Transcript TD 5 - Technologue pro

TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul
INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL
DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE
TRAVAUX DIRIGÉS DE MÉCANIQUE GÉNÉRALE
Niveau : L1/S1
EXERCICE 1(Corrigé) :
On défini par :
 R0 (O, x, y, z) Un repère de référence Lié au sol .
 R1 (A, u, v, z) un repère lié au tube.
Point B caractérise la bille.
ω : Vitesse angulaire du repère R1/R0
Bille (B)
z
V
B
Tube (1)
v
A
Sol (0)
u
o
y
x
La bille glisse dans le tube à la vitesse V
Le tube tourne à la vitesse angulaire
; Calculons la vitesse de la bille / au sol

l’accélération de B / sol
TD1
γ (B / R 0 )

V ( B / R 0)
et
Page 31
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul
EXERCICE 2 (Corrigé):
Considérons un robot constitué d’un socle 0 et de deux bras 1 et 2. (Voir figure1)
Soit les repères :
  
♦ R0 (0, x 0 , y 0 , z 0 ) repère fixe lié au socle 0
Socle
  
♦ R1 (01,x1, y1,z0) repère lié au bras 1

y2
  
♦ R2 (01 , x 2 , y 2 , z 0 ) repère lié au bras 2

y0

y1
On donne :


001= l1 x1 ; 01M= l2 x 2

∧

α1

∧
Bras 2

α 1 (t ) = ( x 0 , x1 ) ; α 2 (t ) = ( x1 , x 2 )


1) Calculer ω (R 1 /R 0 ) et ω (R 2 /R 0 ).

2) Calculer V (M/R 0 ) par composition des
Bras 1

x0
vitesses , avec :




V (M / R 0 ) = V (M / R 1 ) + V (01 / R 0 ) + ω (R 1 / R 0 ) ∧ 01 M

3) Calculer γ (M/R 0 ).
M
α

x2

x1
EXERCICE 3(Corrigé) :
On considère le mouvement d’un vérin hydraulique composé d’un corps 1 de longueur

constante L et d’une tige mobile 2. La course de 2 par rapport à 1 est définie par AB = x(t ) x .

  ∧ 
La rotation du vérin est définie par l’angle α (t ) =  x0 , x  porté par z0 .


  
On appelle : ℜ 0 = (0, x0 , y0 , z0 ) le repère fixe lié au bâti 0.
  
ℜ = (0, x , y, z 0 ) le repère mobile lié au vérin.

OB = (L + x(t ) ) x
L : Constante
TD1
Page 32
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul

y0

y
x (t)
B
L

x
A
2
1

z0
0
α (t)
O

x0


1) Quelles sont les composantes dans ℜ du vecteur rotation ω R/R 0 = ω (1 / 0) ?


2) Exprimez dans ℜ les composantes des vitesses V (B 2/1) et V (B 2/0)


Exprimez dans ℜ les composantes des accélérations γ (B 2/1) et γ (B 2/0)
EXERCICE (4) :
La figure 1 représente le schéma cinématique minimal d’un mécanisme de transformation de
mouvement. Il est composé des solides suivants :
  
 Bâti (0), lié au repère de référence R0 (O, x0 , y 0 , z 0 ) .
  

 Arbre d’entré (1), lié au repère R1 (O, x1 , y1 , z 0 ) , il est en liaison pivot d’axe (O, z 0 ) avec
le bâti (0).
  

 Roue (2), liée au repère R2 ( A, x 2 , y 2 , z 0 ) , elle est en liaison pivot d’axe ( A, z 0 ) avec
l’arbre d’entré (1) et engrène au point B avec une couronne solidaire au bâti (0).
  

 Bielle (3), liée au repère R3 (C , x3 , y 3 , z 0 ) , elle est en liaison pivot d’axe (C , z 0 ) avec la
roue (2).

 Coulisseau (4), il est en liaison glissière d’axe (O, x 0 ) avec le bâti (0) et en liaison pivot

d’axe (D, z 0 ) avec la bielle (3).







On donne : OA = a.x1 ; AB = R.x1 ; AC = R.x 2 + c.z 0 ; CD = L.x3 et OD = λ .x 0 + c.z 0 .
 
 
 
 
 
 
α = ( x0 , x1 ) = ( y 0 , y1 ) ; β = ( x1 , x 2 ) = ( y1 , y 2 ) et γ = ( x0 , x3 ) = ( y 0 , y 3 )
Les paramètres variables du mécanisme sont : α , β , γ et λ .
Travail demandé :
TD1
Page 33
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul



1- Donner les expressions des vecteurs vitesses de rotations : Ω(1 / 0 ) , Ω(2 / 1) , Ω(3 / 0 ) et

Ω(2 / 0 ) .
2- Exprimer dans R1 , la vitesse du point A par rapport à R0 .
3- Exprimer dans R2 , la vitesse du point C par rapport à R1 .
4- Déterminer dans R1 , la vitesse du point C en passant par le point A, par rapport à R0

En déduire V ( B ∈ 2 / 0).
5- En appliquant la condition de roulement sans glissement au point B entre les solides (2)
•
•
et (0) établir une relation entre α et β . Préciser alors le sens de rotation de (2) par
rapport à (1).
•
6- Déterminer en fonction de λ , la vitesse de D par rapport à R0 . Quel est donc au point D
le torseur cinématique qui représente le mouvement de la bielle (3) par rapport au
bati (0).
Figure 1 : Mécanisme de transformation de mouvement
TD1
Page 34
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul
EXERCICE (5) :
Les trains épicycloïdaux sont des réducteurs à engrenages à rapport de réduction très
important pour un encombrement minimum.
Le pignon central (1) appelé planétaire est entraîné par un moteur ( M ) non représenté, il
transmet son mouvement au pignon intermédiaire
(2 ) (satellite)
qui entraîne ensuite la
couronne dentée (4 ) ou le porte satellite (3 ) suivant la vitesse choisie pour le récepteur. (Voir
fig. 2)
Données :
  
 Bâti (0 ) , lié au repère de référence R0 (O1 , x 0 , y 0 , z 0 ) .
  
 
 
 Planétaire (1) , lié au repère R1 (O1 , x1 , y1 , z 0 ) , α = ( x 0 , x1 ) = ( y 0 , y1 ) . Planétaire (1) de
Rayon r1 .
  
 
 
 Satellite (2 ) lié au repère R2 (O2 , x 2 , y 2 , z 0 ) , ψ = ( x3 , x 2 ) = ( y 3 , y 2 ) . Satellite (2 ) de rayon r2 .
  
 
 
 Porte satellite (3 ) , lié au repère R3 (O1 , x3 , y 3 , z 0 ) , ϕ = ( x0 , x3 ) = ( y 0 , y 3 ) . Porte satellite (3)
de rayon r3 .
  
 
 
 Couronne (4 ) , liée au repère R4 (O1 , x 4 , y 4 , z 0 ) , θ = ( x0 , x 4 ) = ( y 0 , y 4 ) . Couronne (4 ) de
rayon r4 .



 O1 A = r1 .x1 si A∈ (1) ; O1 A = r3 .x3 − r2 ⋅ x 2 si A∈ (2 ) .



 O1 B = r3 .x3 + r2 ⋅ x 2 si B ∈ (2 ) ; O1 B = r4 .x4 si B ∈ (4 ) .
 Les paramètres variables du mécanisme sont α ,ψ , ϕ et θ .
Travail demandé :




1- Déterminer les vitesses de rotations : ω (1 / 0) , ω (2 / 3) , ω (3 / 0) et ω (4 / 0) .


2- En déduire ω (1 / 3) et ω (4 / 3) .

3- Calculer la vitesse V ( A ∈ 1 / 3) .

4- Calculer la vitesse V ( A ∈ 2 / 3) .
5- En déduire la vitesse de glissement en A de (2/1).
6- Donner la relation entre ω (2 / 3) et ω (1 / 3) s’il y a roulement sans glissement en A .

7- Calculer la vitesse V (B ∈ 2 / 3) .

8- Calculer la vitesse V (B ∈ 4 / 3) .
TD1
Page 35
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul
9- En déduire la vitesse de glissement en B de (2/4).
10- Donner la relation entre ω (2 / 3) et ω (4 / 3) s’il y a roulement sans glissement en B .
11- Déduire la relation entre ω (1 / 3) , ω (4 / 3) .
12- Déterminer la relation entre ω (1 / 0) , ω (3 / 0) et ω (4 / 0) , (formule de Willis).

y0
θ

y4

y1

y3
2
α
ψ

y3

x3

y2
B

x2
ψ
ϕ

z0
A
•
O2

x1
ϕ
α
O1
θ

x0
3
0
1

x4
4
Figure 2 : Train épicycloïdal
EXERCICE (6) :
Le dispositif qu’on veut étudier est un vérin de relevage d’un poussoir qui est représenté par
le schéma cinématique plan de la figure 3. le poussoir (5), en liaison glissière par rapport au
bâti (0), est entraîné en translation par le levier (3), par l’intermédiaire du galet (4).
Le galet (4) a une liaison pivot de centre C avec (3) et une liaison ponctuelle au point I avec
(5), dont la normale a même direction que l’axe de la liaison glissière entre (5) et (0).
Le levier (3), articulé en A au bâti (0), est entraîné en rotation par la tige de vérin (2), reliée au
levier (3) par une liaison pivot de centre B.
La tige de vérin a un mouvement de translation par rapport au corps du vérin, articulé en O au
bâti (0).
TD1
Page 36
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul
Repères et paramètres de position (Figure 4).
On considère les repères orthonormés directs suivants :
  
  
R0 O, X , Y , Z : repère galiléen lié au bâti (0).
R1 O, X 1 , Y1 , Z : lié au corps du vérin
(
)
(
)
(1).
  
R2 B, X 1 , Y1 , Z : lié à tige du vérin (2).
  
R4 C , X 4 , Y4 , Z : lié au galet (4).
(
(
)
)
  
R3 A, X 3 , Y3 , Z : lié au levier (3).
  
R5 D, X , Y , Z : lié au poussoir (5).
(
(
)
)
α , β , γ : paramètres angulaires de position.

La position de la tige du vérin (2) est repérée par le paramètre λ tel que OB = λ.X 1

La position du poussoir (5) est repérée par le paramètre δ tel que DH = δ . X

La position du point de contact I est tel que IH = ρ .Y
Le rayon du galet (4) est noté r.


BG2 = −b.X 1 , AC = L.X 3 et G2 : centre de masse de (2).
Travail demandé :
1- Donner les éléments de réduction des torseurs cinématiques suivants :
a.) {V1 / 0 }O
b.) {V2 / 0 }G2
c.) {V3 / 0 }A
d.) {V4 / 0 }C
2- Donner l’expression, dans R0, des vitesses suivantes.



a.) V (I ∈ 4 / 0 )
b.) V (I ∈ 5 / 0 ) c.) V (I ∈ 4 / 5)
3-

(I ∈ 4 / 5)
V
a.) Quelle est la signification de


b.) Que doit valoir la composante de V (I ∈ 4 / 5) selon X ? Justifier.
•
•
c.) En déduire δ en fonction β
4a.) Ecrire la condition de roulement sans glissement en I
•
•
b.) En déduire γ en fonction β
TD1
Page 37
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul

Y
O
1
D
0
5
2

X
I
H
B
A
3
•
C
4
Figure 3 : schéma cinématique
TD1
Page 38
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul
CORRECTION
Exercice 1 :



V(B / R 0 ) = V(B / R 1 ) + V(B ∈ R 1 / R 0 )


dρν

d AB

* V(B / R 1 ) = Vν ou
(
) R1 = (
) R1 = ρ ν
dt
dt





* V(B ∈ R 1 / R 0 ) = ω(R 1 / R 0 ) ∧ AB = θ z ∧ ρν = −ρθ μ





V ( B / R 0 ) = ρν − ρθ μ





γ (B / R 0 ) = γ (B / R 1 ) + γ (B ∈ R 1 / R 0 ) + 2ω(R 1 / R 0 ) ∧ V(B / R 1 )


ν
* γ (B / R 1 ) = ρ
( M vt rectiligne).



* γ (B ∈ R 1 / R 0 ) = −ρθμ − ρθ 2ν.





* 2ω(R 1 / R 0 ) ∧ V(B / R 1 ) = 2θ z ∧ ρ ν = −2ρ θ μ





γ (B / R 0 ) = ρν − ρθμ − ρθ 2ν − 2ρ θ μ



γ ( B / R ) = ( ρ − ρθ 2 )ν − ( 2 ρ θ + ρθ) μ
Exercice 2 :
1/


ω R1 / R0 = α1• z 0






ω R 2 / R0 = ω R 2 / R1 + ω R1 / R0 = α 2• z 0 + α1• z 0 = ( α 2• + α1• ) z 0
2/





V ( M / R0 ) = V ( M / R1 ) + V ( O1 / R0 ) + ω R1 / R0 Λ O1 M
TD1
Page 39
TD De Mécanique Générale
ISET Nabeul


dO1 M 
V ( M / R1 ) =

dt 

d( l2 x2 )

=
= l 2 α 2• y 2

dt  R1
R1





ω R1 / R0 Λ O1 M = α 1• z 0 Λ l 2 x 2 = α 1• l 2 y 2



V ( M / R0 ) = l 2 ( α 1• + α 2• ) y 2 + l 1 α 1• y 1
3/



d ( l 2 ( α1• + α 2• ) y 2 + l1 α 1• y ) 
dV ( M / R0 ) 

γ ( M / R0 ) =
=


dt
dt

 R0
[
R0
[
2 



= l 2 ( α 1•• + α 2•• ) y 2 − ( α 1• + α 2• ) 2 x 2 ] + l1 α 1•• y 1 − α 1• x1 ]
Exercice 3
1/


ωR / R0 = α • z0
2/



d( x x )
dAM 
• 
V( B / 1) =
 =
 =x x
dt  R1
dt  R1



d ( L + x )x 

dOB 
•
•
V( B / 0 ) =
 =
 =α (L+ x) y + x x
dt  R0
dt
 R0
3/


dV ( B / 1 ) 
•• 
γ ( B / 1) =
 =x x
dt
 R1
γ ( M / R0 ) == [( L + x )α •• + 2α • x • ]y + [x •• − α • ( L + x ) ]x

TD1

2

Page 40