Transcript Pierre-alain Muet : Réserve parlementaire pour 2015 Bénéficiaire

Spé ψ 2013-2014
Devoir n°5
CONVERSION DE PUISSANCE
PROBLEME I
Dans certains types de machines électriques à déplacement linéaire, un système statique (inducteur) crée, dans le référentiel lié au sol, un champ magnétique glissant auquel est soumis la partie mobile. C’est le cas que nous examinons ci-dessous.
Le système considéré est décrit sur la figure 1 dont on resz
pectera les conventions. Il se déplace sur des rails horizontaux, l’axe
y
Oz est vertical ascendant et on néglige tout frottement. Dans le réféOC
=
v
t
e
x
C
rentiel galiléen R lié au sol, un cadre conducteur MNPQ, composé de
B
NS spires identiques en série, se déplace avec la vitesse constante
P
N
C
O
v C = vC e x dans un champ magnétique glissant créé par des sources
x
M
non représentées : B ( x, t ) = Bm cos ( ω ( t − x / v0 ) ) e z où v0 est une
Q
iC(t)
grandeur homogène à une vitesse donnée. On admettra que, dans les
figure 1
conditions de fonctionnement usuel, la valeur de Bm est constante et
que le cadre se comporte comme une résistance pure R.
On posera gC = 1 – vC/v0, MN = QP = a et QM = PN = b . À l’instant t = 0, le centre C du
cadre passe à l’origine du système de coordonnées.
Pour les applications numériques, on prendra :
a = b = 0,3 m, Bm = 0,6 T,, NS = 100, ω = 200×π rad⋅s–1, R = 0,25 Ω et v0 = 60 m⋅s–1.
Rappel : cos ( p ) + cos ( q ) = 2 cos  p + q  cos  p − q  ; sin ( p ) + sin ( q ) = 2sin  p + q  cos  p − q  ;

2 

2 

2 

2 
 p+q  p−q .
 p+q  p−q ;
cos ( p ) − cos ( q ) = −2sin 
 sin 

 sin 
 sin ( p ) − sin ( q ) = 2 cos 
 2   2 
 2   2 
I-1) Étude électrique
On admet que la loi de Faraday permettant de calculer la force électromotrice instantanée
e(t) induite dans le cadre est applicable dans le référentiel R.
a) Quelles sont dans R, les abscisses de M et P en fonction du temps ?
b) Montrer que le flux Φ(t) du champ magnétique à travers le cadre à l’instant t peut
  vC  
 ωb 
B av
s’écrire Φ ( t ) = 2 NS m 0 sin 
 cos  ωt 1 −   .
ω
 2v0 
  v0  
c) Calculer la force électromotrice instantanée eC(t) induite dans le cadre en introduisant la grandeur g = 1 – vC/v0 dans son expression.
d) Montrer que la valeur instantanée de l’intensité iC(t) du courant qui parcourt le cadre peut s’écrire iC ( t ) = I 0 sin ( α ) sin ( g ωt ) . On exprimera I0 et α à l’aide de R, Bm, ω, v0, g, a et b.
e) A.N. vC = 58,2 m⋅s–1 . Calculer g et l’amplitude de eC(t) et de iC(t) .
I-2) Étude mécanique
a) Quelle est l’expression de la résultante F L ( t ) des forces de Laplace s’exerçant
sur le cadre ?
b) Quelle est sa valeur moyenne F L ? Tracer la courbe représentant les variations
de F L ⋅ e x en fonction de g pour –0,1 ≤ g ≤ 1,1. La valeur g = 0 est-elle envisageable ?
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c) A.N. : Calculer la valeur de
FL
pour vC = 58,2 m⋅s–1.
I-3) Bilan énergétique
a) Calculer la puissance électrique instantanée PJ(t) dissipée par effet Joule dans le
cadre puis sa valeur moyenne PJ .
b) Calculer, dans R, la puissance mécanique instantanée PL(t) de F L ( t ) , exprimée à
l’aide de R, Bm, ω, v0, g, a et b, puis sa valeur moyenne PL .
c) Tracer dans les même axes les courbes représentant les variations de PJ
PL
et de
en fonction de g pour –0,5 ≤ g ≤ 1,5.
d) Le bilan de puissance peut s’écrire, dans le modèle simpliste décrit ici où toutes
les autres pertes sont négligées, PS = PJ + PL . Que représente la grandeur algébrique PS ?
Que signifie PS > 0 ou PS < 0 ? Tracer la courbe représentant les variations de PS
(et en
pointillés celles de PJ et de PL ) en fonction de g pour –0,5 ≤ g ≤ 1,5 puis indiquer les domaines de g et de vC correspondants aux différents modes de fonctionnement de la machine (moteur, générateur ou frein électromagnétique).
e) Exprimer le rapport η ( g ) =
PL
en fonction de g. Que représente cette granPS
deur ? Pour un fonctionnement moteur, vaut-il mieux réaliser une valeur de g proche de 0 ou de 1 ?
f) Un moteur réel contient des matériaux ferromagnétiques au stator et au rotor.
Écrire un bilan de puissance vraisemblable dans ce cas.
I-4) Fonctionnement en moteur à vitesse variable
Le système créant le champ est un système d’électroaimants dont le pas polaire b (distance
entre deux pôles successifs) est une constante fixée à la construction. La période spatiale du champ
ωb
est alors égale à deux fois cette distance et l’on peut écrire v0 =
.
π
a) On suppose constante la force F R exercée par la charge mécanique entraînée à
vitesse vC constante. Montrer qu’alors le produit g v0 est constant lorsque la valeur fixée de vC varie.
b) En déduire qu’il est possible de régler la vitesse vC à partir de la fréquence
d’alimentation du stator.
c) Le module de la force résistante F R est fixé. Le moteur peut-il démarrer et si
oui, à quelle condition ?
PROBLEME II
L’utilisation des capteurs de courant se répand dans tous les domaines et à tous les niveaux
de puissance de l’électrotechnique: mesure du courant dans le transistor d’un convertisseur de puissance, contrôle du courant pour la commande d’une machine, mesure des intensités sur les lignes
haute tension...
Afin de répondre aux nouvelles structures de convertisseurs utilisant des techniques de
commutation douce (autorisant des fréquences de découpage de plus en plus élevées), il devient
nécessaire de disposer de capteurs de courant de calibre élevé, pour lesquels on recherche une bande
passante de plusieurs dizaines de MHz, une forte isolation galvanique ainsi qu’une bonne insensibilité aux champs électromagnétiques parasites.
II-1) Étude du transformateur parfait
Considérons un transformateur constitué, dans sa configuration la plus simple, d’un noyau
torique de matériau ferromagnétique assimilé à un milieu linéaire homogène isotrope (perméabilité
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relative µr considérée comme infinie, rayon moyen rT, périmètre
B
moyen ℓT, section circulaire d’aire ST) sur lequel sont bobinés deux
i1
i2
enroulements conducteurs primaire (n1 spires) et secondaire (n2 spires), galvaniquement isolés (voir figure 2, où les enroulements ne
n1
rT
n2 v
v
2
sont pas représentés). La ligne moyenne de champ magnétique B est 1
tracée en pointillés, accompagnée de son orientation. Le champ magnétique sera considéré comme uniforme en tout point de la section
ST
droite du tore. Ce transformateur est alimenté par une tension alterfigure
2
native v1 de pulsation ω.
a) On s’intéresse dans un premier temps à un transformateur parfait. Cette définition
implique la réalisation simultanée de trois conditions; énoncer lesquelles.
b) Écrire le théorème d’Ampère sur un contour judicieusement choisi; en déduire une
relation entre l’amplitude de l’excitation magnétique H et les intensités i1 et i2 traversant les enroulements primaire et secondaire.
c) Déterminer l’expression de ϕC, le flux du champ magnétique B à travers une section du noyau (flux commun aux deux enroulements). Quel est le rôle joué par cette grandeur dans
la description du fonctionnement du transformateur ?
d) Expliquer l’apparition de f.é.m. induites e1 et e2 aux bornes des bobinages ; en déduire le schéma d’un quadripôle équivalent où apparaissent les grandeurs v1, v2, i1, i2, e1 et e2.
e) Définir et établir le rapport de transformation en tension (on pourra introduire le
rapport n = n2/n1).
f) Définir et établir de même le rapport de transformation en courant (on précisera
dans ce cas l’approximation réalisée au niveau de la perméabilité du matériau magnétique).
g) À partir des conventions de la figure 2, exprimer les puissances instantanées au
primaire et au secondaire du transformateur. Conclure.
II-2) Transformateur réel
Examinons pour débuter, comme cause d’écart entre le fonctionnement d’un transformateur
réel et le modèle de transformateur parfait, l’effet de la perméabilité du matériau constituant le tore
(le milieu demeurant linéaire, homogène et isotrope).
a) Dans le cas d’un matériau possédant une perméabilité relative µr finie, reprendre
l’expression du théorème d’Ampère et démontrer l’existence au primaire d’un courant magnétisant
i1µ (voir figure 3) dont on donnera l’expression.
i1
i2
n
i1µ
v1
v2
Lµ
figure 3
b) Montrer que dans le cas d’un secondaire en circuit ouvert, le schéma proposé,
avec une inductance magnétisante Lµ aux bornes de l’enroulement primaire, permet de rendre
compte de ce courant magnétisant. Préciser l’expression de Lµ.
Analysons maintenant les pertes du transformateur réel à partir du schéma équivalent fourni figure 4.
i2
i1
v1
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R1
n
i1µ
ℓ1
Rµ
Lµ
figure 4
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ℓ2
R2
v2
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c) Quel type de pertes doit-on associer aux deux résistances R1 et R2 ? Comment en
limiter l’importance ?
d) À quel phénomène peut-on relier les inductances ℓ1 et ℓ2 ?
e) La résistance Rµ modélise les pertes « fer ». Rappeler le sens physique de ces pertes et préciser comment on peut les réduire.
i1
II-3) Transformateur de courant
Le transformateur le plus simple est constitué de trois parties princiB
pales, du point de vue électromagnétique: un circuit magnétique CM (de géoi2
CM
métrie torique pour minimiser les fuites magnétiques, de périmètre moyen ℓT,
v
R
de section d’aire ST, de perméabilité relative µr élevée), un enroulement primaire P le plus souvent réduit à un seul conducteur traversant le tore, un enfigure 5
roulement secondaire S (n spires) bobiné à spires jointives sur le tore. Le courant à mesurer i1 (courant alternatif de pulsation ω) circule dans le primaire
tandis que le secondaire est relié à une résistance de mesure R (figure 5).
a) En utilisant les résultats précédents et en notant les sens de circulation des courants, déterminer la tension v aux bornes de R
b) Quel type de courant ce transformateur peut-il mesurer ? Qu’en est-il d’un courant
continu ?
nI 2 − I 1
en régime
I1
On définit l’erreur relative de précision d’un transformateur par ε p =
sinusoïdal.
c) Exprimer εP en fonction uniquement des caractéristiques du matériau, des données
géométriques du noyau, de n et de R (on négligera l’impédance équivalente ramenée au secondaire
devant R). Analyser les paramètres permettant de réduire cette erreur de précision.
II-4) Comportement en basse fréquence du transformateur de courant
i2
Considérons un modèle basse fréquence (BF)
i1
n
simplifié (figure 6) dans lequel les résistances et les
i1µ
inductances de fuite des enroulements ont été négligées. v1
Lµ
Le primaire est alimenté par un courant alternatif sinusoïdal de pulsation ω, le secondaire est fermé sur une
figure 6
résistance R.
a) Déterminer la fonction de transfert en
courant de ce modèle BF:
H BF ( iω) = I 2 ( iω) / I 1 ( iω) ..
b) Tracer le diagramme asymptotique de Bode en amplitude. Évaluer la fréquence de
coupure fBF. Analyser la réponse en fréquence du transformateur.
c) Dans le cas de signaux dont le fondamental est à 50 Hz, examiner, pour un rapport
R/n fixé, les contraintes sur l’inductance magnétisante Lµ.
II-5) Comportement en haute fréquence du transformateur de courant
A haute fréquence (HF) apparaissent les capacités des enroulements (Cp et Cs) et la capacité de couplage Cps entre primaire et secondaire, comme le montre le modèle décrit sur la figure 7
CPS
i2
i1
i1µ
ℓP
v1
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CP
Rµ
n
Lµ
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ℓS
CS
figure 7
R
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R
v
(les grandeurs telles que Lµ, Rµ ℓp et ℓs ont la même signification que précédemment).
Afin de déterminer la réponse de ce modèle en HF, simplifions-le
* le courant dans Lµ étant faible en haute fréquence, on pourra le négliger,
* pour des matériaux à faibles pertes, l’effet de Rµ, ne sera pas sensible,
* grâce à l’interposition d’écrans, on fera abstraction de Cps..
a) Simplifier la représentation du modèle haute fréquence; on pourra éventuellement
retracer ce modèle en remplaçant l’ensemble (transformateur + charge) par un dipôle équivalent.
b) Déterminer la fonction de transfert en courant de ce modèle :
H HF ( iω) = I 2 ( iω) / I 1 ( iω)
(on pourra poser - ℓ = ℓP + ℓs/n2, R’ = R/n2 et C’s = Cs.n2).
c) Les valeurs numériques des divers composants ont été optimisées pour que la
H '0
fonction de transfert HHF(iω) s’écrive sous la forme H HF ( iω) =
. Déterminer H’0 et ω0.
3
 ω
1+  i 
 ω0 
Analyser la réponse en fréquence du transformateur et calculer la fréquence de coupure fHF..
d) Quelles contraintes doit-on imposer pour augmenter la fréquence de coupure fHF ?
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