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基本情報技術概論 (第３回)
演算 と 論理回路
埼玉大学 理工学研究科
堀山 貴史
1
前回の復習
数値の表現方法
文字の表現方法
ASC I I コード
J I S コード、シフト JIS、EUC、Unicode
演算
四則演算 (＋, －, ×, ÷)
１
０１００
＋ ０１１０
１ ０１ ０
10進法での筆算と同じようにできる
２進数では、０, １ を操作すれば実現できる
2
論理演算
3
論理演算
２進数の四則演算 （＋, －, ×, ÷） は、
０, １ を操作すれば実現できる
与えられた ０, １ （入力） から、
計算結果の ０, １ （出力） を得る仕組みを作ろう！
例） NOT ： 入力の否定 （０，１ を反転させる）
入力
Ａ
出力
ｆ
Ａ ｆ
０ １
１ ０
（真理値表）
4
論理演算
ＮＯＴ
（否定）
ＡＮＤ
（論理積）
ＯＲ
（論理和）
ＸＯＲ
（排他的
論理和）
回路記号
Ａ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
ｆ
真理値表
Ａ
０
１
ｆ
１
０
Ｂ
０
１
０
１
ｆ
ｆ
Ａ
０
０
１
１
Ｂ
０
１
０
１
ｆ
ｆ
Ａ
０
０
１
１
Ｂ
０
１
０
１
ｆ
ｆ
Ａ
０
０
１
１
０
０
０
１
０
１
１
１
０
１
１
０
論理式
ｆ = Ａ
ｆ =￢Ａ
ｆ = Ａ・Ｂ
ｆ = Ａ∧Ｂ
ｆ = Ａ＋Ｂ
ｆ = Ａ∨Ｂ
ｆ = Ａ＋Ｂ
5
論理演算： ＮＡＮＤ
論理演算
ＮＯＴ
（否定）
ＡＮＤ
（論理積）
ＮＡＮＤ
回路記号
Ａ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
ｆ
真理値表
Ａ
０
１
ｆ
１
０
Ｂ
０
１
０
１
ｆ
ｆ
Ａ
０
０
１
１
Ｂ
０
１
０
１
ｆ
ｆ
Ａ
０
０
１
１
０
０
０
１
１
１
１
０
論理式
ｆ = Ａ
ｆ =￢Ａ
ｆ = Ａ・Ｂ
ｆ = Ａ∧Ｂ
ｆ = Ａ・Ｂ
ｆ = Ａ∧Ｂ
6
論理演算： ＮＯＲ
論理演算
ＮＯＴ
（否定）
ＯＲ
（論理和）
ＮＯＲ
回路記号
Ａ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
ｆ
真理値表
Ａ
０
１
ｆ
１
０
Ｂ
０
１
０
１
ｆ
ｆ
Ａ
０
０
１
１
Ｂ
０
１
０
１
ｆ
ｆ
Ａ
０
０
１
１
０
１
１
１
１
０
０
０
論理式
ｆ = Ａ
ｆ =￢Ａ
ｆ = Ａ＋Ｂ
ｆ = Ａ∨Ｂ
ｆ = Ａ＋Ｂ
ｆ = Ａ∨Ｂ
7
練習：
ビット演算
各ビットごとに、指示された論理演算を行う
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 （この部分は演算結果が必ず ０ になる）
8
練習：
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
OR
0 0 1 1 0 0 1 1
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 （この部分は演算結果が必ず １ になる）
9
練習：
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
XOR 0 0 1 1 0 0 1 1
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
ビット反転 （この部分はビットが反転する）
０クリア （同じものの XOR は、全ビット ０ になる）
10
論理回路
２進数の四則演算 （＋, －, ×, ÷） は、
０, １ を操作すれば実現できる
論理素子 (NOT, AND, OR, …)
０, １ の入力 から、０, １ の出力 を得る仕組み
論理回路
論理素子を用いて、論理演算を実現する
組合せ回路と順序回路に分類できる
11
組合せ回路
________________
現在の入力のみから出力が決められる回路
________________
例） 半加算器 (half adder)
… 入力 Ａ, Ｂ を 加算 し、
その桁の和 (Sum) Ｓ と 桁上げ (Carry) Ｃ を 出力
１
０１
＋ １１
０
入力
出力
Ａ Ｂ
Ｃ Ｓ
０
０
１
１
０
０
０
１
０
１
０
１
０
１
１
０
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｓ
12
例) 全加算器
(full adder)
入力された Ａ, Ｂ, Ｃ in を 加算し、
その桁の和 Ｓ と 桁上げ Ｃout を 出力
入力
出力
Ａ Ｂ Ｃin Ｃout Ｓ
０
０
０
０
１
１
１
１
０
０
１
１
０
０
１
１
０
１
０
１
０
１
０
１
１１
０１
＋ １１
００
０
０
０
１
０
１
１
１
０
１
１
０
１
０
０
１
Ａ
Ｃout
Ｂ
Ｃin
Ｓ
13
例） 加算器
１ １ １１
０１０１
＋ １１１１
０ １００
Ｃ3 Ｓ3
Ｃ2 Ｓ2
Ｃ1 Ｓ1
Ｃ0 Ｓ0
全加算器
全加算器
全加算器
半加算器
Ａ3 Ｂ3
Ａ2 Ｂ2
Ａ1 Ｂ1
Ａ0 Ｂ0
14
論理回路 と 論理式
次の論理回路と論理式は等価？
X
C
Y
S
Z
S = X + Y + Z
C = X・Y + Y・Z + Z・X
真理値表で確かめる
Ｘ
０
０
０
０
１
１
１
１
Ｙ
０
０
１
１
０
０
１
１
Ｚ
０
１
０
１
０
１
０
１
Ｃ
０
０
０
１
０
１
１
１
Ｓ
０
１
１
０
１
０
０
１
Ｘ
０
０
０
０
１
１
１
１
Ｙ
０
０
１
１
０
０
１
１
Ｚ
０
１
０
１
０
１
０
１
Ｃ
０
０
０
１
０
１
１
１
Ｓ
０
１
１
０
１
０
０
１
15
カルノー図
参考：
論理回路の設計に利用する
Ｘ
０
０
０
０
１
１
１
１
真理値表
カルノー図
XY
Z
Ｙ
０
０
１
１
０
０
１
１
Ｚ
０
１
０
１
０
１
０
１
Ｃ
０
０
０
１
０
１
１
１
Ｓ
０
１
１
０
１
０
０
１
論理回路
X
C
Y
Z
論理式
00 01 11 10
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
C = X・Y + Y・Z + Z・X
16
順序回路
________________
記憶を保持することができる
記憶 （内部状態） と 現在の入力から
出力が決められる回路
________________
論理素子がループしている部分がある
例） フリップフロップ （S R フリップ フロップなど）
カウンタ
17
例） S R フリップ フロップ
Ｓ
Ｒ
Ｑｎ
Ｑｎ
入力
内部
状態
出力
Ｓ Ｒ
Ｑn-1
Ｑｎ
０ ０
０ ０
０
１
０
１
内部状態
保持
０ １
０ １
０
１
０
０
リセット
１ ０
１ ０
０
１
１
１
セット
１ １
１ １
０
１
－
－
禁止
入力
18
例） S R フリップ フロップ
Ｓ
Ｒ
１
０
１
０
０
１
０
１
Ｑｎ
Ｑｎ
入力
内部
状態
出力
Ｓ Ｒ
Ｑn-1
Ｑｎ
０ ０
０ ０
０
１
０
１
内部状態
保持
０ １
０ １
０
１
０
０
リセット
１ ０
１ ０
０
１
１
１
セット
１ １
１ １
０
１
－
－
禁止
入力
19
20
練習問題：
組合せ回路
(H17年度 秋)
X OR Y を、NAND だけを使って表した論理式は
どれか
ア． ((X NAND Y) NAND X) NAND Y
イ． (X NAND X) NAND (Y NAND Y)
ウ． (X NAND Y) NAND (X NAND Y)
エ． X NAND (Y NAND (X NAND Y))
21
22
練習：
ビット演算
各ビットごとに、指示された論理演算を行う
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1
AND 0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 （この部分は演算結果が必ず ０ になる）
23
練習：
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
OR
1 1 0 0 1 1 1 1
OR
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
マスク演算 （この部分は演算結果が必ず １ になる）
24
練習：
ビット演算
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
XOR 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
XOR 0 0 0 0 1 1 1 1
ビット反転 （この部分はビットが反転する）
０クリア （同じものの XOR は、全ビット ０ になる）
25
26
27
この教材のご利用について
この文面は、TOKYO
TECH OCW の利用
条件を参考にしました
この教材は、以下に示す利用条件の下で、著作権者にわざわざ許諾を
求めることなく、無償で自由にご利用いただけます。講義、自主学習は
もちろん、翻訳、改変、再配布等を含めて自由にご利用ください。
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この教材は、翻訳や改変等を加えたものも含めて、著作権者の許
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http://www.al.ics. saitama-u.ac.jp/horiyama/OCW/ の教材です
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配布場所
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この powerpoint ファイルの著作者
堀山 貴史 2007-2009 [email protected]
改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください
図の著作者
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その他
堀山 貴史
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