Transcript UN EFFRAYANT INTERVIEW DE M. L`ABBE PFLUGER

Cours Automatique
Niveau : 2
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 5
Système de 1er Ordre
Nombre d’heures/chapitre : 3h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on définie un système de 1er ordre tout en donnant leur caractéristiques selon les
réponses de ce système à quelques signaux canoniques comme une impulsion et un échelon tout en
détaillant par des applications explicatifs.
En second lieu on définie le système de 1er ordre généralisé tout en montrant sa réponse indicielle
ISET NABEUL
- 43 -
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
Chapitre 5
Système de 1er Ordre
1. Définition
Un système est dit de 1er ordre s’il est décrit par une équation différentielle de la forme :
τ
Y ( p)
k
dy
=
+ y (t ) = ke(t )  τpY ( p ) + Y ( p ) = kE ( p)  H ( p) =
E ( p) 1 + τp
dt
K : gain statique
τ: constante du temps.
2. Réponse d’un système de 1er ordre à quelques signaux canoniques
2.1.Réponse à un échelon
Y ( p)
k
k
=
 Y ( p) =
E ( p)
E ( p ) 1 + τp
1 + τp
k
1
 Y ( p) =
E ( p) =
p(1 + τp )
p
*
y (t ) = k (1 − e
donc
−
t
τ
)
si t → 0; y (t ) → 0
** si t → ∞; y (t ) → k
k = lim y (t ) pour e(t ) = 1u (t )
1
0.9
0.8
0.7
y(t)
63%
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
T
2
3
4
5
6
7
temps
Fig.5.1 : Réponse indicielle d’un système de 1er ordre (KE=1).
ISET NABEUL
- 44 -
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
t
−
kE
*** e(t ) = Eu (t )  Y ( p) =
 y (t ) = kE (1 − e τ )
p(1 + τp )
kE=10
9
8
7
y(t)
63%kE
6
5
4
3
2
1
0
0
2
T
4
6
temps
8
10
12
Fig.5.2 : Réponse indicielle d’un système de 1er or ordre (KE=1).
y (∞) = kE = lim y (t ) = lim pY ( p )
2.2.Réponse à une impulsion e(t ) = δ (t ) = 1 pour t = 0
Y ( p)
k
k
E ( p)
 Y ( p) =
=
E ( p ) 1 + τp
1 + τp




k
k  1 
= .
E ( p) = 1  Y ( p) =

1 + τp τ  1
 + p
τ

ISET NABEUL
donc
y (t ) =
- 45 -
k
τ
e
−
t
τ
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
kE/T= 5
4.5
4
3.5
Réponse impulsionnelle
d'un système de 1er ordre
y(t)
3
2.5
2
37%KE/T
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
temps
8
10
12
Fig.5.3 : Réponse impulsionnelle d’un système de 1er ordre (KE=10).
* si t → 0; y (t ) →
k
τ
** si t → ∞; y (t ) → 0
kE
*** δ (t ) = E  Y ( p ) =

1 + τp
y (t ) =
kE
τ
e
−
t
τ
2.3. Applications
Exercice 1
Soit le montage RC suivant :
I
R
I
e(t)
C
vs(t)
Fig.5.4 : Circuit RC série.
1. Déterminer H ( p ) =
Vs ( p )
E ( p)
2. Déduire la nature du système ainsi que ses paramètres caractéristiques en fonction de R et C.
3. Pour e(t ) = 10u (t ), R = 100Ω et C = 1μF ; calculer et tracer vs(t).
ISET NABEUL
- 46 -
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
Correction
1. e(t ) = Ri (t ) + v s (t )
dv s (t )
+ v s (t )  E ( p) = RCV s ( p) + V s ( p)
dt
V ( p)
1
Donc H ( p ) = s
=
E ( p ) 1 + RCp
e(t ) = RC
2. C’est un système de 1er ordre avec k=1 et τ = RC
3. V s ( p) =
1
10
E ( p) avec E ( p) =
; τ = RC = 100 x10 −6 = 10 −4 s
p
1 + RCp
t
V s ( p) =
− −4
10
−10 4 t
10
(
)
10
(
1
)
v
t
=
−
e

v
(
t
)
=
10
(
1
−
e
)

s
s
p (1 + 10 − 4 p )
Réponse indicielle (T=0.0001s et KE=10)
12,
10,
8,
63%KE=6.3
6,
4,
2,
0,
0, T=0.0001s
τ=0.0001s 0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,
Fig.5.5 : Réponse indicielle (KE=10).
ISET NABEUL
- 47 -
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
Exercice 2
1. Soit le montage RL suivant :
I
R
e(t)
L
vs(t)
Fig.5.6 : Circuit RL série.
V ( p)
2. Déterminer H ( p ) = s
E ( p)
3. Représenter vs(t) pour e(t ) = 2u (t ), R = 100Ω et L = 1mH
Correction
1. e(t ) = Ri (t ) + v s (t )
di (t )
1
v s (t ) = L
 i (t ) =  v s (t )dt
dt
L
R
R
e(t ) =  v s (t )dt + v s (t )  E ( p) =
Vs ( p ) + Vs ( p )
L
Lp
R
 E ( p) = (
+ 1)Vs ( p)
Lp
L
p
Vs ( p)
1
=
= R

R
L
E ( p)
1+
1+ p
Lp
R
L
p
Vs ( p )
L
L
Donc H ( p) =
avec k=1 et τ 1 =
= R
et τ 2 = .
L
R
R
E ( p)
1+ p
R
3. Système de 1er ordre généralisé
3.1.Définition
Un système de 1er ordre généralisé est décrit par l’équation différentielle suivante :
dy
de(t )
τ2
+ y (t ) = k[τ 1
+ e(t )]
dt
dt
 τ 2 pY ( p ) + Y ( p ) = k[τ 1 pE ( p ) + E ( p )]
 Y ( p )[τ 2 p + 1] = kE ( p )[τ 1 p + 1]
1 + τ1 p
Y ( p)
= k(
)
 H ( p) =
E ( p)
1+τ 2 p
Soit τ 1 = ατ 2 ; alors H ( p ) = k (
ISET NABEUL
1 + ατ 2 p
)
1+τ 2 p
- 48 -
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
3.2. Exercice
Déterminer et représenter la réponse à un échelon de vitesse (rampe) d’un système de 1er ordre dont
k
la fonction de transfert est : H ( p) =
.
1 + τp
4. Réponse indicielle
1 + ατ 2 p
Y ( p) = k
E ( p)
1+τ 2 p
Y ( p) = k
kE 0 (α − 1)τ 2 kE 0
1 + ατ 2 p E 0
+
 Y ( p) =
p
1+τ2 p
1+τ 2 p p
y (t ) = kE0 (α − 1)τ 2 (1 − e
−
t
τ2
) + kE0 e
−
t
τ2
)
t
t
−
−


τ2
τ2
+ αe
y ( t ) = kE 0 1 − e



t
− 

τ2
y(t ) = kE0 1 + (α − 1)e 


* si t → 0; y (t ) = kE0 [1 + (α − 1)] = kE0α
** si t → ∞; y (t ) = kE0
Réponse indicielle d'un système de 1er ordre généralisé
20
alpha=2
alpha=0,5
alpha=1,5
y(t)
15
10
5
0
0
2
4
6
temps
8
10
12
Fig.5.7 : Réponses indicielles d’un système 1er ordre généralisé pour différentes valeurs de α.
ISET NABEUL
- 49 -
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
Exercices d’application
Déterminer la fonction de transfert des montages suivants :
1. Système de 1er ordre à avance de phase
i(t)
e(t)
R1
s(t)
R2
C
Fig.5.8
e(t ) = v(t ) + s (t )
E ( p) = V ( p) I ( p) avec Z ( p ) =
Z ( p)
+ 1) S ( p )
R2
R2
S ( p)
H ( p) =
=
=
E ( p) R 2 + Z ( p)
R1
S ( p)
, I ( p) =
et V ( p) = Z ( p ) I ( p )
1 + R1Cp
R2
E ( p) = (
R2
R2+
R1
1 + R1Cp
=
R2 (1 + R1Cp )
R1 + R 2 + R1 R2 Cp
1 + R1Cp
RR
1 + 1 2 Cp
R1 + R2
R2
RR
k=
; τ 1 = R1C ; τ 2 = 1 2 C
R1 + R 2
R1 + R2
τ
R + R2
R
τ 2 = ατ 1  1 = α = 1
= 1+ 1 > 1
τ2
R2
R2
 H ( p) =
R2
.
R1 + R 2
Donc c’est un système de 1er ordre à avance de phase.
2. Système à retard de phase
i(t) R1
R2
e(t)
s(t)
C
Fig.5.9
e(t ) = R1i (t ) + s (t )
R Cp + 1
1
S ( p)
I ( p) =
où Z ( p) = R2 +
= 2
Z ( p)
Cp
Cp
R
E ( p ) = ( 1 + 1) S ( p )
Z
ISET NABEUL
- 50 -
CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
R2 Cp + 1
1 + R2 Cp
S ( p)
Z
Cp
H ( p) =
=
=
=
R Cp + 1 1 + ( R1 + R2 )Cp
E ( p) R1 + Z
R1 + 2
Cp
1 + R2 Cp
 H ( p) =
1 + ( R1 + R2 )Cp
τ 1 = R2 C ; τ 2 = ( R1 + R2 )C
τ
R2
τ 2 = ατ 1  1 = α =
<1
τ2
R1 + R2
Donc c’est un système de 1er ordre à retard de phase.
ISET NABEUL
- 51 -
CHELBI Hassen