Transcript Examen et Corrigé du CMM221

Université A. Belkaid - Tlemcen
Faculté des sciences de l’ingénieur
Département de Génie Civil
Tlemcen, le 18 Mai 2014.
Durée: 1H30mn.
Examen final du CMM221 (Master 1 Construction métallique).
Les structures en acier formé à froid
Questions de cours (7 pts)
(1 pt)
1/ Citer les procédés de fabrication des éléments en acier formés à froid.
(1 pt)
2/ Quels sont les avantages que présentent les profilés formés à froid ?
(1 pt)
3/ Sur quoi est basé le concept de la largeur efficace?
(1 pt)
4/ Pourquoi la section brute est-elle remplacée par la section efficace?
(1 pt)
5/ Citer les différents modes d'instabilité de base de ce type de structures.
(1 pt)
6/ Expliquer en vous aidant de dessins les différents modes d'instabilité.
(1 pt)
7/ Quel est le principe de base de la méthode de la force directe (DSM)?
Exercice (13 pts)
Soit la section à paroi mince ouverte montrée par la figure ci-dessous.
On demande de calculer :
(2 pts)
1/ Le moment statique et le moment d’inertie par rapport à l’axe X.
(2 pts)
2/ Le moment statique et le moment d’inertie par rapport à l’axe Y.
(2 pts)
3/ La position du centre de gravité de la section.
(2 pts)
4/ Les moments d’inertie par rapport à des axes passant par le centre de gravité et
parallèles aux axes X et Y.
(2 pts)
5/ La position des axes principaux de la section transversale.
On suppose que la section est soumise à un effort de compression axial.
(3 pts)
6/ Calculer l’aire efficace de la section transversale après une itération.
On donne : Epaisseur constante t=5 mm ; E=2,1.105 MPa ;
fy=350 MPa
100 mm
Y
300 mm
X
150 mm
Bon courage
Mme Djafour
Correction de l'Examen final du CMM221 (Master 1 Construction
métallique).
Les structures en acier formé à froid
Questions de cours (7 pts)
(1 pt)
1/ Les différents procédés de fabrication des éléments en acier formé à froid sont:
Le pliage simple, le pliage à la presse et le profilage en continu.
(1 pt)
2/ Les avantages que présentent les profilés formés à froid:
Optimisation de la forme de la section
Réduction du poids de la structure.
Facilité de montage
(1 pt)
3/ Le concept de la largeur efficace est basé sur une distribution uniforme de la
contrainte sur une largeur fictive de l'élément.
(1 pt)
4/ La section brute est remplacée par la section efficace pour tenir compte de
l'interaction entre le mode local et le mode global.
(1 pt)
5/ Les différents modes d'instabilité de base de ce type de structures sont: le mode
local, le mode global, et le mode distorsionnel
(1 pt)
6/ Expliquer en vous aidant de dessins les différents modes d'instabilité.
Instabilité locale. La
section droite de l’élément
voilé se déforme en
engendrant des rotations
sans aucune translation au
niveau
des
lignes
d’intersection entre les
éléments
(1 pt)
Instabilité distorsionnelle.
C’est le mode obtenu par
distorsion de la section
transversale de l’élément.
Il provoque des rotations
et des déplacements au
niveau des lignes
communes entre les
éléments de la section.
Instabilité globale. On
l’appelle
aussi,
flambement de corps
rigide parce que la section
se déplace comme un
corps rigide en translation
et/ou en rotation sans
subir de distorsion. Il
comprend le flambement
par flexion, par torsion ou
par flexion-torsion
7/ La méthode de la force directe (DSM) est basée sur la détermination des
contraintes critiques des modes purs d’instabilité élastique pour la section entière.
Exercice (13 pts)
(2 pts)
elemts
Xd
Xf
Yd
Yf
Xcg
Ycg
T
A
1
0
95
297.5
297.5
47.5
297.5
5
475
2
97.5
97.5
0
300
97.5
150
5
1500
3
100
245
2.5
2.5
172.5
2.5
5
725
elemts
A
Ycg
Sx
Xcg
Sy
Ix
Iy
1
475
297.5
141312.5
47.5
22562.5
42.04e6
14.30e5
2
1500
150
225000
97.5
146250
45e6
14.26e6
3
725
2.5
1812.5
172.5
125062.5 60.41e2
22.84e6
section
2700
87.05e6
38.54e6
368125
293875
1/ Le moment statique par rapport à l’axe X est 𝑆𝑥 = 368125𝑚𝑚3 .
Le moment d’inertie par rapport à l’axe X est 𝐼𝑥 = 87.05𝑒6 𝑚𝑚4
(2 pts)
2/ Le moment statique par rapport à l’axe Y est 𝑆𝑦 =293875 𝑚𝑚3 .
Le moment d’inertie par rapport à l’axe Y est 𝐼𝑦 = 38.54𝑒6 𝑚𝑚4
(2 pts)
3/ La position du centre de gravité de la section.
𝑆𝑦
= 108.84 𝑚𝑚
𝐴
𝑆𝑥
𝑌𝐶𝐺 =
= 136.34 𝑚𝑚
𝐴
4/ Les moments d’inertie par rapport à des axes passant par le centre de gravité et
parallèles aux axes X et Y.
𝑋𝐶𝐺 =
(2 pts)
𝐼𝑋 = 𝐼𝑋𝐶𝐺 + 𝐴 ∗ (𝑌𝐶𝐺 )2 ⇒ 𝐼𝑋𝐶𝐺 = 𝐼𝑋′ = 36.86𝑒6 𝑚𝑚
𝐼𝑌 = 𝐼𝑌𝐶𝐺 + 𝐴 ∗ (𝑋𝐶𝐺 )2 ⇒ 𝐼𝑌𝐶𝐺 = 𝐼𝑌′ = 65.51𝑒5 𝑚𝑚
(2 pts)
5/ La position des axes principaux de la section transversale .
𝑡𝑔2𝛼 =
2𝐼𝑋 ′ 𝑌 ′
𝐼𝑋 ′ − 𝐼𝑌 ′
Calculons alors le produit d'inertie de la section par rapport aux axes passant par le
centre de gravité 𝐼𝑋′𝑌′
Elem
1
2
3
section
𝐼𝑋𝑌
67.12343e5
21.9375e6
31.2656e4
28.9625e6
Le produit d'inertie par rapport aux axes passant par le centre de gravité est donné
par:
𝐼𝑋𝑌 = 𝐼𝑋′𝑌′ + 𝐴 ∗ 𝑋𝐶𝐺 ∗ 𝑌𝐶𝐺
𝐼𝑋′𝑌′ = 𝐼𝑋𝑌 − 𝐴 ∗ 𝑋𝐶𝐺 ∗ 𝑌𝐶𝐺
𝐼𝑋′𝑌′ = 28.9625𝑒6 − 2700 ∗ 108.84 ∗ 136.34
𝐼𝑋′𝑌′ = −11.1035𝑒6 𝑚𝑚4
2(−11.1035𝑒6)
= 0.73269 ⇒ 𝛼 = −18.114
36.86𝑒6 − 65.51𝑒5
6 Pour le calcul de la section efficace, on considère chaque élément de la section
/ transversale isolément, et le calcul se fait à l’état ultime.
𝑡𝑔2𝛼 =
(3 pts)
𝑓
𝜎𝑐𝑚𝑎𝑥 = 𝑦⁄𝛾𝑀0
avec
𝛾𝑀0 = 1
L’élément 1. semelle; 𝑏𝑝 = 95 𝑚𝑚; 𝑡 = 5𝑚𝑚; 𝐾𝜎 = 0.43
L’élancement réduit est donné par
bp
fy
̅̅̅
λp = 1.052 t √EK ⇒ ̅̅̅
λp = 1.244 > 0.673 donc on doit réduire.
σ
1
Le coefficient de réduction 𝜌 = ̅̅̅̅
(1 −
λ
p
𝑏𝑒𝑓𝑓 = 𝜌𝑏𝑝
0.22
)
̅̅̅̅
λp
= 0.662
⇒ 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 62.89 𝑚𝑚
L’élément 2. âme; 𝑏𝑝 = 300 𝑚𝑚; 𝑡 = 5𝑚𝑚; 𝐾𝜎 = 4
L’élancement réduit est donné par
bp
fy
̅̅̅
λp = 1.052 t √EK ⇒ ̅̅̅
λp = .1.288 > 0.673 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 𝜌𝑏𝑝 avec
σ
1
(1
̅̅̅̅
λp
−
0.22
)
̅̅̅̅
λp
= 0.643
𝜌=
𝑏𝑒𝑓𝑓 = 192.9 𝑚𝑚
L’élément 3. semelle; 𝑏𝑝 = 145 𝑚𝑚; 𝑡 = 5𝑚𝑚; 𝐾𝜎 = 0.43
L’élancement réduit est donné par
bp
fy
̅̅̅
λp = 1.052 t √EK ⇒ ̅̅̅
λp = 1.899 > 0.673 donc on doit réduire
σ
𝑏𝑒𝑓𝑓 = 𝜌𝑏𝑝 avec
1
𝜌 = ̅̅̅̅
(1 −
λ
p
0.22
)
̅̅̅̅
λ
p
= 0.465
𝑏𝑒𝑓𝑓 = 67.425 𝑚𝑚
L'aire efficace est donc:
𝐴𝑒𝑓𝑓 = (67.425 + 192.9 + 62.89) ∗ 5 = 1616.075 𝑚𝑚2