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２００８年度情報数学
（後藤滋樹 担当分）
• 2008年度の講義予定（後藤の担当は３回）
（１） 5月19日(月) ブール代数と命題論理
（２） 5月26日(月) 述語論理と∀∃
（３） 6月2日(月) 完全性と不完全性
• 講義資料（本資料を含む）
http://www.goto.info.waseda.ac.jp/~goto/infomath.html
上のＵＲＬはシラバスに掲載されている
（念のために次ページに拡大表示します）
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http://
www.goto.info.waseda.ac.jp
/~goto/infomath.html
2
２００７年度以前の「情報数学」
を再履修している諸君
• 今期の授業は２単位
• 再履修科目の「情報数学」は３単位
• 今期の授業で２単位を取得、残る１単位につい
ては上田和紀教授の指示に従う。
その連絡がCourseN@viに登録したメールアドレ
スに届く。
・ 履修登録を正確な科目で行うこと
・ Waseda_netのquotaがオーバーしないように
3
参考書と使い方
• 本講義の内容は概ね次の書籍の1章の全部お
よび2章の一部に相当する内容を扱う。
廣瀬健「論理」（現代応用数学の基礎）
日本評論社, 1994. ISBN4-535-60829-6
同書は現在「品切」と表示されている。
オンデマンド版が入手可能となるよう交渉中。
• 上の本では細部の説明が省略されている箇所
がある。細部を補うには、次の本の第１章と第２
章が参考になる。
小野寛晰「情報科学における論理」
日本評論社, 1994. ISBN4-535-60814-8
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論理記号が書籍によって異なる
• この授業では次の記号を使う（ＪＩＳ第一水準漢字）
∧, ∨, ⇒, ⇔, ￢ ,
∀, ∃.
• 第１回授業の開始時点では上の論理記号の意味
が分からなくても差し支えない。
• 第１回授業の終了時には最初の５つの記号を理解
していること。
• 第２回授業の終了時には残りの２つの記号を理解
していること。
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記号論理あるいは数理論理
• 廣瀬健先生の「論理」による導入：
数学的な議論の展開は、論理的な推論の積
み重ねである。
論理学は、真な命題から真な命題を導く推論
法則を研究する学問である。
論理的な推論を記号を用いて表現し、数学的
な方法で研究する分野を、記号論理あるいは
数理論理という。
• 記号論理： symbolic logic
数理論理： mathematical logic
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論理記号の登場
• 廣瀬先生による導入の続き：
記号論理では、推論や推論の対象を記号で
表現する。まず「概念」を記号で表現すること
が重要である。次に命題や述語で表現された
概念の「正しさの説明＝証明」についての考
察をする。
• 数学的理論では、基本概念を論理的な言葉
で結びつけている。
「かつ」, 「あるいは」, 「ならば」, 「同値である」,
「～でない」,
「すべての…について…が成り立つ」,
「…を満たす…が存在する」.
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論理記号の登場（２）
∧ かつ,
conjunction
∨ あるいは,
disjunction
⇒ ならば,
implication
⇔ 同値である, equivalence
￢ …でない,
negation
∀ すべての…について…が成り立つ, universal
∃ …を満たす…が存在する.
existential
いずれの記号も、具体的な使い方を後に学ぶ。
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命題論理
命題：proposition
• 命題とは、真偽が確定している文のこと。
例： 100 ≦ 200
（真）
17は素数である
（真）
平行な２直線は１点で交わる （偽）
• 原理的に確定していれば良い。
例： ２より大きな偶数は２つの素数の和で
表すことができる （Goldbachの予想） （？）
• 変数を含む文は、真偽を確定できない。
例： ｘ ≦ 200
y は素数である
（後に述語として登場）
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真理値表 truth table
• 真（true）を t と表す。偽（false）を f と表す。
集合 T = { t, f } とする。
φ : T  T を１変数（引数）の真理関数という。
φ : T×T  T を２変数（引数）の真理関数という。
• 論理記号 ∧, ∨, ⇒, ⇔ の意味は、２変数の真理関
数として定義される。
論理記号 ￢ の意味は、１変数の真理関数として
定義される。
• 真理関数： truth function
変数： argument
（変数＝variable と区別）
T×T は集合の直積（direct product, Cartesian product）
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直積（デカルト積，Cartesian product）
Ａ×Ｂ ＝ { < a, b > | a∈Ａ，ｂ∈Ｂ }
A の要素(元)と B の要素(元)の順序対の集合
集合の共通部分を「積集合」と呼ぶことがあるが別物
例：
Ｔ×Ｔ ＝ { < f, f >, < f, t >, < t, f >, < t, t >}
Ｔは２つの要素からなる集合
Ｔ×Ｔは、４つの要素からなる集合
順序対であるから < f, t > と < t, f > を区別する
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真理値表（２）
A, Bは命題変数（ t または f の値を取る）
A B A∧B A∨B A⇒B A⇔B
f f
f
f
t
t
f t
f
t
t
f
t f
f
t
f
f
t t
t
t
t
t
A ￢A
f t
t f
A∧B を単独に書けば次の表
A
B t
t
t
f
f
f
f
f
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論理回路
• 論理回路（ろんりかいろ）は、ブール代数(論理演算)
を行う回路、およびデジタル信号を記憶する回路。
(出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』)
AND Ａ・Ｂ
ＯＲ Ａ＋Ｂ
ＮＯＴ Ａ
• 論理回路の設計をする技術者は、数学の論理演算
記号とは違う記号を用いて論理式を記述することが
多い。(同上）
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または（∨）, ならば（⇒）
• または（∨） 論理和
inclusive or : 紅茶 または コーヒー
包含的論理和
exclusive or : 両方を取るのは駄目
A
排他的論理和
排他的論理和
B t
t
f
f
t
• ならば（⇒） 含意
日常的な含意は、因果関係、
時間的な前後を意味する場合がある。
例： レポートを出さない ならば 成績が下がる
真理値表の含意は実質的(material)含意
例： ０＝１ ならば 私はローマ法王である（真）
f
t
f
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論理式 (formula) の定義
1. 個々の命題定数 t, f は、それ自身で論理式である
2. 個々の命題変数は、それ自身で論理式である
3. A, B が論理式であるとき
（A∧B）, （A∨B）, （A⇒B）, （A⇔B）, （￢A）
は、いずれも論理式である
論理式の例示は後出
• 一番外側の括弧を省略して良い
• 否定記号は結合力が強いと見なして、（￢A）の
括弧を省略して良い
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トートロジー (tautology)
恒真論理式
• 論理式 A に n 個の命題変数が含まれていると
する。この時、個々の命題変数の真理値(t, f)の
n
n
値の取り方は 2 通りある。この 2 通りの真理
値のすべての場合に A が真となるとき、論理式
A をトートロジー、あるいは恒真(valid)な論理式
という。
• ある論理式 B がトートロジーであるかどうかを判
定するには、B に含まれる命題変数の真理値の
すべての組合せを列挙して、Aの真理値を計算
すれば良い。（有限の手続きで判定可能）
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基本的なトートロジー
（A∧A）⇔A, （A∨A）⇔A
巾等律
（A∧（B∧C））⇔（（A∧B）∧C）
結合律
（A∧B）⇔（B∧A）, （A∨B）⇔（B∨A) 交換律
（A∧（A∨B））⇔A, （A∨（A∧B））⇔A 吸収律
（A∧（B∨C））⇔（（A∧B)∨（A∧C）） 分配律
（A∨（B∧C））⇔（（A∨B)∧（A∧C））
6. （￢（￢A）））⇔A
二重否定の除去
7. （￢（A∨B））⇔（￢A∧￢B） ド・モルガンの法則
8. （A⇒B）⇔（￢A∨B）
含意記号の置換
1.
2.
3.
4.
5.
17
トートロジーの判定法
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充足可能な論理式
• 論理式 A に n 個の命題変数が含まれているとする。
この時、個々の命題変数の真理値(t, f)の値の取り
方は 2n 通りある。この 2n 通りの真理値のある取り方
の場合に A が真となるとき、論理式 A を充足可能
(satisfiable)な論理式という。
• 充足可能でない論理式を充足不可能(unsatisfiable)
という
論理式Aが充足不可能であるための必要十分条件
は論理式￢Aがトートロジーとなることである。
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論理的に同値
20
標準形
21
Keywords(廣瀬)
•
•
•
•
ブール代数
記号論理、命題論理、真理関数、論理記号
標準形、恒真論理式、命題計算、定理
述語論理、全称記号、存在記号、
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Keywords（小野）
• ブール代数、
命題、論理式、真理値表、恒真、部分論理式、
付値、充足可能性、同値、標準形
• 公理、推論規則、定理、証明、シンタックス、
セマンティックス、健全性、完全性、双対性
• 述語論理、（命題論理）、全称記号、存在記
号、論理式
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述語論理と∀∃
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完全性と不完全性
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