkerapatan konstan yang dibatasi oleh
2
silinder parabolik x  y dan bidang – bidang
x  z , z  0, dan x  1
Penyelesaian :
Benda pejal E dan proyeksinya pada bidang-xy
diperlihatkan dalam Gambar 12.
Gambar 12
35
Permukaan bawah dan atas dari E adalah bidang
– bidang z  0 dan z  x , sehingga kita katakan
E sebagai daerah jenis 1 :
2
E    x , y , z   1  y  1, y  x  1, 0  z  x 
Maka jika kerapatan adalah   x , y , z   
massanya adalah
m 
  dV

1
1
1
y
  
2
x
 dzdxdy
0
E
 
1
1

1
y
2
x 1
x 
xdxdy     
1
 2  x y2
2
1
1

y 
4

1  y  dy    1  y  dy    y 

 


1
0
2
5 0
5


1
4
1
5
4
36
Karena kesimetrian E dan ρ terhadap bidang-xz
kita dapat mengatakan bahwa M xz  0 dan
karena itu y  0 . Momen lainnya adalah
M
yz

 x  dV

1
1
1
y
  
2
x
x  dzdxdy
0
E
 
1
1

1
y
2
2
x 1
x 
x dxdy     
1
 3  x y2
1
3
1
2 
y 
4

1  y  dy 

y 
 


1
3
3 
7 0
7
2
1
7
6
37
M
xy

 z  dV

1
1
1
y
  
2
x
z  dzdxdy
0
E
 


3
1
1

1
y
zx
z 

dxdy 
 
2
 2  z0
2
2
 1  y  dy 
1
1
6
1
 
1
1
y
2
2
x dxdy
2
7
Karena itu, pusat massanya adalah
 M yz M xz M xy   5
5 
,
,
x, y, z   
   , 0,

m
m
m
7
14


 
38
Integral Lipat-Tiga dalam Koordinat
Silinder dan Koordinat Bola
39
Koordinat Silinder
Koordinat silinder dari titik P adalah (r,θ,z),
dengan r, θ, dan z diperlihatkan dalam Gambar
1.
Andaikan E adalah daerah jenis I yang
proyeksinya D pada bidang-xy digambarkan
dengan mudah dalam koordinat polar (Lihat


Gambar 2).
z  u2 x, y
Gambar 1
Gambar 2
40
Khususnya, andaikan bahwa f kontinu dan
E 
 x , y , z   x , y   D , u
1
 x, y  

y  u2  x, y 
dengan D diberikan dalam koordinat polar oleh
D 
 r ,        , h ( )  r  h ( )
1
2
Telah kita ketahui bahwa
1

E
u2  x , y 

f  x , y , z  dV   
f  x , y , z  dz  dA
 u1  x , y 

D
41
Dengan menggabungkan Persamaan 1 dengan
persamaan 3 pada sub-bab sebelumnya kita peroleh
2
 f  x , y , z  dV
E


 
h2  
h1  



u 2  rC os , rSin
u1  rC os , rSin


f  rC os , rSin , z  rdzdrd 
Rumus 2 adalah rumus untuk pengintegralan lipat-tiga
dalam koordinat silinder.
42
Contoh 1:
2
2
Benda pejal E terletak di dalam silinder x  y  1,
dibawah bidang z  4, dan di atas paraboloid
2
2
z  1 x  y
(Lihat Gambar 3). Kerapatan di
sebarang titik sebanding terhadap jaraknya dari
sumbu silinder. Carilah massa E.
Gambar 3
43
Penyelesaian :
Dalam koordinat silinder, persamaan silinder
adalah r  1 dan paraboloid adalah z  1  r 2
sehingga kita dapat menuliskan
E    r ,  , z  0    2 , 0  r  1,1  r  z  4
Karena kerapatan di (x,y,z) sebanding dengan
jarak dari sumbu z maka fungsi kerapatan
adalah
2
f
 x, y, z  
K
x  y
2
2
 Kr
dengan K adalah konstanta kesebandingan.
44
Karena itu, massa E adalah
m 
 K
x  y dV 
2
2
2
1
4
0
1 r
  
0
2
 K r  rdzdrd 
E

2
 
0
1
0

Kr 4  1  r

2
2
  drd 
 K

2
0
d 
1
0
 3r
2
r
4
 dr
1
 3 r 
12  K
 2 K  r 
 
5 0
5

5
45
Koordinat Bola
Kita definisikan koordinat bola (ρ,θ,ø) dari
sebuah titik (Lihat Gambar 4), dan kaitan
antara koordinat siku – siku dengan koordinat
bola adalah sebagai berikut
3
x   S in  C os 
y   S in  C os 
z   C os 
Dalam sistem koordinat bola ini, mitra dari kotak
persegi panjang adalah baji bola (spherical
wedge)
E 
dengan
  ,  ,   a    b ,      , c    d 
a  0,     2 , dan d  c  
46
Gambar 4
Walaupun kita definisikan integral lipat-tiga
dengan membagi benda pejal menjadi kotak –
kotak kecil, dapat diperlihatkan bahwa
pembagian benda pejal menjadi baji – baji bola
kecil selalu memberikan hasil sama.
47
Sehingga kita bagi E menjadi baji bola yang
lebih kecil E ijk dengan menggunakan bola
berjarak sama    i , setengah-bidang   j ,
dan setengah kerucut    k .
48
E ijk
hampir berupa kotak persegi panjang dengan
ukuran Δρ,  i   (busur lingkaran dengan jari –
,
jari sudut
Δø), dan  i Sin  k  (busur
,
i
lingkaran dengan jari – jari  i Sin  k sudut Δθ).
Sehingga hampiran terhadap volume E ijk
diberikan oleh
 V ijk        i      i S in  k      i S in  k      
2
49