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基本情報技術概論 (第3回)
演算 と 論理回路
埼玉大学 理工学研究科
堀山 貴史
1
前回の復習

数値の表現方法

文字の表現方法
 ASC I I コード
 J I S コード、シフト JIS、EUC、Unicode

演算
 四則演算 (+, -, ×, ÷)
1
0100
+ 0110
1 01 0
10進法での筆算と同じようにできる
 2進数では、0, 1 を操作すれば実現できる

2
論理演算
3
論理演算

2進数の四則演算 (+, -, ×, ÷) は、
0, 1 を操作すれば実現できる

与えられた 0, 1 (入力) から、
計算結果の 0, 1 (出力) を得る仕組みを作ろう!
例) NOT : 入力の否定 (0,1 を反転させる)
入力
A
出力
f
A f
0 1
1 0
(真理値表)
4
論理演算
NOT
(否定)
AND
(論理積)
OR
(論理和)
XOR
(排他的
論理和)
回路記号
A
A
B
A
B
A
B
f
真理値表
A
0
1
f
1
0
B
0
1
0
1
f
f
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
f
f
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
f
f
A
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
論理式
f = A
f =¬A
f = A・B
f = A∧B
f = A+B
f = A∨B
f = A+B
5
論理演算: NAND
論理演算
NOT
(否定)
AND
(論理積)
NAND
回路記号
A
A
B
A
B
f
真理値表
A
0
1
f
1
0
B
0
1
0
1
f
f
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
f
f
A
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
論理式
f = A
f =¬A
f = A・B
f = A∧B
f = A・B
f = A∧B
6
論理演算: NOR
論理演算
NOT
(否定)
OR
(論理和)
NOR
回路記号
A
A
B
A
B
f
真理値表
A
0
1
f
1
0
B
0
1
0
1
f
f
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
f
f
A
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
論理式
f = A
f =¬A
f = A+B
f = A∨B
f = A+B
f = A∨B
7
練習:

ビット演算
各ビットごとに、指示された論理演算を行う
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 (この部分は演算結果が必ず 0 になる)
8
練習:
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
OR
0 0 1 1 0 0 1 1
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 (この部分は演算結果が必ず 1 になる)
9
練習:
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
XOR 0 0 1 1 0 0 1 1
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
ビット反転 (この部分はビットが反転する)
0クリア (同じものの XOR は、全ビット 0 になる)
10
論理回路

2進数の四則演算 (+, -, ×, ÷) は、
0, 1 を操作すれば実現できる

論理素子 (NOT, AND, OR, …)
 0, 1 の入力 から、0, 1 の出力 を得る仕組み

論理回路
 論理素子を用いて、論理演算を実現する
 組合せ回路と順序回路に分類できる
11
組合せ回路
________________

現在の入力のみから出力が決められる回路
________________
例) 半加算器 (half adder)
… 入力 A, B を 加算 し、
その桁の和 (Sum) S と 桁上げ (Carry) C を 出力
1
01
+ 11
0
入力
出力
A B
C S
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
A
B
C
S
12
例) 全加算器

(full adder)
入力された A, B, C in を 加算し、
その桁の和 S と 桁上げ Cout を 出力
入力
出力
A B Cin Cout S
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
11
01
+ 11
00
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
A
Cout
B
Cin
S
13
例) 加算器
1 1 11
0101
+ 1111
0 100
C3 S3
C2 S2
C1 S1
C0 S0
全加算器
全加算器
全加算器
半加算器
A3 B3
A2 B2
A1 B1
A0 B0
14
論理回路 と 論理式

次の論理回路と論理式は等価?
X
C
Y
S
Z

S = X + Y + Z
C = X・Y + Y・Z + Z・X
真理値表で確かめる
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
C
0
0
0
1
0
1
1
1
S
0
1
1
0
1
0
0
1
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
C
0
0
0
1
0
1
1
1
S
0
1
1
0
1
0
0
1
15
カルノー図
参考:

論理回路の設計に利用する
X
0
0
0
0
1
1
1
1
真理値表
カルノー図
XY
Z
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
C
0
0
0
1
0
1
1
1
S
0
1
1
0
1
0
0
1
論理回路
X
C
Y
Z
論理式
00 01 11 10
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
C = X・Y + Y・Z + Z・X
16
順序回路
________________



記憶を保持することができる
記憶 (内部状態) と 現在の入力から
出力が決められる回路
________________
論理素子がループしている部分がある
例) フリップフロップ (S R フリップ フロップなど)
カウンタ
17
例) S R フリップ フロップ
S
R
Qn
Qn
入力
内部
状態
出力
S R
Qn-1
Qn
0 0
0 0
0
1
0
1
内部状態
保持
0 1
0 1
0
1
0
0
リセット
1 0
1 0
0
1
1
1
セット
1 1
1 1
0
1
-
-
禁止
入力
18
例) S R フリップ フロップ
S
R
1
0
1
0
0
1
0
1
Qn
Qn
入力
内部
状態
出力
S R
Qn-1
Qn
0 0
0 0
0
1
0
1
内部状態
保持
0 1
0 1
0
1
0
0
リセット
1 0
1 0
0
1
1
1
セット
1 1
1 1
0
1
-
-
禁止
入力
19
20
練習問題:

組合せ回路
(H17年度 秋)
X OR Y を、NAND だけを使って表した論理式は
どれか
ア. ((X NAND Y) NAND X) NAND Y
イ. (X NAND X) NAND (Y NAND Y)
ウ. (X NAND Y) NAND (X NAND Y)
エ. X NAND (Y NAND (X NAND Y))
21
22
練習:

ビット演算
各ビットごとに、指示された論理演算を行う
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 (この部分は演算結果が必ず 0 になる)
23
練習:
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
OR
1 1 0 0 1 1 1 1
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 (この部分は演算結果が必ず 1 になる)
24
練習:
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
XOR 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
ビット反転 (この部分はビットが反転する)
0クリア (同じものの XOR は、全ビット 0 になる)
25
26
27
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



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条件を参考にしました
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その他
 堀山 貴史

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