Transcript 糸でつながれた物体2

直線運動の速度
問題
図のように、水平方向に対して角度θ傾いた斜面上に、質量4Mの物体Aが置かれ、その上に
は質量Mの物体Bが置かれている。AとBは、斜面に固定されたなめらかな滑車を通して軽い糸
でつながれている。重力加速度の大きさを𝑔として、次の各問に答えよ。
(1)斜面とAとの間、AとBとの間のどちらにも摩擦がない場合、図の状態における糸の張力の大
きさと、斜面にそって下向きを正とした物体Aの加速度を求めよ。
斜面とAとの間、AとBとの間の静止摩擦係数をともにμとする。斜面の傾きが小さいとき摩擦力
によってAとBは静止する。斜面の傾きθを大きくしていくと、ある角度で、まず、斜面からAに働く
摩擦力が最大摩擦力となった。
(2)AとBが静止した状態で、斜面からAに働く摩擦力が最大摩擦力となっているとき、糸の張力
の大きさとBに働く摩擦力の大きさをそれぞれ求めよ。
(3)斜面の傾きθをさらに大きくすると、ある角度でAとBが(1)と同じ向き動き出した。このようにな
るのは𝑡𝑎𝑛𝜃がいくらの値をこえたときか。
B
A
θ
(1)
正の向き
Aに働く力は、斜面に水平な方向の成分に注目すると
Aの運動方程式は
𝑇
4M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
B
𝑇 − 4M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 4𝑀𝑎
A
A
θ
4M𝑔
θ
4M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
Bに働く力は
𝑇
M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
θ
M𝑔
Bの運動方程式は
M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑇 = 𝑀𝑎
M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
∴𝑎=
3
− 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
5
∴𝑇=
8
𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
5
マイナスということは、Aが斜面
を下る向き
(2)
Aに働く力は、斜面に水平な方向の成分に注目すると
𝑓
4M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
Aの釣り合いの式は
5M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇
A
θ
A,B間に働く摩擦力を𝑓とする。丸で囲んだ力が
新たに加わる。
𝑇
4M𝑔
𝑓 + 𝑇 + 5𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇=4𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
4M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
上にBが乗っかっているので
Bの質量も考えることに注意。
4𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇ではなく5𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇
Bに働く力は
Bの釣り合いの式は
𝑇 = 𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑓
𝑇
M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑓
θ
M𝑔
したがって２つの式を足すと
2𝑇 + 5𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇=5𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
5𝑀𝑔(𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑇=
2
∴ 糸の張力
5𝑀𝑔(𝑠𝑖𝑛𝜃−𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
𝑀𝑔(3𝑠𝑖𝑛𝜃 − 5𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑓=
2
𝑀𝑔(3𝑠𝑖𝑛𝜃−5𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)
Bに働く摩擦力
2
(3)
AとBが動き出すとき、Bに働く摩擦力（つまり𝑓）も最大静止摩擦力に達している。
𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇
4M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
5M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇
A
θ
𝑇
4M𝑔
4M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
A,B間に働く摩擦力を𝑓も最大摩擦力になって
いるので𝑓 = 𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇である。
Aの釣り合いの式は
𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇 + 𝑇 + 5𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇=4𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃・・・①
Bの釣り合いの式は
Bに働く力は
𝑇 = 𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇・・・②
𝑇
M𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝜇
M𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
M𝑔
θ
よって②のTを①に代入すると
7𝑀𝑔𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃=3𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
両辺cos𝜃で割ると
7
𝑡𝑎𝑛𝜃= 𝜇
3
7
∴ 𝑡𝑎𝑛𝜃= 𝜇
3