Transcript TD 5 : Gravure Laser Corrigé 1 Présentation du système 2 Étude d

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Gravure Laser
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TD 5 : Gravure Laser
Corrigé
1
Présentation du système
La traçabilité alimentaire nécessite d’écrire sur des emballages plastiques. Il est alors possible d’utiliser un
système de gravure par laser (voir photos en Figure 1). Ce système utilise deux moteur à courant continu pour
orienter deux miroirs qui dirigent le faisceau laser. Pour assurer la qualité de l’écriture et la rapidité des cadences
de production, le cahier des charges suivant doit être respecté pour chaque moteur.
Figure 1 – Système de gravure laser.
Exigence
Orienter un miroir
Critère
Amplitude angulaire
Précision
Rapidité
Stabilité
Niveau
20˚
< 5%
tR < 5ms
stable
Table 1 – Extrait du cahier des charges fonctionnel.
2
Étude d’un moteur à courant continu
Un moteur à courant continu est un convertisseur d’énergie qui transforme de l’énergie électrique en énergie
mécanique. C’est un grand classique des concours car il permet d’actionner une partie opérative en commandant
la vitesse de sortie. Ces moteurs sont utilisés dans de très larges domaines d’application et peuvent développer
des puissances de quelques watts à plusieurs dizaines de mégawatts.
Ils sont constitués d’un bobinage ou aimant permanent fixe créant un champmagnétique fixe ainsi que d’un
circuit induit placé sur le rotor et alimenté électriquement par des balais glissants sur un collecteur. Ce système
permet de créer un couple magnétique sur le rotor.
On modélise le circuit induit du moteur à courant continu par le schéma électrique de la Figure 3.
Les lois de l’électrocinétique permettent d’écrire : U (t) = e(t) + R.i(t) + L. di(t)
dt avec e(t) = ke .ω(t) et Cm (t) =
km .i(t). L’équation de la mécanique s’écrit : J dω
=
C
−
f
ω.
m
dt
On note :
– e(t) : la force contre-électromotrice ;
– ke = 2.43 × 10−3 SI : une constante ;
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Figure 2 – Schémas de principe du moteur à courant continu.
Figure 3 – Modélisation électrique du moteur à courant continu et photo du circuit induit.
– Cm (t) : le couple délivré par le moteur ;
– km = 2.43 × 10−3 SI : une constante ;
– Ω(t) : la vitesse de rotation du moteur ;
– R = 8.3Ω : la résistance de l’induit ;
– L = 0.128H : l’inductance de l’induit ;
– J = 1 × 10−7 kg.m2 : le moment d’inertie du moteur ;
– f = 0.713 × 106 N.m.s/rad : le coefficient de frottement visqueux.
Q 1 : En supposant que les conditions initiales sont nulles, déterminez les transformées de Laplace des équations
précédentes.
R1:
U (p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p)
J.p.Ω(p) = Cm (p) + f.Ω(p)
E(p) = ke .Ω(p)
Cm (p) = km .I(p)
Q 2 : Tracez le schéma bloc associé au moteur à courant continu (entrée U , sortie Ω).
R2:
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U (p)
1
R + L.p
+
−
I(p)
km
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C(p)
1
f + J.p
Ω(p)
E(p)
ke
Q 3 : Déterminez la fonction de transfert de ce système H(p).
R3:
H(p) =
=
=
=
=
Forme canonique H(p) =
3
Ω(p)
U (p)
km
(R + L.p)(f + J.p)
km .ke
1+
(R + L.p)(f + J.p)
km
km .ke + (R + L.p)(f + J.p)
km
km .ke + R.f + p.(L.f + J.R) + J.L.p2
km
km .ke + R.f
(L.f + J.R)
J.L
1 + p.
+
.p2
km .ke + R.f
km .ke + R.f
K1
p2
2.ξ
.p + 2
1+
ω0
ω0
Asservissement en position d’un miroir
Sur l’arbre de sortie du moteur, on installe un capteur de position angulaire qui renvoie une information y(t)
telle que y(t) = a.θ(t) avec a = 1V /rad. La consigne d’entrée x(t) est comparée à y(t), puis amplifiée du gain
K = 50 pour commander le moteur électrique.
Figure 4 – Modélisation électrique du moteur à courant continu.
Q 4 : Établir le schéma bloc traduisant le fonctionnement de l’ensemble. On modélisera le moteur à courant
continu par un seul bloc de fonction de transfert celle calculée précédemment.
R4:
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X(p)
+
−
H(p)
K
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Ω(p)
θ(p)
1
p
E(p)
a
Q 5 : Déterminer la fonction de transfert global du système asservi : G(p).
R5:
K.H(p)
p
G(p) =
K.a.H(p)
1+
p
K.K1
=
2.ξ
p2
a.K.K1 + p(1 +
.p + 2 )
ω0
ω0
Q 6 : x(t) est l’image en tension d’une position consigne θc (t) tel que x(t) = a.θc (t). Déterminer si pour une
entrée θc (t) en échelon le système est précis.
R6:
θc (p)
a
+
−
H(p)
K
Ω(p)
1
p
θ(p)
E(p)
a
θ(p)
= a.G(p) = a.
θc (p)
θ(p) =
a
.
p
K.K1
2.ξ
p2
a.K.K1 + p(1 +
.p + 2 )
ω0
ω0
K.K1
2.ξ
p2
a.K.K1 + p(1 +
.p + 2 )
ω0
ω0
lim θ(t) = lim p.θ(p) = lim a.
t→+∞
p→0
p→0
K.K1
=1
2.ξ
p2
a.K.K1 + p(1 +
.p + 2 )
ω0
ω0
Le système est précis car la sortie converge vers la consigne.
Q 7 : Dans le cas où l’inductance L est négligée, déterminer le temps de réponse à l’aide de l’abaque fournie
(Figures 5 et 6). Le cahier des charges est il vérifié ?
R7:
km
km .ke + R.f + p.J.R
km
km .ke + R.f
=
J.R
1 + p.
km .ke + R.f
K2
=
1 + τ.p
H(p) =
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A.N : K2 = 2, 43 et τ = 0.83s.
a.K.H(p)
p
K.a.H(p)
1+
p
K
=
p(1 + τ.p)
K.a +
K2
1
a
=
p
τ
1+
+ p2 .
K.K2 .a
K.K2 .a
θ(p)
=
θc (p)
τ
p
et ξ2 =
. A.N :
K.K2 .a
K.K2 .a
Q 8 : Peut-on améliorer la performance de rapidité uniquement en jouant sur K ? Conclure quant à la pertinence
de la seule correction proportionnelle.
R 8 : Non. Ce correcteur a lui seul ne permet pas de vérifier le cahier des charges.
Q 9 : Sachant que l’amplificateur sature à 4.5V en sortie, déterminer la valeur de l’échelon de consigne au-delà
duquel le comportement devient non-linéaire.
4.5
R 9 : L’amplitude θM à partir duquel le comportement devient non-linéaire est θM =
= 0.9rad
a.K
donc ω2 =
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A
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Abaques
Tr · ωn
300
100
50
30
10
5
3
50
10
5
0.
0.5
7
1
0.
1
0.
05
0.
01
z
Figure 5 – Abaque : Temps de réponse réduit.
D
1
D1
0.7
D2
0.5
D3
D4
0.3
D5
D6
D7
D8
0.1
D1
0.05
D3
1
D2
D4
z
1
7
0.
5
0.
0.
3
1
0.
05
0.
0.
01
0.01
Figure 6 – Abaque : Dépassement.
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