Transcript 糸でつながれた物体

直線運動の速度
問題
図のように、なめらかな水平面上に、質量mとMの2つ
の物体A,Bが質量𝑤、長さℓの太さと密度が一様な棒で
つながれている。物体Bを大きさFの力で引いて運動さ
せた。このとき、次の問いに答えよ。
(1)これらの物体の加速度の大きさと棒がその両端で受
けている力の大きさをそれぞれ求めよ。
(2)棒のAからの距離がdの点で、棒の右端の部分と左
端の部分がおよぼしあう力の大きさを求めよ。
d
F
A
m
M
(1)
まずはいつものように力をすべて図示してみる。
B
A
𝑇2
m
𝑇2
𝑇1
F
M
𝑇1
次に運動方程式をたてる。今回は連結部分の棒も質量をもつので棒につい
ても運動方程式をたてないといけない。
右向きを正にとると
𝐹 − 𝑇1 = 𝑀𝑎・・・①
𝑇1 − 𝑇2 = 𝑤𝑎・・・②
𝑇2 = 𝑚𝑎・・・③
②+③より
𝑇1 = 𝑚𝑎 + 𝑤𝑎・・・④
②+③より
Bについての運動方程式
棒についての運動方程式
Aについての運動方程式
④を①に代入
𝐹 = 𝑎(𝑀 + 𝑚 + 𝑤)
∴𝑎=
𝐹
𝑀+𝑚+𝑤
∴ 𝑇2 =
𝑚𝐹
𝑀+𝑚+𝑤
また、②、③より
∴ 𝑇1 =
𝑚+𝑤 𝐹
𝑀+𝑚+𝑤
質量をもたない糸で連結されている物体は糸に働く張力は糸の両端で同じだった。
今回は連結部分の棒も質量をもつので、棒の両端で受ける力は異なる！！
もし仮に質量をもたない糸で連結されている場合は
B
F
A
m
𝑇
𝑇
𝑇
M
𝑇
両端で張力は同じ。糸はただ単に２つの物体をつなぐ働きしかしていない
(2)
まずはいつものように力をすべて図示してみる。
B
d
A
𝑇1
m
𝑇2 𝑇2
𝑇′
𝑇′
F
M
𝑇1
今度は物体A、B、棒の左側、棒の右側の４つの物体について運動方程式を立てる
右向きを正にとると
Bについての運動方程式
𝐹 − 𝑇1 = 𝑀𝑎・・・①
ℓ−𝑑
棒の右側についての運動方程式
𝑇1 − 𝑇 ′ = 𝑤
𝑎・・・②
ℓ
𝑑
𝑇 ′ − 𝑇2 = 𝑤 𝑎・・・③ 棒の左側についての運動方程式
ℓ
𝑇2 = 𝑚𝑎・・・④
Aについての運動方程式
d
𝑑
質量𝑤
ℓ
ℓ
質量𝑤
ℓ−𝑑
ℓ
③+④より
𝑇′
= 𝑚+𝑤
𝑑
𝑎・・・⑤
ℓ
⑤+②より
𝑇1 = (𝑚 + 𝑤)𝑎・・・⑥
⑥を①に代入して
𝐹
𝑎=
𝑚+𝑤+𝑀
∴
𝑇′
𝑑
𝐹
= 𝑚+𝑤
∙(
)
ℓ
𝑚+𝑤+𝑀
ちなみに・・
B
d
A
F
M
m
dをどんどん
大きくして
いくと・・・
d
A
m
B
F
M
B
d
A
m
F
M
𝑇′
𝑇′
dがℓに近づくと
𝑇′
𝑑
𝐹
= 𝑚+𝑤
∙
ℓ
𝑚+𝑤+𝑀
𝑑→ℓ
𝐹
𝑚+𝑤 ∙
= (𝑤 + 𝑚)𝑎
𝑚+𝑤+𝑀
確かに𝑇 ′ の値は𝑇1 の値に近づいていく
これは𝑇1 の値
これは𝑎