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TD : Révisions de cinématique analytique
Lycée H. Poincaré : MP*
MACHINE DE SOUDAGE AUTOMATISEE
(D’après E3A MP 2010)
Présentation du système étudié
La société CEREC est spécialisée dans la réalisation de fonds de réservoir. A partir d’une certaine taille,
la mise en forme par emboutissage en une seule pièce n’est plus possible. Les fonds sont alors réalisés
par le soudage de plusieurs segments et d’une calotte emboutis (Figure 1). Les segments sont soudés via
des joints dits méridiens. Le joint entre calotte et segments sera quand à lui dit circulaire.
Potence
Torche de
soudage
Figure 1 : Fonds hémisphériques soudés
Etude cinématique :
Le positionneur deux axes, chargé de recevoir les pièces à souder, est une chaîne ouverte de solides
composée d’un bâti (0) fixe par rapport au sol, d’un berceau (1) basculant, portant une table tournante
r
(2) circulaire (cf. Figure 4). Le berceau (1) est en liaison pivot d’axe (O, y0 ) avec le bâti (0). L’angle de
r r
basculement correspondant est noté θ (t ) = ( z0 , z1 ) . La table tournante (2) est en liaison pivot d’axe
(O, zr1 ) avec le berceau (1). L’angle de rotation correspondant est noté ϕ (t ) = (xr1 , xr2 ) .
La potence est immobile durant le processus de soudage de la calotte. En utilisant de façon adéquate la
rotation θ (t ) (0 ≤ θ ≤ 90°) de basculement du berceau et la rotation polaire ϕ (t ) de la table, le
positionneur permet de toujours présenter la zone de soudage à la verticale de la torche de soudage. On
fait en sorte que le plan tangent aux surfaces de la zone de soudage soit toujours horizontal. Le point
courant de soudage est alors situé au point le plus élevé désigné par P appartenant au solide S 3 . La
torche de soudage est donc positionnée au point fixe H de l’espace, qui coïncide avec les points P du
solide S 3 successivement les plus élevés.
Figure 2 : 4.a – Positionneur ;
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4.b - Basculement du berceau
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Données :
r r r
• R0 (O, x0 , y0 , z0 ) , repère associé au bâti (0).
r r r
• R1 (O, x1 , y0 , z1 ) , repère associé au berceau (1).
r r r
• R2 (O, x2 , y2 , z1 ) , repère associé à la table tournante (2).
• S 3 : fond hémisphérique composé des segments et de la calotte. S 3 est fixé à la table tournante (2).
r
r
s
r
• OC = h ⋅ z1 ; CP = R ⋅ z0 ; Ω(S3 / R0 ) = ϕ& ⋅ z1 ;
On suppose que l’on est dans une phase de soudage pour laquelle l’ angle de basculement θ est fixe, et
que seul varie l’angle de rotation polaire ϕ (t ) .
Q.1.
Q.2.
Q.3.
Indiquer, en quelques mots, quelle sera la trace laissée par le point H sur le solide S 3 . Quel type
de joint est-on entrain de réaliser dans cette phase ?
r
Toujours pour cette phase, déterminer l’expression littérale de la vitesse V (P ∈ S 3 / R0 ) du point
culminant P de l’hémisphère. Vérifier que la méthode 2 du cours ne peut être appliquée ici.
On veut souder à la vitesse d’avance de 1 m/min la calotte d’un fond hémisphérique de rayon R
= 1 m. Les dimensions de la calotte imposent un angle de basculement θ = +30° . Quel doit être
le taux de rotation polaire ϕ& c (t ) (en rad/s) de l’ensemble {table (2) + fond hémisphérique S 3 }.
Roulement à billes
Les figures ci-dessous représentent un roulement à billes composé d’une bague intérieure (1), d’une
bague extérieure (2), d’une cage à billes (3) et de billes. Pour l’étude, on se limite à l’étude d’une seule
bille repérée (4).
Ce roulement est monté dans un système non représenté. On suppose que les bagues (1) et (2) et la cage
r
(3) ont un mouvement de rotation d’axe (O, z ) avec le bâti (0) de ce système. La bille (4) de centre C,
r r r
roule sans glisser en I1 avec (1) et en I2 avec (2). R(O, x0 , y0 , z0 ) est un repère lié au bâti (0).
r r r
r
R3 (O, x3 , y3 , z0 ) est un repère lié à la cage (3) tel que x3 ait même direction et même sens que OC .
r
r r
r r
r
On pose : Ω1/ 0 = α&1 ⋅ z 0 Ω 2 / 0 = α& 2 ⋅ z0 Ω 3 / 0 = α& 3 ⋅ z0 OI1 = R1 OI 2 = R2
Q. 1. Déterminer le torseur cinématique, au point C, du mouvement de la bille (4) par rapport au bâti
(0) en fonction de α&1 , α& 2 , R1 , et R2
r
y0
r
4
r
y3
x3
2
I2
1
C
3
I
1
3
r
x0
O
1
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2
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Etude d’un centre d’usinage grande vitesse 5 axes
(D’après E3A MP 2007)
L’usinage est une opération de transformation d’un produit
par enlèvement de matière. Cette opération est à la base de la
fabrication de produits dans les industries mécaniques. On
appelle le moyen de production associé à une opération
d’usinage une machine outil ou un centre d’usinage. La
génération d’une surface par enlèvement de matière est
obtenue grâce à un outil muni d’au moins une arête coupante.
Axe Z
Outil
Pièce
Les différentes formes de pièces sont
obtenues par des translations et des
rotations de l'outil par rapport à la
pièce.
Outil
Axe Y
Pièce
Bâti
Axe B
Exemple de pièce complexe obtenue par usinage
Axe C
Axe X
Variable
Axe X
Axe Y
Axe Z
Axe B
Axe C
x(t)
y(t)
z(t)
θ1(t)
θ2(t)
Course
800mm
600mm
500mm
+30°/-110°
360°
Vitesse
maximale
40m/min
40m/min
40m/min
150tr/min
250tr/min
La figure ci-contre est un exemple de
machine possédant 3 translations (X,
Y et Z) et deux rotations (B et C).Une
telle machine est appelée machine 5
axes (un axe est un ensemble qui gère
un des mouvements élémentaire,
translation ou rotation).
Sur cette machine, 2 axes sont utilisés pour
mettre en mouvement l'outil par rapport au bâti
(ce sont les translations Y et Z) et 3 axes sont
utilisés pour mettre en mouvement la pièce par
rapport au bâti (ce sont la translation X et les
deux rotations B et C).
L'objectif de cette étude est de déterminer les conditions cinématiques à imposer pour respecter le
critère de qualité d'usinage du cahier des charges.
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La chaîne cinématique pour déplacer l'outil par rapport au bâti est fournie sur la figure suivante.
Axe Z
r
z3
S4
Les solides S3, S4 et S5 sont associés à la base
r r r
B3 ( x3 , y3 , z3 )
r
r
On pose : O3O4 = y ⋅ y3 + l3 ⋅ z3
r
O4 D = l4 ⋅ x3
r
DO5 = z ⋅ z3
l4
O4
D
y(t)
z(t)
S5
l3
S3
r
y3 Axe Y
O5
O3
r
x3
Q.1. Donner l’expression de VO5 ∈5 / 3 .
La chaîne cinématique pour déplacer la pièce par rapport au bâti est fournie sur la figure suivante.
Axe C
r r
z0 = z1
r
z3
r
y0
r
y1
r
x0
S0
Axe B
l0
O0
S1
S3
r
y3 O1
O2
l1
r r
z1 = z 0
S2
l2
r
x1
r
x2
r
z1
O3
r
x3 Axe X
x(t)
θ0 r
x1
A
r r
y1 = y2
θ1 r
z2
Les solides S3, S2, S1 et S0 sont associés aux bases suivantes :
r r r
r r r r
r r r r
B3 ( x3 , y3 , z3 ) =B2 ; B1 ( x1 , y1 = y2 , z1 ) et B0 ( x0 , y0 , z0 = z1 )
r
r
r
r
On pose : O3 A = x.x3 ; AO2 = l2 .z3 ; O2O1 = −l1.y3 ; O1O0 = l0 .z1
Q.2. Déterminer l'expression de VO0 ∈0 / 3 .
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La cinématique complète de la machine d'usinage est donnée sur la figure suivante.
r
z3
S4
l4
O4
D
y(t)
z(t)
S5
l3
r r
z0 = z1
S3
S0
O5
l0
M
O0
S1
r
y3 O1
O2
l1
S2
l2
O3
r
x3
x(t)
A
La surface usinée est définie comme un ensemble de points M de coordonnées ( xM , yM , z M ) dans le
repère R0.
Q3. Déterminer Ω S 0 / R 3 dans la base du référentiel R1.
r
r
r
On note VM ∈0 / 3 = vx M .x3 + v y M . y3 + vz M .z3
r
Q.4. Déterminer v y M , c'est à dire la projection de VM ∈0 / 3 sur l’axe y3 .
Q.5. Déterminer une relation entre VO5 ∈5 / 0 , VO5 ∈5 / 3 , VM ∈0 / 3 , O5 M et Ω S 0 / R 3 .
Q.6. Le point O5 doit se déplacer sur la surface usinée des points M. En déduire une simplification de
l'équation de la question précédente.
Q.7. Déterminer la contrainte cinématique à appliquer sur vx M , v y M , vz M , y& et z& pour assurer le critère
de qualité d'usinage du cahier des charges.
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Robot de peinture
Le robot de peinture FANUC P-200E ci-contre est
installé sur un chantier naval. Il est utilisé pour peindre
les coques de bateaux. La qualité du revêtement
dépend notamment de la distance entre la buse de
projection et la surface à peindre, ainsi que de la
vitesse de déplacement de la buse par rapport à la
coque. Ce robot articulé (6 axes) permet un contrôle
optimum de ces paramètres.
L'objectif est de déterminer les lois du mouvement du
robot. Par souci de simplification, on se limitera aux 4
premiers axes dont une modélisation cinématique est
donnée ci-dessous.
r r r
Le chariot 1, auquel on associe la base B1( x1 , y1 , z1 ),
r
est en mouvement de translation de direction y1 par
rapport au rail de guidage du bâti 0. La chaise 2,
r r r
auquel on associe la base B2( x2 , y2 , z 2 ), est en
r
mouvement de rotation autour de l'axe (A, z1 ) avec le
chariot 1. Le bras 3, auquel on associe la base
r r r
r
B3( x3 , y3 , z3 ), est en mouvement de rotation autour de l'axe (B, y2 ) avec la chaise 2.
r r r
Enfin, l’avant bras 4, auquel on associe la base B4( x4 , y 4 , z 4 ), est en mouvement de rotation autour de
r
r
r
r
r
l'axe (C, y2 ) avec le bras 3. On donne OA = λ (t ) ⋅ y1 , AB = h ⋅ z1 , BC = a ⋅ z3 , et CP = b ⋅ z 4
Les paramètres angulaires α (t ), β (t ), γ (t ) sont définis sur les figures de calcul ci-dessous.
r
y2
r
z1
r
x2
r
y2
r
y2
C
3
B
α
α
r r
z1 , z 2
r
z3
r
x3
4
2
r
y1
1
O
A
r
x1
r
x2
P
r
z4
0
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β
Déterminer VP∈4 / 0 en fonctions des paramètres de position.
r
x1
r
z3
β r
z2
r r
y 2 ,y 3
r
x4
Q.1.
r
y1
γ
r
x3
r
z4
r r
y3 ,y4
γ r
z3
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Ouvre barrière
L’ouvre barrière ci-contre, dénommé SINUSMATIC comporte
un mécanisme de transformation de mouvement singulier. La
particularité de ce mécanisme est de transformer un mouvement
de rotation uniforme en un mouvement alternatif d’une
amplitude de ¼ de tour qui correspond à l’ouverture/fermeture
de la barrière.
r r r
Le plateau (1), auquel on associe la base B1( x1 , y1 , z1 ), est guidé
r
en rotation autour de l’axe (O , z 0 ) par rapport au bâti (0).
r r r
L’arbre (4), auquel on associe la base B4( x 4 , y 4 , z 4 ) et sur lequel
r
est fixé la barrière, est guidé en rotation autour de l’axe (C , y 0 )
par rapport au bâti (0).
r r r
r
Le croisillon (3), auquel on associe la base B3( x3 , y3 , z 3 ), est en guidé en rotation autour de l’axe (C , z 4 )
par rapport à l’arbre (4). Enfin, la pièce (2) est en liaison rotule de centre B avec le plateau (1) et en
r
r
liaison pivot glissant d’axe (BC) avec le croisillon (3). On donne, AB = R ⋅ x1 , et AC = R ⋅ z0 .
Les paramètres angulaires α (t ), β (t ), γ (t ) sont définis sur les figures de calcul ci-dessous.
r
z4
4
4
C
3
1 2
r
y0
r
y3
r
z0
2
3
0
r
x1
1
r
y0
A
B
O
r
x0
r
y1
α
r
x4
r
y0
β
r
x1
r r
z0 ,z1
γ
r
y0
r
x3
r
z4
α
r
x0
r
y3
r
x0
r r
y 0 ,y 4
β r
z0
γ
r
x4
r r
z 3 ,z 4
r
r
Q.1. Montrer que la distance BC este constante. En déduire que VB∈3 / 2 = 0 .
Q.2. Déterminer la loi E/S de ce mécanisme à partir d’une fermeture cinématique.
r
Q.3. Retrouvez ce résultat en remarquant que la géométrie de (3) impose à chaque instant BC ⊥ z 4
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