Transcript CINEMATIQUE - C.P.G.E. Brizeux

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DS1
CINEMATIQUE
1- Pendule double
Un pendule double est constitué
de 2 tiges identiques 1 et 2,
oscillant dans le plan vertical
0
O
(O,
x0 , y 0 ) du repère
R(O,
z0
x0 , y 0 , z 0 ) est un repère lié
au bâti 0
y0
La tige 1, d’extrémités O et A, est
1
en liaison pivot d’axe (O,
z0 )
avec 0.
α
On note
R1 (O,
x1 , y1 , z 0 )
un
repère lié à la tige 1 tel que
A
α= ( x 0 , x1 )
OA = a.x1
2
x0
La tige 2, d’extrémités A et B, est
en liaison pivot d’axe (A,
z0 )
avec la tige 1.
x1
β
B
Soit R2 (A,
x2
x2 , y2 , z0 ) un repère
lié à la tige 1 tel que β= ( x0 , x2 )
AB = b.x2
1-1.
Tracer en couleur les figures de changement de repère
1-2.
Exprimer les vecteurs vitesse de rotation :
Ω1/ 0 , Ω 2 / 1 ,
et
Ω2 / 0
M Salette- Lycée Brizeux- Quimper
Déterminer :
1-3.
Le vecteur vitesse du point A par rapport au repère R0 : V A∈1 / R 0
1-4.
Le vecteur accélération du point A par rapport à R0 :
1-5.
Le vecteur vitesse du point B par rapport au repère R0 : VB∈2 / R 0
1-6.
Le vecteur vitesse du point B par rapport au repère R1 : VB∈2 / R1
1-7.
Le vecteur accélération du point B par rapport à R0 :
ΓB∈2 / R 0
1-8.
Le vecteur accélération du point B par rapport à R1 :
ΓB∈2 / R1
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ΓA∈1/ R 0
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2- Echelle de pompiers
Le système à étudier est monté sur le châssis d’un camion de pompiers et permet de déplacer une
plate-forme pouvant recevoir deux personnes et un brancard le plus rapidement possible et en toute
sécurité.
Correction
d’aplomb
PLATE-FORME
PARC ECHELLE
Y
Axe 1
TOURELLE 2
Axe 2
BERCEAU
TOURELLE 1
Axe 3
Z
CHASSIS
X
STABILISATEUR
Correction
de dévers
Le déplacement de la plate-forme est réalisé suivant trois axes :
• Le déploiement du parc échelle (axe 1) : Chaque plan de l’échelle peut se translater par
rapport aux autres ; seul le quatrième plan d’échelle est solidaire du berceau.
• Le pivotement autour de l’axe Y (axe 2) : La tourelle 1 peut pivoter par rapport au
châssis autour d’un axe vertical.
• La rotation autour de l’axe Z (axe 3) : Le berceau peut tourner par rapport à la tourelle 2
autour d’un axe horizontal.
Supposons dans un premier temps que la vitesse de sortie des vérins est constante (10 mm/s).
PARC ECHELLE
C
A
B
BERCEAU (5)
CYLINDRE VERIN (4)
TIGE VERIN (3)
TOURELLE (2)
TOURELLE (1)
Pendant la phase de dressage,
les tourelles 1 et 2 sont fixes
par rapport au châssis du
camion ; seul le berceau pivote
autour de l’axe A, entraînant
avec lui le parc échelle et la
plate-forme. Ce mouvement
est obtenu grâce aux vérins
hydrauliques articulés en B et
C avec la tourelle 2 et le
berceau.
CHASSIS (0)
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Paramétrage:
r r r
Le repère R0 = (O0 , x0 , y 0 , z 0 ) est lié au châssis (0).
r r r
Le repère R5 = ( A, x5 , y5 , z 0 ) est lié à l’ensemble {berceau+parc échelle} (5) ;
avec O0 A = a ⋅ y0 et (x0 ; x5 ) = θ ; AC = c ⋅ x5 ; AD = H ⋅ x5 .
r
r r
r
r
r
Le repère R3 = (B, x3 , y3 , z 0 ) est lié au vérin (3+4) ; avec O0 B = b ⋅ x0 ; BC = r ⋅ y 3 et (x0 ; x3 ) = β
r r r
r
r r
Gp
PLATE-FORME (6)
x5
D
y0
y3
β
G
BERCEAU + PARC ECHELLE (5)
CYLINDRE VERIN (4)
y5
TIGE VERIN (3)
C
θ
x3
CHASSIS
(0)
A
O O0
β
x0
B
Hypothèses simplificatrices:
Dans ce qui suit, afin de monter un modèle cinématique simple, on supposera qu'il existe une liaison
glissière entre tige de vérin (3) et cylindre vérin (4). On ne prendra donc pas en compte la rotation
propre autour de l'axe de translation.
Par ailleurs, on supposera qu'il n'existe aucun degré de liberté entre (5) et (6). On notera donc la
classe d'équivalence cinématique résultante (5).
2-1 Proposer un modèle cinématique simple de chaque liaisons du mécanisme ci dessus. Tracer le
graphe des liaisons.
2-2 Tracer le schéma cinématique plan de cet ensemble, ainsi que les 2 figures de changement de
repère.
2-3 Pour chaque liaison, exprimer le torseur cinématique en fonction des paramètres donnés ci
dessus.
2-4 Exprimer la vitesse du point D du parc échelle dans son mouvement par rapport au châssis :
r
V (D,5 / 0 ) en fonction de la vitesse angulaire de dressage θ& et des paramètres géométriques.
2-5 En faisant une fermeture de chaîne cinématique, déterminez la vitesse de sortie du vérin
r
r
V (C ,4 / 3) = v ⋅ y3 en fonction de la vitesse angulaire de dressage et des paramètres géométriques.
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2-6 Etablir la relation tan β =
DS1
b − c ⋅ cos θ
en écrivant une fermeture de chaîne géométrique.
a + c ⋅ sin θ
2-7 Déduire des questions précédentes la vitesse de sortie des vérins v en fonction de θ et H et des
constantes a, b, c ; pour que la vitesse du point D du parc échelle soit constante.
3- Centre d’usinage
Mise en situation.
L’usinage, opération de transformation d’un produit par enlèvement de matière, est à la base de la
fabrication de produits dans les industries mécaniques. On appelle le moyen de production associé à
une opération d’usinage une machine outil ou un centre d’usinage.
La génération d’une surface par
enlèvement de matière est obtenue grâce
à un outil muni d’au moins une arête
coupante. L’outil se déplace par rapport à
la pièce installée sur la machine outil.
C’est le mouvement d’avance.
Le fraisage est un procédé d’usinage
particulier dans lequel l’outil doit en plus
tourner sur lui-même par rapport au bâti
de la machine outil pour pouvoir couper
la matière. C’est le mouvement de coupe.
Outil
Pièce
Figure 1 : Opération d’usinage de forme complexe
Les contraintes d’accessibilité pour l’usinage de formes complexes (figures 1 et 2) justifient l’utilisation
de machines outils spécifiques capables :
o de translater l’outil par rapport à la pièce dans 3 directions orthogonales
o d’orienter l’axe de l’outil par rapport à la pièce autour de 2 directions.
Figure 2 : Exemple de pièce de forme complexe
Un « axe » sur une machine outil est un système qui gère l’un des mouvements d’avance de l’outil
par rapport à la pièce. Un « axe » est composé d’une partie commande et d’une partie opérative.
Cette partie opérative est généralement constituée :
o
d’un modulateur d’énergie (c’est le préactionneur)
o
d’un moteur (c’est l’actionneur),
o
d’un mobile (c’est l’élément dont on veut commander le déplacement),
o
d’un système de transformation de mouvement entre le moteur et le mobile,
o
de capteurs (généralement un capteur de vitesse et un capteur de position).
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Le centre d’usinage « 5 axes » HSM 600U de la société Mikron, représenté sur la figure 3, permet
l’usinage de formes complexes. Il est constitué d’un bâti supportant :
o
2 « axes » pour la mise en mouvement de l’outil par rapport au bâti. Ces 2 translations sont
notées « X » et « Z ».
o
3 « axes » pour la mise en mouvement de la pièce par rapport au bâti. Une troisième
translation est notée « Y » et les 2 rotations sont notées « B » et « C ».
o
un dispositif de mise en rotation de l’outil autour de son axe géométrique par rapport au bâti.
Cette rotation génére le mouvement de coupe.
«Z»
Outil
«X»
Pièce
Bâti
«B»
«C»
«Y»
Figure 3 : Vue globale du centre d’usinage avec repérage des « axes »
FAST descriptif partiel du centre d’usinage « 5 axes ».
FS1 Usiner des formes
complexes sur une
pièce à l'aide d'un outil
FT1 Positionner et fixer la
pièce sur son support
FT2 Animer l’outil d’un
mouvement de rotation
autour de son axe
FT3 Contrôler les positions
relatives de l’outil par
rapport à la pièce.
Non développé
Non développé
FT31 Déplacer l’outil par rapport
au bâti (2 translations :
« X » et « Z »)
FT32 Déplacer et orienter la pièce
par rapport au bâti (1
translation : « Y » et 2
rotations : « B » et « C »)
FT33 Coordonner les différents
déplacements.
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Etude de la fonction technique FT3: Contrôler les positions relatives
de l’outil par rapport à la pièce.
L’objectif de cette partie est d’exprimer la vitesse de l’extrémité de l’outil par rapport à la pièce en
fonction du paramétrage proposé.
Performances des axes « X », « Y » et « Z » du centre d’usinage.
Variables
Course
Vitesse maximale
Couple moteur
x(t)
y(t)
z(t)
800 mm
600 mm
500 mm
40 m/min
40 m/min
40 m/min
42 Nm
Non communiqué
Non communiqué
Axe « X » (longitudinal)
Axe « Y » (transversal)
Axe « Z » (vertical)
Performances des axes « B » et « C » du centre d’usinage.
Variables
θ1 (t)
θ0 (t)
Axe « B »
Axe « C »
Vitesse
maximale
Course
+ 30° / - 110° 150 tours/min
360°
250 tours/min
Accélération
angulaire
Couple
moteur
50 rd/s2
100 rd/s2
680 Nm
340 Nm
Schéma cinématique et paramétrage
z3
O4
D
x(t)
z(t)
S4
S5
z0 = z1
O5
S2
M
S1
O0
x3
S0
O2
S3
O1
O3
y3
y(t)
A
Figure 4 : schéma cinématique
O3O4 = x(t ) ⋅ x3 + l 3 ⋅ z 3
AO2 = l 2 ⋅ z 3
O3 A = y(t) ⋅ y 3
O2 O1 = l1 ⋅ x3
DO5 = z (t ) ⋅ z3
O1O0 = l 0 ⋅ z 0
O4 D = l 4 ⋅ y 3
Où l0 , l1 , l2 , l3 et l4 sont des constantes liées à l’architecture de la machine.
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z3
y1
y0
z1
θ1
y1
θ0
x0
x1
y3
z0 = z1
x1 = x3
Masse
Centre d’inertie
Repères associés
M0
G0
R0= (O0 , x0 , y 0 , z 0 )
M1
G1
Solide S2
M2
G2
Solide S3 (le bâti)
M3
G3
Solide S4
M4
G4
Solide S5
M5
G5
Solide S0 (pièce usinée et
son support)
Solide S1
r r r
r r r
r r r
R2= (O2 , x3 , y 3 , z 3 )
r r r
R3= (O3 , x3 , y 3 , z 3 )
r r r
R4= (O4 , x3 , y 3 , z 3 )
r r r
R5= (O 5 , x3 , y3 , z 3 )
R1= (O1 , x1 , y1 , z1 )
3-1 Exprimer O3 O5 dans la base du référentiel R3.
3-2 Définir et caractériser le lieu géométrique du point O5 (extrémité de l’outil) dans son mouvement
par rapport au repère R3, lorsque l’on commande les axes « X » et « Z ».
3-3 Donner l’expression, dans la base du référentiel R3, de la vitesse du point O5 lié au solide 5, dans
son mouvement par rapport à R3, en fonction de x&, z& . Cette vitesse sera notée :
VO5 ∈S 5 / R 3
3-4 Calculer la valeur maximale de la norme du vecteur vitesse du point O5, lié au solide 5, dans son
mouvement par rapport à R3.
3-5 Exprimer O3 O0 dans la base du référentiel R3.
3-6 Donner l’expression, dans la base du référentiel R3, de la vitesse du point O0, lié à S0, dans son
mouvement par rapport à R3. Cette vitesse sera notée :
VO0 ∈S 0 / R 3
3-7 Exprimer le vecteur rotation de S0 par rapport à S3, noté
Ω(S0/R3) , dans la base du référentiel R1
en fonction de θ&0 et de θ&1 .
La surface usinée est définie comme un ensemble de points M de coordonnées (xM , yM , zM) dans le
repère R0.
On notera
VM ∈S0/R3
le vecteur vitesse du point M lié à S0, dans son mouvement par rapport à R3.
3-8 Donner la relation entre les vecteurs
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VM ∈S0/R3 , VO0∈S 0 / R 3
et
Ω(S0/R3) .
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3-9 Etablir la relation vectorielle donnant la vitesse de O5 appartenant à S5 dans son mouvement par
rapport à S0, notée VO5∈S 5 / R 0 , en fonction notamment des vecteurs précédemment déterminés :
VO5 ∈S 5 / R 3 , VM ∈S 0 / R 3
et
Ω(S0/R3) .
3-10 Le point O5 doit se déplacer sur la surface usinée définie comme le lieu des points M. Que
devient alors cette relation ?
En phase d’usinage, on va considérer que le point O5 se déplace sur la surface usinée (lieu des
points M). Pour uniformiser la qualité de la forme usinée, la norme du vecteur vitesse de O5, dans son
mouvement par rapport à R0, devra être constante. Cette contrainte participera à la définition des lois
de variation de x, y, z, θ1 et θ0 .
4- BASCULEUR DE TUBES
Le système étudié est constitué de trois vérins pneumatiques qui, par l’intermédiaire de leviers,
provoquent la rotation d’un arbre relié aux 5 basculeurs qui vont déplacer le tube
Rampe
d’évacuation
Basculeur
Tube
Arbre
Rampe de
stockage
Levier de
commande
Figure 1
Vérin
Lors des différentes phases de travail du « tube à tube », il se produit un transfert du poids du tube
sur le basculeur et les différents éléments de soutien du tube.
Les schémas de la figure 2 représentent les quatre phases de ce transfert de charge.
Position I : début de la prise en charge du tube par le basculeur sur la rampe de stockage.
Position II : le tube est déposé sur les galets moteurs.
Position III : début d’évacuation du tube vers la rampe d’évacuation.
Position IV : fin d’évacuation, le tube va quitter le basculeur pour la rampe d’évacuation.
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Rampe d’évacuation
Rampe de stockage
Figure 2
Modèle d’étude
Le schéma cinématique proposé pour l’étude est donné par la figure 3. On y retrouve :
• le bâti 0,
•
le corps de vérin 3,
•
la tige de vérin 2,
• le basculeur 1 composé du levier de commande, de l’arbre et du basculeur.
Un repère Ri est attaché à chacun des solides Si.
La position du basculeur 1 par rapport au bâti 0 est définie par l’angle θ = ( x0 , x1 ) .
La position de la tige de vérin 2 par rapport au bâti 0 est définie par l’angle . ϕ = ( x0 , x 2 )
Durant la phase de déstockage, la position θ du basculeur varie de +35° à -35°.
Le vérin part d’une position horizontale (le point A est en A0), pour arriver de nouveau à l’horizontal en
fin de déstockage (le point A est alors en A1).
Calculer h pour obtenir les amplitudes de mouvement souhaitées. Calculer alors la course c
du vérin.
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