Transcript 0 - Physique PSI Moreggia Sylvain

PSI 14/15
DS 2 -- Montages ALI – Oscillateurs – Statique des fluides (04/10/2014 – 4h)
Extrait des Instructions générales des concours
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.
Si les résultats ne sont pas soulignés ou encadrés, il sera retiré 1 point /20 à la note finale.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à l’attribution de points.
Toute application numérique ne comportant pas d’unité ne donnera pas lieu à l’attribution de points.
Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre choisi par le candidat. Il prendra
toutefois soin de bien numéroter les questions.
Vous numéroterez toutes vos pages. Si vous rendez 5 pages, vous devez numéroter 1/5, 2/5, 3/5, etc.
Aucune sortie n’est autorisée avant 12h
-1-
Problème 1 : Etude d’un inverseur
On se propose d’étudier le montage inverseur dont le schéma de principe est donné ci-dessous :
s(t)
e(t)
1. Premières observations – Premier modèle
Les valeurs des résistances sont R1 = 33 k et R2 = 68 k
L'oscillogramme ci-dessous rend compte de la réponse du circuit à une excitation sinusoïdale e(t)
d’amplitude crête à crête 10 V et de fréquence environ égale à 100 Hz.
Voie 2
Voie 1
1.1) Identifier les signaux e(t) et s(t) avec les voies (1) et (2) de l’oscilloscope.
1.2) Les signaux ont-ils même fréquence ? A quelle propriété du montage doit-on cela ?
1.3) Déterminer grâce à l’oscillogramme la valeur numérique du rapport entre les amplitudes des
signaux. Déterminer numériquement le déphasage entre ces signaux.
1.4) Des deux modèles d’ALI connus, lequel peut-on choisir pour rendre compte de ces résultats ?
Justifier votre réponse en comparant la mesure expérimentale du rapport des amplitudes avec la valeur
attendue d’après le modèle.
-2-
2. Limitations du modèle

Les valeurs des résistances sont R1 = 33 k et R2 = 68 k
Le signal d’entrée est maintenant sinusoïdal d’amplitude crête à crête
associé est donné ci-dessous :
. L’oscillogramme
2.1) Déterminer la valeur numérique de la fréquence du signal d’entrée.
2.2) Quelle(s) limitation(s) de l’amplificateur opérationnel voit-on apparaître sur la réponse du
montage ?
2.3) La vitesse de balayage de l’AO utilisé, donnée par le constructeur, est de 0.5 V/µs. Peut-on dire
que le signal a été triangularisé ?
On observe maintenant les mêmes signaux en mode XY :
2.4) Montrer en quoi cette figure permet de mettre en évidence le(s) défaut(s) des questions
précédentes.
-3-
On modifie à présent les valeurs des résistances : R1 = 1 k et R2 = 10 kL'entrée est d’amplitude
crête-à-crête 2V. L’oscillogramme obtenu est présenté ci-dessous.

2.5) Discuter de l’allure des deux courbes et déterminer la grandeur caractéristique de l’amplificateur
opérationnel que l’on peut tirer du graphe, la comparer à la valeur constructeur.
3. Modèle passe-bas du premier ordre pour l’ALI
On tient maintenant compte du caractère passe-bas du premier ordre de l’amplificateur opérationnel.
On supposera dans la suite que le comportement de l’opérateur reste linéaire.
3.1. Etude fréquentielle
3.1.2) Indiquer l’expression de l’amplification
définie par :
en fonction du gain statique
et de la fréquence de coupure à -3 dB, notée
opérationnel. Donner les ordres de grandeur de
et .
de l’amplificateur
3.1.2) Montrer alors que le montage peut être représenté par le schéma-bloc fonctionnel cidessous dans lequel vous identifierez la nature (fonction réalisée) et l’expression des blocs B et C.
3.1.3) Déterminer la fonction de transfert
en fonction de A, R1 et R2, puis de
,
, R1 et R2.
3.1.4) Montrer alors que la fonction de transfert complète de l’opérateur s’écrit comme celle d’un
passe bas du premier ordre de gain statique
et de fréquence de coupure
que l’on exprimera en
fonction des caractéristiques du circuit.
-4-
3.1.5) On choisit R1 = 10 k et R2 = 1 ket onalimente le montage avec une tension sinusoïdale
d’amplitude 10V et de fréquence f =1 MHz.
Le spectre en fréquence du signal de sortie est constitué d’un pic :
Amplitude
0.7 V
fréquence
1 MHz
3.1.6) Pourquoi peut-on affirmer que l’AO fonctionne en régime linéaire ? Déterminer les valeurs
numériques de
,
et . En déduire un effet du bouclage de l’AO sur le gain statique et la
fréquence de coupure du montage.
3.2. Etude temporelle
On travaille toujours avec le même modèle d’ALI mais on s’intéresse maintenant à la réponse
temporelle du montage.
Le montage est alimenté en entrée par un échelon de tension d’amplitude
(e(t) = E pour t > 0, nul avant)
La réponse du montage est donnée ci-dessous :
en ordonnée est représentée s(t) en Volt
en abscisse est représenté le temps en µs.
-5-
.
3.2.1) Montrer que la modélisation de l’ALI en passe-bas (étude 3.1.) permet de rendre compte des
observations.
3.2.2) Retrouver à partir de cette courbe la valeur de la fréquence de coupure
de l’inverseur. En
déduire la fréquence de coupure de l’ALI seul. Est-elle du même ordre de grandeur que la valeur
attendue donnée à la question 3.1.2 ?
3.2.3) Décrire qualitativement (mais précisément) le comportement du montage si l’on inverse les
entrées + et – de l’AO.
Problème 2 : Générateur de signaux (E3A PSI 2014 : cadeau pour les 5/2)
A / Amplificateur opérationnel idéal
La représentation symbolique de l’amplificateur opérationnel idéal (AO) et la notation adoptée sont
précisées en figure 1 , ci-dessous :
E

i
E
vE



i
iS

S
R1
E
+
vE
S
+
vS
vS


vE
Figure 1
R2  2 R 1
Figure 2
L’AO est un amplificateur de différence, la tension de sortie v S est proportionnelle à la tension
différentielle d’entrée   v E   v E  entre les tensions appliquées respectivement aux entrées non


inverseuse E et inverseuse E, soit v S  Α v E   v E  . Le coefficient A est l’amplification
différentielle, il dépend de la fréquence du signal d’entrée et sa valeur en régime continu est notée
Ad. La valeur absolue de la tension de saturation en sortie vaut : VSAT  15 V .
A1.
Rappeler les hypothèses de l’AO idéal.
A2.
Préciser ses deux régimes de fonctionnement et les conditions sur  et vS associées.
Représenter la caractéristique
et faire apparaître les deux régimes sur la figure
B / Comparateur à hystérésis
Stabilité du montage
Considérons le montage de la figure 2 ci-dessus. L’amplificateur opérationnel est idéal. Dans son
comportement intrinsèque, l’AO est un système linéaire du premier ordre. La tension de sortie vS de
l’AO est liée à la tension différentielle d’entrée  par une équation différentielle linéaire du premier
ordre qui s’écrit :
dv (t )
 S  vS (t )  Ad  (t ) ,
dt
-6-


est la constante de temps de l’AO, inverse de la pulsation de coupure
est le coefficient d’amplification statique (ou gain en régime continu)
B1.
Donner un ordre de grandeur de
15 Hz.
et , sachant que la fréquence de coupure est d’environ
B2.
Établir l’équation différentielle linéaire du premier ordre à laquelle obéit vS(t) en fonction de Ad,
 et vE(t). Le système est-il stable ou instable ? Évaluer numériquement la constante de temps
B caractéristique de l’évolution de vS(t). En déduire le mode de fonctionnement de l’AO.
Description du cycle d’hystérésis
On considère par la suite l’AO idéal.
B3.
Justifier qu’il y a basculement à  VSAT pour deux valeurs seuils de vE à préciser.
B4.
La tension d’entrée est sinusoïdale de pulsation  et d’amplitude VEM  15 V . Compléter la
caractéristique statique de transfert v S  f(vE ) du montage, fournie sur le document-réponse.
Préciser le sens d’orientation du cycle obtenu. Justifier le nom donné au montage :
« comparateur non inverseur à hystérésis ».
C / Intégrateur inverseur
Amplificateur opérationnel idéal
L’amplificateur opérationnel idéal fonctionne en régime linéaire selon le montage proposé sur la
figure 3 , ci-dessous :
RP
q
E
R

vE
C2.

S

Figure 3
C1.
C
vS
Donner, presque sans calcul, la nature du filtre ainsi constitué.
Quelle opération réalise-t-il à basse fréquence ?
Déterminer la fonction de transfert H  j   v S v E de ce filtre pour un signal d’entrée vE(t)
sinusoïdal, de pulsation  ; préciser sa pulsation de coupure C.
C3.
Représenter l’allure asymptotique des courbes de gain GdB  20 log  H  et de déphasage
entrée-sortie   arg H en fonction de log(/C).
La condition initiale sur la charge électrique est telle que : v S  0  
C4.
E0T
.
4 RC
Rechercher dans quel domaine de pulsation le montage de la figure 3 réalise une intégration et
une inversion du signal d’entrée. Placer ce domaine sur les graphes obtenus en C3.
-7-
La tension alternative d’entrée est un créneau, de période T et d’amplitude E0, dont la décomposition
en série de Fourier s’écrit :
v E (t) 
4E0  sin (2p  1)t 


2p  1
p  0
vE
 E0
t
0
Figure 4
T/2
T
 E0
C5.
Déterminer la tension de sortie vSn(t) pour la composante vEn(t) d’ordre n  2p  1 du signal
d’entrée dans son domaine d’intégration.
C6.
En déduire que le signal de sortie vS(t) admet la décomposition en série de Fourier :
v S (t)  B
 cos [(2p  1)t]

(2p  1)2
p  0
.
Préciser l’expression de B en fonction de E0, R, C et .
C7.
Indépendamment de la question précédente, et en revenant à la notation réelle, décrire la
forme du signal de sortie vS(t). Représenter, sur le chronogramme 1 du document-réponse,
l’évolution de vS(t) pour RP  10R et T  2RC .
D / Génération de signaux périodiques
Les amplificateurs opérationnels du montage suivant (figure 5) sont supposés idéaux.
R2
R1


AO1

C
q

E
AO2

vE
D1.

R
S
vS
Figure 5
Identifier les fonctions réalisées par chacun des montages associés à chacun des amplificateurs
opérationnels AO1 et AO2.
Expliquer pourquoi le dispositif est qualifié « d’astable».
La condition initiale imposée est q  t  0   0 . A cet instant, vS bascule en saturation positive :
v S (0 )  VSAT . La saturation négative correspond à un signal de sortie  VSAT.
D2.
Déterminer l’évolution de vE(t) au cours du temps en fonction de R, C, V SAT et t. Pour quelle
valeur de vE et à quel instant t0 le premier basculement de vS vers  VSAT se produit-il ?
-8-
D3.
En choisissant t0 comme origine des temps, déterminer la nouvelle évolution de vE(t).
Pour quelle valeur de vE le basculement de vS en saturation positive se produit-il ?
Quelle est la durée t1 de la phase de saturation négative de vS ? Quelle est la durée t2 de la
phase suivante correspondant à une saturation positive de vS ?
Exprimer la période T des oscillations en fonction de R, R 1, R2 et C.
D4.
Représenter, sur le chronogramme 2 du document-réponse, les évolutions de vS(t) et vE(t) au
cours du temps, pour R2  2 R1 . Quels types de signaux sont générés par un tel dispositif ?
D5.
Compléter sur le document-réponse la caractéristique statique de transfert v S  f(vE ) du
montage. Préciser le sens d’orientation du cycle obtenu.
Problème 3 : Atmosphère et ballon sonde (extrait Centrale TSI 2008)
On démontrera que la masse molaire de l’air est environ égale à
est fait allusion dans la question A.3. est celui de la figure 2.
-9-
. Le graphique auquel il
- 10 -
- 11 -
- 12 -
Document-réponse (Pb2 E3A), à compléter et rendre avec la copie
B4.
cycle d’hystérésis
Caractéristique statique de transfert :
vE: 5 V/division
vS: 5 V/division
20

15
vS (V)
10
5
0
C7.
5
10 15
20
vE(V)
Intégrateur inverseur (schéma à compléter)
vE (t) et vS(t)
E0
0
T/2
t
t
T
 E0
chronogramme 1
vE (t) et vS(t)
D4.
Génération de signaux périodiques
VSAT
0
2RC
RC
 VSAT
chronogramme 2
- 13 -
t
D5.
Caractéristique statique de transfert : génération de signaux périodiques
vE: 5 V/division
vS: 5 V/division

vS (V)
20
15
10
5
0
5
10 15
Fin de l’énoncé
- 14 -
20
vE(V)
- 15 -