Transcript Document

コンピュータアーキテクチャＩ #3
二変数論理関数
平成２７年４月２４日
教科書p.17～p.40
本日の講義内容

ブール代数
– 土・モルガンの法則の証明（真理値表を使って）

二変数論理関数
– 二変数論理関数の種類
– 完全系
– ブール代数による項の整理
主なブール代数の定理（４）

任意の元𝐴, 𝐵に対し，次のド・モルガンの定理が成
立する
𝐴+𝐵 =𝐴⋅𝐵
𝐴⋅𝐵 =𝐴+𝐵
𝑨
𝑩
𝑨+𝑩
𝑨+𝑩
𝑨
𝑩
𝑨⋅𝑩
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
𝑨
𝑩
𝑨⋅𝑩
𝑨⋅𝑩
𝑨
𝑩
𝑨+𝑩
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
２変数論理関数とは
２つの論理変数A,Bから組み立てられる関数
𝑍 =𝐴○𝐵



○には何か論理演算子が入る
A,Bはそれぞれ０,１の値をとりうるので，４通りの
入力パターンがある
ある入力パターンに対して，出力は０,1の２通り
24=１６通りの「２変数論理関数」があると共に，そ
れ以上は存在しない
２変数論理関数のパターン
A
1
1
0
0
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
B
1
0
1
0
#0
0
0
0
0
#8
1
0
0
0
#1
0
0
0
1
#9
1
0
0
1
#2
0
0
1
0
#10
1
0
1
0
#3
0
0
1
1
#11
1
0
1
1
#4
0
1
0
0
#12
1
1
0
0
#5
0
1
0
1
#13
1
1
0
1
#6
0
1
1
0
#14
1
1
1
0
#7
0
1
1
1
#15
1
1
1
1
Ex) #4は 𝐴, 𝐵 = (1,0)のときのみ𝑍 = 1となる２変数関数𝑓(𝐴, 𝐵)を表す
２変数論理関数𝑭(𝑨, 𝑩)のいろいろ（１）
#0: 𝐹 𝐴, 𝐵 = 0

–
–
入力に関わらず出力が0
定数０
#1:𝐹 0,0 = 1

–
ORの否定に等しい．“NOR” (Not-OR)と呼ばれる
#2:𝐹 0,1 = 1

–
𝐴⋅𝐵
#3:𝐹 0,1 = 𝐹 0,0 = 1

–
𝐴が0のときのみ１なので，𝐴の否定に等しい
２変数論理関数𝑭(𝑨, 𝑩)のいろいろ（２）

#4:𝐹(1,0) = 1
– 𝐴𝐵

#5:𝐹 1,0 = 𝐹 0,0 = 1
– 𝐵が０のときのみ１なので，𝐵の否定に等しい

#6:𝐹 1,0 = 𝐹 0,1 = 1
– 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵
– 排他的論理和（XOR, EOR）と言われ，𝐴⨁𝐵で表す

#7:𝐹 1,0 = 𝐹 0,1 = 𝐹 0,0 = 1
– 𝐴, 𝐵共に１以外は１なので，ANDの否定に等しい
– NANDと呼ばれる
２変数論理関数𝑭(𝑨, 𝑩)のいろいろ（3）

#8:𝐹 1,1 = 1
– AND（𝐴 ⋅ 𝐵）

#9:𝐹 1,1 = 𝐹 0,0 = 1
– 𝐴𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⊕ 𝐵

#10:𝐹 1,1 = 𝐹 0,1 = 1
– 𝐴に関わらず，𝐵の値に等しいので，単に𝐵

#11:𝐹 1,1 = 𝐹 0,1 = 𝐹 0,0 = 1
– 𝐴+𝐵
２変数論理関数𝑭(𝑨, 𝑩)のいろいろ（4）

#12:𝐹 1,1 = 𝐹 1,0 = 1
– 𝐵に関わらず出力は𝐴に等しいので，単に𝐴

#13:𝐹 1,1 = 𝐹 1,0 = 𝐹(0,0) = 1
– 𝐴+𝐵

#14:𝐹 1,1 = 𝐹 1,0 = 𝐹 0,1 = 1
– 𝐴か𝐵のどちらか一方でも１ならば出力は１
– 論理和（OR）である

#15:𝐹 1,1 = 𝐹 1,0 = 𝐹 0,1 = 𝐹 0,0 = 1
– 入力に関わらず出力が１
– 定数１
完全系

２変数論理関数１６種類
– AND, OR, NOTがあればすべて表現できる
– 上記３演算をもって｢完全系」をなす，という

他に完全系を成す演算（素演算）はあるか？
– NAND, NORは単独で完全系をなす
– NOTとAND, NOTとORも完全系をなす
単一演算子による完全系：NOR


NOR: 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴‖𝐵
NORを使った論理演算
– NOT: 𝐴 = 𝐴‖𝐴
– OR: 𝐴 + 𝐵 = (𝐴‖𝐵)‖(𝐴‖𝐵)
– AND : 𝐴 ⋅ 𝐵 = (𝐴‖𝐴)‖(𝐵‖𝐵)
単一演算子による完全系：NAND


NAND： 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴|𝐵
NANDを使った論理演算
– NOT: 𝐴 = 𝐴|𝐴 = 1|𝐴
– AND: 𝐴 ⋅ 𝐵 = (𝐴|𝐵)|(𝐴|𝐵)
– OR: 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 𝐴 |(𝐵|𝐵)
最小項と最大項

最小項
– すべての論理変数が真，または偽の形で含まれている論
理積項

最大項
– すべての論理変数が真，または偽の形で含まれている論
理和項
加法標準形と乗法標準形

今まで書いてきた論理式
ex) 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶
(論理）積を各項に，それを(論理）和で結んだ形
「加法標準形」という
真理値が０となる項も含めて書くと「主加法標準形」と
呼ばれる
– (論理）和項を(論理)積で結んだ形は「乗法標準形」と呼
ばれる
–
–
–
–
多変数論理関数の表現

主加法標準形
– 𝑛個の論理変数を持つ論理変数𝐹について，
𝐹 𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛
= 𝐹 0,0, ⋯ , 0,0
+ 𝐹 0,0, ⋯ , 0,1
+ 𝐹 0,0, ⋯ , 1,0
+⋯
+ 𝐹 1,1, ⋯ , 1,1
論理最小項
𝑋1 𝑋2 ⋯ 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛
𝑋1 𝑋2 ⋯ 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛
𝑋1 𝑋2 ⋯ 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛
𝑋1 𝑋2 ⋯ 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛
– 論理積の和，と言う形で表現する．
– すべての入出力の組合せを列挙する．
論理関数の簡単化とは

論理式の項数を少なくすること
– ド・モルガンの定理や各種ブール代数の公理・定理を駆使
して項数を減らす

論理式で使われている演算子を統一すること
– 完全系を成すNANDやNORのみで論理式を記述し，必要
な部品の種類を減らす
論理式の簡単化の例（１）

与えられた論理式：
– 𝑌 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷
–
𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵𝐷 𝐶 + 𝐶 = 𝐴𝐵𝐷
–
𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵𝐶 𝐷 + 𝐷 = 𝐴𝐵𝐶
–
𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴 + 𝐴 𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐶𝐷
𝑌
= 𝐴𝐵𝐷 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐵𝐶𝐷
論理式の簡単化の例（２）

与えられた論理式：
– 𝑌 = 𝐴𝐵𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 +
𝐴𝐵 𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴 𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷
– 𝑌 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶
– 𝑌 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶𝐷
簡単化の練習

次の論理式を簡単化しなさい
–𝑌 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵
–𝑌 = 𝐴 + 𝐵 ⋅ (𝐴 + 𝐵)
本日のまとめと来週の予定

ブール代数の基礎
–
–
–
–

ブール代数と定理
二変数論理関数
完全系
ブール代数を利用した項の整理
来週の予定（５月１日）
– ブール代数演習
– 単元テスト