Transcript Guide d utilisation

TD Fonction de plusieurs variables
Domaine de définition
Donner et représenter le domaine de définition des fonctions suivantes:
a) f  x, y   3x  y 2
b) f  x, y   x 2  y 2
Représentation des surfaces
Exercice 1. Représenter des courbes de niveau des fonctions ci-dessous
a) f  x, y   x 2  y 2
b) f  x, y   2 x  y
c) f  x, y   xy
Exercice 2. Associer un des graphes à la fonction z = f(x, y) représentée par ses courbes de niveau
Dérivée partielles - différentielle
Exercice 1. Trouver les dérivées partielles d'ordre 1 de
a) z  x 3 y  x 2 y 2  xy 3
b) z  x sin y  y sin x
c) z  xe  x y 
d) 𝑧 = 2𝑥𝑙𝑛(𝑥𝑦)
4
e) 𝑧 =
+ 3cos (𝑦𝑥 )
Exercice 2. Calculer les dérivées partielles de la fonction z 
En déduire la différentielle de cette fonction au point A 1, 2 
2x  3 y
.
x2  2
Exercice 3. La loi d'attraction entre deux corps de masse M et m est donnée par la relation suivante:
Mm
F G 2
r
Calculer la différentielle dF
Exercice 4. On considère un gaz parfait obéissant à la loi de PV = nRT
1. déterminer la variation de température consécutive à une variation de volume dV et de pression dP
2. déterminer la variation de volume consécutive à une variation de pression dP et de température dT
3. déterminer la variation de pression consécutive à une variation de volume dV et de température dT
Exercice 5. Un condensateur plan de section S et d’épaisseur e a une capacité
S
C   0 r
e
avec :
 0 : permittivité relative du vide (8,84 10-12 Fm-1) ,
 r : permittivité relative isolant
S : surface armature (m )
e : épaisseur isolant (m)
Calculer la variation de capacité consécutive à la variation d’épaisseur "de" et de surface "dS"
Exercice 6. Un cylindre de rayon r = 10 cm et de hauteur h = 50 cm voit son rayon augmenté de 1 cm et
sa hauteur diminuer de 2 cm.
1. Calculer la variation exacte de son volume
2. Calculer la valeur approchée de la variation du volume par la différentielle
Calcul d'erreur
Exercice 1. La puissance utilisée dans une résistance électrique est donnée par P = E2/R (en watts).
Si E = 200V ± 2V et R = 8  ± 0,5, quelle est l’incertitude absolue ∆P et l’incertitude relative ∆P/P sur la puissance électrique ?
Exercice 2. Pour mesurer l'épaisseur d'un cylindre creux on mesure le diamètres intérieur (D1) et extérieur
(D2) et on trouve :
D1=19.5 ± 0.1 mm.
D2=26.7 ± 0.1 mm.
Donner le résultat de la mesure et sa précision.
Exercice 3. L’énergie cinétique E d’une particule en mouvement s’exprime en fonction de la masse de la particule m (kg), la vitesse de la particule v (m/s) et la vitesse de la lumière c (m/s) suivant la relation :





1
2 
E  mc 
 1
v2


 1 2

c


Avec = 1,682. 10
𝑘𝑔, 𝐶 = 3. 10 𝑚/𝑠 , 𝑉 = 10 𝑚/𝑠
L’objectif du problème est de déterminer la valeur de l’énergie cinétique de cette particule ainsi que l’incertitude associée.
1. Calculer la valeur de l’énergie cinétique E.
Sachant que 1 𝑒𝑉 = 1,60219. 10 𝐽 eV, exprimez cette énergie en J puis en eV.
2. Les conditions de l’expérience ainsi que les appareils fournis ont permis d’établir les incertitudes sur la mesure de la vitesse de la lumière c ainsi que sur la masse de la particule m :
- Incertitude relative sur m : 1,5 %
- Incertitude relative sur c : 0,5 %
En déduire alors les incertitudes :
- sur m (on l’appellera ∆m),
- sur c (on l’appellera ∆C)
3. Déterminer l’incertitude absolue et relative sur l’énergie Exercice 4. La loi de réfraction pour un rayon lumineux est donnée par n 
ou i et r sont les angles d'incidence et de réfraction. On mesure i 

4
sin i
sin r
 3.102 rad et r 

6
 3.102 rad.
Calculer n et l'incertitude relative sur n.
Exercice 5. Dans un circuit électrique de type RLC, le facteur de qualité Q dépend de la résistance R, de
l'inductance L et de la capacité C tel que :
𝑸=
𝟏 𝑳
𝑹 𝑪
1. Donner l'expression de la différentielle totale de Q que l'on notera dQ en fonction de R, L, C et dR,
dL et dC
2. En déduire l'incertitude sur Q, c'est-à-dire Q, en fonction de R, L, C et des incertitudes sur R, L, C
notées R, L et C.
3. Donner l'expression de l'incertitude relative sur Q, c'est-à-dire Q/Q, en fonction de R, L, C et R,
L et C.
4. Retrouver l'expression de l'incertitude relative (question 3) par la méthode de dérivation
logarithmique.
5. Application numérique. Si on donne R = (8.50 ± 0.05), L = (3. 10-3 ±2. 10-4) H (henrys) et C =
(20.10-6 ± 10-6)F (Farads), que vaut Q et Q/Q
Exercice 6. On considère un cône creux droit de hauteur h et dont la base a pour rayon r.
1. Exprimer la surface du cône en fonction de r et h.
On a mesuré : r = 30,0 ± 0,2 mm et h = 50,0 ± 0,2 mm.
2. Calculer l’incertitude sur la surface du cône
Dérivées partielles d'ordre 2
Exercice 1. Soit la fonction f définie par :

y4
si  x, y    0,0 
 f  x, y   2
x  y2


f  x, y   0 si  x, y    0,0 

a
h
r
1. Quelles sont ses dérivées partielles d'ordre 1 ?
2z
2 z
2. Calculer 2 et 2
x
y
3. Montrer que
2 f
2 f

xy yx
Exercice 2. Calculer les dérivées partielles de la fonction z  (sin x  3 y)( x 2 y  cos y) , puis calculer les
dérivées partielles au deuxième ordre de cette fonction.
Extrema de fonctions
Exercice 1. Trouver le minimum s’il existe des fonctions :
z  x 2  3xy  4 y 2
z  x 2  2 xy  y 2
z  x 2  3xy  3 y 2
z   x 2  2 xy  2 y 2
Exercice 2. Trouver les extrema des fonctions
z  x2  x2 y  y4
z  xe  x y 
z  3xy  x 3  y 3
4
z  2x  y  x4  y 4
z  x  ln 2 x  y 2 
𝑧 = (𝑥 + 3𝑦 )𝑒
𝑧 = 𝑥(𝑥 + 3𝑦 )
Application : Une société de packaging conçoit et produit des boites
rectangulaires pour contenir des gels pour l'agroalimentaire. Ces boîtes, de
longueur L, largeur l et hauteur h, sont ouverte au-dessus (sans couvercle)
et doivent avoir une capacité remplissage d'un litre correspondant à un
volume constant V = 1000 cm3. Ces boîtes devant être peintes, vous devez
concevoir la boîte avec un minimum de surface pour des soucis
d'économie. Donner les dimensions L, h et l pour que l’aire soit minimum.
h
l
L