Transcript TD 4 Asservissements n°4

MP/MP* - Orsay - 2014/15
T.D. Automatique 4
Exercice n°1 : Echangeur vapeur-eau.
qs
qe
On considère l’échangeur
alimentation
en vapeur
vapeur-eau représenté ci-contre.
vanne
Le débit de vapeur qe est
ψv
réducteur
réglé par une vanne dont l’ouverture
vm
est commandée par un moteur
ψm
électrique accouplé à un réducteur.
Le débit d’eau qs dépend de
θ
amplificateur 2
A2
+
capteur de
position moteur
l’appareil consommateur.
L’objectif de la régulation envisagée est de
e
maintenir la température θ de l’eau à l’intérieur de
l’échangeur aussi constante que possible, grâce à une action
automatique sur la vanne de réglage du débit de vapeur.
Pour cela, on applique une tension d’erreur
vc - vn amplifiée par un amplificateur (de gain A1) à un
θc
asservissement de position de vanne.
capteur de
température
vn
potentiomètre
de consigne
vc
A1
+
va
amplificateur 1
Cet asservissement comporte un deuxième amplificateur (de gain A2) qui alimente l’induit d’un moteur à courant continu.
L’arbre du moteur entraîne un réducteur dont la sortie définit la position de la vanne et donc modifie le débit d’entrée qe. La position
de la vanne est mesurée par un capteur monté sur l’axe du moteur.
Les différents composants possèdent les caractéristiques suivantes :
Capteur de température :
tension de sortie vn = λ . θ avec λ = 0.2 V/°C
Potentiomètre de consigne :
délivrant vc = λ . θc avec λ = 0.2 V/°C
Amplificateur 1 :
de gain A1 réglable, de bande passante et d’impédance d’entrée supposées
infinies, d’impédance de sortie supposée nulle
On pose
Amplificateur 2 :
de gain A2 réglable, mêmes hypothèses que l’amplificateur 1
Moteur M :
moteur à courant continu alimenté par l’induit, de fonction de transfert
ψm(p)
Km
=
avec Km = 0.5 rad/s.V et τm = 0.1 s
E(p)
p.(1 + τm . p)
Capteur de position moteur :
tension de sortie vm = Kp.ψm avec Kp = 1 V/rad
Réducteur :
rapport de réduction
Vanne :
débit qe = Kv.ψv avec Kv = 0.1 m3/s.rad
θ(t) = θ1(t) - θ2(t) , soit
Θ(p) = Θ1(p) - Θ2(p) ,
1 ψm
=
= 20
ν ψv
F1(p) =
Θ1(p)
Qe(p)
et
F2(p) =
Θ2(p)
.
Qs(p)
L’étude de l’échangeur seul a conduit aux réponses représentées ci-après.
a : Diagramme de Bode de la fonction de transfert F1(p)
( exprimée en °C/(m3/s) )
b : Réponse indicielle de la fonction de transfert F1(p)
( entrée unitaire de 1 m3/s )
c : Réponse indicielle de la fonction de transfert F2(p)
( entrée unitaire de 1 m3/s )
D iag r am m e d es G ain s
0,0001
0,0010
0,0100
0,1000
1,0000
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
D iag r am m e d es P h ases
0,0
-90,0
-180,0
-270,0
-360,0
-450,0
-540,0
-630,0
-720,0
-810,0
-900,0
-990,0
-1080,0
-1170,0
0,0001
0,0010
0,0100
Température (°C)
0,1000
Température (°C)
1000,00
200,00
900,00
180,00
800,00
160,00
700,00
140,00
600,00
120,00
500,00
100,00
400,00
80,00
300,00
60,00
200,00
40,00
100,00
20,00
0,00
0,00
0
200
1,0000
400
600
800
Temps (s)
0
1000
2000
3000
4000
Temps (s)
1 - Identifier les fonctions de transfert F1(p) et F2(p) .
2 - Représenter le schéma bloc de cette régulation.
3 - Quelle est la fonction de transfert en boucle fermée G(p) =
ψm(p)
du moteur seul ? Mettre cette fonction de transfert sous
Va(p)
sa forme canonique et préciser les coefficients remarquables.
4 - Déterminer la valeur du gain A2 de l’ampli 2 pour que le dépassement indiciel de ψm(t) soit limité à 0.1 %. Donner alors la
forme numérique de G(p).
Vn(p)
de l’ensemble de la régulation.
Vc(p) - Vn(p)
Donner la valeur numérique des coefficients de H0(p) pour la valeur de A2 déterminée précédemment.
5 - Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte HBO(p) = A1 H0(p) =
6 - En déduire que Θ(p) = H1(p) Θc(p) - H2(p) QS(p) . On donnera les expressions de H1(p) et H2(p) en fonction de A1 ,
H0(p) , F2(p) .
7 - Pourquoi l’étude générale de la stabilité du système peut elle se ramener à l’étude de la stabilité sans la
perturbation QS(p) ?
8 - Déterminer, par résolution numérique, la valeur de ωc telle que Arg (A1H0(jωc)) = -180°.
9 - En déduire la valeur numérique de A1 telle que le système soit juste instable.
10 - En déduire la valeur numérique de A1 telle que la marge de gain soit 12,5 dB.
11 - Calculer l’erreur de ‘position’ correspondant à un échelon de consigne : θc(t) = θ0 u(t).
12 - Calculer l’erreur de ‘position’ correspondant à un échelon de perturbation qs(t) = q0 u(t).
13 - Conclusion.
14 - Déterminer la marge de phase du système pour le réglage de A1 défini à la question 10.
15 - Vérifier qu’avec un correcteur de fonction de transfert C(p) = A1 ( 1 +
1
) , mis à la place de l’amplificateur de
τi p
gain A1, l’erreur de ‘position’ calculée à la question 11 est annulée.
16 - Qu’en est-il de l’erreur liée à la perturbation de la question 12 ?
17 - Comment choisir τi pour que la stabilité définie précédemment soit préservée ?
18 - Vérifier la stabilité obtenue pour τi = 1000s.
Exercice n°2 : Stabilité et précision.
Analyser la stabilité et la précision du système asservi ci-dessous dans les quatre cas suivants. Pour chaque cas, si cela est
possible, on déterminera les conditions de stabilité par le critère de Routh, on en déduira le gain K assurant une marge de gain de
10 dB, on calculera la marge de phase qui en résulte et enfin on calculera l’erreur de position et l’erreur de traînage.
1 - La fonction de transfert G(p) est : G(p) =
1
p ( 1 + p + p2 )
2 - La fonction de transfert G(p) est : G(p) =
1
p2 ( 1 + p + p2 )
3 - La fonction de transfert G(p) est : G(p) =
1+p
p2 ( 1 + p + p2 )
4 - La fonction de transfert G(p) est : G(p) =
1 + 5.p
p2 ( 1 + p + p2 )
X(p)
Y(p)
K
+
-
G(p)