Transcript Etude Harmonique des Systèmes Asservis

Cours Automatique
Niveau : 2
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 7
Etude Harmonique des Systèmes Asservis Elémentaires
Nombre d’heures/chapitre : 2h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Maîtriser les outils de transformation des signaux.
-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes.
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on s’intéresse à étudier les réponses harmoniques d’un système de 1er ordre et d’un
système de 1er ordre généralisé
En explique l’intérêt et la méthode de représentation de Bode pour un système de 1er ordre
généralisé et d’un système de second degré, tout en exploitant ses résultats dans des applications ciblés.
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Niveau : 2
Chapitre 7
Etude Harmonique des Systèmes Asservis Elémentaires
1. Introduction
L’étude harmonique d’un système correspond à une représentation fréquentielle mettant en évidence
le gain et la phase de la fonction F(jω) lorsque ω varie.
Il existe plusieurs représentations.
•
Représentation sur le lieu de Bode.
 F ( jω )
 F = 20 log F ( jω )
F ( jω )  
  dB
ϕ = arctg ( F ( jω ))
ϕ = f (ω )
Diagramme de Bode
0
Gain (dB)
-10
-20
-30
-40
Phase (deg)
-50
0
Fréquence (rad/s)
-45
-90
-2
10
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Fig.7.1: Allures de Bode pour un système de 1er ordre.
Remarque
ω varie en échelle logarithmique.
•
Les lieux de Nyquist
Ils repésentent dans le plan complexe la partie imaginaire en fonction de la partie réelle et qui évolue
en fonction de ω.
F ( jω ) = x + jy
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Diagramme de Nyquist
1
0.8
0.6
Axe imaginaie
0.4
0.2
k
0
w =00
-0.2
-0.4
w croissant
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Axe réel
0.4
0.6
0.8
1
Fig.7.2: Allure de Nyquist pour un système de 1er ordre.
y=f(x) qui évolue en fonction de ω=0 jusqu’à ∞.
•
Les lieux de Black : gradués et orientés en valeurs croissantes de ω avec φ(arg) en abscisse et
FdB en ordonné.
 FdB = 20 log F ( jω )

ϕ = arg( F ( jω ))
20
FdB
Gain en boucle ouverte (dB)
10
20 logk
0
Phase (°)
-10
w croissant
-20
-30
-40
-180
w =00
-135
-90
Phase en boucle ouverte (°)
-45
0
Fig.7.3: Allure de Nychols pour un système de 1er ordre.
ISET NABEUL
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2. Système de 1er ordre
k
k
F ( p) =
 F ( jω ) =
1 + τjω
1 + τp
k

 F ( jω ) =
Bode : 
1 + (τω ) 2
ϕ = arg( F ( jω )) = −arctg (τω )

k

 FdB = 20 log
 
1 + (τω ) 2
ϕ = −arctg (τω )

 F = 20 log k − 20 log(1 + (τω ) 2 ) 1 / 2
  dB
ϕ = −arctg (τω )
ω
ω →0
ω →1/τ
ω →∞
FdB
20 log k
20 log k − 3
− 20 log(τω ) → ∞
φ
0
-π/4
-π/2
Tab.7.1
20
20logk
gain en (dB)
0
-20
-40
-60
-80
1/T
Phase (deg)
0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Fig.7.4: Diagramme de Bode pour un système de 1er ordre.
Nyquist : F ( p) =
ISET NABEUL
k
k
kτω
k
=
− j
 F ( jω ) =
2
2
1 + τjω 1 + (τω )
1 + τp
1 + (τω )
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k

 X = 1 + (τω )2


− Y = kτω
2

1 + (τω )
 Y = −τωX
Y 2 = (τωX ) = (
k
− 1) X 2 = kX − X 2
X
2
k
k
k
k
⇔ ( X − ) 2 + Y 2 − ( ) 2 = 0 c’est un cercle : C ( A, ) avec A( ,0)
2
2
2
2
X 2 + Y 2 − kX = 0
ω
ω→0
ω →1/τ
ω →∞
X
k
k/2
0
Y
0
-k/2
0
Tab. 7.2
Diagramme de nyquist
0.5
Im
0.4
0.3
Axe imaginaire
0.2
0.1
k/2
w=oo
0
w=0
Re
-0.1
-0.2
-0.3
w croissante
-0.4
-1
w=1/T
-k/2
-0.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Axe réel
Fig.7.5: Allure de Nyquist pour un système de 1er ordre.
Black : F ( p) =
k
k
 F ( jω ) =
1 + τjω
1 + τp
k

 FdB = 20 log k − 20 log(1 + (τω ) 2 ) 1 / 2
 F ( jω ) =
2



1 + (τω )
ϕ = −arctg (τω )
ϕ = arg( F ( jω )) = −arctg (τω )

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FdB=f(φ)
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20
FdB
Gain en boucle ouverte (dB)
10
20 logk
0
Phase (°)
-10
w croissant
-20
-30
-40
w =00
-180
-135
-90
Phase en boucle ouverte (°)
-45
0
Fig.7.6: Allure de Black pour un système de 1er ordre.
3. Système de 1er ordre généralisé
k (1 + jατω )
k (1 + ατp )
 F ( jω ) =
 F ( jω ) = F1 ( jω ).F2 ( jω ) avec
F ( p) =
1 + jτω
1 + τp
 F1 ( jω ) = k /(1 + jτω )

 F2 ( jω ) = 1 + jατω
 F ( jω ) = F1 ( jω ) . F2 ( jω )

ϕ = arg( F ( jω )) = arg( F1 ( jω )) + arg( F2 ( jω ))
 F = F1dB + F2 dB = 20 log F1 ( jω ) + 20 log F2 ( jω )
  dB
ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 = arctg (ατω ) − arctg (τω )
ω
ω→0
ω → 1 / ατ
ω →∞
F2dB
0
3
+∞
φ2
0
π/4
π/2
Tab.7. 3
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3.1. Représentations de Bode pour un système de 1er ordre généralisé :
α<1 :
0
Gain (dB)
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Phase (deg)
0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Fréquence (rad/sec)
Fig.7.7: Diagramme de Bode ( syst. De 1er ordre généralisé α=0.002).
α>1 :
20
Gain (dB)
15
10
5
0
Phase (deg)
60
30
0
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Fréquence (rad/sec)
Fig.7.8 : Diagramme de Bode ( syst. De 1er ordre généralisé α=10).
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3.2 Application :
Tracer les diagrammes de Bode, Nyquist et Black pour les fonctions suivantes :
1
1
.
F ( p) = , F ( p) = 1 + τp , F ( p) = 1 − τp et F ( p) =
p
1 − τp
Diagramme Bode (F(p)=1/p)
100
Gain (dB)
50
0
-50
-100
-89
Phase (deg)
-89.5
-90
-90.5
-91
-3
10
-2
-1
10
0
10
10
1
2
10
3
10
10
4
10
Frequence (rad/sec)
Fig.7.9
Diagramme de Bode (F(p)=1+Tp; T=0.01s)
50
Gain (dB)
40
30
20
10
0
Phase (deg)
90
45
0
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Fig.7.10
ISET NABEUL
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Diagramme de Bode (F(p)=1-Tp; T=0.01s)
50
Gain (dB)
40
30
20
10
0
Phase (deg)
0
-45
-90
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Fréquence (rad/sec)
Fig.7.11
Diagramme de Bode (F(p)=1/(1-Tp); T=0.01s)
0
Gain (dB)
-10
-20
-30
-40
-50
Phase (deg)
90
45
0
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequence (rad/sec)
Fig.7.12
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4. Système de second degré
kω 02
, p1 et p2 sont deux pôles,
H(p) = 2
p + 2mω 0 p + ω 02
kω 02
H(p) =
p
p
+ 1)(
+ 1)p 2
- p1
- p2
1
1
On pose : p 1 = et p 2 = p1 (
•
p 1 p 2 (-
p
p
+ 1)(+ 1)
p2
p1
τ2
τ1
H(p) =
kω 02
=
kω 02
p 1 p 2 (1 + τ 1 p)(1 + τ 2 p)
m>1
 p = −mω + ω m 2 - 1 = ω (−m + m 2 - 1) < 1
1
0
0
0
 p1 . p 2 = ω 02

2
 p 2 = −mω 0 − ω 0 m - 1 < 1
•
 D(p) = p 2 + 2ω 0 p + ω 02 = 0  (p + ω 0 ) 2 = 0
m=1
 p1 = p 2 = −ω 0
•
 p = jω 0
m=0  D(p) = p 2 + ω 02 = 0   1
 p1 . p 2 = ω 02
p
=
−
j
ω
0
 2
•
0<m<1
Δ = ω 02 (m 2 - 1 ) < 0  Deux pôles complexes conjugués.
 p = −mω + jω 1 − m 2
1
0
0

 p 2 = −mω 0 − jω 0 1 − m 2
H(p) =
 p1 . p 2 = ω 02
K
K
 H(jω ) =
(1 + τ 1 p)(1 + τ 2 p)
(1 + τ 1 jω )(1 + τ 2 jω )
 H(jω ) =
K
1
.
= F1 ( jω ).F2 ( jω )
(1 + jτ 1ω ) (1 + jτ 2 ω )
 F = F1dB + F2 dB = 20 log F1 ( jω ) + 20 log F2 ( jω )
  dB
ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 = −arctg (τ 1ω ) − arctg (τ 2 ω )
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Niveau : 2
ω
ω 0
ω=1/ατ
ω ∞
F1dB
20logk
20logk 3
-∞
F2dB
0
-3
-∞
FdB
20logk
20logk -6
-∞
φ1
0
-π/4
-π/2
φ2
0
-π/4
-π/2
φ
0
-π/2
-π
Tab. 4
* Allures
Diagramme de Bode
50
Gain (dB)
0
-50
-100
-150
-200
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-4
10
-2
0
10
10
2
10
Fréquence (rad/sec)
Fig.7.13
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Cours Automatique
Niveau : 2
diagramme de Black
FdB
40
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
20
-1 dB
3 dB
6 dB
0
Gain en boucle ouverte (dB)
0 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20
-20 dB
-40
-40 dB
-60
-60 dB
-80
-80 dB
-100
-100 dB
-120
-360
20logk
phase (°)
-120 dB
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Phase en boucle ouverte (deg)
Fig.7.14
*** Diagrammes de Bode, Black et Nyquist pour un système de 2ème pour m variables
Diagramme de Bode
20
Gain (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Fréquence (rd/s)
Fig.7.15
ISET NABEUL
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Cours Automatique
Niveau : 2
Diagramme de Nyquist
3
0 dB
-2 dB
2 2 dB
Axe imaginaire
1
4 dB
-4 dB
6 dB
-6 dB
-10 dB
-20 dB
10 dB
20 dB
0
ω=0
ω=∞
k=0
m=0.7
-1
m=0.4
-2
m=0.2
-3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Axe réel
Fig.7.16
Diagramme de Black
40
0 dB
20
3 dB
6 dB
)
(
p
-1 ω
dB=0
m=0.2
m=0.4
-3 dB
-6 dB
0
Gain en BO (dB)
p
k=1
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
m=0.7
-12 dB
-20 dB
-20
1er ordre
-40
ω=∞
-40 dB
-60 dB
-60
-80
-360
-80 dB
-315
-270
-225
-180
-135
Phase en BO (°)
-90
-45
0
Fig.7.17
ISET NABEUL
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