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Physique Expérimentale
La première partie aborde les concepts de base de la
physique expérimentale : démarche scientifique,
incertitude des mesures et exploitation des résultats.
La seconde partie présente les modèles théoriques et
certaines techniques qui seront utiles dans la réalisation et
l’interprétation des expériences proposées lors des
séances de travaux pratiques.
Enfin, la dernière partie rassemble quelques exercices
et problèmes.
Evaluation
note finale du module = { 0.5 CC + 0.5 EX}
1.3. DEMARCHE SCIENTIFIQUE .................................................. 6
1.4. MATERIEL USUEL .................................................................. 7
1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4.
1.4.5.
1.4.6.
Ampèremètre ...................................................................................... 7
Voltmètre............................................................................................. 8
Ohmmètre............................................................................................ 9
Oscilloscope ...................................................................................... 10
Vernier................................................................................................ 11
Sources Lumineuses ........................................................................ 12
Sources incandescentes................................................................. 12
Tubes à décharge............................................................................. 13
Lasers ................................................................................................. 14
Lentille ................................................................................................ 15
1.4.7.
1.5. MESURE ET INCERTITUDE...................................................17
1.5.1.
Incertitude de mesure ................................................................... 17
Précision de mesure ........................................................................ 18
Dispersion statistique..................................................................... 18
Erreur systématique ....................................................................... 20
Propagation de l'erreur .................................................................. 20
Report des extrêmes dans le calcul ............................................ 20
Estimation à partir de la dérivée................................................. 21
Utilisation des différentielles...................................................... 22
Ecriture d'une mesure et chiffres significatifs ..................... 24
L'ordre de grandeur........................................................................ 25
Analyse dimensionnelle ................................................................... 26
1.5.2.
CC=moyenne {notes de rapport de laboratoire}, ce
dernier est à rendre impérativement au début de la séance
suivante.
EX=réalisation d'une expérience tirée au sort et questions
de cours (durée: 2 heures la dernière semaine du
semestre).
Sommaire
1.
BASES DES METHODES EXPERIMENTALES... 4
1.1. QU'EST-CE QUE LA PHYSIQUE ? ......................................... 4
1.2. LES MODELES, LES THEORIES ET LES LOIS ........................ 5
1
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.6. EXPERIENCE ET EXPLOITATION.........................................28
1.6.1.
1.6.2.
Préparer ............................................................................................. 28
Présentation des résultats ............................................................ 29
Tableaux............................................................................................. 29
Le graphe ........................................................................................... 30
1.7. REDACTION D’UN RAPPORT DE LABORATOIRE ..................37
1.7.1.
1.7.2.
1.7.3.
1.7.4.
1.7.5.
Un Titre ............................................................................................. 37
Une Introduction ............................................................................. 38
La Procédure ..................................................................................... 39
Le(s) Graphe(s) ................................................................................. 39
La Discussion ..................................................................................... 40
2
2.
MODELES, TECHNIQUES APPLIQUEES ......... 43
2.1. QUELQUES NOTIONS SUR LA LUMIERE ............................43
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.1.5.
2.1.6.
Qu'est-ce que la lumière ? ............................................................ 43
Polarisation de la lumière ............................................................... 44
Polariseur et Analyseur, loi de Malus.......................................... 46
Formules de Fresnel ........................................................................ 47
Effet magnéto-optique ................................................................... 50
Diffraction de la lumière ............................................................... 52
Diffraction de Fresnel ................................................................... 52
Diffraction de Fraunhofer ............................................................ 55
3.12. ANGLE DE BREWSTER(⇔) ..................................................77
3.13. DETERMINATION BMOYEN(⇔) .........................................77
3.14. ZONES DE FRESNE(⇔).......................................................78
3.15. DETERMINATION DE BEH ....................................................78
3.16. ESTIMATION DE U POUR K=1 (⇔).....................................79
1. Bases des Méthodes Expérimentales
2.2. MICRO-ONDES EN PROPAGATION LIBRE ...........................55
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
Propagation libre .............................................................................. 55
Ondes stationnaires ........................................................................ 57
Détection des ondes centimétriques .......................................... 58
2.3. ETUDE DE 2 PENDULES COUPLES .........................................61
2.3.1.
Résultats théoriques ....................................................................... 61
2.4. INTENSITE DU CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE ..........64
2.5. EXPERIENCE DE MILLIKAN .................................................64
3.
1.1. Qu'est-ce que la physique ?
Physique = la science qui étudie les phénomènes naturels
et tente de comprendre les règles fondamentales ou lois
qui régissent la nature
EXERCICES ET PROBLEMES ................................ 67
3.1. MESURE DE TENSIONS ALTERNATIVES(⇔).....................67
3.2. LENTILLE MINCE(⇔) .........................................................67
3.3. METHODE DIFFERENTIELLE(⇔) .......................................68
3.4. DERIVEE PARTIELLE(⇔).....................................................69
3.5. INCERTITUDE CALCULEE(⇔)..............................................70
3.6. ARRONDIS, INCERTITUDES(⇔)........................................70
3.7. ANALYSE DIMENSIONNELLE, ESTIMATIONS(⇔)............71
3.8. TABLEAU(⇔) .......................................................................73
3.9. CHANGEMENT DE VARIABLE(⇔) ........................................74
3.10. PERIODE D'UN PENDULE(⇔) ..............................................75
3.11. LOI DE MALUS(⇔) .............................................................76
3
Science = recueillir des faits sur un système
+ élaborer des théories explicatives et prédictives
(activité créatrice)
+ expérimentation (confrontation des théories avec le
réel)
Système = entité définie et isolée possédant une ou des
entrée (paramètres contrôlés) et une ou des sorties
(paramètres mesurés)
4
1.2. Les modèles, les théories et les lois
1.3. Démarche Scientifique
modèle = représentation, image mentale simple d'un
phénomène
ex: la description planétaire de l'atome, (noyau entouré d'électrons sur
différentes orbites), est un modèle imaginé par Niels Bohr en 1913
théorie = modèle développé, transformé pour englober
un ensemble d'observations, de phénomènes
ex: le modèle ondulatoire appliqué et développé pour l'atome donnera
naissance à la théorie de la mécanique quantique
loi = certains énoncés concis, mais généraux, sur le
comportement de la nature, démontrée par l'expérience
pour un grand nombre de phénomènes observés
ex: la loi du mouvement de Newton se présente sous forme d'équation
mathématique F = ma
formule (ou principe) = énoncé très spécifique, résultat
de l'application d'un modèle à un cas particulier
ex: le principe d'Archimède
5
4 étapes :
1. on pose un problème (la plupart du temps celui-ci se
pose à partir d'observations) qui est le plus souvent
une question
2. élaboration d'une hypothèse par induction ou par
déduction: il est préférable que cette hypothèse soit
formulée comme une affirmation et non comme une
question pour éviter de confondre le problème avec
6
l'hypothèse. L'hypothèse est en fait la réponse
proposée au problème de la première étape.
3. réalisation d'une ou plusieurs expériences pour tester
l'hypothèse. Une expérience peut être une
observation complémentaire.
4. jugement sur la validité de l'hypothèse (l'hypothèse
est confirmée expérimentalement, validée ou au
contraire est infirmée ou invalidée) et déclaration
d'une affirmation ou loi démontrée par l'expérience
I = U / (R + RA)
==> Il faut que RA << R si on
veut que l'ampèremètre ne
perturbe pas la mesure.
IDEALEMENT RA = 0.
EN PRATIQUE, RA n'est pas
égal à 0, et dépend de l'échelle utilisée.
1.4.2. Voltmètre
•
•
•
mesure une DDP
se place en PARALLELE
possède une résistance interne
1.4. Matériel Usuel
U = Rtot . I où Rtot = (1/R + 1/RV)-1
1.4.1. Ampèremètre
•
•
•
mesure un COURANT
se place en SERIE
possède
une
résistance
interne
7
==> il faut que RV >> R si on
veut que le voltmètre ne perturbe
pas la mesure
IDEALEMENT, RV = infini
EN PRATIQUE, RV n'est pas
égal à l'infini, et dépend de
l'échelle utilisée
8
1.4.3. Ohmmètre
i
E
Rcalibre
1.4.4. Oscilloscope
Mesure une résistance, en
dehors de tout circuit, et
après
ajustement
ou
vérification du zéro
R = E − R calibre
i
Remarques générales :
1. Pour avoir les contacts convenables, il faut enfoncer
complètement les petites fiches dans les bornes
correspondantes.
2. Tout ce qui concerne le courant CONTINU est
indiqué en NOIR; ce qui concerne le courant
ALTERNATIF, en ROUGE.
3. Pour lire correctement une mesure, il faut regarder
l'aiguille de telle sorte qu'elle se superpose à son
image dans le miroir.
9
Le signal étudié est appliqué à l'entrée verticale Y (entre
les plaques Y et Y') par l'intermédiaire d'un
amplificateur. On peut régler le gain de cet
amplificateur en tournant le tournant le commutateur de
sensibilité verticale ( V/div ou V/cm)
Les plaques de déviation horizontale XX' sont reliées à
un générateur qui provoque le déplacement à vitesse
constante du spot de gauche à droite.
La durée de balayage est réglable. Elle est indiquée sur
le commutateur de réglage (en ms/div ou ms/cm par
exemple)
Mesure de tensions alternatives (⇔)
10
1.4.5. Vernier
1.4.6. Sources Lumineuses
monochromatique ou polychromatique (à spectre continu
ou à spectre de raies)
polarisée ou naturelle
Source ponctuelle : Source lumineuse comparable en
dimension à un point.
Source étendue : Source lumineuse formée d'une
multitude de sources ponctuelles juxtaposées.
Sources incandescentes
Soleil
Pied à coulisse
Arc électrique
Lampe à filament de tungstène : C'est la lampe à
incandescence usuelle.
Lampes à halogènes : Ce sont des lampes à filament
de tungstène contenant de la vapeur d'iode ou d'un
autre halogène. Cela permet d'atteindre une
température plus élevée, donc d'avoir une plus grande
intensité lumineuse. L'ampoule de la lampe est en
quartz en raison de la température élevée atteinte.
Vis micrométrique
11
L'analyse du rayonnement (au moyen d'un
spectroscope) montre qu'on obtient un spectre
continu. La figure représente le spectre d'émission
d'un émetteur incandescent idéal, appelé corps noir.
12
les tubes haute pression : Ce sont des sources très
intenses. Les raies sont si larges que le spectre est
pratiquement continu. Ces tubes sont utilisés pour
l'éclairage urbain.
Lasers
Principale source de lumière monochromatique
cohérente.
Laser = Light Amplification by Stimulated Emission
of Radiation
La lumière émise
remarquables :
possède
Tubes à décharge
- elle est très monochromatique
Si on fait éclater une étincelle dans un tube contenant
un gaz ou une vapeur, il peut y avoir émission de
lumière. Le spectre obtenu est essentiellement un
spectre de raies auquel se superpose un spectre
continu.
- elle est cohérente (⇒ interférence)
On distingue plusieurs types de tubes :
les tubes à basse pression : Ce sont des sources peu
intenses, mais avec des raies très fines.
les tubes moyenne pression : L'intensité de ces
sources est plus grande, mais, également les raies
sont plus larges.
13
des
propriétés
- le laser constitue une source ponctuelle (lentille ⇒
faisceau parallèle)
- la puissance peut être relativement faible (quelques
mW) ou bien considérable pour certains lasers
fonctionnant
par
impulsions
très
brèves.
ATTENTION : dans tous les cas, ne Jamais
regarder la lumière laser directement ⇒ risque de
brûlure de la rétine
14
1 1 1
= +
f' p p'
1.4.7. Lentille
Foyers secondaires d'une lentille convergente
image d'une lentille mince (⇔)
15
16
1.5. Mesure et Incertitude
Objectif des expériences
•
l'erreur systématique indique si les flèches visaient
bien le centre, ou bien un autre point de la cible.
⇒ modèle valide ou non ?
l'incertitude associée à une mesure
expérimentale peut être aussi importante
que le résultat de la mesure elle-même !
1.5.1. Incertitude de mesure
3 sources d'erreur :
•
•
•
la précision de la mesure ∆1, ou résolution ;
la dispersion statistique ∆2 ;
l'erreur systématique ∆3.
erreur totale ⇒ ∆ = ∆1 + ∆2 + ∆3
incertitude absolue = estimation de sup |∆|
Métaphore :
•
•
la précision de mesure (résolution) désigne la taille
de la pointe de la flèche ;
la dispersion statistique désigne le fait que les flèches
sont proches les unes des autres, ou bien au contraire
éparpillées sur la cible ;
Précision de mesure
Sur un appareil analogique ou numérique
|∆1| = 1/2 division ou la valeur d'une unité du dernier
chiffre de l'affichage
Dispersion statistique
Sur un grand nombre de mesures, on peut considérer que
l'on a une probabilité dont la distribution est gaussienne.
Le résultat de la mesure sera alors la moyenne E des
résultats :
n
E = x = 1
n
l'écart type σ de la gaussienne est
17
18
xi
∑
i =1
σ=
1
n
(xi − < x >) 2
∑
i =1
L'incertitude due à la dispersion statistique est alors
estimée par ∆2 = m σ
le nombre m étant un nombre
l'expérimentateur. A titre d'exemple :
choisi
par
1.5.2. Propagation de l'erreur
intervalle
5
10
20
> 100
de
mesures mesures mesures mesures
confiance
50 %
1,5 σ
90 %
4σ
3σ
2,5 σ
1,7 σ
95 %
2,6 σ
2,3 σ
2,1 σ
2σ
99 %
Erreur systématique
Appareil mal étalonné et/ou
erreur intrinsèque au protocole de mesure ⇒ erreur
systématique
minimisation ⇒ contrôle de l'appareil, analyse critique
du protocole de mesure, utilisation d'une méthode
différentielle (⇔)
n
2,6 σ
intervalle de confiance : 95 % des xi est compris dans
l'intervalle E ± 2 σ
Le résultat d'une mesure est fréquemment utilisé pour
faire des calculs. L'incertitude se propage aux résultats.
D'une manière générale, on mesure une valeur x, et l'on
calcule une valeur z = ƒ(x) ; on veut estimer ∆z à partir
de ∆x. C'est le problème de la propagation de l'erreur.
Report des extrêmes dans le calcul
La première solution consiste à effectuer les calculs avec
les extrêmes de l'intervalle d'erreur. Si la mesure a pour
valeur
a ± ∆a
Dans le cas d'une mesure unique, l'incertitude due à la
dispersion est estimée à partir de la classe C de l'appareil
:
∆2 = (valeur du calibre) C
100
alors la « valeur réelle » est supposée être dans
l'intervalle [a-∆a;a+∆a]. On calcule
19
20
z1 = ƒ(a-∆a)
z2 = ƒ(a+∆a) et ∆y = |y1-y2|
Estimation à partir de la dérivée
Utilisation des différentielles
Cas d'une fonction à plusieurs variables z = f(x1, x2, ... )
dz = df = ∂f dx1 + ∂f dx2 + ...
∂x1
∂x 2
On approxime df ≈ ∆z, on majore en prenant la somme
des valeurs absolues :
∆z = ∂f ∆x1 + ∂f ∆x2 + ...
∂x1
∂x2
Une manière simple consiste à utiliser un développement
limité du premier ordre, c'est-à-dire à remplacer la loi ƒ
par sa « tangente » pour estimer l'erreur. On a :
ƒ(x) = ƒ(a) + ƒ '(a)·(x-a) + o(x)
∂f
∂x1
= dérivée partielle (⇔) de f(x1, x2, ... ) par
rapport à x1
exemple : incertitude sur la valeur d'une résistance
équivalente
où o(x) est une fonction qui « tend vite » vers 0. Si l'on
remplace x par a + ∆a, on a alors
R1R2
= 210 Ω
R1=530 Ω (10%), R2=350Ω (5%), R =
R
+
R
1
2
, ∆R = ?
ƒ(a + ∆a) = ƒ(a) + ƒ '(a)·∆a + o(a + ∆a)
a) calcul direct
On peut donc estimer ∆z ≈ ƒ '(a) · ∆a
21
R 22
∂R = R 2(R1 + R 2) − R1 R 2 =
(R1 + R 2)2
(R1 + R 2)2
∂R1
22
dR = ∂R dR1 + ∂R dR 2
∂R 2
∂R1
dR
1 )dR + ( 1 −
1 )dR
=(1 −
1
2
R
R1 R1 + R2
R2 R1 + R2
R12
∂R = R1(R1 + R 2) − R1R 2 =
∂R2
(R1 + R 2)2
(R1 + R 2)2
∆R
R
∆R =
R 22
(R1 + R 2)2
∆R1 +
R12
(R1 + R 2)2
∆R 2 = 15 Ω
= (
1
R1
−
1
R1 + R 2
∆R
) ∆R1 + (
1
−
R2
1
R1 + R 2
) ∆R 2
= 0.07 = 7%
R
Autres exemples d'Incertitude calculée (⇔)
⇒ R=(210±15) Ω
b) en utilisant la différentielle logarithmique
RR
ln(R) = ln( 1 2 ) = ln(R1) + ln(R2) − ln(R1 + R2)
R1 + R2
d ln(R) =
dR1 dR2 d(R1 + R 2)
dR
=
+
−
R
R1
R2
R1 + R 2
23
1.5.3. Ecriture
significatifs
d'une
mesure
et
chiffres
m = 1.20 ± 0.03 kg ⇒ ± 0.03 kg = incertitude absolue
03 = 0.025 = 2.5 %
m = 1.20 kg à 2.5 % prés ⇒ ∆mm = 10..20
= incertitude relative
m' = 10.4 kg sans autre précision est supposée avoir une
incertitude de 0.1 kg
Les chiffres ainsi écrits sont appelés chiffres significatifs
m = 1.20 kg compte 3 chiffres significatifs (∆m=0.01 kg,
0.8 %)
24
m'' = 1.2 kg compte 2 chiffres significatifs (∆m=0.1 kg,
8%)
piscine ronde de 645 cm de diamètre et de 120 cm de
haut.
D2
m''' = 0.067 kg ou 67 g compte 2 chiffres significatifs
(∆m=0.001 kg ou 1 g)
Convention :
écriture Incertitude Absolue =
arrondi à 1 seul chiffre ≠ 0
écriture d'1 Mesure =
arrondi à la décimale donnée par l'incertitude absolue
Calculs ⇒ effectuer les arrondis (⇔) à la fin des calculs
Le volume s'exprime par : V = h π 4
L'estimation donne :
V = 1 102 × 3 ×
(6 102)2
4
= 27 106 = 3 107 cm3
(valeur exacte : 33.9·106 cm3)
1.5.5. Analyse dimensionnelle
Les dimensions d'une quantité sont notées [ ]
exemple : vitesse ⇒ [longueur / temps] ou [L/T] ou [m/s]
Analyse Dimensionnelle (⇔)
⇒ cohérence d'une formule
⇒ déterminer la forme d'une relation
1.5.4. L'ordre de grandeur
But ⇒ déterminer rapidement la valeur approximative
d'une quantité
Arrondir tous les nombres à un seul chiffre
significatif et à sa puissance de 10. Une fois les
calculs effectués, ne garder qu'un seul chiffre
significatif
Exemple
Estimer la quantité d'eau (en cm3) contenue dans une
25
Exemple
On ne se souvient plus de la formule pour calculer la
période d'oscillation du pendule simple T, et on hésite
entre deux formules :
g
L
a) T = 2π g ou b) T = 2π L
seule la formule a) est cohérente de dimension [T]
26
1.6. Expérience et exploitation
Quantités et unités fondamentales du SI
Quantité
Longueur
Temps
Masse
Courant électrique
Température
Quantité de substance
Intensité lumineuse
Unité
mètre
seconde
kilogramme
ampère
kelvin
mole
candela
Abréviation
m
s
kg
A
K
mol
cd
Préfixes ou multiplicateurs
métriques du SI
Préfixe
Téra
Giga
Méga
Kilo
Hecto
Déca
Déci
Centi
Milli
Micro
Nano
Pico
Femto
Abréviation
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
27
Valeur
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
1.6.1. Préparer
a) Elaborer ou exprimer le modèle + expression
mathématique si quantitatif
b) Identifier les Paramètres de Contrôle
c) Effectuer le montage
{PContrôle → Système Physique → PSortie}
d) Balayage visuel PContrôle
⇒ bornes des variations PSortie ?
⇒ zones singulières ?
⇒ comportement PSortie compatible avec le modèle ?
⇒ ordre de grandeur PSortie cohérentes ?
e) Collecter les données
28
Le graphe
1.6.2. Présentation des résultats
Tableaux
Leur présentation doit contenir les éléments suivants :
- une numérotation si il y a plusieurs tableaux
- un titre
- le tableau lui-même contenant a) les symboles des
paramètres mesurés, b) les unités, c) les incertitudes, d)
les valeurs
- définition des symboles
- les valeurs uniques
Exemple :
Tableau 1 (⇔)
"Variation de la hauteur d'une
colonne d'eau et pression
partielle d'oxygène en fonction
du temps"
t = temps
∆h = variation de la hauteur de
la colonne d'eau
pO2 = pression partielle
d'oxygène
température ambiante :
Ta = 20.4 ± 0.2 °C
2
1
29
8
3
7
4
1
6
5
1 Le titre écrit dans la partie supérieure du graphique
2 Le titre donne la définition des symboles des axes
3 Les incertitudes sont illustrées
4 Les unités sont celles du tableau correspondant
5 Chaque axe est identifié par le symbole et son unité
6 Marques et nombres sont régulièrement disposés
7 Les axes sont orientés
8 La 1iere variable du titre correspond à l'axe vertical
30
Point singulier,
aberrant ?
31
Le tracé d'une courbe ne doit pas
masquer les points expérimentaux
32
Incertitudes associées
Courbe non linéaire
?
à la pente a
à l'ordonnée à l'origine b
d'une droite y = a x + b
Elles peuvent être estimées
* Graphiquement
pente
maxi
Courbe non linéaire
Changement de variable (⇔)
pente
mini
bmax
y=x2 ⇒ x'=x2 ⇒ y=x'
y=sin(x) ⇒ x'=sin(x) ⇒ y=x'
y=exp(x) ⇒ x'=exp(x) ⇒ y=x'
ou y'=ln(y) ⇒y'=x
33
bmin
On trace 2 droites en "X" (en pointillés ci-dessus)
déterminées par les rectangles d'incertitudes extrêmes et
placés sur la meilleure droite (remarquer le rectangle
34
pointillé correspondant au point de plus grande abscisse :
il a été translaté sur la meilleure droite).
"meilleure" droite = ythe
L'ordonnée à l'origine de ces droites donnent bmin et bmax.
b = <b> ± ∆b = (bmax+bmin) / 2 ± (bmax-bmin)/2.
et amax et amin. On estime alors :
a = <a> ± ∆a = (amax+amin) / 2 ± (amax-amin)/2.
* Par la méthode des moindres carrés.
C'est la méthode la plus objective. Basée sur les
statistiques, elle permet d'obtenir des estimations ayant
un sens mathématique précis. Nous restreignons
cependant la discussion aux droites pour lesquelles
l'incertitude ∆x peut être négligée devant ∆y. C'est
souvent le cas dans la pratique.
2
)
(
y
−
y
=ax +b ⇒ ∑
i
the
i
minimum
⇒
∑i {y − (a x
i
i
+b
)}
2
= M = minimum
La résolution du système d'équations :
∂M
=0
∂a
donne :
y3
a =
b =
y1
N
∂M
=0
∂b
et
∑ (x y ) − ∑ x ∑ y
N∑ x − (∑ x )2
i
i
i
2
i
i
∑x ∑y −∑x∑x
N∑ x − (∑ x )2
2
i
i
i
2
i
i
ythe
ythe y
2
écart type :
35
i
σy =
∑ (y
i
− ythe, i
N
36
)2
i
yi
exemple : "Mesure de la constante de raideur d'un ressort
par une méthode d'oscillations"
On montre que
σ = σ ×
a
∑
y
N
y
∑
N
2
i
∑ xi )
i
∑
σ =σ ×
b
N
2
x −(
2
i
x
∑ xi )
x −(
≈ ∆a
2
2
≈ ∆b
2
2
Cette méthode peut être utilisée lorsque l'on dispose d'un
calculateur et que l'on désire une grande rigueur dans
l'évaluation des incertitudes.
Elle peut aussi s'appliquer à des fonctions non linéaires.
Mais dans certains cas une expression analytique ne peut
être obtenue, on utilise alors des méthodes numériques et
statistiques.
1.7. Rédaction d’un rapport de laboratoire
Chaque expérience donne lieu à un compte-rendu
comportant : titre, introduction, procédure, graphe(s), et
discussion.
1.7.1. Un Titre
qui doit préciser le sujet présenté et la méthode générale
utilisée.
37
1.7.2.
Une Introduction
donnant :
- l'objectif de l'expérience. Exemple : "La constante
de raideur d'un ressort peut-être déterminée par mesure
de la période d'oscillation d'une masse suspendue au
ressort"
- un bref rappel des connaissances théoriques et/ou
expérimentales liées au sujet étudié. Le modèle
représenté par une ou des équations liant les variables
observées, est précisé ainsi que les limites de sa validité.
Exemple : "Dans la limite des petites amplitudes, on
montre que la période d'oscillation T d'une masse m
suspendue à un ressort élastique de constante de raideur k
est donnée par
m
(1)
T = 2π
k
On peut éventuellement donner une référence
bibliographique où trouver la base théorique du modèle.
- la façon dont le modèle s'applique à l'expérience
présentée. En général, il s'agit de présenter l'équation du
modèle sous une forme linéaire et de préciser les moyens
de tester le modèle.
Exemple : "L'équation (1) peut-être réécrite
k
m = 2 T2 (2)
4π
38
laquelle est linéaire en m et T2. Ainsi en mesurant T pour
différentes masses m, et en représentant m(T2), on doit
obtenir une droite dont la pente permet de calculer la
constante k."
1.7.3. La Procédure
donne :
- le schéma du montage global. Il doit être clair et
précis.
- la méthode de mesure de chacune des variables,
l'incertitude et les précautions éventuelles.
Exemple : "Les périodes d'oscillations T ont étés
mesurées en utilisant un chronomètre gradué au 1/50 ième
de seconde. L'incertitude sur la mesure d'un intervalle de
temps t a été estimée visuellement à +/- 0.3 s. Afin de
minimiser l'incertitude sur T, la durée de n=10
oscillations a été mesurée. En effet, on a
t = nT ==> ∆t = n ∆T et ∆T = ∆t/n"
1.7.4.
Le(s) Graphe(s)
Ils doivent être soigneusement réalisés et permettre d'en
extraire des informations précises. Ils permettent aux
lecteurs de visualiser le comportement du système de
telle façon qu'ils puissent juger par eux mêmes de la
validité des conclusions faites dans le dernier paragraphe
"Discussion"
39
1.7.5. La Discussion
Elle présente :
* La comparaison modèle-système
Cette comparaison est factuelle et ne doit en aucune
façon engager le jugement personnel.
exemple : "Le comportement du modèle est représenté
par l'équation (2), dans laquelle la variation de y avec x
est une droite passant par l'origine. Dans l'expérience, les
résultats montrent bien une variation linéaire sur la plus
grande partie du domaine de x, mais la meilleure droite
possède une ordonnée à l'origine b dont l'intervalle
d'incertitude ne possède pas l'origine. De plus vers les
grandes valeurs de x, on observe un écart à la linéarité
qui dépasse là aussi les valeurs d'incertitudes."
* Conséquences
Dans le cas où le modèle est validé, l'objectif(s)
présenté(s) dans l'introduction est atteint(s).
Dans le cas contraire, il faut préciser dans quelle mesure
les résultats sont exploitables.
Exemple : "La constante de raideur k du ressort ne
dépendant que de la pente de la droite, la valeur trouvée
n'est pas remise en cause par la présence d'une ordonnée
à l'origine non nulle. De plus, la meilleure droite a été
ajustée en ne prenant que les mesures proches de la
linéarité, l'écart trouvé pour les grandes valeurs de x ne
contamine pas la détermination de k"
* Spéculations concernant l'écart modèle-système.
40
Contrairement aux parties précédentes, dans cette étape,
l'expérimentateur peut introduire ses propres idées.
L'interprétation peut être facile à identifier par exemple
en utilisant les limites de validité du modèle déjà
précisées dans l'introduction. Dans le cas contraire,
l'expérimentateur peut émettre des hypothèses ayant une
connection logique avec l'écart observé.
exemple : "Dans l'expérience nous avons négligé la
masse m' du ressort, celle-ci peut être à l'origine de la
valeur négative trouvée pour b (b = - 12 g). En effet,
l'équation (2) peut se réécrire en tenant compte de m' :
m = − m' +
k 2
T
4π2
ce qui donne une valeur raisonnable pour la masse du
ressort utilisée. Ceci peut être vérifié par la pesée du
ressort."
On voit bien dans cet exemple que la discussion est
importante dans la mesure où elle aboutit à un
"raffinement " du modèle.
Dans certains cas, nous pouvons échouer à donner une
interprétation des écarts observés, il faut alors rester
honnête en le reconnaissant et laisser aux lecteurs la
possibilité d'amorcer une discussion dont pourra émerger
de nouvelles idées.
41
Les croix représentent les points et leur incertitude.
a) Accord, compatibilité, correspondance systèmemodèle.
b) c) Accord sur le domaine [x1, x2].
d) e) Ordonnée à l'origine décalée
f) dispersion inattendue des données
g) aucune correspondance système-modèle
42
2. Modèles, techniques appliquées
2.1. Quelques notions sur la lumière
2.1.1. Qu'est-ce que la lumière ?
3 modèles :
Modèle géométrique [Fermat]:
- notion de rayon lumineux
- permet de décrire l'ombre d'un objet, ..., le calcul
d'un objectif photographique
Modèle ondulatoire [Huygens, Fresnel, Maxwell]:
- lumière = onde électromagnétique (E, B)
- le vecteur champ électrique E décrit les
phénomènes :
E = E0 e j ( ω t - k.r )
pulsation ω = 2π/T
vecteur d'onde k = 2π/λ
- description scalaire : amplitude de l'onde au point
M est donnée par :
ψ( M ) = ψM e j ωt
Naturellement ces modèles ne s'excluent pas, par contre
on utilise l'un ou l'autre suivant le type de problème à
traiter. Un critère simple est de comparer la dimension
caractéristique D d'un obstacle à la longueur d'onde λ.
Ainsi :
- si D >> λ ==> modèle géométrique
- si D ≈ L ==> modèle ondulatoire
- si D << λ ==> modèle des photons
2.1.2. Polarisation de la lumière
a) La polarisation met en évidence le caractère
vectoriel de la lumière, les équations de Maxwell
conduisent à des solutions « ondes planes » telles que le
trièdre (E, B, k)
E
est direct. Le
vecteur lumineux
E est un vecteur
transversal, c’est à
dire qu’il vibre
k
B
transversalement
direction de
à la propagation.
propagation
Modèle corpusculaire [Planck, Einstein] :
- lumière = particules = photons (énergie E = hυ,
vitesse c = 3 108 m.s-1)
- permet d'expliquer certaines interactions lumièrematière telle que l'effet photoélectrique.
b) Si en un point donné et lors de sa propagation, le
vecteur lumineux prend des directions et des amplitudes
aléatoires, la lumière est dite « naturelle» :
43
44
2.1.3. Polariseur et Analyseur, loi de Malus
E(t)
E(t+2dt)
k
Le vecteur E vu de la
source à 4 instants
successifs
E(t+3dt)
Un polariseur est composé d’un matériau anisotrope
possédant une direction particulière D. Ce matériau
absorbe la composante E⊥ d’un vecteur lumineux incident
Ei
E(t+dt)
k
c) Une onde plane est dite polarisée rectilignement si le
vecteur lumineux décrit un segment de direction fixe :
Le faisceau incident polarisé rectilignement.
Par souci de clarté, les vecteurs sont
représentés de telle façon que k est
perpendiculaire au plan de la feuille. Ainsi,
ci-contre le plan de polarisation est
perpendiculaire au plan de la feuille.
D
Ei
E//
E⊥
La direction D du polariseur est ajustable
par l’opérateur, elle forme par exemple un
angle α avec Ei.
La figure montre la décomposition du
vecteur incident en 2 composantes, l’une
parallèle à D, l’autre perpendiculaire.
D
Le plan défini par les
vecteurs E et k est le
plan de polarisation
E//
Seule la composante E// émerge après
la traversée du polariseur. Son
module est Ei.cos(α).
Ei tel que Ei = E⊥ + E// :
45
46
Loi de Malus (⇔)
On définit :
f) Un analyseur est un polariseur utilisé, comme son
nom l’indique, pour déterminer la direction de
polarisation d’un faisceau. La procédure consiste à
rechercher l’extinction du faisceau émergent en faisant
varier la direction D de 0 à π (ou à 2π). Lorsque
l’extinction est atteinte pour un angle β, on en déduit que
le plan de polarisation est inclinée à l’angle β±π/2.
2.1.4. Formules de Fresnel
Considérons maintenant, la réflexion et la transmission
d'une onde plane sur un dioptre plan séparant 2 milieux
d'indice n1 et n2.
47
Er
r
=
le coefficient de réflexion :
Ei
le facteur de réflexion accessible expérimentalement :
I
E2
R = r = r2 = r 2
Ei
Ii
r = r(α) avec α = angle{plans (polarisation , incidence)}
Dans le cas général, on peut décomposer le vecteur
champ électrique en 2 composantes, l’une contenue dans
le
plan d’incidence : E//, l’autre lui étant
perpendiculaire : E⊥.
48
* Cas où l’onde est polarisée perpendiculairement au plan
d’incidence (fig. ci-dessus).
Dans ce cas :
n1 cos i1 − n22 − n12 sin2 i1
r⊥ =
(I)
n1 cos i1 + n22 − n12 sin 2 i1
Les relations (I) et (II) sont appelées Formules de
Fresnel
calculer r⊥(0) et r⊥(π/2)
* Cas où l’onde est polarisée parallèlement au plan
d’incidence (réaliser la figure correspondante).
Dans ce cas :
n1 n 22 − n12 sin 2 i1 − n 22 cos i1
r// =
(II)
2
2
2
2
n1 n 2 − n1 sin i1 + n 2 cos i1
Angle de Brewster (⇔)
calculer r//(0) et r//(π/2)
2.1.5. Effet magnéto-optique
Un milieu transparent est éclairé par une lumière
polarisée rectilignement. Lorsque ce milieu est soumis à
un champ magnétique B colinéaire à k, le plan de
polarisation tourne d’un angle ϕ proportionnel à
l’intensité du champ B et à la distance L parcourue par la
lumière dans le milieu. Ceci se traduit formellement par :
ϕ = V(λ).L.B
où la constante de proportionnalité V(λ) est appelée
constante de Verdet et dépend de la longueur d’onde λ de
49
50
la lumière. Cet effet du champ magnétique sur le plan de
polarisation de la lumière est aussi appelé effet Faraday et
constitue l’objet de l’étude expérimentale du Tp2.
Ei
Faisceau
incident
polarisé
rectilignement
k
2.1.6. Diffraction de la lumière
Alors que l’optique géométrique postule la
propagation rectiligne de la lumière, Grimaldi en 1660
observe pour la première fois le phénomène de
diffraction :
Matériau soumis à B
E(x)
k
B
A l’intérieur du
matériau par exemple
du flint, le plan de
polarisation tourne.
Diffraction de Fresnel
Es
A la sortie du matériau
transparent, le plan de
polarisation a tourné
d’un angle ϕ.
k
51
52
Le trou circulaire π, de centre O, situé à une distance a
d'une source ponctuelle S et à une distance b d'un écran
est découpé en zones fictives (cad découpées par la
pensée) appelées zones de Fresnel.
La première zone est le disque découpé dans π, centré sur
O et de rayon r1 = OZ1 tel que:
SZ1I = SOI + λ/2 = a + b + λ/2
La seconde zone est la portion de disque comprise entre
Z1 et Z2 telle que :
SZ2I = SZ1I + λ/2 = SOI + λ = a + b + 2 λ/2
La niéme zone est la portion de disque comprise entre Zn-1
et Zn telle que :
SZnI = a + b + n λ/2
Les zones de Fresnel sont donc caractérisées par des
rayons SZI faisant entre eux des différences de marche
multiples de λ/2.
Chaque point M d'une
zone
donnée
est
considérée comme une
source secondaire au
sens du principe de
Huygens-Fresnel
et
possède un alter-ego N
dans la zone suivante
tel que :
SNI = SMI + λ/2
53
Ces 2 rayons SMI et SNI arrivent
en
I
où
ils
interférent
destructivement puisque déphasés
de λ/2 :
On peut déjà conclure de cette étude que si le trou π
défini par son diamètre d ne contient que les deux
première zones de Fresnel, alors il n'y aura pas de
lumière en I. De façon générale, il n'y aura de la lumière
en I que si π contient un nombre impair de zones de
Fresnel.
On ne possède pas de diaphragme (trou à diamètre
variable) suffisamment précis pour vérifier ce modèle,
mais il est possible de procéder autrement. Si le point
d'observation I est éloigné du trou (simplement en
reculant l'écran), on peut montrer que les rayons rn des
zones de Fresnel vont augmenter et donc leur nombre n
diminuer. Ainsi en éloignant ou en rapprochant le point I
d'observation on peut faire varier le nombre de zones de
Fresnel, c'est exactement ce que nous voulions faire.
Lorsque n sera pair, I sera obscur, et il sera lumineux
lorsque n sera impair.
Zones de Fresnel (⇔)
54
Diffraction de Fraunhofer
On rappelle que la diffraction de Fraunhofer est celle
pour laquelle la source et le plan d'observation sont situés
à l'infini. On peut matériellement réaliser cette situation à
l'aide de deux lentilles :
parallèles et infinis. Les concepts définis ci-dessous
s’étendent de façon naturelle aux guides d’ondes.
La tension u(x,t) se propageant vers les x > 0, le long de
la ligne s’écrit :
u(x,t) = u0.cos(ωt -kx)
L1 renvoie S à l'infini (les rayons arrivant sur l'Objet
Diffractant OD sont parallèles).
L2 ramène la figure de diffraction située à l'infini dans
son plan focal image.
2.2. Micro-ondes en propagation libre
On admettra les résultats encadrés du paragraphe suivant.
2.2.1. Propagation libre
Nous commencerons l’étude théorique d’une simple ligne
de transmission constituée de 2 fils conducteurs,
Après un temps δt, l’onde a parcouru une distance δx et
u(x,t) = u(x+δx, t+δt) puisque l’onde se déplace « en
bloc », soit en égalant les phases pour ces 2 instants :
ω(t + δt) - k(x + δx) = ωt - kx
ω.δt = k.δx
On définit alors la vitesse de phase par :
λ
2π
g
ω
δ
x
T
=
=
=
= λ .f
V =
ϕ
g
δt
k
2π
T
λ
g
55
56
Utilisons la notation complexe :
u(x,t) = Re {u0.ejωt.e-jkx }
u(x,t) = u0.ejωt.e-jkx
Le module u = u0 ne dépend pas de x.
2.2.2. Ondes stationnaires
On considère maintenant le cas particulièrement
important où un court-circuit est placé en x = 0. La
tension y est nulle par définition d’un court-circuit ==>
u(0,t) = 0. Cela est possible en considérant qu’une onde
u- est réfléchie de telle sorte qu’en x = 0, u+ + u- = 0 (en x
= 0 et à tout instant). u- sera donc en opposition de phase
par rapport à u+ : u(x,t) = u0.ejωt.e-jkx + u0.ejωt+π.ejkx
Montrer que :
Ce module ou u = 2.u0.sin(kx) de
façon
similaire,
le
module
du
champ électrique associé à l’onde que nous noterons
aussi u dépend cette fois de x et est représenté cidessous à gauche (notons que u= 0 pour x = n π
k ).
Pour bien se représenter les choses, revenons à l’écriture
non complexe :
u(x,t) = u+ + u- = u0.cos(ωt-kx) + u0.cos(ωt + π + kx)
u(x,t) = u0.cos(ωt-kx) - u0.cos(ωt + kx)
u(x,t) = 2.u0.sin(ωt).sin(kx)
La champ u est représenté ci-dessus à droite pour 3
instants différents. Les abscisses pour lesquels u = 0 à
chaque instant sont appelés nœuds et ceux pour lesquels u
prend des valeurs maximales, des ventres. L’analogie
avec la corde vibrante est évidente. L’ensemble forme
une onde stationnaire. Expérimentalement à l’aide d’une
diode, on accède à Udiode = Ud = α.u(x,t)2 avec α une
constante de proportionnalité.
2.2.3. Détection des ondes centimétriques
On appelle klystron un certain type de source d’ondes
électromagnétiques de fréquence F0 ∼ 10 GHz. Pour
détecter ces ondes, on utilise une diode développant une
tension proportionnelle à la puissance de l’onde reçue à
condition que cette puissance ne soit pas trop élevée.
Ud=aP
57
58
1,0
tension doide (V)
0,8
1000 mm
300 mm
0,6
0,4
Cette mesure montre qu'en dessous de 300 mV, la
tension diode obeit à la loi en 1/d2 et que donc
elle est proportionnelle à la puissance émise.
0,2
0,0
0,0
2,0x10-6
4,0x10-6
6,0x10-6
2
-2
8,0x10-6
1,0x10-5
1,2x10-5
1/d (mm )
Pour montrer cela, on a relevé la tension diode Ud en
fonction de la distance d à la source (ici le klystron). On
sait que pour les ondes (acoustiques, lumineuses,...) la
puissance P reçue par unité de surface par un détecteur
varie en 1/d2. La partie linéaire prés de l’origine du
graphe (attestant l’obéissance à la loi P = a/d2) ci-dessus
nous permet de conclure que pour des tensions
inférieures à environ 400 mV, la tension prélevée aux
bornes de la diode détectrice est bien proportionnelle à la
puissance reçue. Par la suite il faudra s’assurer que les
tensions mesurées soient inférieures à cette valeur seuil.
Signalons enfin que la diode détectrice est sensible à la
direction de polarisation de l’onde, ce qui nous servira
dans l’expérience 2.
59
Comment ça marche ?
Comme u vibre à environ 1010 Hz, la tension Ud prélevée
aux bornes de la diode détectrice vibre à une fréquence
double (redressement simple alternance) et il est exclu
d’utiliser un voltmètre en mode AC (Alternative Current)
puisque la bande passante de ce type d’appareil est en
général de l’ordre du kHz. Par contre, en mode DC
(Direct Current) le voltmètre qui n’a pas le temps de
suivre les fluctuations THF (Très Hautes Fréquences) de
u en donnera la valeur moyenne. Comme u est redressée
par la diode, cette valeur est non nulle.
On a Ud = <uredressé>
u
u
u
L’utilisation d’un oscilloscope est aussi possible, mais sa
bande passante (souvent précisée sur la façade de
l’appareil) en général de 0 à 20.106 Hz exclut aussi la
possibilité de visualiser directement u. En mode AC,
l’entrée de l’oscilloscope est couplée à un condensateur
qui élimine la composante continue du signal. En mode
DC (le signal n’est pas filtré), on obtient le même résultat
que pour le voltmètre. Insistons sur le fait que le spot n’a
60
pas le temps de suivre u et que l’on observe sur l’écran
une trace horizontale ayant pour valeur <uredressé>.
u
u
u
u
u
2.3. Etude de 2 pendules couplés
2 pendules identiques sont couplés par un ressort. Les
amplitudes (ou plutôt les vitesses) d'un pendule sont
enregistrées en fonction du temps pour différents modes
de vibration et pour différents facteurs de couplage.
Période d'un pendule (⇔)
2.3.1. Résultats théoriques
On peut montrer théoriquement que tout mouvement de
ce système peut se décomposer selon une combinaison
linéaire de 3 mouvements fondamentaux appelés modes
de vibration :
ϕ1(t) = ϕ2(t) = ϕA cos(ω0t)
Les 2 pendules vibrent en phase avec la même amplitude
et la même fréquence ω0 que celle d’un pendule non
couplé.
Ce mouvement est obtenu avec les conditions initiales
suivantes :
Les 2 pendules sont inclinés du même angle, du même
côté et simultanément relâchés.
Soit pour t = 0, ϕ1 = ϕ2 =ϕA, ϕ& 1 = ϕ& 2 = 0
b) Cas B :Mouvement en opposition de phase
ϕ1(t) = ϕA cos( ω 0 2 + 2Ω 2 t)
ϕ2(t) = - ϕA cos( ω 0 2 + 2Ω 2 t)
avec Ω2 = kλ2/I
Les 2 pendules vibrent en opposition de phase avec la
même amplitude et la même fréquence ωc = ω 0 2 + 2Ω 2 .
Cette fréquence ωc dépend de la longueur de couplage λ.
Ce mouvement est obtenu avec les conditions initiales
suivantes :
Les 2 pendules sont inclinés du même angle mais dans
des directions opposées et simultanément relâchés :
vibration en opposition de phase.
Soit pour t = 0, - ϕ1 = ϕ2 =ϕA, ϕ& 1 = ϕ& 2 = 0
c) Cas C :Mouvement de battement
a) Cas A : Mouvement en phase
61
62
ϕ1(t) = 2ϕA cos(
ϕ2(t) = - 2ϕA sin(
ω 0 2 + 2Ω 2 − ω 0
2
t) cos(
ω 0 2 + 2Ω 2 − ω 0
2
t) sin(
ω 0 2 + 2Ω 2 + ω 0
2
t)
ω 0 2 + 2Ω 2 + ω 0
2
Soit pour t = 0, - ϕ1 = ϕA, ϕ2 = 0, ϕ& 1 = ϕ& 2 = 0
t)
Pour des couplages faibles : Ω << ω0, on a :
ω2 =
2
ω 0 2 + 2Ω 2 + ω 0
2
Ω2
≈ 2ω
0
et
Ω2
≈ ω0 + 2ω
0
ϕ1(t) = {2ϕA cos( ω1 t)} cos( ω2 t)
ϕ2(t) = {2ϕA cos( ω1 t + π/2)} cos( ω2 t + π/2)
0,7
Amplitude (u.a.)
ω1 =
ω 0 2 + 2Ω 2 − ω 0
F1 = sin(6.28*x)*sin(8*6.28*x)
F2 = sin(6.28*x)
1,4
0,0
-0,7
Exemple de battement
-1,4
0,0
Le mouvement des pendules correspond à un battement,
l’énergie de vibration passe d’un pendule à l’autre et ainsi
de suite.
Ce mouvement est obtenu avec les conditions initiales
suivantes :
Un pendule est maintenu en position de repos. Le second
pendule est incliné puis relâché (en même temps que le
premier)
0,5
1,0
Temps ( u.a.)
2.4. Intensité du Champ Magnétique Terrestre
Un champ magnétique constant d'amplitude et de
direction connue est additionné au champ magnétique
terrestre d'amplitude inconnue. Ce champ terrestre peutêtre calculé à partir des déviations d'une boussole appelée
magnétomètre.
2.5. Expérience de Millikan
63
1,5
64
L’appareil de Millikan permet la mise en évidence de la
quantification de la charge électrique et la détermination
de la charge élémentaire par observation du déplacement
de chacune des gouttes d’huile électrisées dans un champ
électrique homogène.
Avec un pulvérisateur, on insuffle des gouttelettes d’huile
entre les armatures d’un condensateur à air dont les
armatures sont séparées d'une distance d. Un champ
électrique vertical E, dirigé vers le haut est appliqué dans
l'espace entre les armatures. Les gouttelettes sont
chargées par frottement sur le bec du pulvérisateur avec
une charge q = k 1.6 10–19 C (k entier).
Chaque gouttelette de rayon a est soumise à :
4 3
− 6πηat 
πa ρg − qE 

3
v(t) =
1− e m 

6πηa




Compte-tenu de la valeur numérique du coefficient de t
dans l’exponentielle, on arrive très vite à la vitesse limite
4
π a 3ρ g − qE
3
vL =
6 πη a
Si le champ est nul, la mesure de la vitesse de chute
2a 2ρg
v=
9η
4
- son poids P = mg = 3 πa3ρHg
permet de calculer
4
- la poussée d’Archimède P' = − 3 πa3ρAg
- au frottement sur l’air (Stoke) F1 = −6πηav
- la force électrique F2 = qE
Le principe de la dynamique appliqué à une gouttelette en
mouvement donne :
dv 4 3
= πa ρg − qE − 6πηav
m
avec ρ=ρH-ρA
dt
3
qui admet comme solution :
65
a =
9ηv
2ρg
(1)
Si la goutte est immobile, on tire :
3
4 πa ρg
4 3
q=
qE = πa ρg ⇒
(2)
3 E
3
Pour mesurer la charge d’une goutte, on l’immobilise en
ajustant U (⇒E=U/d) puis on annule la tension appliquée
et on mesure la durée de chute sur une distance connue ce
qui permet d’obtenir la valeur de v ((1)⇒a).
L'exploitation statistique d'un grand nombre de mesures
met évidence la quantification de q et permet la
détermination de la charge électrique élémentaire
e=1.6 10-19 C.
66
3. Exercices et problèmes
3.1. Mesure de tensions alternatives(⇔)
Déterminer la distance (en mm) à laquelle il faut placer
un objet pour qu'une lentille de focale +10 cm en fasse
une image sur un écran placé à 1 mètre de la lentille ?
3.3. Méthode Différentielle(⇔)
Un index horizontal solidaire d'un axe vertical oscillant
α
suivant l'expression α = 20 [1 + sin(ωt) ] permet la mesure
de ω. Une fourche optique connectée à un chronomètre
électronique est placée de telle sorte que l'index coupe le
faisceau lumineux périodiquement. La procédure est la
suivante :
La tension en
trait plein est
Vplein = 3.6
sin(ωt)
Déterminer ω
et l'expression
de la tension
en
traits
pointillés
Vpoint
a) Remise à Zéro (RàZ ou Reset ou Init),
b) le faisceau est coupé une première fois ⇒ le
chronomètre démarre,
Temps (1 ms/division)
3.2. Lentille Mince(⇔)
67
c) au retour de l'index, le faisceau est coupé une seconde
fois ⇒ le chronomètre est arrêté affichant alors le temps t
écoulé entre les instant b) et c).
Le mauvais placement de la fourche a été volontairement
exagéré sur la vue du dessus afin d'illustrer l'erreur
inévitable commise en n'effectuant qu'une seule mesure
{a)b)c)} pour déterminer la demi-période du mouvement
T/2.
68
3.5. Incertitude calculée(⇔)
a) u=ln(x) avec x=25.1±0.1 ⇒ u=?
b) A=sin(x) avec x=(12±1)° ⇒ A=?
c) B=x4 avec x=5.2±0.1 ⇒ B=?
d) z=2x2.y+ x.y2 avec x=0.20±0.01, x=20 à 5% prés ⇒
z=?
e) On mesure Tinitiale=(8.0±0.5)° et Tfinale=(22±0.5)°, ⇒
∆T=?
Expliquer et justifier comment procéder pour éliminer
cette erreur systématique.
3.4. Dérivée Partielle(⇔)
a) Calculer la différentielle d'une somme z=x+y, d'un
produit z= x.y et d'un rapport z=x/y. En déduire des
règles simples sur les incertitudes des sommes, des
produits et des rapports.
b) La pression d'un gaz parfait obéit à la loi : PV = nRT
avec V le volume, n le nombre de moles, R la constante
des gaz parfaits et T la température.
f) Une masse m=(14.327±0.002) g a pour volume
V=(10.00±0.06) ml ⇒ masse volumique ρ=? en g/ml, en
kg.m-3.
3.6. Arrondis, Incertitudes(⇔)
a) Déterminez approximativement
d’incertitude de la mesure 8.7 m.
le
pourcentage
b) Quel est le pourcentage d’incertitude dans le mesure
(8.86 ± 0.17) s ? Cette expression est-elle correcte ?
Calculer ∂P la dérivée partielle de P(n, V, T) par
rapport ∂V à V, les autres variables étant considérés
constantes dans le calcul. Calculer ensuite les 2 autres
dérivées partielles, puis la différentielle (totale) dP.
c) Déterminez l’aire et son degré d’incertitude
approximatif d’un cercle dont le rayon mesure 2.7 · 104
cm.
69
70
d) Calculez le pourcentage d’incertitude dans le volume
d’une sphère dont le rayon est r = 2.48 ± 0.03 m.
1
e) Imaginez une méthode simple pour mesurer l’épaisseur
d’une feuille de papier. Estimez la précision de votre
méthode.
b1) x = 2 at 2 + v0 , b2) v = at 2 + v0 où [a]=m/s2, [v ou
v0] = m/s et [t]=s
f) Calculer l’aire et l’incertitude d’un rectangle de côtés
c) Combien de temps faut-il pour faire le tour du monde à
la rame (ordre de grandeur !) ?
5.6 ± 0.1 et 15.3 ± 0.1
5.6 ± 0.5 et 15.3 ± 0.5
g) Effectuez les opérations suivantes et donnez le résultat
adéquat compte tenu des incertitudes supposées.
45.67 · 12.2
d) Un objet de masse m (kg) est accroché à un ressort de
constante k (kg/s2). Si on le tire de x (m) par rapport à sa
position de repos, l’objet oscille avec une période T (s).
Exprimez cette période en fonction des paramètres m, k
et x indiqués.
e)
Vérifier
la
cohérence
de
l’équation
suivante
12.75 + 48.345
: v2 = v02 + 2a(x − x0) où [a]=m/s2, [v ou v0] = m/s et [x
23.12 / 5.4
ou x0]=m
Réponses : a) 1%; b) 1.9%, non; c) (23 ± 2) 108 cm2 ; d)
63.9 ± 2.3 m3; e) mesure d'une rame de 500 feuilles à (50
± 1) mm, pour une 1 feuille : 0.1 mm à 2% prés; f) 87 ±
2; 87 ± 10 ou (9 ± 1) 101; g) 557 à 12% prés; 61.09; 4.3 à
7% prés;
f) On exprime la vitesse v d’un corps par l’équation v =
At3 – Bt où t représente le temps. Quelles sont les
dimensions de A et B ?
3.7. Analyse dimensionnelle, estimations(⇔)
a) Dimensionnez les coefficients A, B et C dans
l’équation suivante : v = At 2 − Bt + C où [v] = m/s et
g) Une particule de masse m tourne en décrivant un
cercle de rayon r à une vitesse v. Pour cela, elle doit subir
une force centripète produisant une accélération
centripète ac (m/s2). A l’aide de l’analyse dimensionnelle,
trouvez la forme de ac (dépendance en v et r seulement).
h) Faites une estimation rapide du volume de votre corps
(en cm3).
[t]=s
b) Vérifiez les dimensions des équations suivantes :
71
72
i) Faites une estimation rapide du nombre de battements
de cœur d’un être humain durant toute une vie.
Réponses : a) [A] = m/s3; [B] = m/s2; [C] = m2/s2; b1) m =
m/s pas compatible; b2) m/s = m + m/s pas compatible; c)
5 ans !; d) T (s) avec m (kg), k (kg/s2), x (m) ⇒ seuls k et
m possible ! ⇒ T2 = m/k ⇒ T = (m/k)1/2; e) m2/s2 = m2/s2
+ m/s2·m compatible; f) [A] = m/s4; [B] = m/s2; g)
ac=v2/r; h) 0.1 m3 ( haut du corps (75 x 40 x 15 cm) + bas
du corps (100x 40 x 10 cm) ou contorsionniste dans boite
de 50 cm de côté ou 80% (-> 100% ) d'eau dans le corps
humain et poids); i) 80 années X 60 bat/min , 4·109
battements.
3.8. Tableau(⇔)
Trouver les erreurs de présentation dans le tableau
suivant :
3.9. Changement de variable(⇔)
a) La concentration C d'un réactif en fonction du temps
1
1
+ kt , avec C0 et k des constantes.
suit la loi : C =
C0
Comment représenter judicieusement les résultats d'une
série de mesure ?
b) En fonction de la position d'un objet lumineux, on
mesure la position de l'image réalisée sur un écran par
une lentille de distance focale f inconnue. Expliquer la
procédure à suivre pour déduire d'une représentation
graphique la valeur de f.
c) En étudiant la décharge d'un condensateur C dans une
résistance R, on mesure la tension aux bornes de ce
condensateur en fonction du temps
écoulé après la fermeture du circuit.
Les résultats sont consignés dans le
tableau ci-contre :
On suppose une relation de la forme
V=V0 exp(-t/RC) avec V0 une
constante.
Vérifier
graphiquement
cette
hypothèse. Si elle est valide,
déterminer la constante de temps
RC.
73
74
3.10.
Période d'un pendule(⇔)
Les oscillations libres, non amorties, de faible amplitude
sont quasi sinusoïdales. A priori, la période propre To
peut dépendre de la longueur L du fil, de la masse m de la
bille et de l'intensité de la pesanteur g. Déterminer, à une
constante près, l’expression de cette période To.
3.11. Loi de Malus(⇔)
α(°) tension
(mV)
0 21.60
10 23.34
20 21.07
30 22.25
40 16.06
50 10.42
60 6.71
70 2.71
80 1.18
90 0.01
100 0.73
110 3.35
120 6.607
130 12.98
140 18.29
150 21.97
160 22.25
170 23.04
180 25.54
On remarque que la période propre des petites
oscillations du pendule simple est indépendante de sa
masse.
L’intensité lumineuse (l’énergie par
unité de surface et de temps) est
proportionnelle au carré du module du
vecteur lumineux : I = a.Eo2. Un faisceau de
lumière polarisée éclaire un polariseur.
Montrer que l’intensité à la sortie du
polariseur obéit à la loi de Malus : I(α) =
I0.cos2(α) avec I0 l’intensité incidente et α
l'angle que forment le plan de polarisation
du faisceau incident et le plan contenant le
faisceau et la direction caractéristique du
polariseur.
On veut vérifier expérimentalement la
loi de Malus. Sur un banc optique un laser
polarisé verticalement, un analyseur doté
d’un rapporteur et une photodiode délivrant
une tension proportionnelle à l’intensité
lumineuse qu’elle reçoit sont successivement
disposés. Le tableau suivant donne les
résultats obtenus, les angles sont déterminés à 1° prés, les
tensions à 1 mV prés. Exploiter les graphiquement afin
de savoir si la loi de Malus est vérifiée dans cette
expérience.
75
76
Réponse : D’après l’énoncé ou peut poser To = k La Mb
gg (k étant une constante sans unité).
Cette relation doit être homogène pour les unités :
seconde s, mètre m, kilogramme kg. On doit donc avoir :
[ s ] = [ m ]a [ kg ]b [ N / kg ]g
Mais, d’après la relation F = M.a, le Newton N est
équivalent à kg . m / s².
[ s ] = [ m ]a [ kg ]b [ [kg . m / s² kg ]g
[ s ] = [ m ]a + g [ kg ]b [ s ] - 2g
On en déduit : 1 = - 2 g , 0 = a + g , 0 = b
Ce qui donne : g = - 1/2 , a = 1/2 , b = 0
Finalement la période propre des petites oscillations du
pendule simple est : T0 = k
L
g
3.12.
Angle de Brewster(⇔)
3.14.
Montrer que r// s’annule pour un angle i1 = iB dit angle de
Brewster tel que tg(iB) = n2/n1.
3.13. Détermination Bmoyen(⇔)
Le champs B a été mesuré sur le montage du Tp de l'effet
Faraday. Bmax est estimé à 60 mT pour l’abscisse xmax =
14 cm.
Déterminer Bmoyen sur une longueur L=3 cm centrée sur
xmax.
60
50
B (mT)
40
30
20
10
0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
16,0
Zones de Fresne(⇔)
Considérons les triangles SOZn et IOZn, par définition de
Zn et en utilisant le théorème de Pythagore, on a la
2
2
b2 + rn2 = a + b + n λ (I)
relation : a + rn +
2
a étant constant, montrer que lorsque b croît, rn augmente
aussi, cad formellement, montrer que db et drn ont même
signe en calculant la différentielle de (I).
3.15. Détermination de BEh
Dans
la
configuration
expérimentale permettant de
mesurer
la
composante
horizontale
du
champ
magnétique terrestre BEh,
l'angle ϕ a été déterminé égal
à 100° et la constante
d'étalonnage K égale à 7.10-4
T.A-1.
On a relevé les données
présentées dans le tableau cicontre. En déduire la valeur de
BEh.
16,5
abscisse (cm)
77
78
α (degrés) IH (mA)
9.00
16.00
20.00
26.00
28.00
35.00
43.00
44.00
52.00
54.00
62.00
68.00
69.00
74.00
82.00
5.00
7.00
10.00
13.00
15.00
18.00
21.00
25.00
29.00
33.00
38.00
45.00
54.00
65.00
82.00
3.16.
Estimation de U pour k=1 (⇔)
A partir des valeurs données et sachant que le diamètre
d'une gouttelette est de l'ordre de 0.5 µm, estimer la
tension U1 à appliquer pour immobiliser une goutte de
charge 1e.
79