09/10/2014 PTSI

Devoir Surveillé

1.

Problème : Machine de façonnage à plat (40 min)

(D’après   concours   Centrale   Supélec   TSI   2009)  

1.1.

Présentation du façonnage à plat

Le   façonnage   à   plat   consiste   à   découper,   rainer   (ou   rainurer)   et   gaufrer   des   feuilles   de   papier,   carton   ou   carton   ondulé   pour   réaliser   des   menus,   des   étiquettes,   des   dépliants   après   pliage   ou   encore   des   boîtes   après   pliage   et   collage...

  Les   principales   étapes   du   processus   de   façonnage   sont   représentées   sur   la   figure   ci ‐ dessous.

  On   dépose   une   palette   de   feuilles   empilées   sur   le   margeur.

  Les   feuilles   sont   prises   depuis   le   dessus   de   la   pile   et   envoyées   sur   la   table   de   marge   pour   être   mises   en   nappe   et   positionnées   par   rapport   à   leurs   bords,   avant   d’être   introduites   dans   la   presse   par   un   système   de   transport   de   barres   à   pinces   entraînées   par   un   convoyeur   à   chaînes   pour   y   subir   l’opération   de   découpage/rainage/gaufrage.

  Les   déchets   constitués   des   zones   non   utilisées   de   la   feuille   comme   les   bandes   arrière   et   les   côtés   sont   enlevés   et   les   poses   (feuilles   découpées)   sont   empilées   en   un   seul   tas   sur   une   palette.

 

1.2.

Modélisation du servomoteur à courant continu

L’objectif   de   cette   partie   est   de   choisir   un   modèle   pertinent   du   moteur   à   courant   continu   et   de   le   valider   à   partir   de   relevés   expérimentaux,   modèle   qui   sera   utilisé   pour   le   réglage   des   paramètres   de   l’asservissement.

  Les   caractéristiques   du   moteur   utilisé   pour   entraîner   le   dispositif   de   réglage   du   sommier   sont   les   suivantes   :       moment   d’inertie   ramené   à   l’arbre   moteur   résistance   de   l’induit   0,5 Ω   constante   de   couple   et   de   vitesse inductance   de   l’induit   1   0,306 .

0,244 . .

    Par   ailleurs,   on   suppose   que   les   frottements   sont symboliques   qui   décrivent   le   fonctionnement   du   moteur   :     négligeables   On   rappelle   enfin   les   équations  

Équations   électriques   :   Équation   mécanique   :  

.

.

.

.

      .

avec   :   couple   résistant       Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 1 sur 11

09/10/2014 PTSI La   figure   ci ‐ dessous   représente   le   relevé   expérimental   de   la   réponse   de   la   chaîne   fonctionnelle   à   un   échelon   unitaire   de   la   tension   dans   le   cas   où     est   nul.

   

Question   1:

  Justifier   que   l’on   peut   identifier   cette   réponse   à   celle   d’un   système   du   premier   ordre.

  Tangente   à   l’origine   non   nulle.

 

Question   2:

Déterminer   graphiquement   les   paramètres   caractéristiques   du   modèle.

  Graphiquement   on   obtient   K=4,1   rad.s

‐ 1 .V

‐ 1   et  τ =2,5s   Nous   allons   maintenant   établir   le   modèle   de   connaissance   du   moteur   afin   de   le   confronter   au   modèle   de   comportement   que   nous   venons   d’établir.

 

Question   3:

Compléter   le   schéma   fonctionnel   du   moteur   et   de   sa   charge   proposé   dans   le   document   réponse   DR2.

  K   K  

Question   4:

Montrer   que   l’on   peut   écrire   Ω p Ω p   sous   la   forme   :   H p . U p H p . C p   .

Ω p .

K . .

K . K . U p .

. .

K . K . C p   Donner   les   expressions   littérales   de   H p   et   H p .

  Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 2 sur 11

09/10/2014 PTSI On   étudie   maintenant   l’évolution   du   système   autour   d’un   point   de   fonctionnement   vis ‐ à ‐ vis   de   la   consigne.

  Dans   ces   conditions   le   couple   résistant   est   supposé   constant.

  En   conséquence   on   posera    C p 0   pour   la   suite.

 

Question   5:

Montrer   que   la   fonction   de   transfert   en   boucle   ouverte   (lorsque   l’on   ouvre   la   boucle   avant   le   comparateur)   peut   se   mettre   sous   la   forme   :   Donner   les   expressions   de   U c et   Application   numérique   :   calculer   p U c p K c . K e .

. .

. . 1 1 .

  1 R.J

K c .K

e . p. 1 L R . p en   fonctions   des   paramètres   du   système.

  R. J K c . K e et   et   .

    2,57s et

Question   6:

Exprimer   H p   en   fonction   de   obtenu   expérimentalement   ?

  ,   2     et   K.

  Ce   résultat   est ‐ il   compatible   avec   le   tracé   1 H p .

K . .

K . K 1 .

.

. p .

.

.

2 1 . p .

.

2   Fonction   de   transfert   du   second   ordre   mais   la    constante   de   temps   électrique   est   négligeable   devant   la   constante   de   temps   mécanique   (rapport   1000).

  On   pourra   donc   se   ramener   à   une   FT   du   premier   ordre.

   On   avait   par   ailleurs   trouvé   sur   la   courbe   une   constante   de   temps   de   2,5s   ce   qui   correspond   à   la   constante   de   temps   mécanique.

 

Dans   la   suite   du   problème   on   admettra   que   s’écrit   :  

1 .

     

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1.3.

Étude de la boucle de position

L’objectif   de   cette   partie   est   de   régler   le   correcteur   de   l’asservissement   de   position   des   pieds   de   réglage   pour   que   le   déplacement   s’effectue   dans   le   temps   imposé   par   le   cahier   des   charges,   c'est ‐ à ‐ dire   moins   de   0,2s.

  Le   moteur   à   courant   continu   entraîne   la   cale   de   réglage   du   parallélisme   du   sommier   par   l’intermédiaire   d’un   réducteur   de   rapport   de   réduction   R e ,   et   d’un   système   vis   écrou   dont   le   pas   réduit   est   noté     en   mm.

  Z p   correspond   au   déplacement   de   la   cale   suivant   l’axe   sommier   suivant   ,   et   E p   au   déplacement ,   en   C.

  Ces   différents   éléments   sont   définis   sur   la   figure   ci ‐ dessous     vertical   du   On   appelle   E p la   tension   de   consigne   de   correction   duparallélisme   entre   le   sommier   et   la   presse   au   point   mort   bas.

  La   position   estmesurée   par   un   capteur   de   position   de   gain   T .

  L’unité   utilisée   pour   e est   le   mm.

  noté   K Le   moteur   à   courant   continu   est   alimenté   par   un   convertisseur   qui   sera   considéré   comme   un   gain   pur,   20 .

 

Question   7:

Compléter   sur   le   document   réponse   DR2   le   schéma   bloc   de   l’asservissement   de   position.

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Question   8:

Exprimer   la   relation   qui   lie   z   et   e s   en   vous   appuyant   sur   le   schéma   ci ‐ dessus.

  En   déduire   l’expression   de K   tan ⇒ K z tan  

On   donne   pour   la   suite  

0,1

 

Question   9:

Montrer   graphiquement   que   le   schéma   bloc   du   DR2   peut   se   mettre   sous   la   forme   d’un   système   bouclé   à   retour   unitaire.

 

Dans   la   suite   du   problème   on   prendra   pour   fonction   de   transfert   du   capteur   de   position  

Question   10:

Exprimer   F p 1 .

.

 

,   fonction   de   transfert   de   la   zone   entourée   d’un   pointillé   sur   le   DR.

  La     mettre   sous   la   forme   F p .

,.

  Calculer   .

    F p . K . H p .

1 p .

R . p 2.

K H .

0 .

R e . p v 2.

.

K z   .

K 0,26 .

.

K .

. 1 .

2.

.

.

.

K   1   Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 5 sur 11

09/10/2014 PTSI Le   cahier   des   charges   impose   les   caractéristiques   minimales   suivantes   :    valeur   du   premier   dépassement   en   régime   indiciel   % 20%    instant   du   premier   maximum   en   régime   indiciel   0,1    temps   de   réponse   à   5%   inférieur   à   0,2s   Après   un   choix   de   correction   pour   position   du   système   corrigé.

  ,   on   obtient   la   réponse   ci ‐ dessous   à   un   échelon   unitaire   de    

Question   11:

Conclure   quant   au   respect   du   cahier   des   charges   % 18% 20% ⇒ 0,08 0,1 ⇒   % 0,2s ⇒         Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 6 sur 11

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2.

Problème : Asservissement d’un arbre à came commandant la pompe hydraulique d’un tracteur Fendt(40 min)

(D’après   concours   CCP   MP2008)  

2.1.

Performances exigées

  précision   :   pas   d’écart   de   position,   rapidité   :   temps   de   réponse   à   5%   global   du   système   à   une   consigne   d’entrée   de   type   échelon   inférieur   à   1s.

   

2.2.

Asservissement en position de l’arbre de commande

On   s’intéresse   à   l’asservissement   en   position   de   l’arbre   de   commande   dont   le   schéma   fonctionnel   est   donné   ci ‐ dessous.

  Le   moteur   électrique   est   un   moteur   à   courant   continu   dont   les   équations   caractéristiques   sont   les   suivantes   :   .

.

        .

Avec            tension   appliquée   aux   bornes   du   moteur   courant   d’induit   résistance inertie   de     de   l’induit l’arbre   de     commande     constante   de   force   contre   électromotrice     constante   de   couple     Le   gain   du   capteur   de   vitesse   2 .

On   considère   nulles   les   conditions   initiales.

      .

      2 Ω   6,25. 10 0,5 / 0,05 .

/ /       Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 7 sur 11

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Question   1:

Déterminer   la   fonction   de   transfert   peut   se   mettre   sous   la   forme   canonique   :   .

PTSI   du   moteur   électrique   et   montrer   qu’elle   .

    . 1 .

.

.

Question   2:

Donner   les   expressions   littérales   de   K m   et    m.

  Calculer   K m   et    m .

  1 2 .

.

.

.

0,05  

Question   3:

Déterminer   la   fonction   de   transfert   transfert   ,   donner   l’ordre   de   cette   fonction   de       1 .

.

.

.

.

.

Fonction   du   second   ordre  

Question   4:

  Mettre     sous   forme   canonique   en   précisant   l’expression   de   ces   caractéristiques.

  1   .

.

  2.

.

1 .

⇒ 2.

.

1 .

.

 

Question   5:

Déterminer   la   valeur   du   gain   Kc   de   telle   sorte   que   la   réponse   à   une   entrée   de   type   échelon   soit   la   plus   rapide   possible   sans   toutefois   produire   de   dépassement.

  On   veut   1 ⇒ 1,25   .

.

.

Question   6:

Montrer   qu’avec   la   valeur   de   Kc   choisie   précédemment,   la   fonction   de   transfert   en   boucle   fermée   peut   se   mettre   sous   la   forme   :   1 1 .

0,2.

0,5 0,01.

  1 0,5 0,1.

 

Question   7:

Calculer   K BF   et   T.

  0,5 .

0,1     Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 8 sur 11

09/10/2014 La   courbe   ci ‐ dessous   représente   la   réponse   du   moteur   à   un   échelon   d’amplitude   2V.

  PTSI

Question   8:

En   déduire   le   temps   de   réponse   à   5%.

  Conclure   vis ‐ à ‐ vis   des   exigences   du   cahier   des   charges.

      % 1 ⇒ é‼‼     Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 9 sur 11

09/10/2014 PTSI des   On   souhaite   diviser   par   dix   le   temps   de   réponse   du   système   afin   de   satisfaire   les   exigences   du   cahier   charges.

  On   introduit   une   boucle   de   retour tachymétrique   comme   l’illustre   la   figure   ci ‐ dessous.

    supplémentaire   dite   boucle   de   vitesse   ou   retour    

Question   9:

Déterminer   la   nouvelle   fonction   de   transfert   M’(p)   du   moteur   et   montrer   qu’elle   peut   s’écrire   :   ′ . 1 ′ ′ .

  .

′   . 1 .

.

Question   10:

Donner   les   expressions   littérales   de   K’ m   et    ’ m   en   fonction   notamment   de   K m   et    m .

  ′ ′   1 .

1 .

Question   11:

Déterminer   la   valeur   k   du   gain   du   retour   tachymétrique   de   telle   sorte   que   τ′ ′ 10 ⇒ 1 .

10 ⇒ 9 4,5 .

Question   12:

Déterminer   les   nouvelles   valeurs   de   K’ m ,   Kc,   K BF   et   T.

  ′ 0,2 .

.

  0,5 1,25   .

  0,1  

Question   13:

En   déduire   l’écart   de   position   du   système   équivalent.

  L’écart   de   position   est   nul   lim → 0   .

      Lycée Chaptal Devoir Surveillé 2 Page 10 sur 11

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Annexe

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